2 Przekszta lcenia zachowuja

GAL z F 2018

31.5.2018

Notatki zawieraja_,odsy lacze do podre_,cznik´ow [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toru´nczyk.

[Kos roz. 3], [Tor V].

1 Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe [Kos roz 3, §1]

1.1 Ortogonalizacja Grama-Schmidta w cze_,´sci o formach dwuliniowych.

1.2 Iloczyn skalarny (−, −) : V × V →R 1) (α, β) = (β, α)

2) (a₁α₁+ a₂α₂, β) = (a₁α₁, β) + (a₂α₂, β) 3) (α, α) ≥ 0 oraz (α, α) = 0 ⇒ α = 0

1.3 Norma, formalne w lasno´sci normy:

A) ||α|| ≥ 0 oraz ||α|| = 0 ⇒ α = 0 B) ||aα|| = |a| ||α||

C) ||α + β|| ≤ ||α|| + ||β|| (nier´owno´s´c tr´ojka_,ta).

1.4 Je´sli dany jest iloczyn skalarny, to definiujemy ||α|| =p(α, α).

1.5 Sa_,normy nie pochodza_,ce od iloczyn´ow skalarnych, np w _Rⁿ

• ||(x₁, x₂, . . . , x_n)||_p = (Pn

i=1|x_i|^p)^1/p dla 1 ≤ p < ∞,

• ||(x₁, x₂, . . . , x_n)||∞= sup_i{|x_i|}.

1.6 W lasno´s´c C) jest r´ownowa˙zna nier´owno´sci Schwartza: |(α, β)| ≤ ||α|| · ||β||.

Dow: Rozwa˙zy´c funkcje_,kwadratowa_,t 7→ ||α + tβ||²≥ 0, dla kt´orej wyr´o˙znik jest ≤ 0.

1.7 ´Cwiczenie: Norma w przestrzeni `^p, p 6= 2 nie pochodzi od iloczynu skalarnego.

1.8 Definicja cos(](α, β)) i | sin(](α, β))|.

1.9 Twierdzenie kosinus´ow ||α + β||² = ||α||²+ 2 cos ](α, β))||α|| ||β|| + ||β||². 1.10 Je´sli baza A = {α1, α2, . . . , αn} jest ortonormalna to dla dowolnego β ∈ V

β =

n

X

i=1

(β, α_i)α_i. a gdy jest bazaa_,ortogonalna_,to

β =

n

X

i=1

(β, α_i) (αi, αi)αi.

1.11 Ka˙zdy uk lad niezerowych wektor´ow parami ortogonalnych mo˙zna uzupe lni´c do bazy ortogonal- nej w przestrzeni sko´nczenie wymiarowej.

(Powy˙zsze twierdzenie nie jest prawdziwe w przestrzen niesko´nczenie wymiarowej, patrz uk lady zupe lne.)

1.12 Wa˙zny przyk lad: V = C(S¹) z iloczynem skalarnym (f, g) =R2π

0 f (t)g(t)dt, podprzestrze´n W = Wielomiany trygonometryczne. Baza_,ortogonalna_,W sa_,funkcje 1, sin(nt), cos(nt) dla n ∈N+. Ponadto W^⊥ = {0} (patrz tw Stone’a-Weierstrassa) Otrzymujemy przyk lad zupe lnego uk ladu wektor´ow, kt´ory nie jest baza_,w sensie algebry liniowej.

1.13 Z ka˙zda_,funkcja_,ca lkowalna_,(w sensie Lebesgue’a) stowarzyszamy szereg

a +

∞

X

n=1

b_ncos(nt) + c_nsin(nt) ,

gdzie a = _2π¹ Rπ

−πf (t)Sdt, b_n= ¹_πRπ

−πf (t) cos(t)dt, c_n= _π¹Rπ

−πf (t) sin(t)dt. Badaniem takich szereg´ow zajmuje sie_,analiza fourierowska. Co prawda nie musi by´c zbie˙zny punktowo, ale jest zbierzny wed lug mairy. Ponadto gdy funkcja jest klasy C¹, to mamy zbie˙zno´s´c jednostajna_,.

1.14 ´Cwiczenie: dany cia_,g wektor´ow {α_i}_i∈I w przestrzeni V z iloczynem skalarnym (sko´nczony lub nie), β ∈ V . Za l´o˙zmy, ˙ze (α_i, α_j) = δ_ij. Naste_,puja_,ce waranki sa_,r´ownowa˙zne:

• Je´sli dla ka˙zdego i ∈ I mamy (α_i, β) = 0 to β = lin{αi : iI}^⊥.

• inf {||β, γ|| : γ ∈ lin{α_i : iI} = 0 ( β le˙zy w domknie_,ciu lin{αi | i ∈ I}).

1.15 W szczeg´olno´sci: W przestrzeniach niesko´nczonego wymiaru rozwa˙zamy uk lady zupe lne {α1, α2, . . . , }, tzn takie, ˙ze

∀i ∈_N (β, α_i) = 0 ⇒ β = 0 . (Np wektory ε_i ∈ `².)

Z (1.14) wynika, ˙ze uk lad liniowo zupe lny rozpina podprzestrze´n, kt´ora jest ge_,sta w V (w sensie topo- logicznym).

1.16 Je´sli mamy zupe lny uk lad wektor´ow ortogonalnych A = {α₁, α₂, . . . , } ⊂ V to z dowolnym β ∈ V stowarzyszamy szereg

β

∞

X

i=1

(β, αi) (α_i, α_i)αi.

Problem zbie˙zno´sci takich szereg´ow daleko wykracza poza zakres naszego wyk ladu.

1.17 ´Cwiczenie: Inne przyk lady ortonormalnych uk lad´ow zupe lnych.

a) wielomiany Legendra Pn= ₂n¹n!

dⁿ

dtⁿ (t²− 1)ⁿ
ze wzgle_,du na iloczyn skalarny (f, d) =R1

−1f (t)g(t)dt.

b) wielomian Czebyszewa T_n(Czebyszewa spe lnia cos(nx) = T_n(cos(x))) ze wzgle_,du na iloczyn skalarny (f, d) =R1

−1 f (t)g(t)√

1−t² dt.

c), d) . . . wielomiany Hermite’a, wielomiany Laguerre’a . . . (to sa_,zadania z analizy i nie be_,dziemy ich robi´c).

1.18 Ka˙zdy uk lad niezerowych wektor´ow parami ortogonalnych, jest liniowo niezale˙zny.

1.19 Wz´or na rzut ortogonalny na lin{α1, α2, . . . , α_k}, dla uk ladu wektor´ow ortogonalnych/ortonormalnych.

Obje_,to´s´c [Kos roz.4 §3.2,]

1.20 Obje_,to´s´c r´ownoleg lo´scianu V ol(α₁, α₂, . . . , α_k) =pdet G(α₁, α₂, . . . , α_k) gdzie G_i,j = (α_i, α_j) (Je´sli α₁, α₂, . . . , α_k sa_,liniowozale˙zne, to det G = 0, w przeciwnym przypadku det G > 0 bo to macierz iloczynu skalarnego w bazie α_i).

