DER STAHLBAU
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S c h r i f t l e i t u n g :
iDr.=3»g. A. H e r t w i g , G eh . Regierungsrat, Professor an der Technischen H och schule Berlin, Berlin-C harlottenburg 2, T echnische H ochschule Fernsprecher: C i S te in p la tz 0011
Professor W. R e i n , Breslau, T echnische H ochschule. — Fernsprecher: Breslau 421 61
B e i l a g e
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Fachschrift für das g e - z u r Z e i t s c h r i f t j ) |r >
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1 I T y y I 1 1 \ 1 l \ sam te B auingen ieurw esenP reis d es Jahrganges 10 RM und P o stg e ld
5. Jahrgang BERLIN, 5. August 1932 Heft 16
Über die A usw irk un g der „Selbsthilfe“ des Baustahls in rahmenartigen Stabw erken.
V on ®r.=3ng. Karl G irk m a n n , W ien.
I n h a l t : Das plastische V erform ungsverm ögen des S tah les und sein e A usw irkung im F estigk eitsfalle B iegu ng und Normalkraft. — Ein B em essungsverfahren für rahm enartige Stabw erke aus Stahl. — V ersuchsergebnis.
Für ein /'-fach statisch un b estim m tes Tragwerk aus Stahl tritt b e
kanntlich Bruchgefahr erst e in , w enn die kritische Spannung (A rbeits
festig k eit, Bruchfestigkeit usw.) in m in d estens v + 1 versch iedenen, nach ein em kinem atischen G esetz einander zu geord neten Q uerschnitten erreicht ist; der „kritische Sp an n u n gszu stan d “, in w elch em sich das Tragwerk dann b efin d et, ist nur G le ich gew lch tsb cd ln gun gen u n terw orfen 1).
Zu d iesem E rgeb nis, w e lch es d ie M öglichkeit einer unm ittelbaren B em essu n g statisch unbestim m ter T ragw erke, unter bew ußter V erw ertung der „S elb sth ilfe“ d ie se s B au stoffes, in sich schließ t, ist Prof. Martin G r i i n l n g auf theoretischem W ege, und zwar bei der U ntersuchung statisch unbestim m ter Fachw erke g ela n g t. Daß dieser Satz auch für Stabw erke (aus Stahl) G eltun g besitzt, haben die bekan nten, von Prof. M a i e r - L e l b n i t z 2) ausgeführten Trägerversuche bestätigt. Durch vorsteh en d e U ntersuchungs
und V ersu ch sergeb nisse ist so w eit erw iesen , daß d ie A b m essun gen ein es Stahltragw erkes nach jeder mit dem G leich gew ich te zu vereinbarenden K räfteverteilung bestim m t w erd en dürfen, w as Prof. N. C. K i s t 3) schon auf Grund a llgem ein er B etrachtungen erkannt hat.
Der Einfluß d es plastischen V erform un gsverm ögens des S tah les auf die Tragfähigkeit von Stabw erken im F estigk eitsfalle der B iegu n g ist von Prof. Dr. J. F r i t s c h e 4) theoretisch ein geh en d untersucht w orden.
In m einer A bhandlung .B e m e ssu n g von Rahmentragwerken unter Z ugrun delegu ng ein es ideal-p lastisch en S ta h le s“ 5) habe ich den F estig k eits
fall B iegu ng und Normalkraft beh an d elt, die V orgänge während d es Bc- lastun gsverlaufes in eb en en , rahm enartigen Stabw erken verfolgt und darauf
hin den V ersuch unternom m en, d ie .S e lb s th ilfe “ des S tah les bei der B e
m essu n g solcher Tragwerke zu verw erten , um auf diesem W ege zu wirtschaft
licheren A b m essun gen zu g ela n g en . A b g eseh en von erzielbaren G ew ich ts
ersparnissen, wäre es b e i A n w en d u n g d ie se s Verfahrens m öglich, die M om entengrößtw erte abzuschw ächen, die U nterschiede in den erforderlichen Q uerschnittstärken auszugieich en und dam it die konstruktive Durchbildung zu verein fach en und zu v erb illig en . Sofern die unter den G ebrauchs
lasten auftretenden D urchbiegungen nicht beson ders bestim m t w erden m ü ssen , wäre für die rahm enartigen Stabw erke des H ochbaues auch deren Berechnung als statisch unbestim m te S y stem e entbehrlich, wodurch sich beson d ers für die hochunb estim m ten Stockw erkrahm en ein e ganz w esen t
lich e V ereinfachu ng der Entwurfsarbeit ergeben würde.
4) Prof. Martin G r ü n in g : „D ie Tragfähigkeit statisch unbestim m ter Tragwerke aus Stahl bei b e lie b ig häufig w iederh olter B elastu n g“, Berlin 1926.
— Der Eisenbau, Bd. IV d. H andbuches f. Bauing. 1929. — G r ü n i n g - K u lk a : Bautechn. 1928, S. 274.
2) Bautechn. 1928, H eft 1/2: „Beitrag zur Frage der tatsächlichen Trag
fähigkeit einfacher und durchlaufender Träger aus Baustahl und H o lz “. — Bautechn. 1929, H eft 20: .V ersu ch e mit ein gespannten und einfachen Balken von I-F o r m aus St 3 7 “.
3) .D ie Zähigkeit d e s M aterials als G rundlage für die B erechnung von Brücken, H ochbauten und ähnlichen Konstruktionen aus F lu ß e is en “. — Der E isenbau 1920.
4) a) .D ie Tragfähigkeit von Balken aus Stahl m it B erücksichtigung d e s plastischen V erform u n gsverm ögen s“ , Bauing. 1930, H eft 49, 50, 51. — b) .A rb eitsg e se tze b ei elastisch plastischer B a lk en b ieg u n g “, ZAMM 1931, H eft 2. — c) „D ie Tragfähigkeit von Balken aus Baustahl b ei b elieb ig oft w ied erh olter B ela stu n g “, Bauing. 1931, H eft 47.
5) Sitzungsberichte der A kadem ie der W issensch aften in W ien, m athem .-naturw . K lasse, Abt. IIa, 140. Bd., 9. u. 10. H eft 1931.
Im Zusam m enhänge mit dem nachfolgend m ifgeteilten V ersuchs
ergebnis m öge d ie ses B em essungsverfahren zunächst kurz d argelegt w erden:
U nter Z ugrun delegu ng einer idealisierten Spannungs-D ehnungs-Llnie gem äß Abb. 1 können in den Stabquerschnitten h öchsten s Spannungen von der Größe ± <fs auftreten, und unter der Einwirkung ein es B ieg u n g s
m om en tes und einer Normalkraft kann äußerstenfalls ein Spannungsverlauf nach A bb. 2 zustande kom m en. (Druckkräfte und Druckspannungen sind
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Abb. I. Abb. 2. 1-4
p ositiv b ezeich n et.) D ieser „kritische Sp ann un gsverlauf“ ist durch die verschw indend klein e H öh e des b eiderseits der N u llin ie sich erstreckenden elastischen K ernes gek en n zeich n et. A us den beiden G leich g ew ic h ts
bedingungen — inneres M om ent gleich dem Angriffsm om ent und Sum m e der Norm alspannungcn gleich der Normalkraft d es Q uerschnittes — kann jew eils ein e B ezieh u n g zw isch en den A b m essun gen d e s Q uerschnittes und jen en W irkungsgrößen M und N, w elch e den kritischen Spannungsverlauf verursachen, h ergeleitet w erden. D iese B ezieh un g stellt dann die Plastizitätsbedingu ng für den F estigk eitsfall B iegu ng und Normalkraft dar und lautet b e isp ie lsw e ise, so la n g e die Nullinie im Steg verb leibt, für den I-Q u ersch n itt nach Abb. 2
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(i) ¿ v + 6 ( A 2 - A 2) - - ^ • + und für den I-Q u e r sc h n itt mit L am ellen nach Abb. 2a
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Abb. 2 a.
