Macierze. Macierze. prostokątne tablice wypełnione liczbami: macierzowymiarach3 4

(1)

— prostokątne tablice wypełnione liczbami:







1 −15.3 23.1 0

88.4 0 1.3 −4.5

0.1 1 1 0





 — macierz o wymiarach 3×4

DEFINICJA:

MMacierz o wymiarach m × n: prostokątna tablica liczb rzeczywistych (lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach:

i-ty wiersz

j-ta kolumna

6







a₁₁ a₁₂ . . . a_1j . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2j . . . a_2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a_i1 a_i2 . . . aij . . . ain

. . . . . . . . . . . . . . . . . . a_m1 a_m2 . . . amj . . . amn







Wykład 5, 4 XI 2008, str. 2

Macierze

DEFINICJA:

MMacierz o tej samej liczbie wierszy i kolumn nazywamy macierzą kwadratową.

Stopień macierzy kwadratowej to liczba jej wierszy (kolumn).

Na główną przekątną macierzy kwadratowej składają się elementy aii, czyli stojące na przecięciu wiersza i kolumny o tym samym numerze.

główna przekątna

bb bb bb bb bb bb bb b bb

bbbb

bbbbb







a₁₁ a₁₂ . . . a_1i . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2i . . . a_2n . . . . . . . a_i1 a_i2 . . . aii . . . ain

. . . . . . . a_n1 a_n2 . . . ani . . . ann







Uwaga: Pojęcia stopnia i głównej przekątnej nie mają sensu dla macierzy, która nie jest kwadratowa.

(2)

Macierze

DEFINICJA:

MMacierz górnotrójkątnato jest macierz kwadratowa, która pod główną prze- kątną ma same zera.

Macierz dolnotrójkątnato jest macierz kwadratowa, która nad główną prze- kątną ma same zera.







bb bb bb bb bb bb b

0

a₁₁ a₁₂ . . . a_1i . . . a_1n 0 a₂₂ . . . a_2i . . . a_2n . . . . 0 0 . . . aii . . . ain

. . . . 0 0 . . . 0 . . . ann













bbbb

bbbb bb

0

a₁₁ 0 . . . 0 . . . 0 a₂₁ a₂₂ . . . 0 . . . 0 . . . . . . . a_i1 a_i2 . . . aii . . . 0 . . . . . . . a_n1 a_n2 . . . ani . . . ann







MACIERZ GÓRNOTRÓJKĄTNA MACIERZ DOLNOTRÓJKĄTNA

Macierze

DEFINICJA:

MMacierz diagonalna to jest macierz jednocześnie górnotrójkątna i dolnotrój- kątna.

Macierz jednostkowa to jest macierz diagonalna, która na głównej przekąt- nej ma same jedynki.







bb bb bb bb bb bb bb b bb

bbbb

bbbbb

a₁₁ 0 . . . 0 . . . 0 0 a₂₂ . . . 0 . . . 0 . . . .

0 0 . . . aii . . . 0 . . . .

0 0 . . . 0 . . . ann













1 0 . . . 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . 0 . . . .

0 0 . . . 1 . . . 0 . . . .

0 0 . . . 0 . . . 1







MACIERZ DIAGONALNA MACIERZ JEDNOSTKOWA

(3)

Macierze niekoniecznie kwadratowe:

DEFINICJA:

MWektor kolumnowy to jest macierz o wymiarze m × 1. Wektor wierszowy to jest macierz o wymiarze 1 × n.

Macierz zerowa to jest macierz wypełniona samymi zerami.







a₁₁ a₂₁ . . . a_m1







h a₁₁ a₁₂ . . . a_1n ⁱ







0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . .

0 0 . . . 0







WEKTOR WEKTOR MACIERZ

KOLUMNOWY WIERSZOWY ZEROWA

Macierze

DEFINICJA:

MSumę macierzy o tych samych wymiarach określa się po współrzędnych:





a₁₁ . . . a_1n . . . . . . . . . a_m₁ . . . a_mn





+





b₁₁ . . . b_1n . . . . . . . . . b_m₁ . . . b_mn





=

def





a₁₁+ b₁₁ . . . a_1n+ b_1n . . . . . . . . . a_m₁+ b^m₁ . . . a_mn + b^mn





Przykład:

M

0 1 0 2 3 −3

+

⁻¹₂ ^{4 7}_{1 1}

=

0 − 1 1 + 4 0 + 7 2 + 2 3 + 1 −3 + 1

=

⁻¹₄ ⁵₄ ⁷

−2

(4)

