ZESZYTY N A U K O W E POLITECH NIK I ŚLĄSKIEJ Seria: A U TO M A TY K A z. 134
2002 N r kol. 1554
Joanna JÓ ZEFO W SK A , M arek MIKA, Rafał RÓŻYCKI, Grzegorz W ALIGÓ RA, Jan W ĘGLARZ
Politechnika Poznańska
MAKSYMALIZACJA ZAKTUALIZOWANEJ WARTOŚCI NETTO W PROBLEMACH ROZDZIAŁU ZASOBÓW Z WIELOMA
SPOSOBAMI WYKONYWANIA CZYNNOŚCI
S treszczenie. W pracy rozw aża się problem rozdziału zasobów z w ielom a sposobami w ykonyw ania czynności. Z term inem zakończenia każdej czynności związany je st dodatni przepływ gotówkowy. Celem je s t znalezienie zasobowo i kolejnościowo dopuszczalnego uszeregowania, które maksym alizuje sum aryczną zaktualizow aną w artość netto w szystkich przepływów gotówkowych projektu. Zaproponowano dw a algorytm y m etaheurystyczne: algorytm symulowanego wyżarzania oraz algorytm przeszukiw ania tabu. Obszerny eksperyment obliczeniowy stanowi podstaw ę do porów nania obydwu algorytmów.
MAXIMIZING THE NET PRESENT VALUE IN THE MULTI-MODE RESOURCE-CONSTRAINED PROJECT SCHEDULING PROBLEM
S u m m a ry . In this paper the m ulti-m ode resource-constrained project scheduling problem w ith discounted cash flows is considered. A positive cash flow is associated w ith com pletion o f each activity. The objective is the m axim ization o f the net present value o f all cash flows, subject to precedence and resource constraints. Local search m etaheuristics: sim ulated annealing and tabu search are proposed to solve this problem . B oth algorithm s are com pared on the basis o f an extensive com putational experim ent.
1. Wprowadzenie
R ozw ażany je st problem rozdziału zasobów z w ielom a sposobam i wykonyw ania czynności i finansow ym kryterium szeregow ania w postaci zaktualizowanej w artości netto (NPV). Problem polega na znalezieniu zasobowo i kolejnościowo dopuszczalnego uszeregowania, dla którego, przy założonej stopie dyskontowej, N PV przedsięw zięcia osiąga
256 J. Józefowska, M . M ika, R. Różycki, G. W aligóra, J. Węglarz
w artość m aksym alną. A by wyznaczyć tę w ielkość, przyjęto kilka założeń. Z terminem zakończenia każdej czynności związano dodatnią wartość przepływ u gotówkowego.
W praktyce odpow iada to sytuacji, gdy po każdej zakończonej części projektu wykonawca otrzym uje zapłatę. W m odelu nie rozw aża się ujem nych wartości przepływ ów gotówkowych, co ■ w praktyce oznacza, że wykonywanie czynności projektu nie je s t zw iązane z żadnymi kosztam i ponoszonym i przez wykonawcę lub też koszty te s ą stałe i nie zależą od w ykonyw anych czynności. K olejnym założeniem je st uniezależnienie wielkości przepływ ów gotów kow ych od sposobów, jakim i te czynności są wykonywane, co wydaje się być słuszne z punktu w idzenia klienta. Ostatnim parametrem, jak i należy określić, jest w ielkość stopy dyskontowej. Przy tych założeniach celem je s t znalezienie takiego zestawu sposobów w ykonyw ania czynności oraz takich m om entów rozpoczęcia wykonywania czynności, dla których zaktualizow ana w artość netto dla całego projektu osiąga wartość m aksym alną, przy spełnieniu ograniczeń kolejnościowych i zasobowych. Problem ten jest oczyw iście N P-trudny, a ponadto dla więcej niż jednego zasobu nieodnawialnego problem znalezienia rozw iązania dopuszczalnego jest, ja k pokazano w [7], NP-zupełny. Z tego w zględu w celu rozw iązania problem u opracowano dw a algorytm y metaheurystyczne:
sym ulow ane w yżarzanie i przeszukiw anie tabu.