1.21 Dla k = 2 wz´or na pole tr´ojka_,ta ||α₁|| · ||α₁|| · | sin(](α1, α₂))|.

1.22 Odleg lo´s´c α ∈ V od podprzestrzeni liniowej W ⊂ V definiujemy jako min{||α − β|| | β ∈ W }.

Minimum jest osia_,gnie_,te je´sli α = γ + β₀, γ ∈ W^⊥ bo ||α − β||²= ||γ + β₀− β||²= ||γ||²+ ||β₀− β||². 1.23 Obje_,to´s´c spe lnia

(i) V ol(α₁) = ||α₁||

(2) V ol(α₁, α₂, . . . , α_k) = V ol(α₁, α₂, . . . , α_k−1) · h gdzie h jest odleg lo´scia_,α_k od lin{α₁, α₂, . . . , α_k−1}.

1.24 Dla k = n dostajemy V ol(α₁, α₂, . . . , α_n) = | det [α₁, α₂, . . . , α_n]|. Sta_,d interpretacja geome- tryczna wyznacznika.

Iloczyn wektorowy

1.25 Iloczyn wektorowy: Dane α1, α2, . . . , αn−1∈ V , dim(V ) = n. Definiujemy funkcjona l β 7→ det [α₁, α₂, . . . , α_n−1, β].

Poniewa˙z V ' V^∗ za pomoca_,iloczynu skalarnego, wie_,c istnieje γ ∈ V taki, ˙ze dla ka˙zdego β det [α1, α2, . . . , αn−1, β] = (γ, β).

Definiujemy α₁× α₂× · · · × α_n−1:= γ.

1.26 W lasno´sci

(i) γ ⊥ lin{α₁, α₂, . . . , α_n−1} (ii) |γ| = V ol(α₁, α₂, . . . , α_n−1)

(iii) je´sli wektory α₁, α₂, . . . , α_n−1 sa_,liniowo niezale˙zne, to baza α₁, α₂, . . . , α_n−1, γ jest dodatniozori- entowana.

Te w lasno´sci definiuja_,γ.

1.27 Dla n = 3 mamy dobrze znany iloczyn zadany wzorem ze szko ly:

(a₁, a₂, a₃) × (b₁, b₂, b₃) = det





a1 a2 a3

b₁ b₂ b₃ ε₁ ε₂ ε₃



. 1.28 Z definicji wR³ mamy

(α × β, γ) = (γ × α, β) = (β × γ, α) = det[α, β, γ].

1.29 ||a × b||²+ (a, b)²= ||a||²||b||².

1.30 ´Cw: definiujemy dzia lanie w R⁴=R×_R³

(a, α)  (b, β) := (ab − ha, bi , aβ + bα + α × β).

Wykaza´c, ˙ze to dzia lanie jest la_,czne.

2 Przekszta lcenia zachowuja

ce iloczyn skalarne, izometrie

2.1 Metryka w zbiorze X, czyli odleg lo´s´c pomie_,dzy punktami: d : X × X →_R≥0: d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y

d(x, y) = d(y, x)

d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)

2.2 Poje_,cie izometrii i izometrycznego w lo˙zenia.

2.3 Przyk lad: Niech W ⊂ V be_,dzie podprzestrzenia_, liniowa_,, a {α_i}_i=1,...,k jej baza_, ortonormalna_,. Symetria wzgle_,dem W wzd lu˙z W^⊥ jest zadana wzorem

S_W(β) = β − 2

k

X

i=1

(αi, β)αi. 2.4 Izometie. Niech dim E < ∞. Poni˙zsze warunki sa_,r´ownowa˙zne:

1) f : E → E jest przekszta lceniem afinicznym, takim ˙ze Df : T E → T E zachowuje iloczyn skalarny.

2) f : E → E jest przekszta lceniem afinicznym zachowuja_,cym odleg lo´s´c,

3) f zachowuje odleg lo´s´c tzn d(p, q) = d(f (p), f (q)) (nie zak ladamy afiniczno´sci),

Dow 3)=⇒ 1): z lematu: d(p, r) + d(r, q) = d(p, q) wtedy i tylko wtedy gdy r = ^d(p,r)_d(p,q)p +^d(r,q)_d(p,q)q.

2.5 Og´olniej rozwa˙za sie_,izometryczne w lo˙zenia f : F → E.

2.6 Przyk lady. Przekszta lcenia liniowe: obroty, symetrie. Przekszta lcenia afiniczne – przesunie_,cia z lo˙zone z liniowymi izometriami.

2.7 Niech V be_,dzie przestrzenia_,liniowa_,, dim V < ∞. Dla ka˙zdej izometrii liniowej f : V → V istnieje rozk lad V na ortogonalna_,sume_,prosta_,

V = V1

⊕ V⊥ ₂ ⊕ . . .^⊥ ⊕ V^⊥ _k, oraz

• albo dim(V_i) = 2 i f_|Vi jest obrotem,

• albo dim(V_i) = 1 i f_|Vi jest symetria_,lub identycznoa_,cia_,.

2.8 Niech E be_,dzie przestrzenia_, afiniczna_,, dim E < ∞. Dla ka˙zdej izometrii (afinicznej) f : E → E istnieje rozk lad E na produkt przestrzeni

E = E1× E₂× · · · × E_k,

dim(Ei) = 1 lub 2 taki, ˙ze rozk lad przestrzeni stycznych jest ortogonalny T E = T E₁⊕ T E^⊥ ₂⊕ . . .^⊥ ⊕ T E^⊥ _k oraz f jest produktem przekszta lce´n fi: Ei → E_i, tzn

f (x₁, x₂, . . . , x_k) = (f₁(x₁), f₂(x₂), . . . , f_k(x_k)) , gdzie fi jest przesunie_,ciem, symetria_,lub obrotem.

Dow´od jest celem dalszej cze_,´sci wyk ladu. Zamiast twierdzenia dla przestrzeni rzeczywistej dowiedziemy diagonalizowalno´sci izometrii liniwej w przestrzeni zespolonej i wywnioskujemy przypadek rzeczywisty.

2.9 Wniosek: Klasyfikacja izometriiR² iR³. Przestrzenie unitarne [Kos roz 3, §2]

2.10 Iloczyn hermitowski to jest przekszta lcenie φ(−, −) : V × V →_R p´oltoraliniowe, hermitowsko symetryczne, dodatnio okre´slone, tzn

1) φ(α₁+ α₂, β) = φ(α₁, β) + φ(α₂, β), φ(aα, β) = aφ(α, β) 2) φ(α, β1+ β2) = φ(α, β1) + φ(α, β2) φ(α, aβ) = aφ(α, β) 3) φ(α, β) = φ(β, α) (sta_,d φ(α, α) ∈R),

4) φ(α, α) ≥ 0 oraz (α, α) = 0 ⇒ α = 0

Cze_,sto jest oznaczana przez H(v, w) lub hhv, wii.

2.11 Je´sli M = M (ϕ) = (ϕ(εi, εj)) macierz formy p´o ltoraliniowej ϕ w bazie standardowej, to ϕ(X, Y ) = X^TM Y .

2.12 ´Cwiczenie: czy ϕ zadane przez macierz  2 i

−i 2



jest iloczynem hermitowskim? Udowodni´c kryterium Sylvestera dla form p´o ltoraliniowych.

2.13 Standardowy iloczyn hermitowski hh(a₁, a₂, . . . , a_n), (b₁, b₂, . . . , b_n)ii =Pn i=1a_ib_j. 2.14 Ortogonalizacja G-S w przestrzeni unitarnej:

β_i = α_i−

i−1

X

j=1

hhα_i, β_jii hhβ_j, βjiiβ_j , γi = 1

||β_i||βi

(uwaga na kolejno´s´c hhαi, βjii).

