ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
Serias ENERGETYKA z.80 Nr kol. 715
1962
Andrzej PUSZER
ZASTgPCZA STAŁA CZASOWA PROCESÓW DYFUZYJNYCH WWALCU O SKOŃCZONEJ WYSOKOŚCI
Streszczenie: Wykorzystując transformację całkową w obszarze skoń- czcnym określono zastępczą stałą czasową dla dyfuzji ciepła i masy w walcu o skończonej wysokości przy warunku brzegowym trzeciego ro
dzaju. Podano praktyczne zastosowania tej stałej do określenia cza
su trwania stanu nieustalonego, do wyznaczania współczynników wnika
nia ciepła i dyfuzyjności cieplnej w dynamicznej metodzie pomiaru.
1. WSTgP
W pracy [10] R.Sikora V.Lipiński wyznaczyli stałą czasową procesów dyfuzyjnych przy warunku brzegowym 1 rodzaju tzw. warunek Dirichleta.W dy
fuzji ciepła i masy bardziej powszechny jest warunek brzegowy 3 rodzaju, charakteryzujący konwekcyjny sposób wymiany ciepła i masy między płynem o ciałem stałym. Stąd niniejszą prace poświęcono temu zagadnieniu. Całość rozumowania dotyczy dyfuzji ciepła, z tym że rezultaty można łatwo adept®»
waó do izotermicznej wymiany masy. W rozwiązaniu • problemu wykorzystano transformację całkową w obszarze skończonym, upraszczającą procedurę roz
wiązania równania dyfuzji.
Ponadto w pracy przedstawiono możliwość wykorzystania rozważań teoretycz
nych dla celów praktycznych, szczególnie do eksperymentalnego wyznaczania współczynników: wnikania ciepła af i dyfuzyjności cieplnej a.
2. MODEL MATEMATYCZNY
Dla rozwiązania problemu przyjęto następujące założenia:
a) pole temperaturowe walca tw jest osiowo symetryczne,
b) współczynniki wnikania ciepła są stałe i reprezentują wartoici
średnie
na powierzchniach bocznej Of i ozołowych af'
c) współczynniki termofizyczne walcs c, ę i X są stałe, niezależne od tem
peratury,
d) temperatura płynu t zmienia się aperiodycznie,
e) pojemność cieplna płynu w stosunku do waloe jest bardzo duża.
30 Ak Fuszer
Pole temperaturowe walca dla tak przyjętych założeń opisuje równanie Fou- riera-Kirchhoffa z warunkami brzegowo-poozątkowymi w postaoi:
2 2
®JL _ 2 * m + 1 ¿ 2. .+ -2 ®,
©Pa ©Po d f ’ (1)
+ Bi e - 0 d l a Y « 1, (2)
®5
^ i K oęBi. « 0 d l a '5 - ± $ , (3)
• X* Po) “ 0 ^1*°) - 0 dla Fo = 0 (4)
t - t gdziet
• * . JB ■ B - bezwymiarowa, zredukowana różnica temperatur między pły- nem a walcem,
t - t
nTm B ° - bezwymiarowa, zredukowana temperatura płynu, At
A t = tfc - tQ- charakterystyczna różnica temperatur,
t^, t - odpowiednio temperatury: końcowa i początkowa,jednako
wa dla płynu i walca.
Bi -2Ł5- - liasba Biota, Fo’ --S| " bezwymiarowy czas, J J “ TT “ bezwymiarowe współrzędne,
B - promień walca,
h - połowa wysokości waloa.
Dla tak zdefiniowanych wielkości zastępcza, bezwymiarowa stała czasowa rozumiana jako pierwszy moment zwykły rozkładu całkowitego czasu trwania stanu nieustalonego pola temperaturowego w walcu będzie [6], [7], [lo} :
Fo - l ' C|,Jj , Fo) dFo (5)
gdzie:
i - zastępcza stała czasowa.
Jest ona miarą powierzchni pola zawartego między charakterystykami ozaso- wymi płynu i walca.
Dokonując transfonaac ji całkowej Lepiące'a względem Fo z warunkami brze
gowymi (2), (3) i zależności (5) z uwzględnieniem (4) otrzyma się:
Zastępcza stała czasowa procesów dyfuzyjnych w.. 37
t )2 i ^ 1 © e ^ -b2 # „ a o * / , Q ,
# « 7 ■ ’
21 + Bi 3 = 0 dla 1 = 1 , (2a)
1 K oę Bi 5 = 0 dla ^ = , (3a)
Fo = lim 5 ft.y, S), S— 0 0 J gdzie: p
R ^
S = s — - bezwymiarowy parametr transformacji Laplace a.
