Odwzorowanie częściowo złożeniowe Z w przestrzeni n-wymiarowej

Seria: G EO M E T R IA I G RA FIK A IN ŻY N IERSK A z. 3 N r kol. 1453

Jolanta D ŹW 1ERZY Ń SK A

Z akład G eom etrii i G rafiki Inżynierskiej P olitechniki R zeszow skiej

O D W Z O R O W A N IE C Z Ę Ś C IO W O Z Ł O Ż E N IO W E

Z

W P R ZE ST R ZE N I n -W Y M IA R O W E J

S tre sz c z e n ie . W artykule przedstaw iono poszerzenie na przestrzeń n-w y m iaro w ą P n tzw.

częściow o złożonego odw zorow ania Z , którego zasadę i w łaściw ości om ów iono w (1).

A parat odw zorow ania Z tw o rzą aparaty dw óch rzutow ań prostych: R 0;{n, O} oraz Rs;{ r, S}, gdzie n i r są rzutniam i, a O i S środkam i rzutow ań spełniającym i dodatkow o w arunki:

O e n, S 0 r \ S g n.

A by odw zorow anie Z było w ykreślne, w budow ie aparatów rzutow ań R„ i Rs należy uw zględnić je d n ą z trzech w ersji:

a) rzutnia «-jest p ro stą p (t), a środek rzutow ania O (S)- po d p rzestrzen ią (n -2 )-w y m iaro w ą ro złączn ą z rz u tn ią

b) rzutnia je s t p łaszczy zn ą n (r), a środek rzutow ania O (S) - po d p rzestrzen ią (n-2) - w y m iaro w ą przecin ającą rzutnię w punkcie,

c) rzutnia je s t p łaszczy zn ą n (z)/, zaś środek rzutow ania O (S )/ - po d p rzestrzen ią (n-3) - w y m ia ro w ą ro złączn ą z rzutnią.

Z pow yższego oraz na podstaw ie rachunku w ym iarów m ożna w nioskow ać, że odw zorow anie Z jak o odw zorow anie w ykreślne przestrzeni P n m oże m ieć praktycznie użyteczną postać jed y n ie w przypadku, gdy n=3 lub n=4.

A P A R T L Y C O M P O S IT E R E P R E S E N T A T IO N Z IN T H E n -D IM E N S IO N A L S P A C E

S u m m a ry . A n enlargem ent on the n-dim ensional space Pn o f so called partly com posite representation Z is prasented. It is proved that Z representation m ay be practically useful w hen n=3 o r n=4 only.

N iniejsze opracow anie je s t k ontynuacją i rozszerzeniem rozw ażań zaw artych w artykule [1], O pisane tam odw zorow anie częściow o złożeniow e

Z

pozw oliło w skazać w spólne pole dla licznych odw zorow ań w ykreślnych jednorzutow ych i w ielorzutow ych przestrzeni trójw ym iarow ej rzutow ej, afinicznej oraz euklidesow ej. A parat odw zorow ania

Z,

ja k o m etody zapisu w ykreślnego przestrzeni P j, tw orzą aparaty dw óch rzutow ań prostych:

R o ,{ jr,0 } oraz Rs',{t,S ). R zutnie n i r tych rzutow ań s ą odpow iednio dw iem a dow olnie usytuow anym i w P 3 płaszczyznam i rzutow ym i, zaś środki O i S dw om a różnym i punktam i rzutow ym i, spełniającym i dodatkow o w arunki: O i n, S £ x \ S t n. T ak pom yślany aparat p ozw ala przyporządkow ać każdej podprzestrzeni %_e P 3 parę rzutów \ X ° , 3C°'S}, w k tó rej:

‘K 0 = Ro ( X ) = i n ( X o S)

X ° ’s=Rs[Ro ( X ) ] = t n ( X ° o S), gdzie X ° = t r n ( Xo O), zaś sym bol ( X o O) oznacza złącz podprzestrzeni 3Ci O.

W szczególności w yróżnić m ożna rodzinę podprzestrzeni ^{X i ,} w tym punktów nie należących do m (0 ,S ) - {0,S }, których rzuty X ° oraz X ° 'S p o zw alają na rzutow ą restytucję tych podprzestrzeni w zględem aparatu odw zorow ania

Z,

co św iadczy o tym , że

Z

je s t tzw. odw zorow aniem m inim alnym przestrzeni P 3 [2].

