Matematyka Predowodzenie

(1)

Predowodzenie

„Uczeń, który nigdy nie był pod urokiem dowodu matematycznego, pozbawiony został jednego z najważniejszych przeżyć intelektualnych”.

George Polya (1887–1985) Przepiękne słowa G. Polya podkreślają rolę dowodu w edukacji inte-lektualnej młodego człowieka. W myśl tej sentencji możemy sformułować postulat:

Każdy uczeń powinien choć raz zachwycić się dowodem matematycznym. Realizacja tego postulatu nie będzie rzeczą prostą, jeśli w ogóle możli-wą. Na wstępie ustalmy co rozumiemy przez sformułowanie zachwycić się dowodem. To sformułowanie będziemy traktowali bardzo szeroko, jako za-ciekawienie lub zainteresowanie, lub fascynację, lub po prostu poczucie, że wysiłek i czas na poznanie danego rozumowania nie był z punktu widzenia ucznia trudem i czasem zmarnowanym. Bez wątpienia warunkiem koniecz-nym do zachwycenia się dowodem matematyczkoniecz-nym, jest jego zrozumienie przez uczniów. Zatem dochodzimy do drugiego postulatu:

Matematyki powinno uczyć się w ten sposób, aby jak najwięcej uczniów mogło rozumieć dowody matematyczne.

Niniejszy artykuł będzie propozycją, w jaki sposób możemy realizować ten postulat. Wszystkie działania, mające na celu przygotowania ucznia do rozumienia dowodu matematycznego, będziemy nazywali predowodzeniem, przy czym mogą być to działania ukierunkowane na ogólne przygotowania uczniów do dowodzenia lub wysiłki przygotowujące ucznia do zrozumie-nia konkretnego rozumowazrozumie-nia dowodowego. Artykuł ten jest poświęcony ogólnemu przygotowaniu uczniów do dowodzenia. Sposoby przygotowania uczniów do rozumienia konkretnych dowodów czytelnik może zobaczyć w artykułach: „Dowody dla każdego”, „Niepodzielnie o arytmetyce” i „Różne metody wprowadzania twierdzenia Pitagorasa”.

(2)

Przed zaproponowaniem konkretnych działań zastanówmy się, kiedy war-to rozpocząć predowodzenie.

Odnotujmy, że dziecko w wieku przedszkolnym potrafi rozumować i wy-ciągać wnioski. Potrafi abstrahować własności obiektów, na przykład ukła-dając klocki kolorami, czy kształtami. Potrafi myśleć sekwencyjnie, uzupeł-niać kolejne elementy w ciągu na przykład pod względem kształtu

. . .

lub koloru.

. . .

Skoro już dziecko w wieku przedszkolnym jest w stanie przeprowadzać proste rozumowania w postaci abstrahowania i myślenia sekwencyjnego, to propo-nujemy, aby predowodzenie zacząć najpóźniej w szkole podstawowej i kon-tynuować przez wszystkie etapy edukacji matematycznej.

1.1. Pierwsze kroki w predowodzeniu

W klasach nauczania początkowego dużo uwagi poświęca się na umiejęt-ności zliczania i liczenia w zbiorze liczb naturalnym. Większość zadań polega na wykonaniu odpowiedniego rachunku, a ich polecenia mogłyby zaczynać się słowem oblicz. Również zadania z kontekstem realistycznym na przykład: 1. Ala upiekła z mamą 7 ciastek. Obie zjadły po dwa ciastka. Ile ciastek

zostało?

możemy traktować jak zadanie typu oblicz pytanie o to ile ciastek zostało. Oczywiście takie zadania są bardzo istotne w edukacji matematycznej, gdy uczą modelować za pomocą obiektów i operacji matematycznych pewne sy-tuacje rzeczywiste. Jednakże zadania tego typu nie przygotowują ucznia do dowodzenia, gdyż w dowodach matematycznych zazwyczaj nie odpowiada-my na pytanie ile, lecz na pytania jak i dlaczego.

Zacznijmy od nauki dodawania pisemnego. Kiedy uczniowie nasi nabiorą już biegłości w używaniu algorytmu dodawania pisemnego, możemy zapro-ponować im rozwiązanie następującego zadania.

