Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

(1)

Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Materiał zawiera 2 ilustracje (fotograﬁe, obrazy, rysunki), 2 ﬁlmy, 15 ćwiczeń, w tym 7 interaktywnych.

Zawartość tekstowa:

- deﬁnicja równania - równania równoważne - liczba rozwiązań równania

- równoważne przekształcanie równań Ćwiczenia

- rozwiązanie równania - równania równoważne - rodzaje równań - typy równań

- rozwiązywanie równań

(2)

Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Deﬁnicja: Równanie

Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych, przy czym przynajmniej w jednym z tych wyrażeń występuje co najmniej jedna zmienna, zwana niewiadomą.

Na przykład:

3xy=5,3x+t2=10 Ważne!

Równania równoważne są to takie równania, które posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Rozwiązać równanie to znaleźć zbiór wszystkich rozwiązań tego równania lub stwierdzić, że równanie nie ma rozwiązań. W tym celu zapisujemy równania równoważne danemu, pamiętając o tym, że

1. do obu stron równania możemy dodać tę samą liczbę lub wyrażenie algebraiczne,

2. obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja Przykład 1

(3)

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może

nie mieć żadnej liczby, która spełnia to równanie – nazywamy je sprzecznym

mieć dokładnie jedną liczbę spełniającą to równanie – mówimy, że równanie to ma jeden pierwiastek mieć nieskończenie wiele liczb spełniających to równanie – nazywamy je tożsamościowym

Ćwiczenie 1

Połącz w pary równania z ich rozwiązaniami.

<math><mn>12</mn></math>, <span aria-

label="dziesięć" role="math"><math><mn>10</mn></math>,

, <math><mn>16</mn></math>

83x+6=10-x 2x+2=9x-8 x-16=12x+2 16(x+2)-2=70 -5x=4x

(4)

Ćwiczenie 2

Połącz w pary równania z ich rozwiązaniami.

, <math><mo>-</mo><mn>1</mn></math>, brak rozwiązań, <math><mn>0</mn></math>

2x-4=4 4-x=4 22-x=-12x+1 x+33=83x (-2)2x+1=2x-50

-32x+1=-(--13)-3x

Ćwiczenie 3

Wstaw w miejsce kropek taką liczbę, aby równania były równoważne.

1. 4x-1=8 i 2x= … 2. x-1=2 i x-4=…

3. 2x+5=3 i 4x+…=2 4. 3-1x=2x i 5x-…=-2 Ćwiczenie 4

Dopisz drugą stronę równania 2x+3=2+… tak, aby otrzymać równanie równoważne danemu 1. 3x-1=2x

2. 2x=3 3. -22x=1-2x 4. 5-x=2

(5)

Ćwiczenie 5

Przeciągnij i upuść wyrażenia tak, aby równania były sprzeczne.

x+2, -x, -3x, -3x+1, -2x, x+3, 23

a) 3x=3x+ ...

b) 2x-3=2- ...

c) 2x+3=x+ ...

d) 2-3x=1+ ...

Ćwiczenie 6

Dopisz drugą stronę równania tak, aby równanie było tożsamościowe.

1. 2x-63=x+…

2. 3x-5=1+…

3. 5-3x=2x+…

4. -1+2x=-4+…

Ćwiczenie 7

Dany jest pięciokąt ABCDE.

Rozstrzygnij, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

Obwód pięciokąta opisuje równanie: 2 x + x - 2 + 3 x + 2 3 x + x = 67 . Najkrótszy bok ma długość 9 .

Bok AE ma długość 9 .

Bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AE . Najdłuższy bok pięciokąta ma długość 27 .

Suma długości boków AB i AE jest taka sama jak bok CD . Bok BC jest takiej samej długości jak bok DE .

Bok DE jest o 1 krótszy od boku BC .

Suma długości wszystkich boków jest równa 65 . Bok AB jest 3 razy dłuższy od boku DE .

Ćwiczenie 8

(6)

Ćwiczenie 9 Rozwiąż równania.

1. 2x+2+3x+3=4(x+4) 2. 3x-1-4x+3=1253+3(x-1) 3. x-2x-1+1=3+2(x-2) 4. 2x-14-3x+1=2-x

5. 124x+2-2x-2=5x-83(2x+1) 6. x-21-x-23x-1=9-2(x+5) Ćwiczenie 10

Rozwiąż równania.

1. x-13+4x7=17(x+13) 2. 32x2+4x3+5x4=13 3. 2x-2735-x=3x-13 4. 6x-1-22=32x-23-313 5. x-12-x+123=x 6. x-162-2x5=x-2-x5 Ćwiczenie 11

Rozwiąż równania.

1. x+12+3x=(12)2+2(x-1) 2. 2x-12=3x+132-2(x-60)

3. -32x-213x-2=--273x-13(183-x) 4. 3-2x-17+-83x=530x-3-x2

(7)

Ćwiczenie 12

Znając pierwiastek równania, wyznacz liczbę a.

1. 2x-3a-2=2x+1, x=1 2. 3z+2a-1=2a-az-3, z=-2 3. 2a-3v+a=4a-1, v=-13 4. p+2a+5=ap-3, p=-273

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Dane jest równanie: 2x+31+x-2a=3(x+a). Dla jakiej wartości a rozwiązaniem równania jest liczba 5?