2. Sformułowanie problemu
R ozw ażany je st następujący problem . Dany je s t zbiór V składający się z n niepodzielnych czynności. Pom iędzy czynnościami ze zbioru V zachodzą ograniczenia kolejnościow e reprezentow ane przez graf ograniczeń kolejnościow ych G = (V, E), gdzie E je s t zbiorem relacji kolejnościowych. G raf G je s t grafem skierowanym, acyklicznym, bez luków przechodnich i je st przedstaw iany w reprezentacji w ierzchołkowej (czynności w w ierzchołkach grafu). Przyjm uje się, że w ierzchołki grafu s ą ponum erow ane w porządku topologicznym . K ażde ograniczenie kolejnościow e ze zbioru E je s t reprezentow ane w postaci i—>j, co oznacza, że wykonywanie czynności j nie m oże się rozpocząć przed zakończeniem czynności i. N iech Rp oznacza zbiór zasobów odnawialnych, a Rv zbiór zasobów nieodnaw ialnych. Liczność tych zbiorów wynosi odpowiednio R i N . Liczba jednostek zasobu odnaw ialnego k, k = l , 2 R, dostępnych w dowolnej chwili t, t = 0 , 1,2,...
w y n o siR ^ , a łączna liczba jednostek zasobu nieodnawialnego 1, 1 = 1 ,2 ,..., N, dostępnych
Maksymalizacja zaktualizowanej wartości netto... 257
przez cały czas realizacji przedsięw zięcia, wynosi R £ . K ażda czynność j , j e V , m usi być wykonana jednym z alternatywnych sposobów należących do zbioru Mj. Czynność j , j e V, wykonywana sposobem m , m e Mj, w ykorzystuje r j ^ jednostek zasobu odnawialnego k,
k = 1 ,2 ,..., R , i zużyw a rjlm jednostek zasobu nieodnawialnego 1, 1 = 1 ,2 ,. .., N , a czas jej wykonania tym sposobem wynosi pjm. Czynności s ą niepodzielne, a sposób ich wykonywania nie może ulec zm ianie, tj. je śli czynność j, j e V , zacznie się wykonywać sposobem m, m e Mj, to m usi być w ykonana do końca i bez przerw tym samym sposobem. Zakłada się, że wszystkie czynności oraz zasoby s ą dostępne od chwili 0. Ponadto, z zakończeniem każdej czynności j , j e V , zw iązany je st dodatni przepływ gotówkowy CFj. N iech STj oznacza moment rozpoczęcia wykonyw ania czynności j. Problem polega na znalezieniu zestaw u sposobów w ykonyw ania czynności oraz takich zasobowo i kolejnościowo dopuszczalnych terminów STj (j = 1 , 2 , . . . , n), dla których zaktualizow ana wartość netto projektu osiąga maksimum. W artość N PV je s t określona następującym wzorem:
gdzie r oznacza założoną w artość stopy dyskontowej.
3. Metaheurystyki
Do rozw iązyw ania rozważanego problem u zastosowano dw a podejścia metaheurystyczne: algorytm sym ulowanego w yżarzania oraz algorytm przeszukiw ania tabu.
podjęcia szeregu decyzji charakterystycznych dla danego podejścia. Decyzje te s ą opisane w dalszej części tego rozdziału: najpierw decyzje w spólne dotyczące obydwu algorytmów, następnie decyzje charakterystyczne odpow iednio dla symulowanego w yżarzania i przeszukiwania tabu.
3.1. E lem en ty w sp ó ln e
W tym punkcie przedstaw ione są te elementy metaheurystyk, które zostały identycznie opracowane w obydw u przypadkach.
n
O )
W obu przypadkach adaptacje algorytm ów na potrzeby rozważanego problem u w ymagały
258 J. Józefowska, M. M ika, R. Różycki, G. W aligóra, J. Węglarz
3.1.1. Przetw arzanie w stępne
Przetw arzanie w stępne je st pierw szą fazą algorytmu następującą po wczytaniu danych instancji problem u. T a iteracyjna procedura zaproponowana przez Sprechera i in. [10] służy zm niejszeniu przestrzeni rozw iązań w szędzie tam , gdzie to m ożliw e i polega n a usunięciu w szystkich niedopuszczalnych i nieefektywnych sposobów wykonywania czynności oraz redundantnych zasobów nieodnawialnych.