(3)

2. Uzupełnij odpowiednią cyfrą a. 5 2 + 3 7 5 , bo . . . . b. 3 + 2 8 5 9 , bo . . . . c. 1 1 2 + 2 1 4 4 , bo . . . .

Pierwsze zadanie ma na celu oswojenie uczniów z tego typu problemem. Istotnym w tym zadaniu jest pytania dlaczego i napisania odpowiedzi tak, jak w poniższym przykładzie.

5 2

+ 2 3

7 5

, bo 5 + 2 = 7.

Zaproponujmy różne typy takich zadań.

3. Uzupełnij odpowiednią cyfrą

3 + 7 2 1 1 5 , bo . . . . Rozwiązanie: 4 3 + 7 2 1 1 5 , bo 4 + 7 = 11,

Przykład tego typu jest trudniejszy od poprzednich, gdyż wykorzystuje koncepcję „przechodzenia” cyfr do następnej kolumny.

8 7

+ 5

1 7 2

, bo . . . .

Rozwiązanie. Rozwiązanie tego zadania powinno odbywać się w kro-kach:

a) obliczamy 7 + 5 = 12, stąd cyfra 1 przechodzi do następnej kolumny; b) obliczamy 8 + 1 = 9;

(4)

c) Rozwiązujemy równanie 9 + = 17. Zatem rozwiązanie zapisujemy w postaci

8 7

+ 8 5

1 7 2

, bo 7 + 5 = 12; 8 + 1 = 9; 9 + 8 = 17.

Trzeci poziom zaawansowania w tego typu zadaniach może być następu-jący

9 7

+ 8

1 3 5

, bo . . . .

W tym przykładzie musimy wykorzystać umiejętności z dwóch poprzed-nich zadań. Rozwiązanie może wyglądać następująco:

9 7

+ 3 8

1 3 5

, bo 7 + 8 = 15; 1 + 9 = 10; 10 + 3 = 13.

Odnotujmy, że tego typu zadania dobrze jest wprowadzać zgodnie z zasa-dą „trzech kroków”. Przy pierwszym przykładzie uczeń może mieć problemy z jego rozwiązaniem, wtedy rozwiązuje go nauczyciel, tłumacząc uczniowi sposób rozwiązania. Przy drugim przykładzie uczeń powinien podjąć próbę samodzielnego rozwiązania, ewentualnie może potrzebować drobnej asysty ze strony nauczyciela. Przy trzecim przykładzie tego samego typu uczeń powinien być w stanie rozwiązać przykład samodzielnie. Oczywiście ucznio-wie zdolniejsi matematycznie rozwiążą zadanie za pierwszym lub drugim razem, lecz mając na celu, aby możliwie wszyscy nasi uczniowie nauczyli się rozwiązywać tego typu zadania, warto aby każdy typ zadania był wpro-wadzony osobno, a po nim następowało od trzech do pięciu przykładów do przećwiczenia. Zatem niewskazane jest tworzenie kilkunastu zadań różnych typów, bo choć jest to ciekawe dla zdolniejszych uczniów, to uczniowie słabsi i przeciętni mogą mieć problemy z ich rozwiązaniem. Aby nie zapominać o uczniach zdolniejszych warto mieć również przygotowane przykłady trud-niejsze, lecz również wprowadzać je stopniowo.

(5)

6. Uzupełnij odpowiednimi cyframi 5 4 + 1 3 1 , bo . . . . Rozwiązanie: 5 4 + 7 7 1 3 1 , bo 4 + 7 = 11; 5 + 1 = 6; 6 + 7 = 13.

7. Uzupełnij i odpowiednimi cyframi

3 1 2

+ 4

4 5 4

, bo . . . .

Tego typu przykłady mają na celu oswojenie uczniów z większą liczbą brakujących cyfr. Zauważmy, że ponieważ brakujące cyfry są od siebie niezależne, jest to najłatwiejszy typ takich zadań.

1 6 7

+1

2 9 6

, bo . . . .

Zaproponowany przykład wykorzystuje koncepcję „przechodzenia” cyfry do następnej kolumny. Przez to musimy najpierw uzupełnić , aby móc uzupełnić . W zadaniu następnym koncepcja ta jest wykorzystana dwukrotnie.

1 6 7

+1

3 2 0

, bo . . . .

Jeżeli uczniowie nabiorą wprawy w tego typu przykładach możemy wprowadzić trudniejsze przykłady.

(6)

3

+1 5

4 2 3

, bo . . . .

