∫ 2013-11-231

(1)

Met.Numer. wykład 5 1

METODY NUMERYCZNE

dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH

Wykład 5.

Całkowanie numeryczne

Plan

• Wzór trapezów

• Złożony wzór trapezów

• Metoda ekstrapolacji Richardsona

• Metoda Romberga

• Metoda Simpsona – wzór parabol

• Metoda Gaussa

Całkowanie numeryczne - idea

∫

=

^b

a

dx ) x ( f I

X Y

f(x)

a b

∫b a

dx x f()

Całkę można przybliżyć sumą

∑ Δ

= = n i f ci xi

S

1

) (

+1

≤

≤ _i _i

i c x

x

(2)

Kwadratury Newtona-Cotesa Kwadratura Newtona – Cotesa należy do metod z ustalonymi węzłami, polega na tym, że funkcja f(x) jest interpolowana wielomianem (np. Lagrange’a)

) x ( f ) x (

f ≈

_n

gdzie: n

n n n

n

( x ) a a x ... a x a x

f =

₀

+

₁

+ +

₋₁ ⁻¹

+

Wówczas całka z funkcji f(x) może być przybliżana całką z funkcji interpolującej fn(x) n-tego stopnia

≈∫

=∫ ^b

a n b a

x f x f

I ( ) ( )

Wzór trapezów Zakładamy n = 1 czyli f1(x)=a0+a1x

dx x a a x f x f I

b a b a b a

) ( ) ( )

( ≈∫ 1 =∫ 0+ 1

=∫

Szukamy współczynników a₀i a₁ ₀( ) ₁b²2a² a a b

a −

+

−

=

Zakładamy, że prosta, która przybliża funkcję f(x) przechodzi przez punkty (a,f(a)) i (b,f(b)). Czyli:

a a a a f a

f( )= ₁( )= ₀+ ₁ b a a b f b

f( )= ₁( )= ₀+ ₁

a b

a b f b a a f

−

= ( ) − ( )

0

a b

a f b a f

−

= ()− ( )

1

Wzór trapezów

trapezu pole dx x f

b

a

∫

⁽ ⁾ ≈

X Y

f(x)

a b

fI(x)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−

∫ = 2

) ( ) ) ( ( )

( f a f b

a b dx x f

b a

f(a) f(b)

(3)

Wzór trapezów

t t t

v 9.8

2100 140000

140000 ln

2000 )

( ⎥⎦⎤−

⎢⎣⎡

= − Przykład 1:

Prędkość rakiety w przedziale czasu od t₁=8 s do t₂=30 s jest opisana wzorem:

a) Przy pomocy metody trapezów znajdź przemieszczenie rakiety w tym przedziale czasu czyli ∆x=x(t₂)-x(t₁)

b) Wyznacz błąd względny odniesiony do wartości dokładnej (ang.

true relative error)

Wzór trapezów

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−

≈ 2

) ( ) ) (

( f a f b

a b

I a=8s b=30s

t t t

f 9.8

2100 140000

140000 ln

2000 )

( −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= −

) 8 ( 8 . ) 9 8 ( 2100 140000

140000 ln

2000 ) 8

( ⎥−

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − f

) 30 ( 8 . ) 9 30 ( 2100 140000

140000 ln

2000 ) 30

( ⎥−

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − f

s 27m / .

=177

s 67m / .

=901 a)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−

= 2

67 . 901 27 . )177 8 30 (

I =11868m

Wzór trapezów

∫ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦⎤−

⎢⎣⎡

= − Δ ³⁰

8

8 . 2100 9 140000

140000 ln

2000 t dt

x t =11061m

b) Wartość dokładna

11061 100 11868

11061 − ×

=

∈_t =7.2959%

Błąd względny:

(4)

Złożony wzór trapezów

n a h b−

= Błąd, jak pokazuje poprzedni przykład, jest zbyt duży. Można zaproponować podział przedziału całkowania na n segmentów, każdy o długości h.