W enn während d es B elastungsverlaufes in irgendeinem Q uer
schnitte ein es /'-fach statisch un bestim m ten Stabw erkes aus Stahl ein kritischer Span
nungsverlauf nach A b
bild. 2 erreicht wird, so kann d erselb e bei w eiterer Lastzunahm e b esteh en b leib en oder w ieder zurückgehen.
D ie im letzteren Falle
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G i r k m a n n , Ü ber die Ausw irkung der „S elb sth ilfe“ des Baustahls usw. Benage zur Zeitschrift .Die Bautechnik“ein treten de Entlastung d e s Q uerschnittes ist stets ein e F o lg e der A u s
b ildu ng ein es solchen Spannungszustandes an einem anderen Orte des Tragw erkes und kom m t dann gew öh n lich schon zu Beginn der w eiteren L aststeigerung zustan de; d ie Änderung d es Spannungsverlaufes ist hierbei unter B each tung d es „E n tla stu n g sg esetzes“ , so w ie unter der Annahm e eben b leib en d er Q uerschnitte je w eils bestim m bar. Häufiger b e h ä lt aber der Q uerschnitt, w elch er ein en kritischen Spannungszustand erreicht hat, diesen bis zum Abschluß der L aststeigerung, unter ständiger Ä nderung seiner N u llln ien lage, b ei. Normalkraft und B iegu n gsm om en t d ie se s Quer
schn ittes können mit zunehm ender Last nicht m ehr g leic h zeitig anw achsen.
Wird N größer, so muß g leich z eitig M klein er w erd en und um gekehrt.
N erreicht sein en G rößtwert bei versch w indend em M, d ieses wird w ieder ein M axim um , w enn N den N ullw ert durchschreitet. D ie Änderung dieser W irkungsgrößen v o llz ieh t sich im m er in solcher Art, daß hierbei die w eitere Lastübernahm e durch schw ächer b ela stete S tab teile m öglich wird.
Ein Querschnitt mit kritischem Spannungsverlauf wirkt w ie ein G elenk, d essen Lage sich g eg en ü b er der Stabachse stetig verändert. D ie Orte der augenb licklich en Drehpunkte befinden sich m eist nur in geringer Entfernung von den Stabachsen, und bei Erm ittlung der zur tragbaren Last gehörigen B ieg u n g sm o m en te, Normal- und Querkräfte dürfen d iese G elen k e im a llgem ein en auch in den Stabachsen liegen d angenom m en w erden. D ie W irkung derartiger G elen k e ist im m er nur ein e beschränkte, denn es sind nur solch e g e g e n se itig e n V erdrehungen der in d iesen Q uerschnitten zusam m enstoßenden Stab teiie m öglich, bei w elch en d ie selb en im gedrückten T eile der Q uerschnitte g egen ein an d er, im g e z o g e n e n T eile aber von einander b ew eg t w erd en. E ntgegengerichteten V erdrehungen (w elch e bei Entlastungen zustan de kom m en) leistet der Baustoff W iderstand, und die G elenkw irku ng schaltet sich in solchen Fällen, b ei b egin n en d em Rückgang der elastisch en Verform ungen, w ieder aus. (Dam it ist auch die Erklärung für das von Durchlaufträgern her bekannte „W andern“ der G elen k e, w elch es b e isp ie lsw e ise unter G leichlasten im F alle unsym m etrischer A n
la g e- und Lastverhältnisse zustande kom m t, gegeb en .)
Mit zunehm ender B elastu n g w erd en im m er m ehr und m ehr Q uer
schn itte kritischen Spann un gsverlauf erhalten und G elenkw irku ng erlangen.
Bei Ü berschreitung bestim m ter Lastw erte wird schließ lich das Tragwerk labil (es wirken dann schon m indestens v + 1 Q uerschnitte als G elen k e), und d ie elastisch -p lastisch en Verform ungen g e h e n in kin em atische über.
D ie se kritischen Lastw erte stelle n die tragbare B elastung dar. D ie unter d ieser auftretenden B iegu n gsm om en te, N orm al- und Querkräfte sind unter b loß er Z uh ilfenah m e von G leich gew ich tsb ed lngu n gcn bestim m bar. Dam it ergibt sich die M öglichkeit, das z'-fach statisch un bestim m te System für ein e vo rg eg eb en e tragbare B elastu ng unm ittelbar zu bem essen .
Ist bloß ein Lastfall zu berücksichtigen, so kann man hierbei folgen d er
m aßen Vorgehen: A us den lotrechten und w aagerechten Lasten Q — G + P bzw . W0 w erd en mit dem vorgesch rieb en en Sicherheitsgrad n die zu tragenden Lasten Q = n ( G + P) (oder Q = G + n P ) und W = n W0 g e b ild et. D iesen Lasten wird nun im Tragwerk ein mit den G leich g ew ich ts
b ed in gu n gen verträglicher, so n st aber b elieb ig er, nach wirtschaftlichen G esichtspunkten au szuw ählend er M om entenverlauf zugeord net. Zur F est
leg u n g ein es solchen L inien zu ges sind im v -fa ch statisch unbestim m ten S ystem v B estim m ungsstücke frei zu w ählen; d ie se sind eb en so anzu
n ehm en, daß ein m öglichst gün stiger M om entenverlauf zustan de kom m t.
Nach F estleg u n g d ie se s M om en tenverlau fes sind alle Norm al- und Quer
kräfte der ein zeln en R ahm englieder einfach zu erm itteln, w om it alle U n terlagen für d ie B em essu n g erhalten w erden.
D ie Stabquerschnitte sind dann so zu b estim m en , daß sie d ie ihnen nach d iesem M om entenverlauf zu k om m end en B iegu n gsm om en te und Normalkräfte zu tragen verm ögen . Sofern ein e b eson d ere Berücksichtigung w ied erh olter B elastungen nicht erforderlich ist, m üßten die Stabquerschnitte nur so stark angenom m en w erden, daß ihre A b m essu n gen und d ie m aß
geb en d en W ertepaare Ai und N die P lastizitätsbedingu ng erfüllen. H ierbei können b elieb ig v ie le Q uerschnitte in dieser Art v o ll ausgen utzt oder auch ü b erb em essen w erden (so daß ihre A b m essu n gen nach der P lastizitäts
b ed in gu n g auch für größere M und N ausreichen würden).
Wird nun ein Teil der Lasten entfernt (z. B. Ü bergang von V o ll
b ela stu n g aller R iegel auf fe ld w e is e B elastung) und läßt sich zu den v erb lieb en en Lasten ein M om entenverlauf a n geb en , der den G leich gew ich tsb ed in gu n gen entspricht und dem auch die A b m essu n gen des Tragw erkes g en ü g en , so zwar, daß jed er Stabquerschnitt und Stabanschluß das ihm nach d iesem M om entenverlauf zu kom m en d e B iegu n gsm om en t und die g leich zeitig einw irken de Normal- b zw . Querkraft zu tragen verm ag, so ist dam it schon n ach gew iesen , daß das Tragwerk auch der geänderten B elastung standhält. Beim Aufsuchen ein es solchen m öglichen M om en ten
verlaufes (der im a llgem ein en unter der betrachteten B elastu n g nicht tatsächlich zustande kom m en wird) ist am besten von den M om en tenlinien für V ollb elastu n g a u s zu g eh en 6).