Podobne zadania możemy ułożyć przy okazji odejmowania pisemnego oraz mnożenia. Chociaż w przypadku tych działań musimy uważać, gdyż odejmowanie pisemne ma koncepcję „pożyczania” dziesiątek, która w przy-padku zadań do uzupełniania może sprawić uczniom kłopot. Podobnie mno-żenie jest bardziej złożone rachunkowo, więc tutaj również musimy z dużą uwagą dobierać odpowiednie przykłady.

Odnotujmy, że zadania tego typu mogą być tylko realizowane, gdy ucznio-wie nabiorą wprawy rachunkowej w działaniach pisemnych. Zalety realizacji takich zadań są następujące:

a. przyzwyczajenie uczniów do zadań, które nie polegają na obliczaniu, lecz uzupełnianiu i wyjaśnianiu poprawności swojej decyzji;

b. zadania tego typu nie można rozwiązywać na kalkulatorze oraz za po-mocą aplikacji do rozwiązywania zadań typu PhotoMath.

c. zadania tego typu wymagają skupienia uwagi i przytomności umysłu, w przeciwieństwie do algorytmu działań pisemnych, które można robić automatycznie;

d. zadania te weryfikują sprawność działań pisemnych oraz poprawiają bie-głość liczenia pisemnego.

UWAGA

W zadaniach celowo używaliśmy pustych miejsc i , a nie na przykład zmiennych x i y, gdyż uzupełnianie pustych miejsc jest bardziej intuicyjne, niż podstawianie pod niewiadome. Dodatkowo tego typu zadania przygoto-wują uczniów do pojęcia niewiadomej.

1.2. System dziesiętny w predowodzeniu

Uczniowie dość szybko poznają budowę systemu dziesiętnego. Rozróżnia-ją cyfry jedności, dziesiątek, setek, tysięcy itd. Na bazie tej wiedzy jesteśmy wstanie zaproponować kilak pożytecznych zadań. Po pierwsze zadania typu:

Jaka to liczba?.

11. Pewna liczba zbudowana jest z z dwóch cyfr. Cyfra dziesiątek jest równa 7. Cyfra jedności jest o trzy mniejsza od cyfry dziesiątek. Jaka to liczba?

(7)

Rozwiązanie:

Liczba składa się z dwóch cyfr. Zaznaczamy dwa wolne miejsca na dwie cyfry:

cyfra dziesiątek

Pierwszą od lewej podpiszmy jako cyfrę dziesiątek, drugą jako cyfrę jed-ności:

cyfra dziesiątek cyfra jedności

Następnie z treści zadania odczytujemy, że cyfra 7 jest cyfrą dziesiątek szukanej liczby, zapiszmy to:

7

Następnie z rachunku 7 − 3 = 4 wyliczamy cyfrę jedności.

7

4

Zatem szukaną liczbą jest 74.

12. W liczbie dwucyfrowej, cyfra dziesiątek wynosi 5. Cyfra jedności jest o 4 większa od cyfry dziesiątek. Jaka to liczba?

Tego typu zadania możemy powielać dla liczb dwu, trzy i czterocyfro-wych. Odnotujmy, że polecenia zostały zapisane prostymi zdaniami, oraz że celowo pierwszą informacją w zadaniu była konkretna wartość pewnej cyfry, dopiero później pojawiła się informacja, która pozwoliła wyznaczyć drugą cyfrę. Dla przykładu poniżej zamieszczamy zadanie drugie w wersji trudniejszej do zrozumienia.

13. Wyznacz liczbę dwucyfrową, dla której cyfra jedności jest o 4 większa od cyfry dziesiątek, zaś cyfra dziesiątek jest równa 5.

(8)

Oczywiście uczeń sprawny matematycznie powinien poradzić sobie z tym zadaniem, lecz słabszy uczeń nie będzie wiedział od czego zacząć. Ponie-waż naszym celem jest, aby jak najwięcej uczniów rozwiązało to zadanie, przynajmniej na początku powinniśmy im to ułatwić, dbając o prosty przekaz treści zadania. Zaś kiedy już nabiorą wprawy w rozwiązywaniu tego typu zadań, możemy im je utrudniać. Omawiane zadanie ma dwie trudności:

a. polecenie jest podane w formie zdania wielokrotnie złożonego; b. informacje podane w zadaniu muszą być wykorzystane w odwrotnej

kolejności niż występują one w treści zadania. Podajmy jeszcze jedno przykładowe zadanie:

14. Liczba czterocyfrowa ma cyfrę jedności równą pięć. Cyfra dziesiątek jest o 2 mniejsza od cyfry jedności. Cyfra setek i cyfra tysięcy sa takie same i dodane do siebie dają 6.