∫ + ∫ + ∫

∫ +

∫ =

= ⁺

+

+ +

+ a h

h a

h a h

a a b

a

dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f I

2 3

2

4 3

) ( ) ( )

( ) ( ) (

dla n=4 ^X

Y

f(x)

a b

4 a a+b− 2b4a

a+ − 3b₄a

a+ −

∫

b a

dx ) x (

f ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ +

− +

=

∑

⁻

=

) b ( f ) ih a ( f ) a ( n f

a

b ⁿ

i 1 1

2 2

∫

+ −

− +

− + +

+

+ + + + +

= ^b

h ) n ( a h ) n ( a

h ) n ( a h

a

h a h a

a

dx ) x ( f dx ) x ( f ...

dx ) x ( f dx ) x ( f

1 1

2

∫

2 b

a

dx ) x ( f

2 ...

) 2 ( ) ( 2

) ( )

( +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + + +

⎥⎦+

⎢⎣ ⎤

⎡ + +

= f a h f a h

h h a f a h f

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + − +

− +

−

+ 2

) ( ) ) 1 ( ] ( ) 1 ( ( [

... f a n h f b

h n a b

t t t

v 9.8

2100 140000

140000 ln

2000 )

( ⎥⎦⎤−

⎢⎣⎡

a) Przy pomocy metody trapezów znajdź przemieszczenie rakiety w tym przedziale czasu czyli ∆x=x(t₂)-x(t₁) przyjmując n=2 b) Wyznacz błąd względny odniesiony do wartości dokładnej (true

relative error)

(5)

a) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ∑ +

− +

= ⁻

= ( ) ()

2 ) 2 (

1

1f a ih f b

a n f

a

I b ⁿ

i

n = 2 a = 8 s b = 30 s s

n a

h b 11

2 8 30− =

− =

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ∑ +

− +

= ⁻

= ( ) (30)

2 ) 8 ) ( 2 ( 2

8

30 ²¹

1f a ih f f

I

i

[

(8) 2 (19) (30)

]

4

22 f + f +f

=

[

¹⁷⁷²⁷ ²⁴⁸⁴⁷⁵ ⁹⁰¹⁶⁷

]

4

22 . + ( . )+ .

=

11266m

=

b)

∫

^⎜_⎝^⎛ _⎢⎣^⎡ ₋ _⎥⎦^⎤⁻ ^⎟_⎠^⎞

=³⁰

8

8 2100 9 140000

140000

2000 .t dt

ln t

x =11061m

wartość dokładna wynosi:

Błąd względny to:

11061 100 11266 11061− ×

=

∈_t =1.8534%

n ∆x E_t

1 11868 -807 7.296 ---

2 11266 -205 1.853 5.343

3 11153 -91.4 0.8265 1.019

4 11113 -51.5 0.4655 0.3594

5 11094 -33.0 0.2981 0.1669

6 11084 -22.9 0.2070 0.09082 7 11078 -16.8 0.1521 0.05482 8 11074 -12.9 0.1165 0.03560

t%

∈ ∈_a%

(6)

Błąd bezwzględny metody z pojedynczym segmentem b a ), (

"

) f a b

E_t ( − ζ <ζ<

= 12

3

gdzie ζ jest punktem w [ ]^a^,^b

Błąd w metodzie złożonej (wielosegmentowej) jest sumą błędów dla każdego segmentu. Błąd pojedynczego segmentu wynosi:

[ ]

h a a ), (

"

a f ) h a

E ( + − ζ <ζ < +

= ³ ₁ ₁

1 12

) (

"

h f

1 3

12 ζ

=

Analiza błędu dla wzoru trapezów

Podobnie:

[a ih a i h] _f _a _i _h _a _ih

E_i= + − + − "(ζ_i), +(−1) <ζ_i< + 12

) ) 1 ( ( )

( ³

) (

"

h f ζi

=12

3

dla n:

[

{ }

]

b h ) n ( a ), (

"

h f ) n ( a

E_n b− + − ζ_n + − <ζ_n<

= 1

12 1 ³

) (

"

h f ζn

=12

3

Całkowity błąd w metodzie złożonej jest sumą błędów pojedynczych segmentów:

∑

=

= ⁿ

i i

t E

E

1

∑

= ζ

= ⁿ

i i) (

"

h f

1 3

12 n

) (

"

f

n ) a b (

n i

∑

i

=

− ζ

= ¹

2 3

12

Wyrażenie

n ) (

"

f

n i

∑

i

= ζ

1

jest przybliżoną średnią wartością drugiej pochodnej w przedziale

a < x < b

2

1 E_t∝αn

(7)