Z ałóżm y obecnie, że odw zorow anie

Z

należy zastosow ać do zapisu przestrzeni rzutowej n- w ym iarow ej P,„ przy czym uczestniczące w tym odw zorow aniu rzutow ania w iązkow e R0 i Rs m o g ą być rzutow aniam i zw yczajnym i (rzutnia i środek rzutow ania s ą rozłączne) lub uogólnionym i (rzutnia nierozłączna ze środkiem ) [2], P oniew aż odw zorow anie

Z

je s t z założenia odw zorow aniem w ykreślnym , w ięc w przestrzeni P„ za rzutnie rzutow ań Ro i R$

należy przyjąć proste lub płaszczyzny.

U w zględniając zasygnalizow aną w ariantow ość budow y aparatów rzutow ań Ro i Rs dochodzi się do trzech zasadniczo różnych i m ożliw ych do zastosow ania w przestrzeni P„

w ersji budow y aparatów rzutow ań R o A ^ , O } i Rs',{% S }:

a) rzutnia ^{T (!P)} je s t p ro stą t (p), zaś środek S ( O ) rzutow ania R$ (Ro) je s t podprzestrzenią (n -2)- w y m ia ro w ą ro złączną z rz u tn ią

b) b) rzutnia 7 ( ? ) je s t płaszczyzną r (ri), a środek rzutow ania R s (Ro) je s t podprzestrzenią (n -2 )-w y m ia ro w ą przecinającą rzutnię w punkcie,

c) rzutnia T (? ) je s t płaszczyzną r (ri), środek zaś S (O ) rzutow ania Rs (Ro) jest podprzestrzenią (n -3 )-w y m iaro w ą rozłączną z rzutnią.

Fig-1

R ysunek 1 o brazuje sym bolicznie strukturę aparatu rzutow ania Rs (R q ) w każdej z w ym ienionych w ersji oraz uzasadnia za p o m o cą rachunku w ym iarów przyjęte w poszczególnych w ersjach w ym iary środków rzutow ań S (O).

Spróbujm y teraz zestaw ić aparat odw zorow ania

Z

przestrzeni P,„ ze w skazanych na rysunku 1 różnych w ersji aparatów rzutow ań Ro i Rs • W zestaw ieniu tym konieczne je st uw zględnienie następujących w arunków , będących uogólnieniem w łaściw ości opisanego w [1] aparatu odw zorow ania

Z

przestrzeni P i . M ianow icie:

- środki S i O rzutow ań w iązkow ych Rs i Ro , w ykorzystyw anych w definiow anym odw zorow aniu

Z,

m u szą tw orzyć układ m inim alnego odw zorow ania w ielorzutow ego przestrzeni P„, a w ięc S o O * Pn oraz S r \ O = 0 , czyli

dim S + dim O < n (1)

- rzutnia P rzutow ania Ro pow inna należeć do rodziny podprzestrzeni nierzutujących w rzutow aniu R s , co gw arantuje w zajem nie jednoznaczne przekształcenie rzutów (P„) c P i (P„)°’s c T i w yraża się spełnieniem nierów ności

dim P + dim S + 1 < n (2)

W szystkie teoretycznie m ożliw e przypadki zestaw ień aparatów rzutow ań R o i R s, m ogących dać aparat w ykreślnego odw zorow ania w iązkow ego częściow o złożeniow ego

Z

przestrzeni P„ pokazano w tablicy 1. D la poszczególnych par w yróżnionych aparatów rzutow ań R o \{ P ,O j i R s ,{ T ,S } spraw dzono w arunki zachow ania nierów ności (1) i (2), zapisując w yniki analizy w odpow iednich polach tablicy.

Z estaw ione w tablicy 1 obliczenia w skazują, że rozw ażane odw zorow anie częściow o złożeniow e

Z,

traktow ane ja k o odw zorow anie w ykreślne przestrzeni P„, m a praktycznie u ży teczn ą postać jed y n ie w tedy, gdy:

1° aparat odw zorow ania Z jest zbudow any przy uw zględnieniu w arunków zapisanych w polach 3A, 3B oraz 3C tablicy 1,

2 ° w ym iar n odw zorow yw anej przestrzeni P„ je s t rów ny 3 (dla odw zorow ań typu 3A ,3B ,3C ) lub 4 (dla odw zorow ania typu 3C).

