EFEKTYWNA METODA OBLICZANIA MIĘKKODECYZYJNYCH METRYK SYMBOLI BINARNYCH W SYSTEMIE Z MODULACJĄ QAM

Adrian Kliks

Katedra Radiokomunikacji

Wydział Elektroniki i Telekomunikacji Politechnika Poznańska

ul. Polanka 3 60-965 Poznań akliks@et.put.poznan.pl

EFEKTYWNA METODA OBLICZANIA MIĘKKODECYZYJNYCH

METRYK SYMBOLI BINARNYCH W SYSTEMIE Z MODULACJĄ QAM

odbierania sygnałów jest podejmowanie decyzji o tym, który z punktów konstelacji należy przyporządkować odebranej próbce danych. Układ odwzorowania punktów konstelacji przekazuje na wyjście albo bloki danych binarnych, albo bloki metryk. Poniżej zaprezentowano optymalny – pod względem liczby wyznaczonych metryk –

sposób obliczenia metryk miękkodecyzyjnych, gdy

odwzorowanie punktów konstelacji w bloki binarne jest zgodne z zasadą kodowania Graya.

1. WSTĘP

W wielu nowoczesnych radiowych systemach telekomunikacyjnych wykorzystuje się technikę OFDM. Jedną z cech charakterystycznych transmisji danych w takim systemie jest przesyłanie i symboli danych jednego użytkownika równocześnie na i równoodległych od siebie częstotliwościach podnośnych. Sygnały nadawane na poszczególnych podnośnych są względem siebie ortogonalne, co pozwala na ich łatwe odseparowanie (wydzielenie) z sygnału odebranego w odbiorniku. Jednak w rzeczywistości sygnał na wejściu odbiornika może być mocno zniekształcony przez takie czynniki, jak m.in. niedokładność próbkowania, wielodrogowość, interferencja międzysymbolowa, gaussowski szum addytywny itp. Zastosowanie w nadawanych symbolach OFDM tzw. przedziałów ochronnych pozwala zaniedbać w procesie odbierania danych wpływ interferencji międzysymbolowej na jakość odbioru danych. Biorąc to pod uwagę, odebrane próbki sygnału wejściowego obserwowane na wyjściu demodulatora OFDM – po dodatkowym uwzględnieniu wpływu wielodrogowości oraz szumu – można opisać następującą zależnością: i i i i x y =α +η , (1) gdzie yi oznacza odebraną próbkę danych dla podnośnej i, xi – niezakłócony punkt konstelacji odpowiadający odebranej próbce yi, αi – zespolony współczynnik tłumienia kanału dla podnośnej i, ηi – wartość próbki gaussowskiego zespolonego szumu addytywnego. Zmiana amplitudy oraz fazy próbek wejściowych, wynikająca z powyższego równania, powoduje rozrzucenie, a także przeskalowanie oraz

obrót punktów konstelacji (odpowiadających konkretnym próbkom wejściowym) względem konstelacji oryginalnej. Jeżeli odebrane próbki danych są zniekształcone, zwiększenie niezawodności systemu telekomunikacyjnego można uzyskać przez zastosowanie w procesie odbioru danych dekodowania w trybie z podejmowaniem tzw. miękkich decyzji [1]. Dekodowanie miękkodecyzyjne pozwala osiągnąć zadaną bitową stopę błędów dla mniejszej wartości stosunku sygnału do szumu, niż jest to wymagane w przypadku dekodowania twardodecyzyjnego. Zastosowany dekoder kodu nadmiarowego z miękkodecyzyjnymi sygnałami wejściowymi wymaga w przypadku 2l-wartościowej modulacji QAM na każdej podnoścnej podania na jego wejście 2l metryk będących miarą wiarygodności symbolu zerowego i jedynkowego na każdej pozycji l-elementowego bloku binarnego niesionego przez symbol QAM na tej podnośnej.

Rozważmy obecnie system z modulacją OFDM, w którym na każdej nośnej i zastosowano modulację QAM. Opierając się na pracy [2] możemy stwierdzić, że w procesie dekodowania dążymy do znalezienia takich estymat odebranych symboli danych, dla których spełniona jest następująca zależność:

(

)

gdzie xˆ - to estymata symbolu danych (np. QAM) na i

i-tej podnośnej. Jeżeli proces dekodowania ma charakter

miękkodecyzyjny a modulacja na każdej podnośnej jest

2l-wartościowa, przedstawione wyżej rozwiązanie

można zastąpić rozwiązaniem suboptymalnym danym

wzorem: ∑ − = j i i i ij b j i y x b j i , 2 , , , min arg ˆ _{α , (3)}

gdzie bˆi,j - to estymata j-tego bitu (j=1,...,l) w i-tym bloku danych odpowiadającemu symbolowi xˆi, zaś xi,,j

jest punktem konstelacji najbliższym punktowiyi⋅αi−1. Rozwiązanie suboptymalne cechuje się pomijalnym zmniejszeniem dokładności obliczeń, jednak pozwala zdefiniować metrykę jako odległość euklidesową pomiędzy odebraną próbką danych a punktem konstelacji, który na odpowiedniej pozycji w