Z zależności (5a) wynika, że do rozwiązania problemu, tzn. wyznaczenia zas
tępczej stałej czasowej procesu wystarczy znajomość transformaty «-.w okreś
lonym punkcie walca.
3. OKREŚLENIE ZASTgPCZEJ STAŁEJ CZASOWEJ
Dla rozwiązania równania (la) zastosowano transformację całkową w obsse- rze skończonym względem zmiennej 5 W -
*»((.„,S . s > - / / «Oj.5 ,S) ^ ) d w (6) co
zredukowany obszar zmiennej ^ ,
jądro transformacji (funkcje własne) zależne od geometrii, dla okrągłego przekroju poprzecznego ■ ^ o ^ k * wartości własne będące dodatnimi pierwiastkami równania
(7),
funkcje Bessela o argumencie , pierwszego rada#ju,zero
wego i pierwszego rzędu.
Bi Jotyi) - ¡i J^^t) (7)
jjt
•Zmienna stransformowana 5 jest w tym wypadku (w odróżnieniu od innych transformacji całkowych) zmienną dyskretną. Fo transformacji (6) równania (la) i warunku brzegowego (3a) z uwzględnieniem (2a) otrzyma się:
gdzie;
u) Vk ^ k > "
¿*k -
J0(^ - J 1(^ -
¿i A. Puszer
i B i 5 * = O dla J5 = t | , (3b)
gdzie:
l*k = ^ k + S ’ Nk " norma funkcai v k
2 Bi
*k
J o ^ k > (^ k + B i ">
Całka równania (1b) z uwzględnieniem (3b) będzie:
N? A,
* v s - s » - y
Pk
1 -
eh( pjJj) irsi 8h(^ 6 ) + ebi/*ki >
S-fCS) (8)
Transformacja odwrotna względem (6) jest określona równaniem [i] :
8V k » 5 ,S) vk (3'/1k ) (9) k=1
Stosując (9) do (8) otrzyma się poszukiwaną transformatę B dla »yaiac zenia bezwymiarowej, zastępczej stałej czasowej (5a).
« 5 . 5 .s) - 2 t I j oW >
k- 1 “ k
1 -
Ila podstawie założenia d transformata temperatury płynu będzie:
f i <b-iS +
?(S) - - j j l ---
8 n u i s + 0
i=1
(11)
gdzie:
a., b. - współczynniki charakteryzujące przebieg, (Po) n > m
i J
Podstawiając (11), (10) do (5a) otrzyma się formułę do obliczania zas
tępczej stałej czasowej.
Zastępcza s Ł,eła czasowa procesdw dyfuzyjnych w.«« 33
*0' = = 2 Jo ^ k V K k. 1 /*k
1 -
ch^ k $) ah (iAk £> + ohK
( 12)
Ponieważ na podstawie [5 ]
2 1 “ 2" Jo ^ k P “ 1 + 1 - h 2)' k»1 r k
to zal-żność ( 2) będzie:
( 1 2 0
przy czym
4 Bi
- + (1 - r > B1 k ^ t ^ k
Ak Jo ^ k P cn^ k P s h ^ k fc> + fi)
(13)
Wartości liczby "ij) zwanej dalej poprawką zawarte są w przedziale |p,i] , przy czym ^ = O dla ^ - — ““ .Szereg występujący w s^eżności (13) jest szyb- kozbieżny. Dla ^ > 1 i Bi > wystarczy praktycznie obliczyć dwa pierwsze wyrazy szeregu, a dla małych liczb Bx cztery wyrazy. Przykładowo wykresy zależności (13) w postaci ty (jj) dla ^ =0 i =0 oraz wyoranych liczb Bi i K przedstawiono na rys. 1.
4. DYSKUSJA WYNIKU
1 Z zależności (I2a) i (13) można uzy. kac ostsze przypadki ayflizji ciep
ła. I tak dla Bi-*-00 , co odpowiada warunków b. i łowemu pierwszego rudca- 1 ju (Dirichleta), otrzyma frę:
po - 4 s = 7 * - t ) ( -t~) <u >
R
~ lnu p ,
<d> = — w > ---2- ^ --- — r < 15>
~ 1 - r " t ^ k W =h(Hk l >
Dla Bi < < — - 71 i fi — <x> przy R > 0 zależn ¿ć (I2a) będzi : 1 - i Z 5
^ o = r k ( 1 °
2±
A. Puszer0.006
OtOOi
Rys. 1. Zależność poprawki ♦ od w i Bi przy»
■> * ą - 1
Wynik ten odpowiada jedńopojemnościowemu modelowi walca, w którym zakłada sie płaskosć izoterm w przekroju poprzecznym. W literaturze zależność ta znana jest pod postaoią, w której Po ■ T , gdzie T jest stała czasową charakterystyki skokowej walca. ®
o U
Dla Bi i ę — a«, przy R > 0 zależność (I2a) będzie:
■ i + 1 - $ 2 > ( 1 7 >
Uzyskane rezultaty dla dyfuzji ciepła można łatwo adaptować dla potrzeb dyfuzji masy, jeśli model matematyczny tej ostatniej jest liniowy.Wówczas liczbę Biota i definiujemy następująco»
Bi * T T • \ m Ł Ą m "jf— *
Zastępcza stała czasowa procesów dyfuzyjnych w,. 35
gdzie:
[b ¡i' - współczynniki wnikania masy na powierzchni bocznej i czołowej walca,
D - współczynnik dyfuzji masy w walcu.