Sind m ehrere, w esen tlich v ersch ied en e L astfälle zu berücksichtigen, so ist zu trachten, den tragbaren B elastungen m öglichst üb erein stim m en de M om en ten lin ien zuzuordnen; für die B em essu n g ist dann d ie jew eils un gün stigste E inw irkung m aßgebend.
W ie nun ein solcher, als G rundlage der B em essu n g g eeig n eter M om entenverlauf zu erhalten ist, m öge für das Rahmentragwerk der Abb. 3 dargelegt w erd en . D ie zu erreichende tragbare B elastung b e ste h e aus lotrechten R iegel-G leichlasten q — n ( g 4- p) und aus w aagerechten W indlasten w = n w 0. Beim E inlegen der M om en tenlinien ist schon auf konstruktive E inzelheiten (A usbildungsart der R ahm enecken, Lage der Stöß e usw .) zu achten, über w elch e daher g leic h z eitig zu entsch eid en ist.
Je nach den A b m essu n gen des Bauw erkes, nach Art und Größe seiner B elastungen, ist unter B edachtnahm e auf w irtschaftliche Anarbeitung und einfache M ontage je w eils die g ü n stig ste Art der konstruktiven Durch
bildung zu suchen und im Zusam m enhänge dam it der M om entenverlauf ein zu leg e n . Für den vo rlieg en d en Fall w erde vorausgesetzt, daß W alz
träger für S tie le und R iegel auslan gen , daß die R iegel nur von S tiel zu S tiel reichen und ihre Profile feld w eise versch ieden gew ä h lt w erden dürfen.
Da die S elb sth ilfe des Stah les sich vor allem in qu erbelasteten Stäben vorteilhaft auswirkt, wird im a llg em ein en von d iesen Stäben auszu geh en sein . Zu diesem Z w ecke w erd en für a lle qu erbelasteten Stäbe d ie Balken- m om en ten lin ien zu den tragbaren Lasten (hier Parabeln m it den P feil
höhen V8 q l 2 b zw . 1/s w h~) abgetragen. In die M om en tenlinien der R iegel können nun die Schlu ßlin ien versch iedenartig ein g ele g t w e rd en 0): M ittels w aagerechter Schlußlinien (Abb. 4a ) ist zu erreichen, daß G rößtm om ente
in je drei Stabquerschnitten entsteh en und dort g leich e a b solu te Größe er
langen. B ei schräg lieg en d en Schluß
lin ien können nur je zw ei Q uerschnitte G rößtm om ente von gleich e n absoluten W erten erreichen: entw eder ein F eld- und ein Endquerschnitt (Abb. 4 b ) oder, b ei steilerer Schlu ßlin ienlage, b e id e End
querschnitte (Abb. 4c). Für au ssch ließ lich lo trech te B elastung sind vor allem w aagerechte R iegelschlußlinien in B e
tracht zu z ieh en , die auch beibehalten w erd en k ön n en , w en n dam it nicht zu große M om en te ln d ie Z w ischen stiele ein getragen w erd en . Im vorliegen den F alle aber, w o auch w aagerechte Lasten w irk en , w ürden sich b ei w aagerechten Schlu ßlin ien zu große S tielm om en te er
g e b e n , w esh a lb schräge Schlußlinien g ew ä h lt w erd en . D ie gü n stig ste N eig u n g wird u. a. auch davon abhängen, ob der Einfluß der lotrechten oder jener der w aagerechten B elastu ng überw iegt. Um d ies beurteilen zu k ön nen , zeich n et man zunächst für d ie w aagerechten tragbaren Lasten a llein ein en M om enten
verlauf ein, und zw ar so , w ie er sich b ei einer näh erun gsw eisen B e
rechnung d es statisch un bestim m ten elastisch en S y stem s ergeben würde (M om entennullpunkte in S tielm itten , d ie Querkräfte in jedem G esch o sse etw a zu gleich en T eilen den S tielen zu geord net usw.). In A bb. 3 ist dieser M om entenverlauf strlchliert ein getragen . D en G leich g ew ich ts
bed in gu n gen kann beim E in legen der M om en tenlinien in fo lg en d er Art entsprochen w erd en : N e b en der B ed in gu n g ZA4 = 0, w elch e für jed en K noten erfüllt w erden muß, b esteh t hier noch zw ischen den M om enten-
°) Im vorliegen d en F alle b esteh t v o lle F reiheit beim E inlegen der R iegel-Schlußlinien, da zur F estleg u n g einer so lch en Linie zw ei B estim m un gsstü ck e erforderlich sind, für a lle neun R iegel also nur 18 B estim m ungsstücke verbraucht w e rd en , w ährend b ei diesem 2 7 fach statisch u n bestim m ten S ystem im ganzen über 27 B estim m ungsstücke frei zu verfü gen ist.
Jahrgang 5 Heft 16
5. A ugust 1932 G i r k m a n n , Über die Auswirkung der . S e lb s th ilfe “ d e s Baustahls in rahmenartigen Stabwerken
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abschnitten m = Ma — M u jed es S tieles die g e sch o ß w eise zu erfüllende Bedingung l ' m — ^ • w h 2 -\- Wh. In dieser G leichung b e d e u te t h die H öhe d es betreffenden G esch osses und W die Su m m e aller oberhalb d ie se s G esch o sses auf das Tragwerk ein w irk en den w aagerechten Kräfte.
In jed em G esch osse können also je drei A bschnitte m frei gew ä h lt w erden, während der vierte durch die vorsteh en d e G leich ung je w e ils bestim m t ist.
In Abb. 3 sind alle R iegelschlu ß linien parallel zu den strichllerten Wind- m om en ten lln len ein g eleg t und die unteren Stielen d m om en te aus der W ind
belastu n g für den resultierenden M om en tenverlau f b eib eh alten w orden;
ob der ein g ezeich n ete Verlauf in wirtschaftlicher H insicht schon entspricht, ist nur unter Z ugrun delegu ng ein es bestim m ten A usführungsfalles zu beurteilen.
Das d argelegte B em essungsverfahren kann auf b elieb ig gesta ltete und b elastete Trag w erke an gew en d et w erden, sofern d ie zusätzlichen B ie
g u n gen , w elch e b ei der Verform ung der Tragwerke en tsteh en , je w eils vernachlässigbar sind. Stabanschlüsse, E ckverbindungen, Verankerungen usw . sind ebenfalls nach den aus dem zugrunde g e le g te n M om en ten verlauf sich ergeb en d en M om enten und Kräften so zu b e m e sse n , daß ein V ersagen vor Erreichen der geforderten tragbaren Last verm ieden bleibt.
Belm E inlegen der. M om entenlinien ist noch zu beachten, daß die tatsächlichen Endquerschnitte der Stäbe nicht in die System k noten fallen (w ie dies für Abb. 3 zur V ereinfachung angenom m en wurde), sondern, je nach Ausführungsart der Rahm enecken, in v ersch ied en großen A bständen von den K noten liegen , w as auch bei der Durchrechnung des V ersuchs
tragw erkes später berücksichtigt wird.
Dam it d ie S elb sth ilfe d es Baustoffes in der vorau sgesetzten Art zur A usw irkung g ela n g en kann, darf in keinem T eile des Tragwerkes schon vor Erreichen der tragbaren Last ein e Störung der G leich g ew ich tsla g e durch Knicken, B eulen oder K ippen eintreten.