2.15 Je´sli V jest przestrzenia_, liniowa_, nad C, to przez V_R oznaczamy ten sam zbi´or z dziaa_,niem dodawania i mno˙zenia przez skalary rzeczywiste.

2.16 W przestrzeni V_R mamy naturalny endomorfizm J (mno˙zenie przez i) spe lniaja_,cy J² = −Id.

Taki endomorfizm pozwala zdefiniowa´c strukture_,przestrzeni zespolonej na V_R. 2.17 Je´sli

hhv, wii = ψ(v, w) − iω(v, w) . gdzie

ψ(v, w) = rehhv, wii, ω(v, w) = −imhhv, wii

jest iloczynem hermitowskim na V , to na V_R forma ψ(v, w) jest iloczynem skalarnym, a ω(v, w) jest forma_,symplektyczna_,. Obie te formy sa_,J niezmiennicze, oraz ω(v, w) = ψ(J v, w).

Uzupe lnienie

2.18 Grupa unitarna U (n) = {A ∈ GL(_Cⁿ) | A · A^T = I}. Piszemy te˙z A^∗= A^T, wtedy dla A ∈ U (n) mamy A⁻¹ = A^∗.

2.19 W grupie GL(Cⁿ) mamy GL(Rⁿ) ∩ U (n) = O(n).

2.20 Z ortogonalizacji G-S mamy rozk lad Iwasawy KAN dla macierzy zespolonych.

GL(_Cⁿ) = U (n) · (_R^∗₊)ⁿ· {g´ornotr´ojka_,tne z jedynkami na przeka_,tnej}.

Rozk lad ten jest jednoznaczny.

3 Operatory w przestrzeniach z iloczynem hermitowskim, [Kos, roz.3

§3]

Zak ladamy, ˙ze _Cⁿ, rozwa˙zamy standardowy iloczyn hermitowski, M (ϕ) = I oznaczany przez hh · , · ii.

Zak ladamy, ˙ze w bazie standardowej ma on posta´c standardowa_,.

3.1 A : V → V jest operatorem unitarnym, je´sli zachowuje iloczyn hermitowski, tzn hhA(α), A(β)ii = hhα, βii dla dowolnych wektor´ow α, β ∈ V . Wtedy (gdy dim(V ) < ∞) mamy A^∗ = A⁻¹. We wsp´o lrze_,dnych ortonormalnych: macierz operatora nale˙zy do U (n) .

3.2 Operator A jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometria_,, tzn zachowuje ||α|| =phα, αi.

3.3 Naste_,puja_,ce warunki sa_,r´ownowa´zne.

1) ∀α, β ∈ V hhA(α), A(β)ii = hhα, βii tzn. A zachowuje iloczyn hermitowski 2) ∀α ∈ V ||A(α)|| = ||α|| tzn A zachowuje norme_,

3) Macierz operatora jest unitarna A ∈ U (n), tzn A^∗A = I.

3.4 Warto´sci w lasne operatora unitarnego maja_,modu l 1.

3.5 Przestrzenie w lasne sa_,ortogonalne

3.6 Je´sli W ⊂ V niezmiennicza, to W^⊥ te˙z niezmiennicza.

3.7 Dla operatora unitarnego A istnieje baza unitarna, w kt´orej jego macierz jest diagonalna. W zapisie macierzowym: istnieje C ∈ U (n) t.˙z.

A = CDC⁻¹, D = diag(e^it1, e^it2, . . . , e^itn).

3.8 Dla operatora ortogonalnego f : _Rⁿ → _Rⁿ, istnieje baza ortonormalna taka, ˙ze A = M (f ) ma macierz blokowo-diagonalna_,z blokami 2×2 postacicos(t) − sin(t)

sin(t) cos(t)



lub z blokami 1×1: (1) i (-1).

Dow´od. Rozwa˙zamy przekszta lcenie unitarne f_C:Cⁿ→_Cⁿ zadane przez ta_,sama_,macierz A. Istnieje baza unitarna z lo˙zona z wektor´ow w lasnych. Dla warto´sci w lasnej µ 6∈ R zak ladamy, ˙ze je´sli α jest wektorem bazowym, to α te˙z nale˙zy do bazy (ma on warto´s´c w lasna_, µ). Bierzemy baze_, rzeczywistej podprzestrzeni Rⁿ∩ lin{α, α} z l´o˙zona_, z wektor´ow β1 = ^√1₂(α + α), β2 = _i^√1₂(α − α). Otrzymujemy baze_,ortogonalna_,.

3.9 ´Cwiczenie: Grupe_, izometrii zachowuja_,cych orientacje_, w _Rⁿ oznaczamy przez SO(n). Znale´z´c cia_,g la_,bijekcje_,SO(3) '_RP³.

3.10 ´Cwiczenie: IzometriaR⁴ dana jest przez macierz





















−¹₂ −¹₂ −¹₂ −¹₂

1 2

1

2 −¹₂ −¹₂

1

2 −¹₂ ¹₂ −¹₂

1

2 −¹₂ −¹₂ ¹₂



















 .

Znale´z´c blokowa_,diagonalizacje_,. Izometrie afiniczne

3.11 Przypomnienie: Ka˙zde izomorfizm afiniczny f :Kⁿ→_Kⁿ mo˙zna przedstawi´c jako z lo˙zenie f = T rα◦ Df = Df ◦ T r_β,

gdzie T rα oznacza przesunie_,cie. Ponadto f (γ) = α + Df (γ) = Df (β + γ), wie_,c α = Df (β).

3.12 Dow´od tw (2.8), tzn dla ka˙zdej izometrii f ∈ Af f (_Rⁿ) znajdujemy rozk lad na produkt _Rⁿ = Q V_i (i odpowiadaja_,cy mu rozk lad na ortogonalna_,sume_,prosta_, przestrzeni stycznych), gdzie dim V_i ≤ 2, oraz f zachowuje ten rozk lad. W ka˙zdej V_i izometria f jest albo obrotem, albo symetria_,, albo przesunie_,ciem.

3.13 ´Cwiczenie: Ka˙zda izometria przestrzeni euklidesowej jest postaci T r_αg = gT r_α, gdzie α jest wektorem sta lym dla Df , oraz przekszta lcenie g ma punkt sta ly. Powy˙zszy rozk lad jest jednoznaczny.

3.14 ´Cwiczenie: Wiemy, ˙ze

Df = 1 9





4 1 −8

7 4 4

4 −8 1



, f ([0, 0, 0]) = [−1, −7, 2].

Co to za przekszta lcenie?

1. Znale´z´c wektor sta ly α dla Df , czyli kierunek osi obrotu.

2. Roz lo˙zy´c (−1, −7, 2) = aα + β, gdzie β ⊥ α.

3. Znale´z´c punkty sta le przekszta lcenia T rβ◦ Df ; to be_,dzie o´s obrotu.

Odpowied´z f = T raα◦(obr´ot wok´ol osi znalezionej w 3.).

3.15 Klasyfikacja izometrii afinicznych _R³ (symetrie, obroty, obroty z odbiciem, przesunie_,cia, ruch

´srubowy, obr´ot z odbiciem, symetrie z po´slizgiem).

