Lista 8. Nierówność Schwarza i inne Na tej liście obowiązuje a, b, c > 0, x, y, z ∈ R, n, m, k ∈ N.
Nierówność Schwarza.
1. Przekształć nierówności tak, by stały się oczywiste:
(a) x2+ 1 2x,
(b) 2x2+ 6xy + 7y2¬ 12x2+ 8y2, (c) a3+ 2 2a√
a, (d) 3x < x2+ 3.
2. Udowodnij nierówności (w miejsce ? wstaw coś najlepiej jak potrafisz):
(a) (x + y)2¬ 2(x2+ y2), (b) |2x + 3y| ¬√
13(x2+ y2)1/2, (c) (2x − 5y)2¬?(x2+ y2) , (d) (7x − 5y)2¬ 74(x2+ y2),
(e) (7x − 5y)2¬ 50(x2+ 25y2), (f) (8x − 15y)2¬ 29(16x2+ 9y2), (g) (5x + 6y)2¬ ? ( ? x2+ ? y2),
Niech teraz A, B, C oznaczają wektory na płaszczyźnie (np. A = (x1, y1), B = (x2, y2) dla x1, x2, y1, y2∈ R). Oznaczmy przez kAk =px21+ y12 długość wektora oraz przez A ◦ B = x1x2+ y1y2iloczyn skalarny.
αA oznacza wektor (αx1, αy1).
3. Zapisz kilka z nierówności z zadania 2 za pomocą norm i iloczynów skalarnych.
4. Udowodnij własności iloczynu skalarnego i normy:
(a) A ◦ A = kAk2 0, (b) kαAk = |α|kAk,
(c) A ◦ B = B ◦ A,
(d) A ◦ (B + C) = A ◦ B + A ◦ C, (e) (A + B) ◦ C = A ◦ C + B ◦ C, (f) (αA) ◦ B = αA ◦ B,
(g) A ◦ (αB) = αA ◦ B.
Spostrzeżenie: Wszystkie nierówności z zadania 2 są pewną wersją nierówności:
|A ◦ B|2¬ kAk2kBk2 dla pewnych wektorów A, B.
Twierdzenie (Nierówność Schwarza). Dla dowolnych x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn∈ R zachodzi:
|x1y1+ x2y2+ . . . + xnyn|2¬ x21+ x22+ . . . + x2n
y21+ y22+ . . . + yn2 . W dodatku rowność zachodzi dokładnie wtedy, gdy
(x1, x2, . . . , xn) = α(y1, y2, . . . , yn) dla pewnego α ∈ R.
5. Udowodnij bezpośrednio nierówność Schwarza dla n = 2 i n = 3.
6. Udowodnij bezpośrednio nierówność Schwarza dla dowolnego n.
7. Przypomnij sobie dowód nierówności Schwarza, który wykorzystywał własności iloczynu skalarnego:
(A + tB) ◦ (A + tB).
1
8. Udowodnij nierówność (x + 3y − z)2¬ 10(2x2+ y2+ 2z2). Czy może zajść równość?
9. Uzupełnij najlepiej nierówność (x + 2y − 6z)2¬?(3x2+ 5y2+ z2). Dla jakich liczb (x, y, z) zachodzi równość?
10. Znajdź maksymalną wartość wyrażenia 6x − 5y, jeśli wiadomo, że 9x2+ 7y2= 7.
11. Znajdź maksymalną wartość wyrażenia x − y + z, jeśli wiadomo, że x2+ 2y2+ 5z2= 8.
12. Znajdź minimalną wartość wyrażenia x − 2y + z + 3, jeśli wiadomo, że x2+ y2+ z2= 3.
13. Znajdź maksymalną i minimalną wartość wyrażenia 3x−2y+20z+5, jeśli wiadomo, że x2+y2+4z2= 5.
14. Udowodnij nierówność:
|x1+ x2+ . . . + xn| ¬ n(x21+√
2x22+ . . . +√ nx2n).
Inne nierówności.
15. Zapomnij o nierówności Schwarza i udowodnij:
(a) √1
k ¬ 3(√
k + 1 −√ k), (b) n ¬ 12[(n + 1)2− n2],
(c) k12 k1−k+11 .
16. Spójrz trochę wyżej i udowodnij:
(a) √1
1+√1
2+√1
3+ . . . + √1n ¬ 3√
n + 1 − 3, (b) 1 + 2 + 3 + . . . + n ¬ 12(n + 1)2−12,
(c) n12 +(n+1)1 2 +(n+2)1 2 + . . . +m12 n1 −m+11 . 17. Metodą z poprzedniego zadania ("teleskopowo") policz:
1 1 · 2+ 1
2 · 3+ 1
3 · 4+ . . . + 1 n(n + 1),
3
12· 22 + 5
22· 32 + 7
32· 42 + . . . + 2n + 1 n2(n + 1)2. 18. (Zadanie z innej beczki) Rozstrzygnij, czy prawdziwe są nierówności:
(a) a3+ 1 a, (b) a3+ a2 a,
(c) a3+ 1 a2, (d) 2x + 1x 3,
(e) x +x2 2, (f) x2+ y4 2xy.
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl
2