Knickung wird b ei den in Betracht steh en d en Stabw erken vornehm lich nur für zw isch en gesch altete P en d elstü tzen und für v erein zelte freistehend e R ah m enstiele (Knicken senkrecht zur Tragw erkebene) in Frage kom m en.
D ie B em essu n g dieser Stäbe hat so zu erfolgen , daß d ie Knickgrenzc frühestens unter der tragbaren Last erreicht wird. Denn w enn auch bei Stäben, die schon w ährend des B elastungsverlaufes an d ie K nickgrenze g ela n g en , d ie Knickung sich erst v o llen d en könnte, sobald die elastisch p lastischen V erform ungen d es Tragw erkes in kin em atische übergehen, so w äre es doch m öglich, daß d ie se Druckstäbe beim seitlich en A u sw eich en b ereits einen Spannungsabfall erleiden, der schon ein e w esen tlich e Herab
setzu n g der tragbaren B elastung d es Rahm ens zur F o lg e hat. A llgem ein wären daher jen e G rößtwerte der Druckkräfte zu erm itteln, w elch e während des B elastungsverlaufs, bei unbeschränkt knicksicher gedachten Stäben, in d iesen wirksam w erd en können; kom m en d ie se G rößtw erte der Druck
kräfte noch vor Erreichen der tragbaren Last des Rahm ens zustande, so hätte d ie B em essu n g dieser Stäbe derart zu erfolgen , daß ihre Knick
festigkeiten die errechneten Kräfte noch üb ersteigen . Nach durchgearbeiteten R ech nu ngsbeispielen zu sch ließ en — die a llg em ein e U ntersuchung dieser Z usam m en hän ge steht noch aus — , erreichen aber die Normal-Druckkräfte der g egen stän d lich en Rahm entragwerke ihre G rößtw erte in der R egel erst unter der tragbaren B elastung, b egün stigt durch den U m stand, daß Stäbe, w eich e unter M itw irkung von B iegu n gsm om en ten in ihren Endquerschnitten oder auch in seitlich g eh a lten en Z w ischenquerschnitten, kritische Spannungs
zustände nach Abb. 2 erreichen, sich von der w eiteren Druckübernahme dadurch nicht ausschalten, w ie auch die A u sb ild u n g solcher Spannungs
zustän de in Q uerschnitten der übrigen R ahm englieder die w eitere Ein
tragung von Kräften in d ie betrachteten Druckstäbe nicht vorzeitig unter
b in d et. Im a llgem ein en w erd en daher die zur tragbaren Last errechneten und gem äß dem für Knickung vorgesch rieb en en höheren Sicherheitsgrad noch entsprechend vergrößerten Druckkräfte hier unm ittelbar der B em essu n g knickgefährdeter Stäb e zugrunde g e le g t w erd en können. V oraussetzung ist aber, daß die der tragbaren B elastung zugeord nete, für d ie B em essu n g m aßgebend e K räfteverteilung keinem Form änderungsgesetz, sondern bloß G leich gew ich tsb ed ingu n gen unterworfen ist, w as im H inblick auf bestim m te Sonderfälle (Lastangriffe unm ittelbar über Stützen) b eson ders hervor
g eh o b en wird.
K om m en mehrere L astfälle ln Betracht, so ist für die K nickbem essung, ohn e Rücksicht auf den Spannungszustand in der T ragw erkebene, im m er jener Lastfall heranzuziehen, der die größten Normaldruckkräfte ergibt.
Ist nach den je w eils gelten d en Vorschriften im F a lle der B em essu n g nach zu lässigen Spannungen ein e A bm inderung der von N u tzlasten herrührenden Stabkraftanteile in S tie le n der unteren G esch osse zu g ela ssen , so wird d iese erleichternde B estim m ung auch b ei der B em essu n g nach dem dar
g e le g ten Verfahren a n gew en d et w erd en dürfen. W enn im Falle Druck und B iegu n g für d ie B em essun g nach zu lässigen Spannungen d ie gedachte
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Randspannung s = ^ + ro ■ - p als m aßgebend gilt, so sind hier sin n gem äß die <«-fachen W erte der zur tragbaren Last gehörigen Druckkräfte in d ie P lastizitätsb ed in gu n g einzuführen.
D ie zugrunde g e le g te tragbare B elastung kann je w eils nur erreicht w erd en , w enn auch das vorzeitige Falten von Q uersch nittsteilen und b eson ders auch das plastische Kippen der Stäbe verm ieden bielb t. Das gilt nicht nur für v o lle A usnutzung der Q uerschnitte, sondern z. B. auch dann, w en n bloß auf Erreichen der Streckspannung an den Q uerschnitt
rändern b em essen wird. D enn die Selb sth ilfe d es Baustoffes kann ja erst richtig wirksam w erd en , w enn die Streckspannung an ein zeln en Orten des Tragwerks in den Baustoff eindringt. Daher darf kein Stab b zw . Stabteil vor Erreichen der tragbaren Last an die K ippgrenze gelan gen . D ie K ippfestigkeit jener S tab teile, w e lch e schon vor Erreichen dieser Last plastisch w erden, muß daher im m er oberhalb der Q uetschgrenze verb leiben.
Durch das Eindringen der Streckspannung in d ie Stäbe wird deren D rillu n gssteifigk eit h erabgesetzt, und die erreichbare K ippfestigkeit wird sch ließ lich die K nickfestigkeit d es gedrückten G urtes nicht w esentlich üb ersteigen können. D ie gefährdeten G urtabschnitte m üssen daher ver
hältnism äßig klein e Schlankheiten erhalten. B el geringen Längen der gedrückten Bereiche, b e isp ie lsw e ise an Spitzen der M om entenlinien, sind d ieselb en leicht zu erreichen; bei längerer Erstreckung der plastischen G eb iete ergeb en sich S chw ierigk eiten zum eist nur dann, w enn seitlich e F esthaltungen bloß in größeren A bständen m öglich sind.
B eulen , Falten und Kippen sind leichter zu verm eld en , w enn die Streckspannung erst unter verhältnism äßig höheren Lasten in die S tab teile eindringt. D ie S elb sth ilfe des Stahls soll daher nicht willkürlich, sondern bloß in dem M aße h erangezogen w erden, als dies zur vollk om m en eren A u sn utzu ng von Stäben m it unveränderlichen Q uerschnitten (Walzträgern), zur A bschw ächung der M om entengrößtw erte so w ie zur V erm eidung größerer V ersch ied en heiten in den A b m essu n gen der Tragwerkstäbe usw . (Abb. 3) notw en dig erscheint. W enn für die B em essu n g ein es statisch un bestim m ten Stahl-Tragwerkes m ehrere g leich w ertige M om entenlinien als B cm essun gsgrun dlage in Betracht kom m en, so ist unter diesen auch im m er je n e auszu w äh len, w elch e m it dem M om entenverlauf, der unter den G ebrauchslastcn dann entsteht, d ie b e ste qualitative Ü b ereinstim m ung erwarten läßt.