3.1.2. R eprezentacja rozw iązania i reguła dekodująca
W rozw ażanych im plem entacjach m etaheurystyk zbiór rozw iązań odpow iada zbiorowi rozw iązań dopuszczalnych kolejnościowo. W prezentow anych podejściach rozwiązania te reprezentow ane s ą p rzez dw ie n-elem entowe listy. Pierw sza je st kolejnościow o dopuszczalną p erm utacją czynności, w której każda czynność j e V nie m oże wystąpić ani przed żadnym ze sw oich poprzedników , ani po żadnym ze sw oich następników. Struktura ta nazywana jest L istą Czynności (LC). D rugą strukturę stanowi Lista Sposobów wykonywania czynności (LS), w której w artość w ystępująca na j-ej pozycji (j = 1 , 2 , . . . , n) odpow iada numerowi sposobu w ykonyw ania j-ej czynności. W celu przekształcenia przekształcenia rozwiązania postaci i = (LC, LS) w uszeregow anie dopuszczalne ze w zględu na ograniczenia kolejnościow e i zasoby odnaw ialne wykorzystano sekwencyjny schem at generacji uszeregow ania (SGS) [5]. R eguła ta gwarantuje zachow anie ograniczeń kolejnościowych, ja k i ograniczeń dotyczących zasobów odnawialnych, jednocześnie dopuszcza naruszenie ograniczeń dotyczących zasobów nieodnaw ialnych, gdyż taki przypadek je s t rozwiązywany przez w ykorzystanie funkcji kary opisanej w punkcie 3.1.4. Poniew aż w problem ie rozważane s ą w yłącznie dodatnie przepływ y gotów kowe, zastosow anie opisanej reguły dekodującej daje nam pew ność, że w śród rozw iązań generowanych przez metaheurystyki znajduje się rozw iązanie optym alne. Łatw o m ożna zauważyć, że rozpoczęcie wykonyw ania jakiejkolwiek czynności z pew nym opóźnieniem w stosunku do najwcześniejszego m ożliw ego terminu rozpoczęcia w ykonyw ania tej czynności dla danego dopuszczalnego kolejnościowo i zasobow o uszeregow ania prowadzi do pogorszenia w artości N PV .
3.1.3. Funkcje kary i celu
Funkcja kary służy do w ykrycia tych rozw iązań, w których dla co najmniej jednego zasobu nieodnaw ialnego je g o zużycie przekracza łączną liczbę jednostek tego zasobu.
R ozw iązanie takie je st oczywiście rozw iązaniem niedopuszczalnym ze względu
M aksymalizacja zaktualizowanej wartości netto... 259
na ograniczenia dotyczące zasobów nieodnawialnych. D la danego rozwiązania i = (LC, LS) funkcja kary dana je s t wzorem :
gdzie m je s t sposobem w ykonania czynności j określonym przez odpowiedni elem ent listy LS. Jeżeli PF(i) = 0, to m am y do czynienia z uszeregow aniem dopuszczalnym również ze względu na ograniczenia dotyczące zasobów nieodnawialnych. Funkcja kary je st obliczana dla każdego rozw iązania, dla którego obliczana je st funkcja celu. Funkcja celu je st obliczana dla każdego rozw iązania odw iedzonego w trakcie przeszukiwania. Dla danego rozwiązania i = (LC, LS) funkcja celu je s t zdefiniowana następującym wzorem:
gdzie T je s t kresem górnym długości uszeregow ania liczonym jako sum a czasów trwania wszystkich czynności wykonywanych najbardziej czasochłonnym sposobem. M omenty rozpoczęcia STj wykonywania czynności są określane podczas stosowania reguły dekodującej.
3.1.4. Rozw iązanie początkowe
R ozw iązanie początkow e je s t generowane w następujący sposób. Lista LC jest tworzona przez ustaw ienie wszystkich czynności w porządku rosnącym wynikającym z topologicznego uporządkow ania w ierzchołków w grafie G, a lista LS przez ustawienie sposobu w ykonyw ania w szystkich czynności na 1.
3.1.5. K ryterium stopu
K ryterium stopu je st zdefiniowane jako określona liczba odwiedzonych rozwiązań.