4 Operatory samasprze

˙zone, klasyfikacja kwadryk [Kos roz.4 §3]

Operatory sprze_,˙zone

4.1 Dane jest przekszta lcenie linowe ϕ : V → V przestrzeni z iloczynem hermitowskim/skalarnym.

M´owimy, ˙ze ψ : V → V jest sprz’e˙zone do ϕ gdy dla ka˙zdej pary wektor´ow α, β ∈ V mamy hhϕ(α), βii = hhα, ψ(β)ii.

– je´sli ψ₁ i ψ₂ sa_,sprze_,˙zone do ϕ, to ψ₁= ψ₂.

– je´sli dim V < ∞, to operator sprze_,˙zony ψ istnieje oraz gdy M (ϕ) jest macierza_,ϕ w bazie unitarnej, to

M (ψ) = M (ϕ)^T =: M (ϕ)^∗. Oznaczenie: ψ = ϕ^∗.

4.2 Dla operatora w przestrzeni rzeczywistej definiujemy operator sprze_,˙zony u˙zywaja_,c iloczynu skalarneg.

Zwia_,zek z przekszta lceniem spre_,˙zonym jest naste_,puja_,cy: Je´sli dim V < ∞, to iloczyn skalarny zadaje izomorfizm Θ : V → V^∗. Uto˙zsamiaja_,c te dwie przestrzenie oba poje_,cia sprze_,˙zono´sci sie_,pokrywaja_,:

V −→ V^{Θ ∗}

(sensie iloczynu skalarnego) φ^∗ ↓ ↓ φ^∗ (w sensie przekszta lcenia przestrzeni sprze_,˙zonych) V −→ V^{Θ ∗}

4.3 ´Cwiczenie: niech V = C(S¹), (f, g) =R

S¹f (x)g(x)dx, ϕ(f ) = f (a)11, gdzie 11 jest funkcja_, stale r´owna_,1 oraz a ∈ S¹. Wykaza´c, ˙ze ϕ nie dopuszcza ˙zadnego operatora sprze_,˙zonego do niego.

4.4 ´Cwiczenie: w powy˙zszej przestrzeni niech _dx^d be_,dzie operatorem r´o˙zniczkowania. Speawdzi´c, ˙ze

d dx

∗

= −_dx^d

Operatory samosprze_,˙zone

4.5 Operator ϕ jest samosprze_,˙zony (hermitowski), je´sli ϕ = ϕ^∗. We wsp´o lrze_,dnych ortonormalnych:

macierz operatora jest symetryczna (ze sprze_,˙zeniem).

4.6 Warto´sci w lasne sa_,rzeczywiste 4.7 Przestrzenie w lasne sa_,ortogonalne

4.8 Je´sli W jest podprzestrzenia_,ϕ-niezmennicza_,, to W^⊥ te˙z.

4.9 Twierdzenie spektralne. Je´sli ϕ jest operatorem samosprze_,˙zonym w przestrzeni sko´nczonego wymiaru, to istnieje baza unitarna, w kt´orej operator ma macierz diagonalna_,, o wyrazach rzeczywistych.

Rozk lad

V = M

λ∈Spec(ϕ)

V_λ, jest ortogonalny.

4.10 Gdy przestrze´n jest rzeczywista, to istnieje baza ortonormalna, w kt´orej operator jest diago- nalny.

4.11 ´Cwiczenie: z lo˙zenie operator´ow samospre_,˙zonych jest smosprze_,˙zone wtedy i tylko wtedy gdy sa_, one przemienne.

4.12 Ka˙zda rzeczywista macierz symetryczna ϕ da sie_, zapisa´c jako CDC⁻¹, gdzie C ∈ O(n), tzn C⁻¹= C^T, a D jest diagonalna.

(Zatem zar´owno Aϕ jest podobne jak i kongruentne do diagonalnej.)

4.13 To samo dla zespolonych: Je´sli ϕ = ϕ^∗, to CDC⁻¹, gdzie C ∈ U (n).

4.14 W przestrzeni niesko´nczenie wymiarowiej wiemy jedynie, ˙ze przestrzenie w lasne operatora samo- sprze_,˙zonego sa_,ortogonalne.

4.15 Niech V = C^∞(S¹). Operator drugiej pochodnej ϕ(f ) = _dx^d22 jest samosprze_,˙zony. Spektrum jest r´owne {−k²| k ∈_N∪ {0} }. Udowodni´c



 M

λ∈spec(ϕ)

Vλ





⊥

= {0} .

4.16 ´Cwiczenie: Poda´c przyk lad operatora ϕ, kt´ory jest samosprze_,˙zony oraz



 M

λ∈Spec(ϕ)

V_λ





⊥

6= {0} .

Wsk: Niech V przestrze´n funkcji na _Zo sko´nczonym no´sniku

V = {f :_Z→_C| ∃M ∈_Rtakie, ˙ze |n| > M ⇒ f (n) = 0 } z iloczynem hermitowskim (f, g) =P∞

n=−∞f (n)g(n) oraz ϕ(f )(n) = ¹₂(f (n − 1) + f (n + 1)).

4.17 Zastosowanie bazy w lasnej operatora ∆ = _dx^d22 na okre_,gu do rozwia_,zywania r´ownania przewod- nictwa cieplnego: szukamy funkcji ft(x) = f (t, x) spe lniaja_,cej:

d

dtf = ∆f r´ownanie ciep la,

f (0, x) = g(x) ∈ C^∞(S¹) dane warunki pocza_,tkowe.

Rozwia_,zanie: zauwa˙zamy, ˙ze operator ∆ jest samosprze_,˙zony. 1) Je´sli warunek pocza_,tkowy g(x) jest funkcja_,w lasna_,operatora ∆ (tzn g(x) = const, c sin(kx), lub c cos(kx)) to szukamy rozwia_,zani postaci

f (t, x) = a(t)g(x).

Wsp´czynnik a(t) spe lnia r´ownanie _dt^da(t) = λa(t), gdzie λ jest warto´scia_,w lasna_,g. To r´ownanie umiemy rozwia_,za´c: a(t) = Ce^λt. Biora_,c pod uwage_,warunek pocza_,tkowy a(0) = 1 dostajemy

f (t, x) = e^λtg(x) .

2) Je´sli g(x) jest dowolna_,funkcja_,, to rozwijamy ja_,w bazie funkcji w lasnych operatora ∆, tzn w szereg Fouriera

g(x) = a +

∞

X

k=1

bkcos(kx) +

∞

X

k=1

cksin(kx).

Szukanym rozwia_,zaniem jest

f (t, x) = a +

∞

X

k=1

bke^−k2tcos(kx) +

∞

X

k=1

cke^−k2tsin(kx).

4.18 Podsumowanie: om´owili´smy dwa typy operator´ow nadC – unitarne: spe´niaja_,ce φ^∗φ = Id

– samospre_,˙zone: spe lniaja_,ce φ = φ^∗

Operatory (przy za l´o˙zeniu, ˙ze dim V < ∞) sa_,diagonalne w pewnej bazie ortonormalnej.

Jest wie_,ksza klasa operator´ow obejmuja_,ca om´owione powy˙zej klasy. To sa_, – operatort normalne: spe lniaja_,ce φ^∗φ = φ φ^∗.

One te˙z sie_,diagonalizuja_,: φ^∗ i φ maja_,wsp´olny wektor w lasny α. Sprawdzamy, ˙ze φ zachowuje lin{α}^⊥ i konstrujemy baze_,indukcyjnie.