Nach dem vorliegen den Verfahren b em essen e, statisch unbestim m te Tragwerke erhalten unter der Einwirkung der G ebrauchslasten örtlich bereits Spannungen, w elch e die son st zu g ela ssen en W erte beträchtlich überschreiten können. Es liegen hier ähnliche V erh ältnisse w ie z. B. für m ehrreihige N ietverbindungen vor, bei w elch en die der B em essun g zugrunde g e le g te gleich m äß ige K raftverteilung auch erst nach Eintritt d es F ließ en s, bzw . erst unm ittelbar vor dem Bruche der V erbindung, annähernd erreicht wird. D iese örtlich erhöhten A nstrengungen d es B austoffes dürfen d ie dauernde V erw endbarkeit der Tragwerke nicht beeinträchtigen. A us d iesem G runde ist zunächst zu fordern, daß unter den G ebrauchslasten selb st bloß elastisch e Form änderungen zustan de kom m en. Kann hierbei m it der H eb un g der E lastizitätsgrenze gerech net w erden, w as für d ie in Betracht kom m end en S p ann un gsverhältn isse zu m eist m öglich sein wird, dann dürfen d ie Randspannungen bis zur Streckgrenze ansteigen , und es ist bloß zu verm eid en , daß schon unter den G ebrauchslasten die Streck
spannung in Querschnitte eindringt. D ieser B edingu ng wird auch bei v o ller A usnutzung der Q uerschnitte im a llgem ein en im m er dann ent
sprochen, w en n die F estleg u n g der tragbaren Lasten unter Z ugrundelegung einer m indestens zw eifachen Sicherheit erfolgt. B ei V erw en d u n g ein es kleineren Sicherheitsgrades ist h in g eg en d ie B em essun g der Q uerschnitte nach der P lastizitätsbedingu ng zu m eist nicht m ehr m öglich; d ie Q uer
schn itte sind dann so zu bestim m en, daß unter den tragbaren Lasten die Streckspannung erst an den Querschnttträndern erreicht wird.
D ie B em essu n g der Tragwerke ist ferner so durchzuführen, daß die G ebrauchslasten m it ausreichender Sicherheit auch dauernd, also nach b elieb ig oftm aliger Einwirkung getragen w erd en können. Wird hier der g leic h e Sicherheitsgrad w ie für ein m alige B elastu ng gefordert — w as insofern unberechtigt erscheinen mag, als ja die oftm alige Einwirkung ein er B elastung, die bereits größere b le ib en d e V erform ungen verursacht, im a llgem ein en gar nicht m öglich sein wird, da d iese Form änderungen und ihre F olgew irk un gen d ie W eiterbelastung der Tragwerke ausschließen
— , dann ist die v o lle A usnutzung der Q uerschnitte vielfach nicht m ehr zulässig. Den Einfluß w iederh olter B elastungen auf Stabw erke im F estigk eitsfalle der B iegu n g hat Prof. Dr. F r i t s c h e 4) untersucht, und zwar unter der Annahm e unveränderlicher L aststellungen, so w ie je d e s
m aliger vollständ iger Entlastung. D ie E rgeb nisse zeig en , daß unter diesen V oraussetzungen die statisch tragbare Last nicht im m er dauernd getragen w erden kann, daß aber die in Frage kom m enden U nterschiede zw ischen ein m alig und dauernd tragbarer Last nicht groß sind. D ie vorausgesetzten L astverhältnisse dürften auch für v ie le Tragwerke des H ochbaues schon g en ü g en d un gün stig sein, versch iedentlich kann sich aber doch die N ot
w en d ig k eit einer Verschärfung der Rechnungsannahm en ergeben. W erden nun die Q uerschnitte nicht auf v o lle A usnutzung, sondern bloß auf Er
reichen der Streckspannung am Rande b em e sse n , so sind d ie zugrunde g e le g ten Lasten auch unter ungünstigeren V erhältnissen noch dauernd tragbar. Für den id eal plastischen Baustoff wäre dann im Sinne Prof. G r ü n i n g s 1) ein Spannungszustand statisch m öglich, der in keinem
124
u L.I\ o i n i i L u n uG ir k m a n n , Uber die Ausw irkung der .S e lb s th ilfe “ d es Baustahls usw . Beilage zur Zeitschrift .Die Bauiechnik-
Punkte die E lastizitätsgrenze überschreitet, und die m aßgebend en Lasten könnten daher auch bei schw in gen der Einwirkung dauernd aufgenom m en w erd en. Für Tragwerke aus Baustahl wird dam it (w eg en de < die U nterschreitung des zugrunde g e le g te n Sicherheitsgrades auch bei diesen unveränderlichen L aststellungen noch nicht v ö llig verm ied en , doch auf je n e A usnahm efälle beschränkt, in w elch en die Spannungen der maß
g e b e n d e n Q uerschnitte ständigen V orzeich en w cch sel erfahren. N achdem so lch e D au erbelastun gen für die in Betracht ge zo g e n en Hochbautragwerke m eist nicht ln Frage kom m en, b leib t in diesen F ällen noch ein Sicherh eits
überschuß für un gün stigere Einwirkungen, d ie b ei w ech seln d er S tellu n g der N utzlasten entstehen können, verfügbar.
Während die ein gan gs angeführten V ersu ch e 2) mit durchlaufenden und ein gespann ten Trägern inzw ischen mehrfach w iederh olt w u rd en 7), sind V ersu ch sergeb nisse für rahm enartige Stabw erke bisher nicht bekannt
gew ord en . Im folgen den so ll nun über einen einfachen V ersuch dieser Art berichtet w erden.
und den Führungen R ollen e in g eleg t. Durch N achlassen der V erbindungs
schrauben konnten d iese Führungen um ein g erin ges Maß seitlich ver
stellt w erd en ; dadurch war es m öglich, d ie Führungen im F alle ihrer Entbehrlichkeit außer W irksam keit zu setzen . D ie B elastung wurde stu fen w eise aufgebracht; nach Erreichen jed er Laststufe w urde so lan ge zugew artet, bis d ie D urchbiegungen und D ehn ungen nur mehr unmerklich Zunahmen. Zum M essen der D urchbiegungen in R iegclm itte dien te ein e M eßuhr, w elch e an einer M eßbrücke aufgehängt war. A ußer diesen D urchbiegungen w urden auch D ehn un gen g e m ess en ; die Orte 1 bis 5, an
Das Versuchstragw erk, ein aus Stahl von H an d elsgü te hergestellter Zw eigelenk-R echteckrahm en m it Zugband ist in Abb. 5 dargestellt. S tiele und R iegel b esteh en aus je z w e i C 8; an den Ecken sind K noten
b lech e ein g esch o b en , mit w elch en d ie S te g e unm ittelbar, die Flanschen m ittels H ilfsw in k el vern ietet sind. D ie E inzelstäbc d es R iegels sind durch zw ei Paar B in d eb lech e verbunden; in R iegelm itte ist noch ein e Druckplatte zum A n setzen der Presse vorgeseh en . Mit Rücksicht auf die N ietlochsch w äch un gcn der Endquerschnitte d es R iegels und der S tie le ist in R iegelm itte auch an den Z ugflanschen e in e V erb indu ngslasch e an
g e n iete t, so daß alle m aßgebend en Q uerschnitte die g leic h e N ietloch schw ächung b esitzen . R iegel und S tiele sind aus derselb en C -S ta h l- stan ge herausgeschn itten.
An b eid en E nden dieser Stan ge wurde den Flanschen je ein Probe
stab entnom m en. Zerreißversuche mit d iesen Stäben ergaben: Propor
tionsgrenzen etw a 1,8 t/cm 2, Streck
grenzen 2,58 und 2,67 t/cm 2, Streck- bereich e bis t = 14 °/00, Bruchfestig
keiten 4,32 und 4,27 t/cm 2, Bruch
d ehn un gen 38,1 und 36,4 % für l0 — 5 d 0, so w ie 30,5 und 28,7 °/0 für
10 d0. D ie ersten A bschnitte der bei diesen Zerreißversuchen auf
gen o m m en en A rbeitslinien sind in Abb. 6 dargestellt.