Poniższa tablica dla całki ³⁰∫^⎜_⎝^⎛ _⎢⎣^⎡ ₋ _⎥⎦^⎤⁻ ^⎟_⎠^⎞

8

8 2100 9 140000

140000

2000 .tdt

ln t

w funkcji liczby segmentów n. Widać, że gdy liczba segmentów jest podwajana, błąd Etzmniejsza się w przybliżeniu czterokrotnie.

Et ∈_t% ∈_a%

n Value

2 11266 -205 1.854 5.343

4 11113 -51.5 0.4655 0.3594

8 11074 -12.9 0.1165 0.03560

16 11065 -3.22 0.02913 0.00401

Całkowanie metodą Romberga

Metoda Romberga jest rozszerzeniem metody trapezów i daje lepsze przybliżenie całki poprzez zasadniczą redukcję błędu (true error)

n2

E_t≅C

n

t TV I

E = −

Ekstrapolacja Richardsona

Błąd (Ettrue error) w n-segmentowym wzorze trapezów wynosi

gdzie C jest współczynnikiem proporcjonalności Stąd:

wartość dokładna (true

value) wartość przybliżona np.

wyliczona ze wzoru trapezów (approximate value)

(8)

( )

n ^TV ^Iⁿ C

2 2

2 ≅ −

gdy segment zostaje zmniejszony o połowę

3

2

2 n n

n

I I I

TV −

+

≅

Ekstrapolacja Richardsona Można pokazać, że

Ze wzorów:

( )

n ^TV ^Iⁿ C₂≅ −

( )

n ^TV ^Iⁿ C

2 2

2 ≅ −

otrzymujemy:

t t t

v 9.8

2100 140000

140000 ln

2000 )

( ⎥⎦⎤−

⎢⎣⎡

Prędkość rakiety w przedziale czasu od t1=8 s do t2=30 s jest opisana wzorem:

a) Przy pomocy ekstrapolacji Richardsona znajdź przemieszczenie rakiety w tym przedziale czasu czyli ∆x=x(t2)-x(t1)

b) Wyznacz błąd względny odniesiony do wartości dokładnej (true relative error)

Przyjąć n=2

t%

∈ ∈_a%

n ∆x E_t

1 11868 -807 7.296 ---

2 11266 -205 1.853 5.343

3 11153 -91.4 0.8265 1.019

4 11113 -51.5 0.4655 0.3594

5 11094 -33.0 0.2981 0.1669

6 11084 -22.9 0.2070 0.09082 7 11078 -16.8 0.1521 0.05482 8 11074 -12.9 0.1165 0.03560 Tabela wyników ze złożonego wzoru trapezów

do n=8 segmentów

(9)

a)

m

I₂=11266 I₄=11113m

3

2

2 n n

n

I I I

TV −

+

≅ dlan=2

3

2 4 4

I I I

TV −

+

≅ 3

11266 11113

11113 −

+

=

11062m

=

b)

∫ ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥⎦⎤−

⎢⎣⎡

=³⁰ −

8

8 2100 9 140000

140000

2000 .t dt

ln t

x =11061m

Stąd

11062 11061−

t=

E ⁼⁻¹^m

Wartość dokładna to:

.

c) Błąd względny

11061 100 11062 11061− ×

=

∈t =0.00904%

n ∆x (m)

wzór

trapezów wzór trapezów

∆x (m)

ekstrapolacja

Richardsona ekstrapolacja Richardsona 1

2 4 8

11868 11266 11113 11074

7.296 1.854 0.4655 0.1165

-- 11065 11062 11061

-- 0.03616 0.009041 0.0000 Porównanie wyników z metodą złożoną trapezów

t%

∈ ∈_t%

(10)

Całkowanie metodą Romberga stosuje ten sam wzór co ekstrapolacja Richardsona. Jednakże, metoda Romberga jest to algorytm rekurencyjny.