Macierze

DEFINICJA:

MIloczyn macierzy przez liczbę określa się po współrzędnych:

r

·





a₁₁ . . . a_1n . . . . . . . . . a_m₁ . . . a_mn





=

def





r · a11 . . . r · a1n

. . . . . . . . . r · a^m1 . . . r · a^mn





Przykład:

M

6

·

0 1 0 2 3 −3

=

6 · 0 6 · 1 6 · 0 6 · 2 6 · 3 6 · (−3)

=

_{12 18}⁰ ⁶ ⁰

−18

Macierze

DEFINICJA:

MIloczynem macierzy A wymiaru m × p przez macierz B wymiaru p × n nazywamy macierz o wymiarach m × n określoną następująco:







. . . . a_i1 a_i2 . . . aip

. . . .







×







. . . b_1j . . . . . . b_2j . . . . . . . . . . bpj . . .







=

def







. . . . . . . . . . . .

p

X

k=1

aik · b^kj . . . . . . . . . . . .







Czyli: na przecięciu i-tego wiersza z j-tą kolumną w macierzy wynikowej stoi suma iloczynów

p

X

k=1

aik · b^kj = a_i1 · b1j + a_i2 · b2j + . . . + aip · b^pj

Uwaga:Liczba kolumn p pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy drugiej macierzy; inaczej iloczyn macierzy nie jest określony.

(5)

Przykład:

M





−3 0

2 0

7 −8







×

" 1 0 2

−2 8 −2

#

=







(−3) · 1 + 0 · (−2) (−3) · 0 + 0 · 8 (−3) · 2 + 0 · (−2) 2 · 1 + 0 · (−2) 2 · 0 + 0 · 8 2 · 2 + 0 · (−2) 7 · 1 + (−8) · (−2) 7 · 0 + (−8) · 8 7 · 2 + (−8) · (−2)







=







−3 0 −6

2 0 4

23 −64 30







Wykład 5, 4 XI 2008, str. 10

Macierze

TWIERDZENIE:

MDodawanie macierzy

• jest przemienne: A + B = B + A

• jest łączne: (A + B) + C = A + (B + C)

• posiada element neutralny w każdym wymiarze:

A + O = A (O to macierz zerowa) Mnożenie macierzy

• jest łączne: (A × B) × C = A × (B × C)

• posiada element neutralny w każdym wymiarze:

A × I = A oraz I × A = A (I to macierz jednostkowa) Mnożenie jest rozdzielne wzgl. dodawania

• A × (B + C) = A × B + A × C i (B + C) × A = B × A + C × A

(6)

Macierze

Uwaga: Mnożenie macierzy nie jest przemienne. Np.:

"

0 1 2 0

#

×

"

0 3 4 0

#

=

"

4 0 0 6

#

"

0 3 4 0

#

×

"

0 1 2 0

#

=

"

6 0 0 4

#

Wykład 5, 4 XI 2008, str. 12

Macierze

DEFINICJA:

MJeśli A jest macierzą prostokątną m × n, to macierzą transponowaną do A nazywamy macierz A^T wymiaru n × m, taką że A^T_ij = Aji.

Przykład:

M







1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12







T

=







1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12







Transponowanie macierzy polega na zamianie wierszy z kolumnami; czyli odbiciu jej względem jej głównej przekątnej.

(7)

TWIERDZENIE:

M

• (A^T)^T = A

• (A + B)^T = A^T + B^T

• (r · A)^T = r · A^T

• (A × B)^T = B^T × A^T

Wykład 5, 4 XI 2008, str. 14

Macierzowa postać układu równań

Układ równań liniowych







− x − 2y + 3z = 4 + y − 2z = −4 4x + 3z = 13 można przedstawić w postaci:







−1 −2 3

0 1 −2

4 0 3





×







x y z





 =







4

−4 13







Układ równań A × X = B: A — macierz główna układu

X — wektor kolumnowy niewiadomych B — wektor kolumnowy wyrazów wolnych

(8)

Macierzowa postać układu równań

Układ równań liniowych







− x − 2y + 3z = 4 + y − 2z = −4 4x + 3z = 13 można przedstawić w postaci:







−1 −2 3

0 1 −2

4 0 3





×







x y z





 =







4

−4 13







Dla rozwiązania układu równań liniowych możemy:

• zamienić kolejność wierszy,

• pomnożyć cały wiersz przez jakąś liczbę różną od zera,

• do jednego wiersza dodać inny wiersz.