Das Tragwerk wurde in ein e A m sler-B legem asch in c, R iegel nach ab w ä rts, e in g e b a u t, d ie Stielfüße stützten sich hierbei g e g e n einen Überlagsträger. M ittels einer 20-t- Presse wurde in R iegelm itte ein e in
der Tragw andebene w irkende, zum Abb
R iegel senkrecht gerich tete E inzellast
ausgeü bt. D ie V ersuchsanordnung ist aus A b b. 7 zu erseh en . Das Tragwerk wurde an sein en Ecken m ittels stählerner Führungsböcke seitlich geh alten . Mit Rücksicht auf die große B auhöhe der P resse w urden vorsichtshalber auch b eid erseits der P resse, in je 200 mm Abstand von der R iegelm itte, solch e Führungsböcke aufgestellt. Um dort d ie Reibungskräfte bei lotrechten R iegelb ew egu n gen m öglichst klein zu halten, w urden zw isch en dem Riegel
7) S. z. B. J. H .S c h a i m : .D e r durchlaufende Träger unter Berück
sichtigun g der Plastizität“ , Stahlbau 1930, H. 2. — Ü ber ein en älteren V ersuch (1913) mit ein gespannten Trägern s. G. v. K a z i n c z y : .B ericht über die II. internationale Tagung für Brückenbau und H och bau“, S. 253.
w elch en D ehn u n gsm esser angebracht waren, sind aus Abb. 5 zu ersehen.
D ie A b lesu n g der D urchbiegungen und D ehnungen erfolgte im m er sofort beim Erreichen jeder Laststufe, so w ie unm ittelbar vor B egin n der w eiteren L aststeigerung, ln Abb. 9 u. 10 sind nur die letzteren M eßw erte abgetragen.
D iesen Schaubildern sind auch die ein zeln en Laststufen zu entnehm en.
Während d es B elastu n gsverlau fes w urde beson ders auf den Beginn und den V erlauf der mit dem Eindringen der Streckspannung in die Flanschen und S te g e zu sam m en h än gen d en Instabilitätserscheinungen g e achtet. Das Tragwerk, w e lch es m öglichst achsrecht in die M aschine ein geb aut w orden w ar, hatte sich unter der Last P = 5 , 8 t an die vorderseitigen Führungen der an den R ahm enecken steh en d en B öcke
satt ang eleg t und sich dadurch auch den m it größerem Sp iel an
geord neten Führungen der inneren Böcke genähert. U nter P — 7 t drückten schon die R ahm enecken, allerdings nur m it ganz geringer Kraft, g e g en d ie B öcke; g leich zeitig leg te sich der R iegel an die R ollen der v ord erseitigen Führungen der inneren B öcke an. D ie se Führun
gen w urden daraufhin ein w en ig n a ch g estellt, so daß d ie Rollen w ieder locker lagen . Bei P = 9,75 t wurde bereits ein e schw ach e seit
liche A u sb iegu n g des R iegels b eo b achtet; der R iegel begann sich w ied er an die R ollen der inneren B öcke an zulegen , worauf d iese F üh
rungen neuerlich n ach gestellt und außer W irksam keit g e se tz t wurden.
Mit zunehm end er Last vergrößerten
7- sich die seitlich en A usb iegu n gen d es
R iegels, und b ei P = 1 1 ,5 t traten die Führungsrollen w ied er in Tätigkeit. U nter dieser Last war bereits in jedem Druckflansch, b eid erseits d es A n sch lu ß n ietes der Druckplatte, ein e begin n en d e Faltung zu beobachten. W ährend der folgen den Last
vergrößerungen b lieb en die Führungen b eid erseits der Presse wirksam . U nter der Last P — 1 2 ,8 t zeig ten sich Einschnürungen an den N ietloch wänden der Zugflanschen d es M ittelquerschnittes. D ie D urchbiegungen, w e lc h e schon seit D urchschreiten der Last P = 11,25 t rasch Zunahmen, erfuhren während der fo lg en d en Lastvergrößerungen noch ein e w eitere, verh ältn ism äßige Steigerun g, die Faltungen und Einschnürungen in R iegel
m itte verstärkten sich. U n ter P = 13,17 t entstand im rückwärtigen Z ug
Abb. 5.
O 1 2 3 ¥ 5 6
Dehnungen in %0 Abb. 6.
aÄugust 1932 16 G lr k m a n n , Ü ber die A usw irkung der „ S elb sth ilfe“ des B austahls in rahm enartigen Stabwerken
125
flansch der R iegelm itte ein Riß in der äußeren N ietloch w an d , worauf der V ersuch abgebrochen wurde. An den S tielen so w ie an den R iegelen den waren unter dieser Last noch kein e seitlichen A u sw eich u n gen oder Faltungen ein getreten ; d ie R ahm enecken, w elch e mit A bsicht stärker aus
g e b ild et w orden waren, zeigten nur gerin ge V erform ungen.
In Abb. 8 ist das Tragwerk unter der größten Last zu seh en , die M eßinstrum ente sind bereits abgenom m en. Abb. 9 zeig t das Tragwerk nach der Entlastung; aus der scharfen Krüm m ung ln R iegelm itte ist die g elen k artige W irkung d ieses Q uerschnittes während der höheren Laststufen deutlich erkennbar, aus den starken V erb iegu n gen der Riegel- und S tiel
enden ist auf ein en fortgeschrittenen M om en tenausgleich zu schließ en . Die bleib en d en seitlich en Verform ungen d es R ieg els waren nur sehr gering:
auf 1500 mm S eh n en län ge ergab sich bloß ein e P feilhöhe von 7 mm, die E lnzelstübe d es R iegels zeig ten h ierb ei fast gleichartige, ste tig gekrüm m te B ieg e lin ie n , frei von W endepunkten und örtlichen Krümmungsschärfen.
Unter Z ugrundelegung der idealisierten A rbeitslinie O —S —S' (Abb. 6) m it der Streckgrenze as = 2 , 6 2 t/cm 2 so llen nun die V orgänge während d es B elastungsverlaufes auf rechnerischem W ege verfolgt w erden.
S olan ge nur elastisch e Form änderungen auftreten, g ilt für den Horizontalschub X des Rahm ens die B ezieh u n g
(1) X = 0,27 P,
w elch e unter B erücksichtigung der veränderlichen T rägheitsm om en te g e funden wurde. Das größte B iegungsm om ent tritt in R iegelm itte auf. Wird die N ietlochsch w äch un g nur für die g e zo g e n e n Q uerschnittsteile in Rechnung g estellt, so entsteht hier am Zugrand die größere Randspannung. Für die Stabquerschnitte g e lte n die F estw erte (Abb. 11)
V ollqucrschnitt:
(2a) f v = 22,0 cm 2, l V = 5 3 , 0 c m 3 N utzquerschnitt:
(2 b) / „ = 19,8 cm 2, Wd = 50,1 cm 3, Wz = 40,8 cm 3; ^ Schw erpunktverschiebung durch den e in seitig en N ietabzug:
(2 c) 1 = 0,4 le r n .
Mit (1) erhält man bei rein elastisch er V erform ung als B iegu n gsm om en t (E inheiten t und cm)
Der Spannung op — 1,8 t/cm 2 an der P roportionsgrenze entspricht der Lastwert P p = 3,54 t.
Bleibt die N ietlochsch w äch un g unberücksichtigt (w ob ei dann die Spannung d es gedrückten Querschnittrandes m aßgebend ist), so erhält man die Lastwerte
P = 4 , 3 1 t, P
750 t
: 6,28 t.