Przypomnijmy:

3

2

2 n n

n

I I I

TV −

+

≅ Można zapisać

( )

3

2 2

2 n n

R n n

I I I

I −

+

= 4²¹ 1

2

2 −

+ −

= n ⁿ₋ ⁿ

I I I

Metoda Romberga

Wartość dokładna TV jest zastąpiona przez wynik całkowania metodą Richardsona

Znak jest zastąpiony przez znak równości.

( ) I

₂_n _R

≅

Estymowana wartość dokładna wynosi: TV≅

( )

I₂_n _R+Ch⁴ gdzie Ch⁴jest wartością błędu przybliżenia

Metoda Romberga

Następna wartość całki (podwajając liczbę segmentów) wynosi:

( )

3

2 4 4

4 n n

R n n

I I I

I −

+

=

Estymowana wartość dokładna wynosi teraz:

( ) ( ) ( )

15

2 4

4 nR nR

nR

I I I

TV≅ + −

( ) ( )

1 ) 4

(₄ ⁴ ₃₁ ²

− + −

= _n_R Iⁿ^R₋ Iⁿ^R I

1 2 4 ¹

1 1 1 1

1 ≥

− + −

= ₋ ₊ I ⁻ ⁺₋ I⁻ ,k I

I_k_,_j _k _,_j ^k ^,^j_k ^k ^,^j

Wskaźnikk reprezentuje rząd ekstrapolacji

k=1 odpowiada wartościom uzyskanym ze wzoru trapezów Ogólne wyrażenie w metodzie Romberga

Metoda Romberga

k=2 odpowiada wartościom uzyskanym z błędem O(h²) Wskaźnik j reprezentuje dokładność; j+1 daje całkę wyznaczoną dokładniej niż j

(11)

t t t

v 9.8

2100 140000

140000 ln

2000 )

( ⎥⎦⎤−

⎢⎣⎡

a) Przy pomocy wzoru Romberga znajdź przemieszczenie rakiety w tym przedziale czasu czyli ∆x=x(t₂)-x(t₁)

b) Wyznacz błąd względny odniesiony do wartości dokładnej (true relative error)

Przyjąć n=1, 2, 4, 8

Metoda Romberga

t%

∈ ∈_a%

Tabela wyników ze złożonego wzoru trapezów do n=8 segmentów

n ∆x E_t

1 11868 -807 7.296 ---

2 11266 -205 1.853 5.343

3 11153 -91.4 0.8265 1.019

4 11113 -51.5 0.4655 0.3594

5 11094 -33.0 0.2981 0.1669

6 11084 -22.9 0.2070 0.09082 7 11078 -16.8 0.1521 0.05482 8 11074 -12.9 0.1165 0.03560

Na podstawie tabeli odczytujemy:

11868

1 1_, =

I I1_,2=11266 11113

3 1_, =

I I1_,4=11074

Metoda Romberga

W pierwszym przybliżeniu:

3

1 1 2 1 2 1 1

2 , ,

, ,

I I I

I −

+

=

3 11868 11266 11266+ −

=

(12)

Podobnie,

3

2 , 1 3 , 1 3 , 1 2 , 2

I I I

I −

+

=

3 11266 11113 11113+ −

=

11062

=

3

3 , 1 4 , 1 4 , 1 3 , 2

I I I

I −

+

=

3 11113 11074 11074+ −

=

11061

= Metoda Romberga

W drugim przybliżeniu,

15

1 2 2 2 2 2 1 3

, , , ,

I I I

I −

+

=

15 11065 11062 11062+ −

= 11062

= Podobnie,

15

2 , 2 3 , 2 3 , 2 2 , 3

I I I

I −

+

=

15 11062 11061 11061+ −

= 11061

=

Metoda Romberga

Dla trzeciego rzędu,

63

1 3 2 3 2 3 1 4

, , , ,

I I I

I −

+

=

63 11062 11061 11061+ −

=

11061m

=

Metoda Romberga

(13)

Met.Numer. wykład 5 37 11868

11262 11113 11074

11065 11062 11061

11062 11061

11061 1-segment

2-segment 4-segment 8-segment

Rząd 1 Rząd 2 Rząd 3

Poprawione wartości całki metodą Romberga Metoda Romberga

Metoda Simpsona

Metoda trapezów była oparta na przybliżeniu funkcji podcałkowej f(x) wielomianem stopnia pierwszego.

