Egzamin z analizy matematycznej, analityka gospodarcza, rok 1
22 VI 2017
Informacje dla zdających:
1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10 minut.
2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem oraz grupą przy- dzieloną na egzaminie. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny” pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.
Grupa C Zadania:
1. (200 punktów) Wyznaczyć dziedzinę, ekstrema oraz przedziały monotoniczności funkcji:
𝑓 (𝑥) = 3𝑥2− 𝑥 + 2 ln(3 − 2𝑥) + 1.
2. (200 punktów) Obliczyć pole powierzchni figury ograniczonej krzywymi o równaniach:
𝑦 =√
𝑥, 𝑦 = 2 − 6𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 6.
Wskazówka: rozwiązując równanie typu 𝐴 =√
𝐵 pamiętamy o tym, by najpierw założyć nie tylko, że 𝐵 ≥ 0, ale też, że 𝐴 ≥ 0.
3. (200 punktów) a) Metodą najmniejszych kwadratów dopasować krzywą 𝑓 (𝑥) = 𝑎√3
𝑥 + 𝑏 do punktów empirycznych: (−1, 2); (1, 1); (8, −1).
b) Za pomocą lematu Eulera sprawdzić, czy poniższa funkcja jest jednorodna, a jeśli tak, to jakiego stopnia:
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥𝑦3 𝑧3 − 2𝑧
𝑦2. 4. (200 punktów) a) Znaleźć otwarty przedział zbieżności szeregu:
∞
∑
𝑛=1
𝑛!
(𝑛 + 1)𝑛(2𝑥 + 4)𝑛. b) Zapisać dla funkcji 𝑓 (𝑥) = 𝑥 ln√
𝑥5 pierwsze 4 wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora w otoczeniu punktu 𝑥0 = 1.
5. (100 punktów) Wykazać, że symbol [1∞] i jest symbolem nieoznaczonym, podając dwa przykłady granic typu [1∞], które dają różne wyniki (formalnie, podać przykłady funkcji 𝑓1, 𝑓2, 𝑔1 i 𝑔2 oraz 𝑥0 ∈ ℝ takich, że lim
𝑥→𝑥0
𝑓1(𝑥) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓2(𝑥) = 1 i lim
𝑥→𝑥0
𝑔1(𝑥) = lim
𝑥→𝑥0
𝑔2(𝑥) = ∞ oraz lim
𝑥→𝑥0
𝑓1(𝑥)𝑔1(𝑥) ∕=
𝑥→𝑥lim0
𝑓2(𝑥)𝑔2(𝑥)).
Wybrane wzory:
∫ 𝑏 𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≈ 1
2ℎ[𝑓 (𝑥0) + 𝑓 (𝑥𝑛) + 2
𝑛−1
∑
𝑖=1
𝑓 (𝑥𝑖)];
∫ 𝑏 𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − 𝑇𝑛
≤ (𝑏 − 𝑎)3𝑀′′
12𝑛2 ; 𝑓 (𝑥) ≈
𝑘−1
∑
𝑛=0
𝑓(𝑛)(𝑥0) ⋅(𝑥 − 𝑥0)𝑛
𝑛! ; 𝐸𝑥𝑓 (𝑥0) = 𝑥0
𝑓 (𝑥0) ⋅ 𝑓′(𝑥0); (arccos 𝑥)′ = − 1
√1 − 𝑥2;
sin 0 = 0; sin𝜋 6 = 1
2; sin𝜋 4 =
√2
2 ; sin𝜋 3 =
√3
2 ; sin𝜋 2 = 1.