750
Abb. 10.
S teigt nun P über den Lastwert P s an, so beginn t sich das plastische V erform ungsverm ögen d es Stah les schon auszuw irken, indem näm lich die B legu n gsm om en tc nicht m ehr verh ältn isglcich mit der B elastung anw achsen,
in O . in B,
21,43 P, 16,07 P,
Abb. 11a bis e.
b eid e M om ente auf die Schw erachse d e s V ollqu erschnittes b ezogen . Unter den getroffenen V oraussetzungen ist die rein elastisch e V erform ung mit jenem Lastw ert P s ab g esch lo ssen , unter w elch em am Zugrande des Q uer
schn ittes O die Streckspannung erreicht wird. Mit (1), (2) und (3) erhält man, unter B eachtung der Sch w erach sen lage des nietgesch w äch ten Q uer
schn ittes, aus
den Lastwert P - (5) N ä = X
so w ie die B iegu n gsm om en te (5a)
W z J nf _____________ Dam it ergeben sich 1,39 t (Riegel) und N l
5,15 t.
M i M E = — 39,0 t - c m , vWq =
: — 82,7 t ■
■ — 52,1 t.
die Normalkräfte
■ 2,575 t (Stiele),
cm,
sondern M 0 langsam er und M ß bzw . A fc rascher ansteigen. Unter der Annahm e eben b leib en d er Q uerschnitte, so w ie unter Berücksichtigung der zu gru n d egelegten A rbeitslinie O —S —S' (ohne V erfestigun gsbereich) m üssen im M ittelquerschnitt des R iegels der R eihe nach die ln Abb. 11a bis d dargestellten Sp annungsbilder zustande kom m en. Der kritische Spannungs
verlauf nach Abb. 11 d, gek en n zeich n et durch d ie versch w indend klein gew ord en e H öhe des elastisch verb liebenen Kernes, wird hierbei unter ein em ersten kritischen Lastwert P — P h erreicht. D ie Normalkraft N h und das B iegu ngsm om ent M K m üssen dann der P lastizitätsbedingu ng des Q uerschnittes O g en ü g e n . D iese aus G lelch gew ich tsbed ingu n gen w ieder h erzu leiten d e B ezieh u n g lautet a llgem ein (Abb. 11)
(Ia) [b • 2)(A 2 — h^) + S h f - /.(/r-Z r ,)
Am Druckrandc d es Q uerschnittes O entsteh t hierbei die Spannung N£
i n M s0 - N s |
H r |
+
= 2,263 t/cm 2Der M om en tenverlau f zum Lastangriff P = P S ist in Abb. 10 dargestellt.
An den Orten 1, 2 und 4, an w elch en die D ehnungen g e m essen wurden, en tsteh en die B iegu n gsm om en te
(5b) A ff = 100,5 t - cm, A f, ■ 29,2 t • cm, A ff = -
w ob ei Af w ied er das auf die Schw erachse d es v o lle n Q uerschnittes b e z o g en e Angriffsm om ent b ed eu tet. S teigt nun P K auf P K + J P an, so b leib t der kritische Spannungsverlauf in 0 b esteh en , es w andert bloß die N u llln ie von n nach n' (Abb. I l e ) . E ine andere Sp ann ungsverteilun g ist nicht m öglich. Unter der Einwirkung d es L astzuw ach ses J P w erden näm lich b eid e R iegelhälften in 0 gegen ein an der gepreßt, w o b ei d iese zu w achsende Druckkraft nur im g e zo g e n e n T eile d es Q uerschnittes über
tragen w erden kann, da ja d ie gestau ch ten T eile keinen Druckwiderstand -4 6 ,3 t - c m . leisten . Größere Spannungen als die Streckspannungen ds , w elch e als
126
G i r k m a n n , Über die Auswirkung der „Selbsthilfe* des Baustahls us w. Beilage zur zeitschritt .Die Bautechnik"unveränderliche Spannungsw erte betrachtet w erd en, können voraussetzun gs
gem äß im Baustoff nicht wirken, klein ere Spannungen sind w ied er deshalb nicht m öglich, w e ll d ie se Spannungen und daher auch das innere M om ent des Q uerschnittes einer S teigeru n g fähig wären; vom Lastzuw achs J P w ü rd e dann g leich zeitig in 0 ein M om ent g ew eck t w erd en , w e lch es diesen Biegungsw iderstand aufzehrt, der daher gar nicht zustan de kom m en kann.
Aus d em selb en Grunde muß schließlich auch d ie unter J P zuw achsen de Druckkraft d e s Q uerschnittes 0 in .einem an den gestauchten Bereich des Q uerschnittes unm ittelbar ansch ließend en A bschnitte
n ri
übertragen werden.D iese zu w ach sen d e Druckkraft muß mit Rücksicht auf die Erhaltung des G leich g ew ich tes in der H öhe d es Spannungskörpers 2 ds <S n ri angreifen, und an Größe dem Inhalte d ie se s Spannungskörpers gleich sein . Bei der L aststeigerung von P K auf P K + J P ändert sich daher d ie Normal- kraftAf/< um J N = 1 d s S n n ' und das B iegu n gsm om en t M q um J M
— + J N c (das innere M om ent wird kleiner); unter c ist der Abstand d es Schw erpunktes d es Spannungskörpers 2 d$ S n r i von der Schw erachse d es V ollqu erschnittes zu versteh en . D ie zu P ■— P K + J P gehörigen W irkungsgrößen N K - f J N und + J N c gen ü g en dann w ied er der Gl. Ia. Ist der Rahmen für den Lastangriff P K als einfach statisch un
b estim m tes System aus den elastisch plastischen Verform ungen berechnet w orden, so kann für jed en w eiteren Lastzuw achs J P der zugehörige Spannungszustand aus G le ich gew ichtsbed in gun gen erm ittelt w erden. Nach Ü berschreiten d es L astw ertes P * verhält sich das Tragwerk w ie ein Drci- gelenk rahm en , d essen R ieg elg ele n k n sich m it zu n eh m en d er Last ständig nach abw ärts versch iebt. D ie V ersch ieb ungen n ri, w e lch e unter den noch m öglichen L aststeigerungen über P^ hinaus en tsteh en, sind sehr gering, so daß auch das Innere M om ent d es Q uerschnittes 0 hierb ei nur w en ig abnim m t. D ie R iegel- und Stiel-E n dm om ente w achsen aber unter den folgen d en Lastvergrößerungen rasch an.
(6) Afi. 1 p T t _ x T h0, M TE = ^ - . P T r - X T h0,
m t0 = - mp , aus w elch en für den H orizontalschub
(7) X ‘
folgt. Für das Versuchstrag werk ist
■ +
(8) / = 150 cm, Dam it erhält man aus G l. 7
(9)
und dam it aus G l. 6
; 59,5 cm, r = 17 cm.
: 0,387 P 1
(
10)
M i 14,497 P T = - M te -- M Mit den Q uerschnittm aßen (Abb. 11)(8a) /¡ = 8 c m , /¡1 = 6 ,4 c m ,
F •
1,2 cm , 6 = 9 cm , ). = 2,8 cm und mit ds = 2 , 6 2 t/cm 2 erhält man aus der P lastizitätsb ed in gu n g Gl. la und damit
= 3,91 t, M ‘0
P 1 = 1 0 , 1 1 t
: — M p = 146,6 t • cm, M i ■ — 232,6 t • cm.