W niosek 2 ° św iadczy o tym , że odw zorow ania typu

Z

zn ajd u ją bardzo ograniczone zastosow ania w w ykreślnych opisach rzutow ych przestrzeni w ielow ym iarow ych. Elim inację tego ograniczenia uzyskać m ożna, w spom agając odw zorow ania

Z

tzw . „odw zorow aniam i centrycznym i”. N ie je s t to jed n a k objęte tem atem niniejszych rozw ażań.

U w ag a:

Z asygnalizow ane w tablicy 1 zestaw ienia 1A, 2A oraz 3A, 3B i 3C aparatów rzutow ań w iązkow ych R s i R o d a ją m ożliw ość budow y aparatów odw zorow ania

Z

przestrzeni P 2, ale tego rodzaju odw zorow ania w ykreślne przestrzeni, dającej się zapisać w oryginale na płaszczyźnie, nie m ają praktycznego uzasadnienia.

Z auw ażm y jeszcze, że w śród w yróżnionych w tablicy 1 odw zorow ań

Z

odw zorow anie typu 3C realizow ane w przestrzeni P i je s t identyczne z odw zorow aniem opisanym w [1],

P ozostałe odm iany odw zorow ania

Z:

- ty p u 3A i 3B, realizow ane w przestrzeni P i , - typu 3C, realizow ane w P 4,

Tablica 1

A parat

^rzutow ania A parat Rs rzutow ania

Ro

{ S, / } d im S = n-2 p r \ 5 = 0

{ S, n } d im S = n-2

dim ( S n tt)=0

{ S , n } d im 5 = n-3

J > n ;r = 0

{ 0 , p ) d im 0 = n- 2 p n 0 = 0

(1)

(n -2 )+ (n -2 )< n-2 n < 2

(

2

)

l+ (n -2 )+ l < n n < n ---

n < 2

(1)

(n-2)+ (n-2) < n-2 n < 2 (2)

l+ (n -2 )+ l < n n < n

n < 2

(1)

(n - 2 )+ (n - 3 )< n-2 n < 3

(

2

)

l+ (n -3 )+ l < n

-1 < 0

n < 3

B

(O, k

}

d im 0 = n - 2 d im ( O n ^jt) = 0

(1)

( n -2 )+ (n -2 )< n-2 n < 2 ---

(

2

)

2 + (n -2 )+ l < n 1 < 0 ---

sprzecznosc

(

1

)

(n -2 )+ (n -2 )< n-2 n < 2

(2)

2 + (n -2 )+ l < n 1 < 0 —

sprzeczność < — (O

( n - 3 )+ (n - 2 )< n-2 n < 3

(

2

)

2 + (n -3 )+ l < n n < n “

n < 3

( O, k}

dim 0 = n-3

O n n = 0

(1)

(n -2 )+ (n -3 )< n-2 n < 3---

(

2

)

2 + (n -2 )+ l < n 1<0 sprzecznosc

(

1

)

(n-2)+ (n-3) < n-2 n < 3 --- (2)

2+ (n -2 )+ l < n 1 < 0

sprzecznosc

(1)

( n - 3 )+ (n - 3 )< n-2 n < 4 —

(

2

)

2 + (n -3 )+ l < n n < n

n < 4

stanow ią, w stosunku do [1], now e propozycje realizacji odw zorow ań w ykreślnych odpow iednich przestrzeni rzutow ych. Pom im o odm ienności szczegółow ych zasad budow y aparatów tych odw zorow ań dow odzi się, że w ystępujące w odw zorow yw anych przestrzeniach rodziny podprzestrzeni o tzw. obrazach p rostych charakteryzują się takim i sam ym i w łaściw ościam i, ja k ustalono w [1],

M ianow icie w odw zorow aniu Z typu 3A, 3b lub 3C realizow anym przy w ykorzystaniu rzutow ań w iązkow ych Ro,{tP, O } \ Rs ; { %S } podprzestrzeń 9 C c P „ m a tz w . obraz prosty, tzn.:

flC=(3Cs o 5 ) n ( 3 C ° o O), gdy (S o O ) = ( ? C n S ) o ( S C n O).