Decyzja taka podyktow ana je st w ymogam i eksperymentu obliczeniowego, tak by porównanie działania dw óch algorytm ów było m ożliw e i wiarygodne. Oczywiście, w przypadku algorytmu przeszukiw ania tabu odw iedzenie dokładnie założonej liczby rozw iązań je st raczej niemożliwe ze w zględu na założoną strukturę sąsiedztwa. W związku z tym algorytm ten kończy sw oje działanie bezpośrednio po iteracji, w której zostanie osiągnięta liczba
(2)
¿ C F / l + r P , gdy P F (i) = 0;
N P V (i) = (3)
^ C F j ■ (l + r ) ^T*rF^ w przeciwnym razie;
,-H )
260 J. Józefowska, M. M ika, R. Różycki, G. W aligóra, J. Węglarz
rozw iązań stanow iąca kryterium stopu. W artość kryterium stopu zależy od rozmiaru problem u i wynosi 12 000 • n, gdzie n stanowi liczbę czynności.
3.2. A lg o ry tm sym ulow anego w y ża rz an ia
A lgorytm sym ulowanego wyżarzania zaproponowany w 1983 przez K irkpatricka i in.
[6] je s t zaliczany zarówno do metaheurystyk lokalnego przeszukiw ania, ja k i algorytmów progowych. Jest rów nież postrzegany jako specjalny przypadek strategii typu First Fit, gdzie rozw iązanie sąsiednie je s t akceptowane z pew nym prawdopodobieństw em . W pracy zastosow ano je d n o ro d n ą w ersję algorytm u [9] symulowanego wyżarzania.
R ozw iązania sąsiednie w algorytmie symulowanego wyżarzania generowane są z rozw iązania bieżącego przy użyciu jednego z następujących trzech operatorów: przesunięcie czynności, zm iana sposobu wykonyw ania czynności oraz przejścia złożonego.
P rz esu n ię cie czynności (PC ) działa wyłącznie na liście LC i polega na: losow ym wyborze czynności j e V z listy LC; odnalezieniu na liście LC najbliższych: poprzednika p i następnika s czynności j; losowym w yborze pozycji x m iędzy czynnościami p i s; przesunięciu czynności j na pozycję x. Z m ia n a sp o so b u w y k o n y w an ia czynności (ZS) działa w yłącznie na liście LS i polega na: losowym w yborze pozycji y z listy M A; o ile to m ożliw e, zm ianie sposobu w ykonyw ania czynności y na inny losowo wybrany. P rz ejśc ie złożone (PZ ) działa jednocześnie na obu listach i je st połączeniem obu wyżej w ym ienionych operatorów.
W ybór odpow iedniego operatora odbywa się drogą losow ą z określonymi praw dopodobieństw am i, które w ynoszą odpowiednio:
Praw dopodobieństw o dla operatora P Z je st zawsze stałe bez w zględu na rozmiar oraz instancję problem u. Prawdopodobieństw a dla operatorów PC i ZS zależą od gęstości grafu G = (V, E) zgodnie z przedstaw ionym powyżej w zorem , gdzie |A| oznacza liczność zbioru łuków A w dom knięciu przechodnim grafu G. Do sterow ania przebiegiem procesu przeszukiw ania zastosow ano „w ielom ianowy” adaptacyjny schem at chłodzenia opisany w [1], Jedynym w yjątkiem je st zastosow anie innego kryterium stopu.
Ppz 0.1; Ppc =
\A
; Pzs- 0-9 —Ppc- (4)
M aksym alizacja zaktualizow anej wartości netto... 261
3.3. A lg o ry tm p rz e sz u k iw a n ia ta b u
Zaproponow any przez G lovera [2,3,4], działający w deterministyczny sposób, algorytm przeszukiw ania tabu próbuje naśladow ać model ludzkiej pamięci.
R ozw iązania sąsiednie s ą generowane z rozw iązania bieżącego przy’ użyciu jednego z dwóch operatorów : zam iany czynności i w ym iany sposobu wykonywania czynności.