NadRjedynie operatory samosprze_,´zone mo˙zna zdiagonalizowa´c.

Kwadryki w przestrzeni euklidesowej

4.19 Wniosek z diagonalizacji: dla ka˙zdej macierzy symetrycznej Q istnieje macierz ortogonalna C, taka, ˙ze C^TQC jest diagonalna. Zatem dla danej formy kwadratowej q(x) w przestrzeni z iloczynem skalarnym. Istnieje ortonormalny uk lad wsp´olrze_,dnych {yi(x)} taki, ˙ze q(x) =P a_iy²_i.

4.20 Kierunki osi g l´ownych kwadryk, to kierunki w lasne stowarzyszonego operatora samosprze_,˙zonego.

4.21 Kanoniczne formy kwadryk. Ka˙zda_,kwadryke_,w przestrzeni euklidesowej mo˙zna sprowadzi´c do postaci kanonicznej za pomoca_,izometrii:

(1)

k

X

i=1

x²_i a²_i −

k+`

X

i=k+1

x²_i

a²_i = 1 (k + ` ≤ n) (2)

k

X

i=1

x²_i a²_i −

k+`

X

i=k+1

x²_i

a²_i = 0 (k + ` ≤ n), (3)

k

X

i=1

x²_i a²_i −

k+`

X

i=k+1

x²_i

a²_i = 2xn (k + ` < n).

Liczby ai w (1) to d lugo´sci osi g l´ownych.

4.22 Przyk lad: znale´z´c osie g l´owne kwadryki 6x²+ 4xy + 9y² = 100.

Kierunki osi g l´ownych (wektory w lasne6 2 2 9



) to (1, 2) i (−2, 1). D lugo´sci p´o losi: √ 10 i √

20.

4.23 ´Cwiczenie: Sprowadzi´c do postaci kanonicznej za pomoca_,izometrii x²+ 4xy + 4y²− x + 4y = 5.

5 Operatory samosprze

˙zone dodatniookre´ slone [Kos roz.3, §3.6]

5.1 Przyk lad do przeliczenia. Laplasjan dyskretny: V = Rⁿ = F unkcje(Zn → _R), φ(f )(k) =

1

2(f (k + 1) + f (k − 1)) − f (k). Udowodni´c, ˙ze φ jest operatorem samosprze_,˙zonym, warto´sci w lasne sa_, ujemne, opr´ocz jednej, kt´ora jest r´owna 0.

5.2 O geometrycznym znaczeniu zbioru warto´sci w lasnych laplasjanu czytaj np w https://en.wikipedia.org/wiki/Hearing the shape of a drum

5.3 Nieujemnie okre´slone operatory samosprze_,˙zone: (Bx, x) = (x, Bx) ≥ 0. Dla ka˙zdego operatora samosprze_,˙zonego nieujemnie okre´slonego istnieje ,,pierwaistek”, tzn operator samosprze_,˙zony, nieujemnie okre´slony P , taki, ˙ze P²= B. Na podprzestrzeni wlasnej V_λ operator P jest r´owny √

λ.

5.4 Przyk lad: B = A^∗A dla pewnego operatora A.

5.5 ´Cwiczenie: Niech V = C^∞(S¹). Sprawdzi´c, ˙ze operator A(f ) = −f⁰⁰ jest nieujemnie okre´slony samosprze_,˙zony. Jakie jest spektrum? (Jest on postaci B^∗B.)

5.6 [Kos roz.3, §3.9] Rozk lad polarny (biegunowy): ka˙zdy operator A da sie_, zapisa´c jako z lo˙zenie Q P , gdzie Q nale˙zy do O(n) (lub U (n)), P jest nieujemnie okre´slony.

Dow: Je´sli A odwracalny P = (A^∗A)¹², Q = AP⁻¹, QQ^∗= (AP⁻¹)(P⁻¹A^∗) = A(A^∗A)⁻¹A^∗= I Dla nieodwracalniego A rozwa˙zamy A = A + I. Dostajemy A = QP. Mo˙zna wybra´c ca_,g n → 0, taki, ˙ze Qn jest zbie˙zny.

5.7 Uwaga: nazwa od rozkladu polarnego liczby zespolonej (tzn dim V = 1)

5.8 Operator P jest jednoznacznie wyznaczony (r´owny (A^∗A)¹²), a je´sli A jest odwracalny, to Q te˙z jest jednoznacznie wyznaczony.

5.9 ,,Singular value decomposition SVD” (Rozk_B3ad wed lug warto´sci osobliwych): Ka˙zda_, macierz kwadratowa_,mo˙zna przedstawi´c jako B₁DB₂, gdzie B₁ i B₂ sa_,unitarne/ortogonalne, a D jest macierza_, diagonalna_, o rzeczywistych nieujemnych wyrazach (dodatkowo mo˙zna za l´ory´c, ˙ze cia_,g wyraz´ow na przeka_,tnej jest nierosna_,cy).

SVD jest stosowany do kompresjii obrazu:

B1DB2' B₁^(k)D^(k)B₂^(k) gdzie

– B₁^(k) ska_,da sie_,z pierwszych k kolumn B1

– B₂^(k) ska_,da sie_,z pierwszych k wierszy B2

– D^(k) jest macierza_,diagonalna_,zawiraja_,ca_,pierwszych k wyraz´ow z przeka_,tnej D – liczba k/n ' 1/10

Patrz np

http://math.arizona.edu/%7Ebrio/VIGRE/ThursdayTalk.pdf

http://www.mimuw.edu.pl/%7Eaweber/zadania/gal2017gw/Samosprzezone/svdmis.pdf

5.10 Podsumowanie twierdze´n o macierzach kwadratowych M ∈ Mn×n(K), dla K=C(oraaz wersje rzeczywiste)

- tw Jordana

- rozklad KAN dla odwracalnych M : M = KB, K ∈ U (n), B g´ornotr´ojka_,tna - rozk lad polarny M = KP , K ∈ U (n), P = P^∗

- diagonalizacja w bazie ortonormalnej operator´ow unitarnych (blokowa nad _R),

- diagonalizacja w bazie ortonormalnej operator´ow samosprze_,˙zonych - warto´sci w lasne rzeczywiste - i antysamosprze_,˙zonych (tzn gdy M^∗ = −M , ´Cwiczenie) - warto´sci w lasne urojone

- rozk lad Choleskiego macierzy symetrycznych dodatnio okre´slonych

5.11 ´Cwiczenie: Dane 0 < k < n. Niech A ∈ End(Rⁿ) zachowuje obje_,to´s´c r´ownoleg lo´scian´ow k-wymiarowych. Pokaza´c, ˙ze A jest izometria_,.

6 Kwaterniony [Tor V, §5.4-6]

[te˙z Alexei I. Kostrikin, Yu I Manin, Linear Algebra and Geometry (Algebra, Logic and Applications) - od str 169]

6.1 SU (2) ' S³ (pierwsza kolumna jest dowolnym wektorem jednostkowym w (a, b) ∈ _C², a druga postaci (−b, a)

6.2 Niech

1 =1 0 0 1



, i = i 0 0 −i



, j = 0 1

−1 0



, k =0 i i 0

 . Zbi´or {±1, ±i, ±j, ±k} jest grupa_,ze wzgle_,du na mno˙zenie macierzy:

i²= j² = k² = −1, i j = −j i = k, j k = −k j = i, k i = −i k = j.