Natomiast przy definicji bezwymiarowego czasu Po w miejsce współczynnika dyfuzyjności cieplnej a należy podstawić współczynnik dyfuzyjności masowej.
Zastępcze stałe oaasowe dyfuzji masy w drugim okresie procesu suszaiia dla geometrii kulistej ciała suszonego wyznaczono w pracy [7].
Rys. 1. Zależność poprawki ib od 4 i Bi przy:
b) = 0,6 K
36 A. Fuszer
5. PRZYKŁADY PRAKTYCZNEGO WYKORZYSTANIA ZASTĘPCZEJ STAŁEJ CZASOWEJ
5.1. Ocena czasu trwania stanu nieustalonego procesu
Przy wymuszeniu skokowym czas trwania stanu nieustalonego w punkcie obszaru procesowego o współrzędnych jf i ^ można ocenić na podstawie for- muły (18).
i « (3 7 5) (53- + 1 - ^ 2) (1 (18) Jest to sposób przybliżony nie precyzujący poziomu ufności uzyskanego wy
niku. Dokładny sposób pozwalający na określenie czasu trwania stanu nie
ustalonego dla dowolnego wymuszenia typu aperiodycznego przy założonym po
ziomie ufności S przedstawiono w pracy [8]. Przykładowo dla i wy- muszenia skokowego czas ten na podstawie [8] wynosi»
In (1 - E)
t - 1
(19 )
gdzie:
B - poziom ufności/fi > 0,9
V $ T (2 + 5 T } + \ (1 " j > 4)
Według zależności (19) można obliczyć tzw. czasy charakterystyczne t c 9 ,
^ 0,95 itp*
5.2. Eksperymentalne wyznaczanie współczynnika wnikania ciepła metodą r a i u nieustalonego
Z żale neśc: (12a) po jej przekształceniu otrzyma się:
% 2 ( 1 - Ą )
CC = W — ’ ■ *V 1 1uamm~ * T ^ 1 11«'-■■■■ • H 4 Po - (1 - j^) (1 -it>)
(20)
Zależność : pozwala na eksperymentalna wyznaczenie współczynnika wnika
nia cieple dla geometrii walcowej. W tym celu należy wykonać odpowiednią sondę w i.. cową o założonej średnicy, z materiału o znąnych współczynnikach:
przewodzenie ciepła % i dyfuzyjności cieplnej a. Pomiar.czasowej charak- terys».vi. temperaturowej sondy najkorzystniej jest realizować w jej geo
metrycznym środku ( ^ =0 , ^ «0 ) . Z eksperymentu uzyskuje się wartość za
stępcze stałej czasowej $0, która jak już wspomniano jest miarą pola po
wie rzcan i między charakterystykami czasowymi płynu i sondy. Wartość po-
Zastępcza stała czasowa proceaów dyfuzyjnych w... 37
prawki można ograniczyć przez odpowiedni dobór wysokości sondy (rys. 2) lub stosować dla krótkich sond procedurę iteracyjną dla wyznaczenia if • Problem ten dokładniej przedstawiono w pracy [ó]. Wyniki badań współczyn
nika wnikania ciepła za pomocą walcowej sondy dwuwarstv/owej w oparciu o tę samą metodykę przedstawiono w pracach [2] [3] [4].
28
24
20
16
12
Ol)
V =0 .0 1
\ , \
v , . — W
r 2 P r l O
=0,6 NS..
Vl
K .
V - A N
V 0> K
f . ć
b
\
)/ V
■>
l\
, .
r ^?0£ ?/
V
^ v V
V
>s V
N V \
N
s \
\
h
>
* V * . ,
* -
; = r - Bi
01
0005 05
001
10 0055
01 10
Rys. 2. Zależność j od Bi 1 przy ^ » 0,01
5.3. ZksaarroentaUw wyznaczanie współczynnika__
Załóżmy wstępnie, że próbka materiału stałego izotropowego wykonana jest w postaci nieskończenie długiego walca. Zastępcze stałe czasowe przy takim założeniu dla dwóch charakterystycznych punktów = O i 0 < ]5i < 1 * odpowiednio na podstawie (17) będąi
33 A. Puszer
Tworząc różnicę tych dwóch równań ma się:
a
gdzie:
A ^ « f - - wartośó uzyskana z eksperymentu.
