Nierówności
1.Udowodnić, że dla każdych a, b > 0 zachodzi 2√
a+ 3√3
b 5√5 ab 2.Udowodnić, że jeśli abc = 1, to
(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) 27
3.Udowodnić, że dla każdych a, b, c > 0 dla których a2+ b2+ c2 = 8 zachodzi
a3+ b3+ c3 16
s2 3 4.Udowodnić, że dla dowolnych a, b, c, d > 0 zachodzi
1 a +1
b +4 c +16
d 64
a+ b + c + d
5.Niech n 1 be,dzie liczba,całkowita,dodatnia,. Udowodnij, że dla każdych liczb rzeczywi- stych dodatnich x1, x2, . . . , xn zachodzi nierówność:
n
X
i=1
4i−1
xi (2n− 1)2
Pn i=1xi . 6.Udowodnić, że dla dowolnego n ∈ N zachodzi
2n + 1 3
n(n+1) 2 >
n
Y
i=2
ii >
n+ 1 2
n(n+1) 2
7.Udowodnić, że jeśli a, b, c, x, y, z > 0, to a3
x + b3 y +c3
z (a + b + c)3 3(x + y + z) 8.Udowodnij, że jeśli a, b, c, d > 0 i abcd = 4, to
√1
ab+ 1
√bc + 1
√ac+ 1
√ad + 1
√bd+ 1
√cd ¬ 3
4(a + b + c + d) 9.Udowodnij, że dla dowolnych x, y, z ∈ R zachodzi
sin x sin y sin z + cos x cos y cos z ¬ 1
10.Udowodnić, że jeśli a, b, c sa,długościami boków trójka,ta, to:
3 2 ¬ a
b+ c + b
c+ a + c a+ b <2 1
a +1 b +1
c ¬ 1
a+ b − c + 1
a − b + c + 1
−a + b + c
√a+ b − c +√
a − b + c +√
−a + b + c ¬√ a+√
b+√ c
√a(a + c − b) +√
b(a + b − c) +√
c(b + c − a) ¬ q(a2+ b2+ c2)(a + b + c)
√a+√1
b −√c+ 1
√a −√
b+√c+ 1
−√a+√
b+√c 3(√ a+√
b+√ b) a+ b + c 11.Wykazać, że jeśli a, b, p, q > 0 i 1p + 1q = 1 to
ap p +bq
q ab
11.Udowodnić, że jeśli ai, bi, ci >0 dla i = 1, 2, 3, . . . , n to
n X
i=1
a3i
n X
i=1
b3i
n X
i=1
c3i
n X
i=1
aibici
3
12.Udowodnij, że jeśli a, b, c > 0 i a + b + c = 1, to ln(a5 + b5+ c5) ln(a7 + b7+ c7) 2
3 13.Udowodnić, że jeśli n ∈ N, to
n
q(n + 1)! − √n n! 1