2006

Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 7 - 8 grudnia 2006

reprezentacji bitowej posiada wartość 0 lub 1. Sens metryki został zaprezentowany na rysunku 1. Na rysunku oznaczono także jako NP punkt konstelacji, który leży najbliżej odebranej próbki danych yi.

Rys. 1. Zobrazowanie znaczenia metryk do odpowiednich punktów z wartością 0 lub 1 na pierwszym miejscu w reprezentacji binarnej; NP to punkt konstelacji najbliższy odebranemu symbolowi

danychyi⋅αi−1

2. PROPONOWANY ALGORYTM OBLICZANIA MIĘKKODECYZYJNYCH METRYK SYMBOLI BINARNYCH W SYSTEMIE

Z MODULACJĄ QAM

Jeżeli rozważymy system, w którym wykorzystano

n-wartościową modulację QAM, to jednemu punktowi konstelacji odpowiada blok binarny o długości

n

l=log₂ . Wówczas na wyjście układu odwzoro-wywania przekazywane są dwa wektory metryk: pierwszy zawiera odległości pomiędzy próbką odebraną a najbliższymi punktami konstelacji, które na odpowiednich pozycjach w reprezentacji binarnej mają wartość 0, drugi zaś – z odległościami do punktów posiadających na tych pozycjach w reprezentacji binarnej wartość 1. Dla każdego odebranego punktu należy więc, jak już wspomniano wcześniej, wyznaczyć

l

l₂ =2⋅ metryk. Zwróćmy uwagę, że l metryk ma taką samą wartość, ponieważ określa odległość do najbliższego próbce odebranej punktu konstelacji NP. Tak więc w rzeczywistości należy obliczyć jedynie

1 3 = l+

l różnych wartości metryk.

Najprostszy sposób odnalezienia szukanego zestawu metryk polega na obliczeniu odległości pomiędzy próbką odebraną a wszystkimi punktami konstelacji, a następnie na wybraniu z otrzymanego zbioru szukanych l₃ wartości metryk. Rozwiązanie to, choć bardzo nadmiarowe i nieoptymalne obliczeniowo, ma jedną zaletę – można je zastosować zawsze, bez względu na sposób przyporządkowania bloków

binarnych punktom konstelacji. Dla n-wartościowej modulacji QAM należy obliczyć n odległości, a następnie l₃ razy przeszukać wygenerowaną tablicę w celu znalezienia odpowiedniej metryki.

Jeżeli odwzorowanie punktów konstelacji w bloki binarne jest zgodne z zasadą kodowania Graya, wówczas proponowany algorytm pozwala nawet kilkukrotnie zmniejszyć liczbę obliczanych metryk. Po podzieleniu konstelacji na n pól (obszarów decyzyjnych), z których każde przyporządkowane jest pojedynczemu punktowi (rys. 2), należy (na zasadzie porównywania wejściowej próbki danych z progami decyzyjnymi) znaleźć pole zawierające punkt NP. Znalezienie tego pola jest równoznaczne z określeniem punktu NP i umożliwia obliczenie odległości pomiędzy próbką wejściową a punktem NP. Analogicznie postępuje się w przypadku konstelacji rozszerzonych, jak ma to miejsce w standardzie DVB-T [3] (rys. 3).

Rys. 2. Podział konstelacji na n pól oraz wyznaczenie najbliższych pól Kl,k

Rys. 3. Podział konstelacji rozszerzonej na n pól oraz wyznaczenie najbliższych pól Kl,k

Zaproponowany algorytm wykorzystuje fakt, że dzięki kodowaniu Graya pierwsze dwa bity z bloku binarnego (licząc od lewej strony) dzielą konstelację na dwie równe części: lewą i prawą oraz dolną i górną. Taki podział gwarantuje, że jeżeli punkt NP leży w polu Ka,b