Z am ian a czynności (ZC ) polega na zam ianie m iejscam i n a liście LC każdych dw óch czynności, d la których taka operacja nie spowoduje naruszenia ograniczeń kolejnościowychl W ym ian a sp o so b u w y k o n y w an ia czynności (W S) polega na zm ianie dla każdej czynności sposobu w ykonyw ania tej czynności na każdy inny ze zbioru sposobów wykonywania tej czynności. W efekcie zastosow ania tych dw óch operatorów otrzymujemy sąsiedztwo składające się z rozw iązań, które ró żn ią się od rozw iązania bieżącego albo dw iem a pozycjami na liście LC, albo je d n ą na liście LS. Przejścia reprezentowane są jako trójki (nr pozycji na liście LC, nr czynności zastępow anej, nr czynności zastępującej) dla operatora ZC oraz (num er pozycji na liście LC, zastępowany sposób, zastępujący sposób) dla operatora WS. W obydw u przypadkach ruch odwrotny, który trafia na listę tabu, składa się z dwóch pierwszych elem entów każdej trójki. Lista tabu (LT) o długości 7 zarządzana je st według m echanizm u TN M . Dodatkow o zastosowano kryterium aspiracji, które um ożliw ia przejście do rozw iązania zabronionego, o ile reprezentuje ono rozw iązanie o wartości funkcji celu lepszej od najlepszego znalezionego do tej pory. Jeżeli nie m ożna przejść do żadnego z w ygenerow anych rozw iązań sąsiednich łub gdy przez kolejnych 20 iteracji nie następuje poprawa w artości funkcji celu, następuje restart, który pow oduje rozpoczęcie poszukiw ań w innym obszarze. N ow e rozw iązanie bieżące zbudow ane je st przez losow e wygenerowanie listy LS, a lista LC je st generowana w taki sam sposób ja k w rozw iązaniu startowym , lista tabu je s t czyszczona, a licznik iteracji bez poprawy je st zerowany.
4. Eksperyment obliczeniowy
Jakość obydw u opracowanych algorytm ów porównano na drodze eksperymentu obliczeniow ego, który został opracowany na podstawie zbiorów danych testowych znajdujących się w internetowej bibliotece PSPLIB [8]. W ykorzystano następujące zbiory instancji dostępne w PSPLIB: J10, J12, J14, J16, J18, J20, J30. Poniew aż instancje ze zbiorów dostępnych w PSPLIB nie zaw ierają żadnych danych dotyczących przepływów
262 J. Józefowska, M. M ika, R. Różycki, G. W aligóra, J. W ęglarz
gotów kow ych, dla każdej instancji wygenerowano losowo wartości przepływów gotów kow ych każdej czynności z przedziału [0,1000] zgodnie z rozkładem równomiernym.
Przyjęto ponadto, że w artość stopy dyskontowej r = 0.2.
O bliczenia przeprow adzono w Poznańskim Centrum Superkom puterowo Sieciowym na kom puterze SGI Pow erC hallenge X L wyposażonym w 12 procesorów RISC 8000.
W tabeli 1 przedstaw iono wyniki eksperymentu. D la każdego zbioru instancji określono następujące parametry: liczbę czynności (n); liczbę przetestowanych instancji (LPI) z danego zbioru danych; liczbę instancji (#), w których dany algorytm znalazł rozw iązanie nie gorsze od rozw iązania znalezionego przez drugi algorytm; średnie (ŚW O) oraz m aksym alne (MWO) w zględne odchylenie od najlepszego znalezionego rozw iązania wyrażone w procentach
Tabela 1 W yniki eksperym entu obliczeniowego
Zbiór instancji Symulowane w yżarzanie Przeszukiw anie tabu
n LPI # SWO MW O # SWO MW O
10 536 147 0.71 11.17 185 0.16 5.82
12 547 176 0.88 11.64 198 0.16 4.08
14 551 244 0.82 14.78 203 0.24 4.36
16 550 320 0.82 12.60 192 0.37 3.72
18 552 350 0.86 12.30 190 0.50 3.59
20 554 381 0.69 11.40 171 0.60 6.07
30 550 355 0.97 14.19 195 0.82 6.20
O trzym ane wyniki w skazują, że obydwa algorytmy zachow ują się rów nie dobrze w poszukiw aniu optym alnych rozw iązań dla rozważanego problem u. W przypadku algorytmu sym ulow anego w yżarzania m ożna zauważyć, że inaczej niż w algorytmie przeszukiwania tabu liczba najlepszych znalezionych rozw iązań rośnie z rozm iarem problem u. Jednakże niew iele zm ieniające się w raz ze w zrostem liczby czynności średnie i m aksym alne względne odchylenia od najlepszego znalezionego rozw iązania są znacznie gorsze niż w przypadku algorytm u przeszukiw ania tabu. D la algorytm u przeszukiw ania tabu średnie względne odchylenie od najlepszego znalezionego rozw iązania w zrasta w raz ze w zrostem rozmiaru problem u, podczas gdy m aksym alne w zględne odchylenie od najlepszego znalezionego rozw iązania w zasadzie od niego nie zależy. Ponadto w artość ŚW O m niejsza niż 1%
św iadczy o tym, że w przypadku gdy algorytm znalazł rozw iązanie gorsze od najlepszego znanego, to z reguły je st ono nieznacznie gorsze.