P odprzestrzenie nie m ające obrazów prostych zapisuje się w om aw ianych odw zorow aniach za pośrednictw em tzw. obrazów złożonych, które m ają formę:

- obrazów złą czo w ych , gdy odw zorow yw aną podprzestrzeń %_ traktuje się ja k o złącz podprzestrzeni odw zorow yw anych w sposób restytuow alny,

- obra zó w iloczynow ych, gdy 3Qest iloczynem podprzestrzeni w cześniej odw zorow anych w sposób restytuow alny.

P rzykłady budow y obrazów prostych, złączow ych oraz iloczynow ych podprzestrzeni przestrzeni P 3 oraz P 4 uzyskanych za p o m o cą odw zorow ania Z typu 3A , 3B oraz 3C w ykreślono odpow iednio na rysunkach 2, 3 i 4. Rysunki te p o k azu ją dodatkow o m ożliw ość zapisu rzutow ych relacji zachodzących pom iędzy podprzestrzeniam i, co dow odzi, że w ykorzystane do ich w ykonania odw zorow ania w ykreślne typu Z stan o w ią efektyw ne m etody opisu w ykreślnego figur w yróżnionych w odw zorow yw anych przestrzeniach rzutow ych.

3 A d la P3

p c T x e p „ - f S o O I

a - p r o s t a , S - r z u t u j a c a

R y s 2

F ig .2

3 d la P j

3C d la P<

a)

b)

P S(W S, U s, P s,...)A p °'s( W ° s u ° - s P o s )

ü 1

x ;= p sr ‘sos =>x°s^y° ,s Y p fts o t o s j

a ( i , U ) , ß (t,W ) a * ß , b o p ( U , W ) n t = 0

© ( a . ß l ^ O . S ) , bo 7 ? * ( f i 0 ° ' V < f s

U

o b ra z S o 5 ° = 8 o s= O s= S a s i o b ra z p o d p rz e strze n i V

Rys.4 Fig.4

LIT ER A TU R A

1. D źw ierzyńska J., Januszew ski B.: O dw zorow anie częściow o złożeniow e

2

trójw ym iarow ej przestrzeni rzutow ej na płaszczyznę oraz je g o adaptacje do zapisu przestrzeni afinicznej i euklidesow ej. Publikacja przygotow ana do druku w Zeszytach N aukow ych Politechniki R zeszow skiej, 1999

2. Januszew ski B, Steciak A.: Podstaw y pew nej klasyfikacji w ykreślnych odw zorow ań w ielorzutow ych w iązkow ych. M iędzynarodow e Sym pozjum G eodezja i geom etria inżynierska w budow nictw ie i inżynierii. R zeszów -K aczam ica 1996

3. S łom a J.: C entryczne odw zorow ania przestrzeni rzutow ych n - w ym iarow ych.

P ublikacja przygotow ana do druku w W ydaw nictw ie U czelnianym Politechniki L ubelskiej, 1999

R ecenzent: Prof. dr hab. inż. M arian Palej

A b s tr a c t

An enlargem ent on the n-dim ensional space P n o f so called partly com posite representation Z , described in (1) for the case n=3, is presented.

T he Z representation apparatus is created by tw o sim ple projection apparatuses R„;{:t, 0 } and Rs; {t, S} , w here n and r are projection subspaces and O, S - centres o f projection fulfiling additionally the conditions: O g n , S g r and S g n .

T he assum ption o f one o f three kinds o f projection subspaces is necessary to make considered m ethod o f representation graphically useful:

a) the projection subspace is a line p (t) and the centre o f projection R a (Rs) is a (n-2)- dim ensional subspace, separable w ith projection subspace,

b) the projection subspace is a plane n ( r ) , w hile the centre o f p rojection R 0 (RS) is a (n-2)- dim ensional subspace , intersecting the projection subspace in a point,

c) the projection subspace is a plane n (r) but the centre o f p rojection R a (Rs) is a (n-3)- d im ensional .separable w ith n ( r ) - subspace.

T here are conclusions o f above m entioned conditions and o f dim ension com putation discussed . It is proved that presented Z representation m ay be practically useful w hen n=3 o r n=4 only. T here are som e exam ples o f representation o f the space P3 and P4 presented.