6.3 Przestrze´n kwaternion´ow (Hod Hamiltona)

H= lin_R{1, i, j, k}

oraz kwaterniony czysto urojone

im_H= lin_R{i, j, k}.

Tak jak poprzednio x^∗ oznacza x^T. Dla kwaternion´ow czysto urojonych x^∗ = −x. ,,*” nazywamy sprze_,˙zeniem kwaternionowym.

6.4 Mamy (xy)^∗ = y^∗x^∗, bo to zachodzi dla bazy pochodza_,cej z M_2×2(_C).

6.5 Dla x ∈_Hmamy x · x^∗ ∈_R+. Definiujemy ||x|| =√

x · x^∗. Dla x = a1 + b i + c j + d k, a, b, c, d ∈_R mamy ||x|| =√

a²+ b²+ c²+ d². 6.6 Mamy ||xy|| = ||x|| ||y||.

6.7 Algebra z dzieleniem nad_K, to taka algebra nad _Kz jedynka_,, ˙ze ka˙zdy element r´o˙zny od 0 jest odwracalny.

6.8 Ka˙zdy kwaternion niezerowy jest odwracalny x⁻¹ = x^∗/||x||², czyli kwaterniony sa_, algebra_, z dzieleniem nad R.

6.9 Twierdzenie Freudenthala (bez dowodu): Jedyne sko´nczenie wymiarowe algebry z dzieleniem nad RtoR,CiH.

6.10 Kwaterniony o normie jeden to macierze spe lniaja_,ce xx^∗ = 1. Zatem to sa_, macierze z U (2).

Ponadto det(x) = det a + bi c + di

−c + di a − bi



= a² + b² + c² + d² ∈ _R+, czyli x ∈ SU (2). Sta_,d _H = R+· SU (2) ∪ {0}.

6.11 Iloczyn skalarny w przestrzeni kwaternion´ow czysto urojonych (x, y) := −re(xy).

6.12 Przyjmujemy orientacje w imH, tak aby {i, j, k} by la baza_,dodatnio zorientowana_,. Dla kwater- nion´ow czysto urojonych mamy

x · y = −(x, y) + x × y.

Sta_,d je´sli x, y ∈ im_Hi x ⊥ y to xy = −yx.

6.13 Dla dowolnego jednostkowego kwaternionu x ∈ SU (2) przekszta lcenie im_H3 y 7→ xyx^∗ ∈ im_H jest izometria_,. Sta_,d otrzymujemy przekszta lcenie SU (2) → SO(3) ⊂ GL(imH).

6.14 Geometrycznie przekszta lcenie zadane przez x = cos(t) + sin(t)` dla czysto urojonego kwater- nionu jednostkowego ` jest obrotem wok´o l ` o ka_,t 2t.

Dow: rachunek osobno dla y ∈ lin ` i y ∈ lin `^⊥.

6.15 Powy˙zsze przekszta lcenie SU (2) → SO(3) jest ,,na”, 2 do 1, ja_,drem jest {I, −I}.

6.16 Obr´ot wok´o l ustalonej osi o t ∈ 2π podniesiony do SU (2) nie jest identyczno´scia_,. Ale obr´ot o 4π podniesiony do SU (2) jest identyczno´scia_,.

(Parz w YouTubie ,,2 pi rotation is not an identity”, ,,Your palm is a spinor” itp.) 6.17 W_R,_C,_H(i oktonionach_O) sa_,spe lnione:

1. a · a^∗ = a^∗· a = ||a||²11 2. (a · b)^∗ = b^∗· a^∗

3. a + a^∗ ∈_R· 11

4. re(a · b) = re(b · a), gdzie re zdefiniowane jako rzut na lin(11)

5. re(a · (b · c)) = re((a · b) · c) (to jest spe lnione w H, bo kwaterniony sa_, la_,czne).

Powy˙zsze w lasno´sci sa_, spe lnione w tzw algebrach Hurwitza ,,composition algebra”, patrz http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz’s theorem (composition algebras)

Sa_, to sko´nczeniewymiarowe algebry z jedynka_,, niekoniecznie la_,czne wyposa˙zone w dodatnio okre´slaona_, forme_, kwadratowa_, forme_, q, q(a) = ||a||² spe lniaja_,ca_, q(a · b) = q(a)q(b). Forma kwadratowa zadaje iloczyn skalarny, sprze_,˙zenie jest zdefiniowane jako symetria wzgle_,dem lin(11), cze_,´s´c rzeczywista re(a) to rzutowanie na lin(11). Czyli wszystko jest zdefiniowane za pomoca_, formy kwadratowej. Ponadto (ab, ab) = (a, a)(b, b)

2(a, b)(c, d) = (ac, bd) + (ad, bc)

Tw Hurwitza m´owi, ˙ze jedyne algebry Hurwitza z dzieleniem nad R(z dok ladno´scia_, do izomorfizmu) to_R,_C,_Hi_O.

6.18 Dodatek: Zwia_,zki z polami wektorowymi na sferze: je´sli w _Rⁿ⁺¹ jest struktura algebry z dzie- leniem, to na Sⁿ jest n liniowo niezale˙znych p´ol:

Dow. Wybieramy iloczyn skalarny w Rⁿ⁺¹. Niech 11 ∈ Rⁿ⁺¹ be_,dzie jedynka_, algebry. Dobieramy ele- menty v1, v2, . . . , vn stanowia_,ce baze_, lin{11}^⊥. Wtedy dla ka˙zdego g ∈ Sⁿ elementy g, gv1, gv2, . . . , gvn

stanowia_, baze_, Rⁿ⁺¹. Niech πg be_,dzie rzutowaniem na lin{g}^⊥. Wektory vi(g) = πg(gvi) dla i =

1, 2, . . . n stanowia_,baze_,lin{g}^⊥. To sa_,pola wektorowe na Sⁿ, cia_,g le w zale˙zno´sci od g ∈ Sⁿ i liniowo niezale˙zne.

Z tw. o zaczesywaniu sfery S² (nie ma ani jednego nigdzie nie znikaja_,cego pola) widzimy, ˙ze w_R³ nie ma struktury algebry z dzieleniem.

7 Nieokre´ slone formy kwadratowe i ich grupy automorfizm´ ow [Kos roz.4 §4]

7.1 Je´sli forma kwadrarowa okre´slona przez symetryczna_, macierz B, to automorfizmami tej formy sa_,przekszta lcenia liniowe o mocierzy A spe lniaja_,cej A^TBA = B.

7.2 Przestrzenie z forma_,kwadratowa_,typu (m, n), grupy O(m, n), SO(m, n), SO(m, n)⁺

7.3 ´Cwiczenie istnieje cia_,g la bijekcja O(m, n) ' O(m) × O(n) ×R^mn. (Je´sli m 6= 0 i n 6= 0, to grupa O(m, n) ma 4 sk ladowe sp´ojne.)

