Wyka˙z, ˙ze algorytm Hornera obliczania warto´sci w(ξ) wielomianu danego w postaci potegowej,, vn

Zadania domowe 11-15

(termin: 20 maja 2016) Zadanie 11.

Niech B bedzie macierz_, a symetryczn_, a 2×2 o dw´_, och r´o˙znych dodatnich warto´sciach w lasnych mniejszych od jedno´sci. Do macierzy A₁ = B − 4 ∗ I i A₂ = B + 20 ∗ I zastosowano (zwyk la)_, metode pot_, egow_, a_,

~x_k+1= A_i~x_k kAi~xkk2

z wektorem poczatkowym ~_, x₀ 6= 0 niebed_, acym wektorem w lasnym macierzy B otrzymuj_, ac_, dwa ciagi, po jednym dla ka˙zdej z macierzy. Czy mo˙zemy by´_, c pewni, ˙ze ciag r_{, k} = ~x^T_kA_i~x_k jest zbie˙zny w obu przypadkach? Czy znajac warto´sci obu granic (o ile istniej_, a) jeste´smy w_, stanie poda´c kosztem O(1) oblicze´n w fl warto´sci w lasne macierzy B?

Zadanie 12.

Wyka˙z, ˙ze algorytm Hornera obliczania warto´sci w(ξ) wielomianu danego w postaci potegowej,_, v_n := a_n;

for j := n − 1 downto 0 do vj := vj+1∗ x + aj;

jest jednocze´snie algorytmem dzielenia tego wielomianu przez jednomian (x−ξ). Dok ladniej, je´sli w(x) =Pn

j=0ajx^j to

w(x) =

 n

X

j=1

v_jx^j−1



(x − ξ) + v₀.

Zadanie 13

Funkcje f (x) = x_, ⁴ interpolujemy wielomianem Hermite’a w dw´och podw´ojnych wez lach:_, x = 0 i x = 1.

(a) Wyznacz wielomian interpolacyjny w odpowiedniej bazie Newtona.

(b) Uzasadnij, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ [0, 1] b lad interpolacji mo˙zna oszacowa´_, c przez ₁₆¹. Zadanie 14.

Wyka˙z, ˙ze dla funkcji f (x) = xⁿ i dowolnych punkt´ow xj, 0 ≤ j ≤ k, r´o˙znica dzielona f [x0, x1, . . . , xk] =







0 je´sli k ≥ n + 1,

1 je´sli k = n,

x₀+ x₁+ · · · + x_k je´sli k = n − 1.

Zadanie 15.

Niech s : R → R bedzie funkcj_, a sklejan_, a pierwszego stopnia (tzn. funkcj_, a ci_, ag l_, a i kawa lkami_, wielomianem stopnia ≤ 1) oparta na w_, ez lach x_{, 0} < x₁ < · · · < x_n. Wyka˙z, ˙ze s mo˙zna jednoznacznie przedstawi´c w postaci

s(x) = a + bx +

n

X

j=0

c_j|x − x_j| dla pewnych a, b, cj, 0 ≤ j ≤ n.