Możemy podać następujące zalety rozwiązywania takich zadań a. zadania te utrwalają nazewnictwo cyfr w systemie dziesiętnym; b. jest to zadanie którego nie rozwiążemy na kalkulatorze lub przy

po-mocy aplikacji komórkowej.

c. uczeń ćwiczy wyłuskiwanie informacji z tekstu;

Ostatnim elementem w tym temacie może być porównywanie liczb.

15. Uzupełnij brakującą cyfrą, aby zachodziła równość

a. 12385 = 12 85 b. 1111 4 = 111174 c. 213151 = 2 3 5 d. 132 = 1325 − 4 e. 4513 + 2 = 45140

Przedstawione zadanie ma na celu przyzwyczaić uczniów do tego typu problemów.

16. Uzupełnij brakującą cyfrą, aby zachodziła nierówność

a. 21458 < 2145 b. 21458 ¬ 2145 c. 11311 > 1131 d. 11311 1131 e. 21212 > 2121

Przykłady a. i c. mają po jednym rozwiązaniu, lecz przykłady b., d. oraz e. mają kilka możliwych rozwiązań. Jest to bardzo prosty sposób na wprowadzenie zadań, które mają kilka poprawnych rozwiązań.

(9)

1.3. Arytmetyczne predowodzenie

Arytmetyka szkolna wspaniale nadaje się jako przygotowanie do dowo-dzenia. Umożliwia poprzez operowanie na liczbach zadawanie pytań postaci: Czy dana liczba jest parzysta? Dlaczego dana liczba jest parzysta? Tak postawione pytanie jest bardzo bliskie poleceniu: Uzasadnij, że liczba jest parzysta.

Zacznijmy od cech podzielności. 17. Czy liczba 2134156 jest parzysta?

Rozwiązanie:

Liczba 2134156 jest parzysta, bo jej cyfra jedności jest cyfra parzysta 6. W rozwiązaniu tego zadania, kluczowym jest, aby uczeń zapisał dlaczego dana liczba jest parzysta. Zadania tego typu są wspaniałą okazją do nauczeniu uczniów wyciągania wniosków ze znanych faktów.

18. Czy liczba 2134515 jest podzielna przez 4? Rozwiązanie:

Liczb 2134515 nie jest podzielna przez 4, bo liczba 15 nie jest podzielna przez 4.

W tym temacie uczniowie powinni nauczyć się uzasadniać podzielność lub niepodzielność danej liczby.

19. Dlaczego liczba 1111122 jest podzielna przez 3? Rozwiązanie:

Liczba 1111122 jest podzielna przez 3, bo suma jej cyfr 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 9 jest podzielna przez 3.

Zaproponujemy jeszcze kilka dodatkowych zadań z wykorzystaniem cech podzielności.

20. Wpisz cyfry w , aby liczba 1031 była podzielna przez 2.

21. Wpisz cyfry w , aby liczba 1031 była podzielna przez 4.

22. Wpisz cyfry w , aby liczba 1031 była większa od 10317 i podzielna

przez 2.

23. Wpisz cyfry w , aby liczba 21 33 była mniejsza od 21433 i podzielna

przez 3.

W następnych zadaniach będziemy zakładali, żę uczniowie wiedzą, że suma liczb podzielnych przez 7 jest podzielna przez 7.

24. Liczb 770 jest podzielna przez 7, czy liczba 777 też jest podzielna na 7? Rozwiązanie

Liczb 777 = 770 + 7. Ponieważ zarówno 770 i 7 są podzielna na 7, to 777 również jest podzielne przez 7.

(10)

26. Wiadomo, że 819 liczba jest podzielna przez 7. Uzasadnij, że 7 | 805, _{7 - 811.}

1.4. Pytania otwarte w predowodzeniu

Jedną z kluczowych umiejętności podczas dowodzenia twierdzeń, jest wnioskowanie oraz szukanie podobieństw i analogii.

27. Co możemy powiedzieć o liczbach naturalnych a i b,

a + b = 10?

W tym wypadku uczniowie mogą podać 9 dobrych odpowiedzi (gdy 0 /∈ N) lub dziesięć, (gdy 0 ∈ N).