G und H en tsteh en unter der Last P T — 10,11 t die M om en te Mq
= MJj= — 146,6 t - c m und die Norm alkräfte N [ = ~ P r = 5,055 t.
A us G l. Ia w ürde sich zu dieser Normalkraft als tragbares M om ent Ai = 146,8 t -cm ergeb en . D ieses ist nur w en ig größer als die w irkenden M om en te Mq und M j j, so daß d ie Q uerschnitte G und H gerade noch ausreichen und unter der Last 10,11 t praktisch eb enfalls schon G elen k w irkung erlangen. ■
Das Verhältnis zw ischen Eckm om ent und M ittenm om ent ist hier 1,59, unter der Last P s war d asselb e
M%
K l
= —= i . ü y , u m c i u c i l- aa i r w ai u a a b c i u u -M T0 M%
— 0,75. Daraus ist zu ersehen , daß im vorliegen d en F a lle die A usw irkung der S elb sth ilfe ein e sehr w eitg eh en d e ist, so daß auch für d ie zuerst plastisch w erdenden Stab teile (R iegelm itte) der Eintritt von Instabilitäten in hohem M aße b e gü n stigt wird. Trotzdem waren F altu ngen erst unter den höchsten Last
stufen hervorgetreten, während die seitlich en A u sw eich u n gen auch dann noch gerin g b lieb en und das Tragverm ögen nicht b eein flu ssen konnten.
B leib en d ie N ietsch w ächu ngen außer Betracht, so ergibt ein e g leic h artige Rechnung, b ei V erw en du ng der Plastizitätsbedingung G l. I, als trag
bare Last P T — 11,48 t, zu w elch er dann X T — 4,44 t, Mq = 166,3 t-c m und M p = — 264,2 t - c m gehören .
Es soll jetzt noch fe stg estellt w erd en , w elch er Last P die A b m essu n gen d es Tragwerkes g e n ü g en , w enn bloß auf Erreichen der Streckspannung am Querschnittrande b em essen w ird, also je n e s Verfahren der Q uerschnitt
erm ittlung zur A n w en d u n g g elan gt, w elch es für T rägersystem e bisher im m er in A ussicht gen om m en war. Auch hier wird mit v o llem M om enten- au sgleich gerech net, so zwar, als w ürden die Q uerschnitte schon beim Eintritt der Streckspannung am Rande G elenkw irku ng erlangen; die G leich ungen 6 und 7 bzw . 9 und 10 b leib en daher ln G eltung.
Wird zunächst der N ietloch ab zu g für die g ezo g en en Flanschen berück
sichtigt und beachtet man, daß d ie B ieg u n g sm o m en te Immer auf die Schw erach se d es V ollqu erschnittes b ezogen sind, so können mit 2 b und 2 c d ie R andspannungen in 0 ausgedrückt w erd en durch
( 1 0
M,
o
■ TV-0,41 Nd 50,1
M 0 - N - 0,41
* = 40,8 A us Gl. 9, 10 und 11 erhält man für <tz = ds =
P ° = 7,90 t und dazu M o 0
+
19,8N
19,8
= 2,62 t/cm 2 als tragbare Last
U nter ein em Lastwert P = P T wird schließ lich auch in E bzw . F der kritische Spannungsverlauf erreicht; bei w eiterer L aststeigerung würden d ie Q uerschnitte E, 0 und F als G elen k e w irken, und das S ystem w äre labil. D em nach stellt d iese z w eite kritische Last P T bereits d ie tragbare Last dar. U nter d ieser könnten schon b e lie b ig v ie le Q uerschnitte G elen k w irkung erlangen (w as hier auch für d ie Stielquerschnittc G und H tatsächlich zutrifft). D ie von P T verursachten W irkungsgrößen N r und Mq des Q uerschnittes 0 , so w ie N r und M TE der Q uerschnitte E und F m üssen dann d ie P lastizitätsbedingu ng G l. Ia erfüllen. Da auf d ie se gleich b e m e sse n e n Q uerschnitte d ieselb e Normalkraft N r = X T einwirkt, m üssen auch ihre B iegu ngsm om ente dem absolu ten W erte nach gleich sein . Dem nach g e lte n die B ezieh u n gen (Abb. 10a)
114,53 t • cm = — M e ° = - M F°,
— — 114,47 t - c m . D ie Spannung am Druckrande von 0 ist 2,416 t/cm 2, in den Q uerschnitten G und H en tsteh en d ie Randspannungen drf
= 2,464 t/cm 2 und dz = 2,577 t/cm 2.
B leib en die N ietlochsch w äch un gen unberücksichtigt, dann erhält man auf ähnlichem W ege, m it dd = ds ,
P » = 9,00 t.
Wird die Last P T = 10,11 t, w elch e b ei voller A usn utzu ng der nlet- g esch w äch tcn Q uerschnitte erhalten w urde, als m aß geb end e tragbare Last a n g eseh en , so gen ü g t das Tragwerk z. B. b ei zw eifacher Sicherheit einer G ebrauchslast von 5,05 t. D ie se Ist nur w e n ig klein er als d ie Last P s
= 5,15 t; d ie Forderung, daß die Streckspannung unter dem Angriff der G ebrauchslasten noch an keinem Orte des Tragw erkes in den Baustoff eindringen dürfe, ist daher nur knapp erfüllt.
Wird die Last P ° = 7,90 t, w elch e ein er B em essu n g der niet
geschw ächten Q uerschnitte auf Erreichen der Streckspannung am Q uer
schnittrande zugehört [und w elch e nach Professor M a i e r - L e i b n i t z als
„praktisch tragbare L ast*2) zu b ezeich n en wäre] als m aßgebend betrachtet, so reicht das Versuchstragw erk b ei zw eifacher Sicherheit für ein e G e
brauchslast von 3,95 t.
Im F alle der B em essu n g nach zu lässigen Spannungen wäre bei zw el-
* 2,62 = 1,310 t/cm 2 zu rechnen. D as Ver- 1 2,5 7 5 1 facher Sicherh eit m it s zul =
■ P ö
D er M om en tenverlau f ist In Abb. 10a dargestellt.
D iese B erechnung ist nur g ü ltig , w enn d ie E ckverbindungen und die S tiele nicht vorzeitig versagen . In den m aßgebend en Stielq uersch nitten
suchstragwerk würde dann nur ein er G ebrauchslast von ^
g en ü g en . D ie se s Ergebnis darf aber m it den vorsteh en d crrechneten G ebrauchslasten von 3,95 und 5,05 t nicht verglich en w erd en , da eine zw eck en tsp rech en d e B em essu n g d es Tragw erkes nach zu lä ssig en Span
nungen zu anderen Q uerschnittsverhältnissen führt.
Im Schaubild der g e m ess e n en D u rchbiegungen für O (Abb. 12) sind die errechneten charakteristischen Lastw erte, und zw ar P p = 3,54 t (4,31 t), P s = 5 , 1 5 t (6,28 t), P ° = 7,90 t (9,00 t) und P 7' = 1 0 ,1 1 1 (11,48 t) hervor
g eh o b en . A u s dem V erlauf der D urchbiegungen ist zu erseh en , daß erstm alig nach Ü berschreiten der Last P = 8 t ein e raschere Zunahm e der Form änderungen eintritt, daß aber der Beginn der v o llk o m m en en Ü b erw ind un g d es inneren W iderstandes d es B austoffes erst in die Last
stufe P = 1 1 t fällt. Tatsächlich war der Z eiger der M eßuhr erst beim Durchschreiten der Last P — 11,25 t in rasche B ew e g u n g geraten. D ie