(gdzie Ka,b określa pole w a-tym rzędzie i w b-tej

kolumnie) w jednej części, to najbliższy punkt konstelacji, który na odpowiedniej pozycji w bitowej reprezentacji ma wartość przeciwną (w sensie logicznym) do wartości, jaką na danej pozycji w bitowej reprezentacji ma punkt NP, znajduje się w najbliższym polu w części drugiej. Rozważmy to na konkretnym przykładzie: jeżeli punkt NP znajduje się w polu K1,1, to najbliższy punkt konstelacji (zakładamy konstelację 64-QAM) leży w polu K4,1 lub K1,4 , w zależności od tego, czy konstelacja została podzielona w pionie czy w poziomie lub innymi słowy, w zależności od tego, dla którego bitu w reprezentacji binarnej szukamy punktu konstelacji, do którego należy obliczyć odległość. Zobrazowano to na rysunkach 2 oraz 3. Dokonując częściowego uogólnienia można zauważyć, że dla

n-wartościowej modulacji QAM, jeśli punkt NP zlokalizowany jest w drugiej ćwiartce kartezjańskiego układu współrzędnych w polu Ka,b, gdzie a,b<0.5⋅m i

n

m = , wówczas najbliższy szukany punkt znajduje się w polu b m K , 2 lub 2 ,m a K .

Analogiczne zależności można wyznaczyć dla każdego przypadku, kiedy odebrany symbol będzie zlokalizowany w innej niż drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Można wysnuć wniosek, że znajomość wartościowości modulacji oraz położenia najbliższego punktu pozwala jednoznacznie określić położenie wszystkich pozostałych szukanych punktów.

Jednak w tym miejscu warto zwrócić uwagę na kolejną własność konstelacji, w której odwzorowanie punktów konstelacji w bloki binarne jest zgodne z zasadą kodowania Graya. Rozważmy konstelację

QAM

4 −k , gdziek=2,3,4..

.

znajduje się konstelacja 4k−1−QAM, w której odwzorowanie punktów konstelacji w bloki binarne jest również zgodne z zasadą kodowania Graya. Jeżeli tę nową konstelację przesunęlibyśmy do początku układu współrzędnych, opisany wcześniej algorytm można powtórzyć – otrzymaliśmy więc zależność rekurencyjną.

Należy pamiętać, że w odniesieniu do konstelacji QAM

4k−1− umieszczonej w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, konstelacja 4k−1−QAMumieszczona:

a) w ćwiartce drugiej układu współrzędnych jest symetryczna względem osi OY,

b) w ćwiartce czwartej układu współrzędnych jest symetryczna względem osi OX,

c) w ćwiartce trzeciej układu współrzędnych jest symetryczna względem punktu (0,0).

Powyższe zależności należy uwzględnić przy transformowaniu „podkonstelacji” do początku układu współrzędnych. Zasadę przesunięcia „podkonstelacji” pokazano na rysunku 4.

Zaprezentowany algorytm obliczania metryk miękkodecyzyjnych dla systemów z modulacją

QAM

4 −k , k=2,3,4…, można w skrócie przedstawić za pomocą trzech kroków. Po podzieleniu konstelacji na n pól, określeniu progów decyzyjnych oraz wyznaczeniu wartości k należy:

1. określić pole zawierające punkt NP i obliczyć wartość metryki dla punktu NP;

2. wyznaczyć dwa najbliższe punkty konstelacji (odpowiadające dwóm pierwszym bitom w reprezentacji bitowej punktów konstelacji

QAM

4 −k ) potrzebne do obliczenia metryk i obliczyć te metryki;

3. jeżeli konstelacja ma wartościowość większą niż 4 tzn. k>1 – przesunąć „podkonstelację” na środek układu (z uwzględnieniem symetrii), zaktualizować progi decyzyjne (np. w przypadku konstelacji rozszerzonej), zmniejszyć o jeden wartość k (co powoduje także zmniejszenie długości słowa binarnego o 2) oraz przejść do punktu drugiego. W przeciwnym razie należy zakończyć procedurę.

3. PODSUMOWANIE

Przedstawiony algorytm pozwala na optymalne wyznaczenie minimalnej szukanej liczby punktów konstelacji, dla których należy wyznaczyć wartość metryki w procesie dekodowania danych. Wykorzystanie uporządkowania punktów konstelacji zgodnie z zasadą kodowania Graya pozwala na znaczne zmniejszenie złożoności obliczeniowej algorytmu wyznaczania minimalnego zestawu metryk w porównaniu z algorytmami, w których oblicza się metryki dla wszystkich punktów konstelacji.

SPIS LITERATURY

[1] J. G. Proakis, Digital Communication, McGraw-Hill, New York 1995.

[2] V. Engels, T. May, H. Rohling, „Performance

Analysis of Viterbi Decoding for DAPSK and

64-QAM Modulated OFDM Signals”, IEEE Trans.

Commun., vol. 46, s. 182-190, February 1998. [3] ETSI EN 300 744 v1.5.1, „Digital Video

Broadcasting (DVB); Flaming structure, chanel coding and modulation for digital terrestrial