7.4 Je´sli za lo˙zy´c, ˙ze nie mo˙zemy porusza´c sie_, pre_,dzej ni˙z ´swiat lo, to nie mo˙zemy przekroczy´c ho- ryzontu zdarze´n be_,da_,cego brzegiem obszaru ||x|| < c|t|. Horyzont zdarze´n jest opisany r´ownaniem kwadratowym q(t, x) = c²t²−x²₁−x₂²−x²₃= 0. Zmiany uk ladu wsp´o lrze_,dnych typu x⁰ = f (x)+a t (uk lad poruszaja_,cy sie_,) musza_,zachowywa´c horyzont zdarze´n. Je´sli a = 0, to f ma by´c izometria_,. Sugeruje to,

˙ze powinni´smy rozwa˙za´c przekszta lcenia liniowe czasoprzestrzeni zachouja_,ce forme_,kwadratowa_,q. Dla uproszczenia przyjmujemy c = 1.

7.5 ´Cwiczenie: ka˙zde przekszta lcenie liniowe zachowuja_,ce sto˙zek ct²− x²₁− x²₂− x²₃ = 0 jest postaci const · φ, gdzie φ ∈ O(1, 3).

Grupa O(1, 1)

7.6 Najpierw rozwa˙zmy przestrze´n jednowymiarowa_,, czyli czasoprzestre´n ze wsp´o lrze_,dnymi (t, x) z forma kwadratowa_,t²− x². Grupa O(1, 1) sk lada sie_,z macierzy postaci  t y

x z



, takich, ˙ze t²− x² = 1 oraz (t, x) = ±(z, y). Mo˙zna przyja_,c t = ± cosh(λ) = (e^λ+ e^−λ)/2, x = ± sinh(λ) = (e^λ− e^−λ)/2.

7.7 SO(1, 1) =

( A =

a⁻¹+a 2

a⁻¹−a a⁻¹−a 2

2

a⁻¹+a 2

!

: a ∈R\ {0}

)

, SO(1, 1)⁺ = (

A =

a⁻¹+a 2

a⁻¹−a a⁻¹−a 2

2

a⁻¹+a 2

!

: a > 0 )

(Przyjmijmuja_,c a = e^−λ mamy zwia_,zek z postacia_,trygonometryczna_,hiperboliczna_,.) 7.8 Wniosek SO(1, 1)⁺ '_Rz dzia laniem dodawania.

7.9 Niech  t₀ x0



= A1 0



. Pre_,dko´s´c definiujemy jako v := ^x_t⁰

0 = ^a_a⁻¹−1^−a+a = ^a_a²2⁻¹+1. Mamy |v| < 1 =: c.

Sta_,d a = q1−v

1+v, ^a+a₂⁻¹ = ^{√ 1}

1−v², ^a−a₂⁻¹ = ^√v

1−v². (Inny punkt widzenia: Je´sli A =cosh(λ) sinh(λ)

sinh(λ) cosh(λ)



, to v = tanh(λ); oraz tanh(α) wyznacza macierz A.)

7.10 Zatem A =

√ 1 1−v²

√ v 1−v²

√v 1−v²

√ 1 1−v²

!

, gdzie v = x₀/t₀, t₀ x₀



= A1 0

 . Je´sli t⁰

x⁰



= A t x



to wsp´o lrze_,dne (t⁰, x⁰) mo˙zemy wyrazi´c za pomoca_,(x, t) oraz v:

t⁰= t + vx

√

1 − v², x⁰ = x + vt

√ 1 − v², lub odwrotnie

t = t⁰− vx⁰

√

1 − v², x = x⁰− vt⁰

√ 1 − v². 7.11 ´Cwiczenie: Je´sliby c 6= 1, forma kwadratowa c²t²− x², to

t⁰= t + vx/c²

p1 − v²/c², x⁰ = x + vt p1 − v²/c². 7.12 Odleg lo´s´c zmienia sie_,zgodnie ze wzorem |x⁰₁− x⁰₂| = ^|x√1−x2|

1−v² gdy t1 = t2

7.13 Podobnie czas |t⁰₁− t⁰₂| = ^|t√1−t2|

1−v² gdy x₁ = x₂ 7.14 Je´sliby c 6= 1, to |x⁰₁− x⁰₂| = √^|x1−x2|

1−v²/c², |t⁰₁− t⁰₂| = √^|t1−t2|

1−v²/c²

7.15 ´Cwiczenie: wyprowadzi´c wz´or na sk ladanie pre_,dko´sci v2 = _1+v^v1+v2

1v2/c²

Grupa Lorentza

7.16 Czasoprzestrze´n _R⁴ z forma_, typu (1, 3). Badamy grupe_, SO(1, 3)⁺ to sk ladowa identyczno´sci SO(3, 1) (te przekszta lcenia, kt´ore dadza_,sie_,w spos´ob cia_,g ly zdeformowa´c do Id. (Inna nazwa: w la´sciwa grupa Lorenza.)

7.17 Niech V ⊂ M (2 × 2;C) zbi´or macierzy hermitowsko symetrycznych tzn X = X^∗, X =

 t + x₁ x₂− ix₃ x2+ ix3 t − x1

 .

Forma kwadratowa: q(A) = det(A) = t² − x²₁− x²₂− x²₃. Uto˙zysamiamy czasoprzestrze´n ze zbiorem operator´ow samospre_,˙zonych wC²

7.18 Przestrze´n V rozpada sie_,na podzbiory zachowywane przez SO(1, 3)⁺

– zera formy q(−) = det(−), czyli macierze zdegenerowane. Fizycy m´owia_,na to ,,sto˙zek ´swiat la”.

– q(A) < 0 tzn tam warto´sci w lasne X maja_,r´o˙zne znaki

– dwie sk ladowe q(A) > 0 tzn tam warto´sci w lasne X maja_,takie same znaki (sto˙zek dodatni i ujemny) 7.19 O´s czasowa V to Vt= lin1 0

0 1



, a cze_,´s´c przestrzenna to

Vx= lin1 0 0 −1



,0 −i i 0



,0 1 1 0



(to sa_,macierze Pauliego, mno˙za_,c przez i dostajemy bazowe kwaterniony).

7.20 Cze_,´s´c przestrzenna jest opisana r´ownaniem t = ¹₂tr(X) = 0.

7.21 Grupa SL₂(C) dzia la na V przez: A · X := AXA^∗. Dow: tr(AXA^∗) = tr(XA^∗A) = tr(X) dla ka˙zdego X.

7.22 To dzia lanie zgadza sie_,z dzia laniem na im_H= i V_x

ρ : SU (2) ⊂ SL2(C)

y y

imH

·i⁻¹

,→ V

7.23 Twierdzenie: Mamy izomorfizm

L⁺:= SO(1, 3)⁺ ' SL₂(C)/{±I}

pochodza_,ce od odwzorowania

ρ : SL₂(_C) → SO(1, 3)

A 7→ ρ(A), gdzie ρ(A)(X) = AXA^∗. Przypomnijmy ponadto, ˙ze

SL2(C)/{±I} ' GL2(C)/C^∗=: P GL2(C) przekszta lcenia rzutowe

7.24 Pierwsza cze_,´s´c twierdzenia jest r´ownowa˙zna z: Otrzymane odwzorowanie SL₂(_C) → SO(1, 3)⁺ jest ,,na”, 2 do 1, ker = {±I}.

1) Sprawdzamy, ˙ze ja_,dro tego odwzorowania, to ±I:

ker = {A ∈ SL₂(_C) : ∀X ∈ V AXA^∗ = X}, biora_,c X = I widzimy, ˙ze A ∈ SU (2), i dalej korzystamy z tego jak wygl:ada odwzorowanie SU (2) → SO(3).