W metodzie Simpsona wykorzystuje się wielomiany stopnia drugiego, jest to tzw. metoda parabol.

∫

∫ ^≈

= ^b

a b

a

dx ) x ( f dx ) x ( f

I ₂

gdzie:

2 2 1 0

2(x) a ax a x

f = + +

X Y

f(x)

a b

fI(x)

Metoda Simpsona Równanie paraboli dla 3

punktów:

)), a ( f , a (

b , f a b,

a ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

2 2

)) b ( f , b (

2 2 1 0

2(a) a aa aa f

) a (

f = = + +

2 2 1

0

2 2 2 2

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + a b

b a a a b a f a b f a

2 2 1 0

2(b) a ab ab f

) b (

f = = + +

(14)

Metoda Simpsona

2 2

0 2

4 2 b ab a

) a ( f b ) a ( b abf abf a ) b ( abf ) b ( f a

a − +

+

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ + +

=

2 1 2

2

4 2 3 2 3

4

b ab a

) b ( b bf bf a ) a ( bf ) b ( b af af a ) a ( af

a − +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ + +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

−

=

2 2 2

2 2 2 2

b ab a

) b ( b f f a ) a ( f

a − +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

=

Wyznaczone współczynniki funkcji f2(x) to:

Metoda Simpsona

≈^b∫

a

dx ) x ( f

I ₂

( )

∫ ⁺ ⁺

=^b

a

dx x a x a

a₀ ₁ ₂ ²

b

a

a x a x x

a ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + +

= 2 3

3 2 2 1 0

3 2

3 3 2 2 2 1 0

a a b a a b ) a b (

a − + − + −

= Wówczas:

Metoda Simpsona

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

= −

∫

^f ⁽^x⁾^dx ^b â ^f⁽â⁾ ^f â ^b ^f⁽^b⁾

b

a 4 2

2 6

2 a h b −

=

Co daje:

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

∫

^b^f²⁽^x⁾^dx=^h₃ ^f⁽^a⁾ ⁴^f ^a₂^b ^f⁽^b⁾

a

wzór parabol

(15)

Metoda Simpsona w wersji złożonej

) ...

x ( f ) x ( f ) x ( ) f x x ( dx ) x ( f

b

a

⎥⎦+

⎢⎣ ⎤

⎡ + +

−

∫ = 2 0 ⁰ ⁴ ₆¹ ²

) ...

x ( f ) x ( f ) x ( ) f x x

( ⎥⎦⎤+

⎢⎣⎡ + +

−

+ 6

4 3 4

2 2 4

f(x)

. . .

x0 x2 xn-2 xn

x

...

dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f

x

x x

x b

a

+ +

=∫ ∫

∫ ⁴

2 2

0

∫

−

+

+ ⁿ

n n

n

x

x x

x

dx ) x ( f dx ) x ( f ....

2 2

4

) ...

x ( f ) x ( f ) x ( ) f x x (

... _n _n ⁿ ⁿ ⁿ +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + +

−

+ ₋ ₋ ⁻ ⁻ ⁻

6

4 ₃ ₂

4 4 2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + +

−

+ ₋ ⁻ ⁻

6

4 1

2 2

) x ( f ) x ( f ) x ( ) f x x

( _n _n ⁿ ⁿ ⁿ

h x x_i− _i₋2=2

n ..., , , i=24

Metoda Simpsona ) ...

x ( f ) x ( f ) x ( h f dx ) x ( f

b

a

⎥⎦+

⎢⎣ ⎤

⎡ + +

∫ =² ⁰ ⁴ ₆¹ ²

) ...

x ( f ) x ( f ) x (

h f ⎥⎦⎤+

⎢⎣⎡ + +

+ 6

2 ² 4 ³ ⁴

) ...

x ( f ) x ( f ) x (

h f ⁿ ⁿ ⁿ ⎥⎦⎤+

⎢⎣⎡ + +

+ ⁻ ⁻ ⁻

6

2 ⁴ 4 ³ ²

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + +

+ ⁻ ⁻

6

2 f(x ²) 4f(x ¹) f(x )

h ⁿ ⁿ ⁿ

Metoda Simpsona

∫

b

a

dx ) x (

f h

[

f(x )

{

f(x) f(x ) ... f(x )

}

...

