Trygonometria - zadania dodatkowe
1. Udowodnij, że jeśli 𝛼, 𝛽, 𝛾 > 0 i 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 =𝜋2, to
tg𝛼 ∙ tg𝛽 + tg𝛽 ∙ tg𝛾 + tg𝛾 ∙ tg𝛼 = 1.
2. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste 𝑡 takie, że funkcja 𝑓(𝑥) = |sin 𝑡𝑥 + cos 𝑥| przyjmuje wartość 2.
3. Wykaż, że jeśli 𝛼, 𝛽, 𝛾 są miarami kątów trójkąta, to 1 ≤ cos 𝛼 + cos 𝛽 + cos 𝛾 ≤32.
4. Wykaż, że jeśli w trójkącie liczby tg𝛼, tg𝛽, tg𝛾 tworzą ciąg arytmetyczny, to liczby sin 2𝛼 , sin 2𝛽, sin 2𝛾 również tworzą ciąg arytmetyczny.
5. Oblicz wartość wyrażenia cos 20° ∙ cos 40° ∙ cos 80°.
6. Rozstrzygnij, czy liczba sin 𝜋
18∙ sin3𝜋
18∙ sin5𝜋
18∙ sin7𝜋
18∙ sin9𝜋
18 jest wymierna.
7. Dane są punkty 𝐴 i 𝐵 na brzegu basenu o kształcie koła. Sportowiec ma dotrzeć z punktu 𝐴 do punktu 𝐵 idąc wzdłuż brzegu basenu lub płynąc w basenie, może przy tym wielokrotnie zmieniać sposób poruszania się. Jak powinien poruszać się sportowiec, aby dotrzeć z punktu 𝐴 do punktu 𝐵 w najkrótszym czasie, o ile wiadomo, że porusza się on w wodzie dwa razy wolniej niż na lądzie.
8. Wykaż, że jeśli 𝛼, 𝛽, 𝛾 są kątami trójkąta, to sin 𝛼 + sin 𝛽 + sin 𝛾 < sin (𝛼 +𝛽
2) + sin (𝛽 +𝛾
2) + sin (𝛾 +𝛼 2).
9. Wykaż, że jeśli liczby 𝑎, 𝑏 są różne od zera, to funkcja 𝑓(𝑥) = 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 sin(√2𝑥) nie jest okresowa.
10. Wykaż, że jeśli 𝑎, 𝑏, 𝑐 są długościami boków trójkąta, a 𝛼, 𝛽, 𝛾 miarami jego przeciwległych kątów, to
𝜋
3≤𝑎𝛼 + 𝑏𝛽 + 𝑐𝛾 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≤𝜋
2.
11. Wykaż, że jeśli kąty 𝛼, 𝛽, 𝛾 trójkąta spełniają równanie cos 3𝛼 + cos 3𝛽 + cos 3𝛾 = 1, to jeden z tych kątów ma miarę 120°.