Maksymalizacja zaktualizowanej wartości netto.. 263
5. Podsumowanie
W pracy przedstaw iono problem u rozdziału zasobów z w ielom a sposobami wykonywania czynności, w którym z zakończeniem każdej czynności związany był pewien dodatni przepływ gotówkowy. Celem było znalezienie dopuszczalnego zasobowo ikolejnościowo uszeregow ania, dla którego zaktualizowana wartość netto całego projektu osiąga w artość m aksym alną. Do rozw iązania tego NP-trudnego problem u zaproponowano dwie m etaheurystyki lokalnego przeszukiwania: algorytm symulowanego wyżarzania i algorytm przeszukiw ania tabu. Jakość obu algorytm ów została zweryfikowana na podstawie obszernego eksperym entu obliczeniowego opartego na zbiorach instancji testowych dostępnych w bibliotece PSPLIB. Otrzym ane wyniki potwierdziły, że prezentow ane adaptacje obydwu algorytm ów m o g ą być z pow odzeniem stosowane do rozw iązyw ania rozważanej klasy problem ów rozdziału zasobów.
LITERATURA
1. Aarts E., K orst J.: Sim ulated annealing and Boltzm ann machines: A stochastic approach to com binatorial optim ization and neural computing, Wiley, Chichester, 1989.
2. Glover F.: Future path for integer program m ing and links to artificial intelligence.
Computers & O perations Research, 13, 1986, 533-549.
3. Glover F .: T abu search - part 1. ORS A Journal o f Computing, 1, 1989, 190-206.
4. Glover F.: T abu search - part 2. ORSA Journal o f Computing, 2 ,1 9 9 0 ,4 -2 3 .
5. Kelley J.: Industrial scheduling (J.F. M uth i G.L. Thom pson -re d .), Prentice-Hall, 1963, 347-365.
6. Kirkpatrick S., G elatt Jr. C.D., Vecchi M.P.: Optimization by sim ulated annealing.
Science, 2 2 0 ,1 9 8 3 , 671-680.
7. Kolisch R.: Serial and parallel resource-constrained project scheduling m ethods revisited:
Theory and com putation. European Journal o f Operational Research, 9 0 ,1 9 9 6 ,3 2 0 -3 3 3 . 8. Kolisch R., Sprecher A.: PSPLIB - a project scheduling problem library. European Journal
of O perational Research, 96, 1996,205-216.
9. van Laarhoven P., Aarts E..: Sim ulated annealing: Theory and applications, Reidel, Dordrecht, 1987.
10. Sprecher A., H artm ann S., Drexl A.: An exact algorithm for project scheduling w ith multiple m odes. O R Spektrum, 19, 1997,195-203.
Recenzent: D r hab. inż. Eugeniusz N ow icki
264 J. Józefowska, M . M ika, R. Różycki, G. W aligóra, J. Węglan
A b s tra c t
In this paper the m ulti-m ode resource-constrained project scheduling problem with discounted cash flows (M RC PSPD CF) is considered. A positive cash flow is associated with the com pletion o f each activity. The objective is to find a schedule w hich m axim izes the net present value o f all cash flows subject to precedence and resource constraints. Two local search m etaheuristics: sim ulated annealing and tabu search are proposed to solve this problem . In both algorithm s a feasible solution is represented as two lists: a precedence feasible list o f activities and a m ode assignm ent list. The perform ance o f considered algorithm s is analyzed on the basis o f an extensive com putational experim ent on a set of standard benchm ark problem s constructed using the ProG en project generator, where the values o f the cash flow s associated w ith each activity are generated random ly according the uniform distribution. The obtained results are used to com pare considered algorithms and show that the num ber o f best solutions found is growing w ith the num ber o f activities for sim ulated annealing and rem ain at the same level for tabu search. The average and the m axim al relative deviation from the best solution know n rem ain at the same level for sim ulated annealing but for tabu search the average relative deviation from the best solution know n grow w ith the problem size.