28. Co możesz powiedzieć o danych liczbach:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, b. 3, 6, 9, 12, 15, 18, c. 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, d. 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, e. 3, 1, 4, 1, 5, 9. Możliwe odpowiedzi: a. a) są to liczby parzyste; b) są to potęgi liczby dwa;

c) jest tyle samo liczb jedno i dwucyfrowych;

d) liczy te pojawiają się na osi liczbowej „skacząc” o poprzednią licz-bę.

b. a) dzielą się przez 3;

b) występują na osi liczbowej co trzy; c) 3 + 18 = 6 + 15 = 9 + 12;

d) 3 + 9 2 = 6,

6 + 12

2 = 9 itd. c. a) występują co 5 na osi liczbowej;

b) ostaną cyfrą jest na przemian 1 i 6; c) reszta z dzielenia przez 5 jest równa 1;

d. są to liczby postaci n2+ 1 dla n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

(11)

1.5. Wprowadzanie pojęć i ich własności jako element predowodzenia.

Podamy przykład wprowadzenia własności potęg oraz rozszerzenia tego pojęcia na potęgi o wykładniku całkowitym.

Przypomnijmy, że potęga 25 określona jest jako iloczyn pięciu liczb 2, tzn. 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 | {z } 5−razy . Podobnie 37 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 | {z } 7−razy . Wtedy a4 = a · a · a · a | {z } 4−razy dla _{a ∈ R.} Ogólnie an= a · a · · · a | {z } n−razy dla _{a ∈ R,} _{n ∈ N}1_. PRZYKŁAD Obliczmy 23· 25 _{= 2 · 2 · 2} | {z } 3−razy · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 | {z } 5−razy = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 | {z } 3+5−razy = 23+5. Podobnie 32· 34= 3 · 3 |{z} 2−razy · 3 · 3 · 3 · 3 | {z } 4−razy = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 | {z } 2+4−razy = 32+4. Dla a ∈ R mamy a4· a3 = a · a · a · a | {z } 4−razy · a · a · a | {z } 3−razy = a · a · a · a · a · a · a | {z } 4+3−razy = a4+3. Ogólnie am· an= a · a · · · a | {z } m−razy · a · a · · · a | {z } n−razy = a · a · · · a · a · · · a | {z } m+n−razy = an+m.

(12)

an· am= an+m dla _{n,m ∈ N, a ∈ R.}

Odnotujmy, że w analogiczny sposób możemy wyprowadzić wraz z ucznia-mi wszystkie reguły działania na potęgach. Przyjmując schemat, że najpierw uczeń może zaobserwować pewną własność na przykładach, a potem uza-sadnić ją w ogólności.

Mając już wyprowadzone wszystkie reguły działań na potęgach, może-my zastanowić się jak powinno wyglądać 20. Przeprowadźmy następujące rozumowanie PRZYKŁAD Obliczmy 23 23 = 2 3−3_{= 2}0_. Z drugiej strony 2 3 23 = 1. Zatem 2

0 _{powinno być równe 1.}

Z tego powodu przyjmujemy, że 20 = 1 oraz ogólniej, że

a0= 1, dla a 6= 0.

Odnotujmy, że przedstawione rozumowanie nie jest dowodem, gdyż wła-sność a

n

am = a

n−m _{została przez nas uzasadniona tylko w przypadku liczb}

naturalnych n i m spełniających warunek n > m. Jednakże to rozumowanie pokazuje, że jeśli chcemy rozszerzyć pojęcie potęgi o wykładniku natural-nym do wykładnika zero w ten sposób, aby zachodziły reguły działania na potęgach, to powinno być a0_{= 1.}

Podobnie rachunek

a−1· a = a−1· a1 _{= a}0 _{= 1} _⇒ _a−1₋ 1 a.

pokazuje, że sensownym jest przyjęcie

a−1 = 1

(13)

1.6. Podsumowanie

Przygotowanie ucznia do rozumienia dowodu, a następnie do przepro-wadzania własnych rozumowań dowodowych jest rzeczą niezwykle trudną. Z tego powodu istnieje potrzeba dyskusji na ten temat oraz wymiany do-świadczeń i pomysłów. W artykule tym zawarliśmy tylko podstawowe idee na temat predowodzenia. Żywimy szczerą nadzieję, że koncepcje tutaj za-warte okażą się inspirujące.