]

n +

+ + + +

= ₀ 4 ₁ ₃ ₋₁

3

{

( ) ( ) ... ( )

}

( )}]

2

...+ f x₂ +f x₄ + +f xn₋₂ +f xn

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+ +

+

= ∑ ∑⁻

==

−

== ( ) 2 ( ) ( )

4 ) 3 (

2 2 1

0 1 n

n

even i

i i n

odd i

i

i f x f x

x f x h f

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+ +

− +

= ∑ ∑⁻

==

−

== ( ) 2 ( ) ( )

4 ) 3 (

2 2 1

0 1 n

n

even i

i i

n

odd i

i f xi f x f x

x n f

a b

(16)

Wartości przybliżone

przykładu stosując regułę 1/3 Simpsona z wieloma segmentami

n Wartość przybliżona E_t |Єt| 2

4 6 8 10

11065.72 11061.64 11061.40 11061.35 11061.34

4.38 0.30 0.06 0.01 0.00

0.0396%

0.0027%

0.0005%

0.0001%

0.0000%

Metoda Simpsona – analiza błędu

Błąd dla jednego segmentu b a f a b

E_t − ζ <ζ<

−

= ( ),

2880 ) ( 5 (4)

) ( ) f x x

E ( ⁽⁴⁾ ₁

5 0

1=− 22880− ζ h f₍ ₎( ),

1 5 4

90 ζ

−

=

) ( ) f x x

E ( ⁽⁴⁾ ₂

5 2

2=− 42880− ζ h f₍ ₎( ),

2 5 4

90 ζ

−

=

2 1

0 x

x <ζ <

4 2

2 x

x <ζ <

Błąd w metodzie wielosegmentowej

) ( ) f x x

E_i ( ⁱ− ⁽ⁱ ⁾ ⁽ ⁾ ζ_i

−

= ² ² ⁻¹ ⁵ ⁴

2880 h f ( ),

i )

( ζ

−

= ⁵ ⁴

90 x₂⁽ⁱ₋₁⁾<ζⁱ<x₂ⁱ

Całkowity błąd

∑=

= ²

1 n

i i

t E

E ∑

= ζ

−

= ²

1 ) 4 5 (

) 90 (

n

i f i

h ∑

= ζ

− −

= ²

1 ) 4 ( 5

5

) 90 (

)

( ⁿ

i f i

n a b

n f n

a b

n

i i

∑= ζ

− −

=

2 1

) 4 ( 4

5 ( )

90 ) (

) 4 ( 4

5

90 )

( f

n a Et b

− −

=

średnia wartość pochodnej n

f f

n

i

∑ i

= ζ

=

2 1

) 4 ( ) 4

( ( )

(17)

Metoda Gaussa

=

∫

^b

a

dx ) x ( f

I ≈c₁f(x₁)+c₂f(x₂) Całkę metodą kwadratury Gaussa przedstawia wzór:

Punkty x₁i x₂, w których określamy wartość funkcji podcałkowej nie są ustalone (jak poprzednio na granicach przedziału czyli a i b), ale są a priori dowolnie rozmieszczone w przedziale <a,b>.

stałe współczynniki

Metoda Gaussa

. x a x a x a a ) x (

f = ₀+ ₁ + ₂ ²+ ₃ ³

( )

∫

∫ ⁼^b ⁺ ⁺ ⁺

a b

a

dx x a x a x a a dx ) x (

f ₀ ₁ ₂ ² ₃ ³

b

a

a x a x a x x

a ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + + +

= 2 3 4

4 3 3 2 2 1 0

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

−

= 2 3 4

4 4 3 3 3 2 2 2 1 0

a a b a a b a a b a b a

Niewiadome x₁, x₂, c₁, c₂znajduje się zakładając, że funkcja podcałkowa spełnia warunek:

Metoda Gaussa

( ) (

3 2³

)

