GAL (I INF) Zadania domowe 8
termin: 19.01.2010 Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow
1. Znajd´z baze obrazu i j֒ adra przekszta lcenia liniowego f : R֒ 3→R4 danego wzorem
f
x1
x2
x3
=
4x1+ 3x2+ 5x3
x1+ 2x2+ x3
2x1−x2+ 3x3
6x1+ 7x2+ 7x3
.
2. Rozpatrzmy przekszta lcenie liniowe f : R3→R2 dane wzorem
f
x1
x2
x3
=
x1+ 3x2+ x3
4x1+ x2−x3
.
Znajd´z macierz przekszta lcenia f w bazach
A =
1
−1 1
,
0 1 2
,
1 0 1
, B =
3 1
,
1 0
.
3. Dla f : R3→R2,
f
x1
x2
x3
=
x1−x2+ 2x3
3x1+ x2+ x3
,
znajd´z bazy A w R3 oraz B w R2 w kt´orych macierza przekszta lcenia f jest֒
1 1 1 2 0 1
.
4. Znajd´z macierz F przekszta lcenia liniowego f : P|Rn → P|Rn danego wzorem f (p) = p(k) (k-ta pochodna, gdzie k ≥ 0) w bazie kanonicznej [1, t, t2, . . . , tn−1]. Jaki jest rzad macierzy F ?֒
5. Niech f : X → Y i g : Y → Z bed֒ a pewnymi przekszta lceniami liniowymi, kt´orych macierze w֒ pewnych bazach A, B, C przestrzeni X , Y, Z wynosza odpowiednio֒
2 1 4 5 1 0 1 3
i
3 1 2 5 0 1
.
Niech x ∈ X ma w bazie A wsp´o lrzedne 1, −1, 3, −2. Znajd´z wsp´֒ o lrzedne wektora f (x) w bazie B֒ oraz wektora (g ◦ f )(x) w bazie C.
6. Niech f : P|R3 → P|R3 bedzie przekszta lceniem liniowym, kt´orego macierz w bazie pot֒ egowej (1, t, t֒ 2) wynosi
2 0 2 0 2 0 0 0 2
. Znajd´z macierz tego przekszta lcenia w bazie Lagrange’a
pi(t) =
3
Y
i6=j=1
t − tj
ti−tj
, i= 1, 2, 3,
gdzie (t1, t2, t3) = (−1, 0, 1).
1
7. Niech f : R3→R3 bedzie przekszta lceniem liniowym, kt´orego macierz w bazach odpowiednio֒
3 1 1
,
1 0 0
,
5 1 0
oraz
3 4 5
,
4 1 1
,
2 0 1
wynosi
F =
1 1 4 2 1 3 0 1 1
. Czy
f
x1
x2
x3
=
9x1−19x2+ 3x3
5x1−6x2−3x3
7x1−11x2−3x3
?