Wykład 5, 4 XI 2008, str. 16

Metoda eliminacji Gaussa

Macierz układu równań:







−1 −2 3 4

0 1 −2 −4 4 0 3 13







Pomnożyć pierwszy wiersz przez 4 i dodać do trzeciego:







−1 −2 3 4

0 1 −2 −4

4 · (−1) +4 4 · (−2) +0 4 · 3 +3 4 · 4 +13





 =

=







−1 −2 3 4

0 1 −2 −4 0 −8 15 29







(9)

(ciąg dalszy):







−1 −2 3 4

0 1 −2 −4 0 −8 15 29







Pomnożyć drugi wiersz przez 8 i dodać do trzeciego:







−1 −2 3 4

0 1 −2 −4

0 8 · 1 +(−8) 8 · (−2) +15 8 · (−4) +29





 =

=







−1 −2 3 4

0 1 −2 −4 0 0 −1 −3







Wykład 5, 4 XI 2008, str. 18

Metoda eliminacji Gaussa

(ciąg dalszy):







−1 −2 3 4

0 1 −2 −4 0 0 −1 −3







Otrzymaliśmy układ równań z górnotrójkątną macierzą:







−1 −2 3

0 1 −2 0 0 −1





×







x y z





 =







4

−4

−3







Czyli:







− x − 2y + 3z = 4 y − 2z = −4

− z = −3

(10)

Metoda eliminacji Gaussa

(ciąg dalszy):







− x − 2y + 3z = 4 y − 2z = −4

− z = −3

Taki układ jest łatwo rozwiązać. Wyliczamy z z trzeciego równania i podstawiamy z = 3 do pozostałych:

z = 3

(

− x − 2y + 3 · 3 = 4 y − 2 · 3 = −4 czyli

z = 3

(

− x − 2y = −5

y = 2

To nam znowu daje znowu macierz górnotrójkątną, ale już niższego stopnia.

Wykład 5, 4 XI 2008, str. 20

Metoda eliminacji Gaussa

(ciąg dalszy):

z = 3

(

− x − 2y = −5

y = 2

Wyliczamy y z drugiego równania i podstawiamy y = 2 do pierwszego:

y = 2 z = 3

n

− x − 2 · 2 = −5

czyli

y = 2 z = 3

n

− x = −1

Rozwiązanie:

x = 1 y = 2 z = 3

(11)

Metoda eliminacji Gaussa służy do sprowadzenia macierzy układu równań do postaci górnotrójkątnej za pomocą operacji niezmieniających rozwiązań układu:

• zamieniania kolejności wierszy,

• mnożenia wiersza przez liczbę różną od zera,

• dodawania wiersza do innego wiersza.

Układ równań o macierzy trójkątnej jest już łatwy do rozwiązania przez kolejne podstawienia.

Wykład 5, 4 XI 2008, str. 22

Przekształcenia liniowe

Macierzom 2 × 2 odpowiadają przekształcenia płaszczyzny w siebie:

mając daną macierz A,

przekształcamy wektor (kolumnowy)

"

x y

#

w wektor (kolumnowy) A ×

"

x y

#





a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂



 ×





x y



 =





a₁₁ · x + a12· y a₂₁ · x + a22· y





(12)

Przekształcenia liniowe

Macierzom 2 × 2 odpowiadają przekształcenia płaszczyzny w siebie.

Przykład: (jednokładność) M"

2 0 0 2

#

×

"

1 0

#

=

"

2 0

# "

2 0 0 2

#

×

"

0 1

#

=

"

0 2

#

−→

Wykład 5, 4 XI 2008, str. 24

Przekształcenia liniowe

Przykład: (przekształcenie aﬁniczne) M"

2 0 0 0.8

#

×

"

1 0

#

=

"

2 0

# "

2 0 0 0.8

#

×

"

0 1

#

=

"

0 0.8

#

−→

(13)

Przykład: (przekształcenie aﬁniczne) M"

1 1 0 1

#

×

"

1 0

#

=

"

1 0

# "

1 1 0 1

#

×

"

0 1

#

=

"

1 1

#

−→

Wykład 5, 4 XI 2008, str. 26

Macierze

Przykład: (obrót) M

"

cos 30^◦ − sin 30^◦ sin 30^◦ cos 30^◦

#

=

" √

3/2 −0.5 0.5 √

3/2

#

∼

"

0.87 −0.5 0.5 0.87

#

−→

"""""

. . .. .. . .. .. . .. . . ............. .............. .. ............

30^◦

"""T"TT

"

TT T