2 2 2 2 1 0 2 3 1 3 2 1 2 1 1 0

1a ax ax ax c a ax ax ax

c dx ) x ( f

b

a

+ + + + + + +

∫ =

( ) ( ) ( ) (

2 2³

)

3 1 1 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1

0c c a cx cx a cx cx a cx cx

a + + + + + + +

=

∫

^b

a

dx ) x ( f

I ≈c₁f(x₁)+c₂f(x₂)

( )

∫

∫ ⁼^b ⁺ ⁺ ⁺

a b

a

dx x a x a x a a dx ) x (

f ₀ ₁ ₂ ² ₃ ³

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

−

= 2 3 4

4 4 3 3 3 2 2 2 1 0

a a b a a b a a b a b a z jednej strony

z drugiej strony

(18)

Metoda Gaussa

2 1 c c a

b− = +

2 2 1 1 2 2

2a cx c x

b − = +

2 2 2 2 1 1 3 3

3a cx cx

b − = + ₃

2 2 3 1 1 4 4

4a cx cx

b − = +

( ) ( ) ( ) (

2 2³

)

3 1 1 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1

0c c a cx cx a cx cx a cx cx

a + + + + + + +

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

−

= 2 3 4

4 4 3 3 3 2 2 2 1 0

a a b a a b a a b a b a

Metoda Gaussa

1 2 a

c =b− ² 2

a c =b− 2

3 1

1 2

a b a

x b ⎟+ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ − 3 2

1

2 2

a b a

x b ⎟+ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ − Rozwiązując układ równań:

2

1 c

c a b− = +

2 2 1 1 2 2

2a cx cx

b − = +

2 2 2 2 1 1 3 3

3a cx cx

b − = +

3 2 2 3 1 1 4 4

4a cx cx

b − = +

otrzymujemy dla metody dwupunktowej:

Metoda Gaussa

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟+ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− + −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟+ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

−

= −

+

∫

≈

2 3 1 2 2 2 3 1 2 2

)

( ₁ ₁ ₂ ₂

a b a f b a b a b a

f b a b

x f c x f c dx x f

b

a

W dwu-punktowej metodzie Gaussa, całka funkcji f(x) wyraża się wzorem:

) x ( f c . . . . . . . ) x ( f c ) x ( f c dx ) x (

f n n

b a

+ +

+

∫ ≈ 1 1 2 2

Uogólniając dla n punktów:

(19)

∫ ∑

−¹ ≅ =

1 1

n i

i ig(x ) c dx ) x ( g

n współczynniki argumenty funkcji 2 c1= 1.000000000

c2= 1.000000000 x1= -0.577350269 x2= 0.577350269 3 c1= 0.555555556

c2= 0.888888889 c3= 0.555555556

x1= -0.774596669 x2= 0.000000000 x3= 0.774596669 4 c1= 0.347854845

c2= 0.652145155 c3= 0.652145155 c4= 0.347854845

x1= -0.861136312 x2= -0.339981044 x3= 0.339981044 x4= 0.861136312

Metoda Gaussa

W n-punktowej metodzie Gaussa, współczynniki c_ioraz argumenty x_isą stabelaryzowane dla całek w granicach od -1 do 1

n współczynniki argumenty funkcji

5 c1= 0.236926885 c₂= 0.478628670 c₃= 0.568888889 c₄= 0.478628670 c₅= 0.236926885

x1= -0.906179846 x₂= -0.538469310 x₃= 0.000000000 x₄= 0.538469310 x₅= 0.906179846 6 c₁= 0.171324492

c₂= 0.360761573 c₃= 0.467913935 c4= 0.467913935 c5= 0.360761573 c₆= 0.171324492

x₁= -0.932469514 x₂= -0.661209386 x₃= -0.2386191860 x4= 0.2386191860 x5= 0.661209386 x₆= 0.932469514

Metoda Gaussa

Jeżeli dane są w tablicach dla ∫

− 1 1

dx ) x (

g to jak obliczamy

∫

b

a

dx ) x (

f ?

Granice całkowania

[ ]

a,b należy zamienić na

[

−1,1

]

Niech x=mt+c Dla x=a, t=−1

, b x=

Dla t= 1

Wynika stąd, że:

2 a m b−

= Metoda Gaussa

2 a c=b+