2) Liczymy wymiar grupy: tzn liczymy stopnie swobody. W obu grupach wychodzi 6 i korzystamy z og´olnej w lasno´sci grup (grup Liego): je´sli grupy maja_, r´owny wymiar, a ja_,dro odwzorownia jest sko´nczone, to obraz zawiera ca la_,sk ladowa_,identyczno´sci. (Nie dowodzimy tego twierdzenia, elementarny dow´od epimorficzno´sci mo˙ze by´c traktowane jako ´Cwiczenie).

8 O przestrzeni Lobaczewskiego

8.1 Grupa SL₂(C) dzia la na V przez: A · X := AXA^∗. Podgrupa SU (2) zachowuje wsp´o lrze_,dna_, czasowa_,. Odpowiada to zamianom uk ladu wsp´o lrzednych z pre_,dko´scia_,0.

8.2 Je´sli A zachowuje wsp´o lrze_,dna_, czasowa_, t, to A ∈ SU (2). (Z r´owno´sci A^∗IA ∈ RI wynika, ˙ze A^∗A = I, wie_,c A ∈ SU (2).)

8.3 Definiujemy przestrze´n Lobaczewskiego Λ jako zbi´or prostych w sto˙zku dodatnim [Kos roz.7 §5].

Czyli Λ ⊂_P(V ) jest zawarta w mapie afinicznej t 6= 0. We wsp´o lrze_,dnych u_i = x_i/t zbi´or Λ jest opisany nier´owno´scia_,u²₁+ u²₂+ u²₃ < 1. Zatem przestrze´n Lobaczewskiego mo˙zna uto˙zsami´c z kula_,w B ⊂_R³.

8.4 Model hiperboliczny: Przestrze´n Lobaczewskiego uto˙zsamiamy jednym p latem kwadryki

H = {A ∈ M2×2(C)|A = A^∗, tr(A) > 0, det(A) = 1} ' {(t, x1, x2, x3) ∈R⁴|t > 0, t²− x²₁− x²₂− x²₃= 1}.

8.5 Dzia lanie SO(1, 3)⁺ na Λ jest

– przechodnie (tzn jest jedna orbita, tzn ∀x, y ∈ Λ ∃g ∈ SO(1, 3)⁺x = g · y)

– stabilizator (=grupa izotropii, = grupa stacjonarna) ka˙zdego punktu jest izomorficzny z SO(3) Dw: Poka˙zemy, ˙ze dzia laja_,c SL2(C) na H ka˙zda_, macierz X przekszta lcimy na I. Macierza_, z SU (2) doprowadzamy X do postaci diagonalnej (twierdzenie spektralne) diag(a, a⁻¹). Wyrazy na przeka_,tnej sa_, > 0, bo X ∈ H. Teraz za pomoca_, A = diag(a^−1/2, a^1/2) doprowadzamy do I. Stabilizator liczymy dla X = I.

8.6 Przestrze´n styczna T_(t,x)H jest opisana r´ownaniem φ((t, x), v) = 0, czyli T_(t,x)Λ = lin{(t, x)}^⊥,

gdzie φ jest forma_,2-liniowa_,stowarzyszona_,z forma_,kwadratowa_,t²− (x²₁+ x²₂+ x²₃).

(Dow´od og´olny dla zbioru opisanego r´ownaniem kwadratowym q(x) = 0. Wektor v jest styczny w punkcie p (z definicji) je´sli istnieje krzywa γ(s) = p + sv + O(s²) ca lkowicie zawarta w zbiorze zadanym r´ownaniem q = 0. Zatem dla ka˙zdego s

0 = q(γ(s)) = φ(p + sv + O(s²), p + sv + O(s²)) = φ(p, p) + 2sφ(p, v) + O(s²).

Sta_,d musi by´c φ(p, v) = 0.)

8.7 W ka˙zdym punkcie p ∈ H ⊂R⁴ forma kwadratowa t²− (x²₁ + x²₂+ x²₃) obcie_,ta do przestrzeni stycznej do H jest niezdegenerowana_,forma_,ujemnie okre´slona_,. Definiujemy forme_,kwadratowa_,na T_(t,x) zmieniaja_,c znak aby mie´c iloczyn skalarny.

8.8 Iloczyn skalarny w przestrzeniach stycznych pozwala liczy´c d lugo´s´c krzywych. Odleg lo´s´c pomie_,dzy dwoma punktami definiujemy jako infimum po wszystkich krzywych la_,cza_,cych dane punkty. Okazuje sie_,, ˙ze najkr´otsze krzywe la_,cza_,ce punkty (geodezyjne) nie sa_,odcinkami, lecz lukami okre_,gu prostopad lego do brzehu. W tej geometrii suma ka_,t´ow tr´ojka_,ta geodezyjnego jest mniejsza od π. Mamy

π − suma ka_,t´ow = pole tr´ojka_,ta . Dla por´ownaia na sferze jednostkowej mamy

suma ka_,t´ow − π = pole tr´ojka_,ta .

8.9 Wprowadzamy wsp´o lrze_,dne na H wzorem y_i = _1+t^xi , co odpowiada rzutowaniu stereograficznym π : H → B ⊂ {0} ×_R³z punktu (−1, 0, 0, 0). Norma wektora w punkcie (t, x) r´o˙zni sie_,o czynnik _1−||y||² 2

od normy standardowej w punkcie y = x/(1 + t) ∈ B:

||v||hiperboliczna= 2

1 − ||y||²||Dπ(v)||_standard, dla v ∈ T_(t,x)H . Dow. Odwrotna zamiana wsp´o lrze_,dnych:

(t, x) = 1

1 − ||y||²(1 + ||y||², 2y), .

Sferom o ´srodku w 0 zawartym w B odpowaidaja_, sfery w H po lo˙zone w przestrzeniach zadanych warunkiem t = const. Sa_,one rozcia_,gnie_,te w skali _1−||u||² 2.

Kryzywej γ(s) = (s, 0, 0) na B odpowiada na H krzywa postaci _1−s¹2(1 + s², 2s, 0, 0). Ma on pre_,dko´s´c, liczona_, wg. nowego iloczynu skalarnego, tak˙ze r´owna_{, 1−||u||}² 2 (´cwiczenie z r´o˙zniczkowania). Krzywa ta jest prostopad la do koncentrycznych sfer ||y|| = const w obu iloczynach skalarnych. Zatem obie przestrzenie styczne TyB i T_(t,x)H rozk ladaja_, sie_, na prostopad le sk ladniki rozcia_,gane w tym samym skalarem. Zatem funkcja (t, x) → y jest izometria_,. cbdo

8.10 Uwaga: Przekszta lcenie

H 3 (t, x) 7→ (−1, x

1 + t) ∈R⁴

jest wersja_,rzutu stereograficznego dobrze znanego mniejszym wymiarze dla sfery R³⊃ S²3 (t, x) 7→ (−1, x

1 + t) ∈R³.

Tu tak˙ze odwzorowanie ze sfery na p laszczyzne_, jest wiernoka_,tne (konforemne). ´Cwiczenie: policzy´c wsp´o lczynnik rozcia_,gnie_,cia.

8.11 Opisana tu zosta la geometria hiperboliczna. (W dim=2 patrz dysk Poincar´e.) Elementy grupy SO⁺(1, 3) dzia laja_,jak izometrie.

8.12 ´Cwiczenie: opisa´c orbity dzia lania SL₂(C) na ca lejP(V ).