W świetle uzyskanego wyniku (21) założenie -=o przy R > 0 można obecnie złagodzić, przyjmując skończoną wysokość próbki. PTzy czym jsj wysokość będzie zależna od realizowanych w trakcie eksperymentu liczb Bi i ograniczeń narzucanych na Hf £9].
W praktyce pomiarowej stosuje się najczęściej na tyle długie próbki wal
cowe, że wpływ skończonej długości walca można pominąć pod warunkiem pra
widłowego doboru i zainstalowania czujnika pomiarowego.
LITERATURA
Tl] Gdula S.J.: Przewodzenie ciepła w prętach pryzmatycznych i żebrach.
Praca habilitacyjna. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej.Energetyka z.20/1969.
[2] Lorkiewicz Z., Puszer A.: Pomiar współczynnika wnikania ciepła w łożu fluidalnym metodą dynamiczną. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Energetyka z.74/79.
[3] Lorkiewicz Z., Puszer A.: Die Messung des WSrmeflberganskoeffizienten in der Wirbelschicht nach dem dynamischen Verfahren. Energieanwendung, Heft 6/1980.
[4] Lorkiewicz Z., Puszer A.: Dynamiczna metoda pomiaru współczynnika wii- kania ciepła w palenisku fluidalnym, PAK 10/1930.
[5] Puszer A.: Praca doktorska. Politechnika Śląska, 1973.
[6] Puszer A.t Model matematyczny dynamicznej metody pomiaru współczynni
ka wnikania ciepła. Sympozjum PTMTiS "modelowanie w mechanice", Wisła marzec 1981.
f"7l Puszer A.; Dunajewski J.: Sposób wyznaczania zastępczych stałych cza- sowych procesu suszenia w jego drugim okresie. Sympozjum PTMTiS "Mo
delowanie w mechanice", Wisła marzec 1981.
[8] Puszer A.» Czas trwania stanu nieustalonego procesu dyfuzyjnego przy warunku brzegowym trzeciego rodzaju. Referat zgłoszony na. XI Zjazd Termodynamików, Świnoujście wrzesień 1981.
£9] Puszer>A.: Badania współczynnika wyrównania temperatur metodą stanu nieustalonego. Referat wygłoszony na Seminarium Naukowym Instytutu Energetyki Paliwowej, Dąbrowa Górnicza marzec 1981.
[10] Sikora R., Lipiński W*: Stała czasowa procesów dyfuzyjnych w walcu o skończonej długości. PAK 3/1975.
i odpowiednio ją przekształcając otrzy-
— r2 (2 1)
4 A T
Zastępcza stała czaaową procesów dyfuzyjnych w.. 39
Wpłynęło do Redakcji w lipcu 1981
Recenzent: Prof, dr hab. inż. Stefan Wiśniev/ski
i i O C i a U ł L A ń j ? - . „ i n p o . ' E o c o s 3 i s x s h e i e ¡ c o k e h h o . ' l i s o n
P e 3 K) u e
; i c n o j i B3y a K O i i e ^ H o e i ł H T e r p a j i b H o e n p e o6p a3 0B a H n e , o n p e f l e n e H a n o c i o H H H a H B p e u e H H s j i a j m g b ( |> y3n H T e i u i a h M a c c u b u j o i H H A p e K O H e i H o ; i b h c o t u n p u r p a H H « t - h h x ycjioaaax T p e i b e r o po^a. ! T o K a3a H O n p a K T H u e c i c o e n p i i M e H e H u e s t o , ! i i o c t o j i h - h o . : n p u p a c u e x e n p o a o j u i t a T e j i b H O c T i i H e y c i a H O B H B m n x c H c o c T O H H H i i f l j i a ^ ¡ ^ ; ; y3H0H - H b i x n p o i ; e o c o B , a x a K x c e K o a i x p m i j i e H T O B T e n a o o S M e H a h B H p a B H U B a H H H T e M n e p a x y - p n npu n p u : . : e u e u ; : : i A i i H a M i m e c K o r o u e i o ^ a n s M e p e i i M .
A SUBSTITUTE TIME CONSTANT FOR DIFFUSION PROCESSES IN A CYLINDER OP FINITE HEIGHT
S u m m a r y
Using an integral transformation in a finite area, a substitute time constant for heat and mass diffusion in a cylinder of finite height v/ith the boundary condition of the third sort has been defined. The practical usages of this constant in defining of duration of the transient state, and in defining the heat diffusion and heat penetration indices in the dynanic measurement method have been presented.
