1
Analiza Matematyczna 2.1 – Wykład 8 CAŁKI PODWÓJNE – c.d.
Definicja obszaru normalnego względem osi układu.
1) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy następujący obszar domknięty:
{(𝒙, 𝒚): 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃, 𝒈(𝒙) ≤ 𝒚 ≤ 𝒉(𝒙)}
Gdzie funkcje 𝒈(𝒙) i 𝒉(𝒙) są ciągłe na odcinku [a,b] oraz 𝒈(𝒙) < 𝒉(𝒙) na [a,b].
2) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy następujący obszar domknięty:
{(𝒙, 𝒚): 𝒑(𝒚) ≤ 𝒙 ≤ 𝒒(𝒚), 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅}
Gdzie funkcje 𝒑(𝒚) i 𝒒(𝒚) są ciągłe na odcinku [a,b] oraz 𝒑(𝒚) < 𝒒(𝒚) na [c,d].
2
Twierdzenie o całkach iterowanych po obszarach normalnych.
1) Załóżmy, że funkcja 𝒇 jest ciągła na obszarze normalnym względem osi Ox:
𝑫 = {(𝒙, 𝒚): 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃, 𝒈(𝒙) ≤ 𝒚 ≤ 𝒉(𝒙)}
Wtedy całkę podwójną po tym obszarze możemy zapisać jako całkę iterowaną w następujący sposób:
∬ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝑷 =
𝑫
∫ [ ∫ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚
𝒉(𝒙)
𝒈(𝒙)
] 𝒅𝒙
𝒃
𝒂
2) Załóżmy, że funkcja 𝒇 jest ciągła na obszarze normalnym względem osi Oy:
𝑫 = {(𝒙, 𝒚): 𝒑(𝒚) ≤ 𝒙 ≤ 𝒒(𝒚), 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅}
Wtedy całkę podwójną po tym obszarze możemy zapisać jako całkę iterowaną w następujący sposób:
∬ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝑷 =
𝑫
∫ [ ∫ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙
𝒒(𝒚)
𝒑(𝒚)
] 𝒅𝒚
𝒅
𝒄
3
Podobnie jak na poprzednim wykładzie, całki iterowane po obszarach normalnych będziemy zapisywać jak całki iterowane po prostokącie:
∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥) 𝑏
𝑎
Oraz:
∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑞(𝑦)
𝑝(𝑦) 𝑑
𝑐
Przykład 1. Zamienić wskazaną całkę podwójną na obszarze D na odpowiadającą jej całkę iterowaną. Obszar D ograniczony jest następującymi krzywymi: 𝑦 = 1 + √2𝑥 − 𝑥2, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 oraz 𝑦 = 0.
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑃 =
𝐷
∫ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
1+√2𝑥−𝑥2
0
] 𝑑𝑥
2
0
4
Przykład 2. Obliczyć podaną całkę podwójną.
∬(𝑥2− 𝑥𝑦)𝑑𝑃
𝐷
𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 ≥ 𝑥, 𝑦 ≤ 3𝑥 − 𝑥2}
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑃 =
𝐷
∫ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ [ ∫ (𝑥2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦
3𝑥−𝑥2
𝑥
] 𝑑𝑥
3
0
Obliczamy całkę iterowaną:
∫ [ ∫ (𝑥2− 𝑥𝑦)𝑑𝑦
3𝑥−𝑥2
𝑥
] 𝑑𝑥
3
0
= ∫ [𝑦𝑥2−𝑥𝑦2 2 ]
𝑥 3𝑥−𝑥2
𝑑𝑥
3
0
=
∫ [(3𝑥 − 𝑥2)𝑥2−𝑥(3𝑥 − 𝑥2)2
2 − 𝑥𝑥2+𝑥𝑥2
2 ] 𝑑𝑥 =
3
0
∫[9𝑥4− 6𝑥5+ 𝑥6− 4.5𝑥3+ 3𝑥4− 0.5𝑥5− 𝑥3+ 0.5𝑥3]𝑑𝑥 =
3
0
5
∫[𝑥6− 5.5𝑥5+ 12𝑥4− 5𝑥3]𝑑𝑥 =
3
0
[𝑥7
7 −5.5𝑥6
6 +12𝑥5
5 −5𝑥4 4 ]
0 3
≈ 312.43 − 668.25 + 583.2 − 101.25
= 126.13
Definicja obszaru regularnego na płaszczyźnie.
Obszarem regularnym na płaszczyźnie nazywamy obszar, który można
przedstawić jako sumę skończonej liczby obszarów normalnych o rozłącznych wnętrzach.
Przykład 3. Podzielić podany obszar regularny na obszary normalne względem osi Ox.
6
Ten sam obszar podzielić na obszary normalne względem osi Oy.
Jeśli obszar regularny 𝐷 jest sumą obszarów normalnych 𝐷1, 𝐷2,…, 𝐷𝑛 o parami rozłącznych wnętrzach to jeśli funkcja 𝑓 jest całkowalna na obszarze 𝐷 zachodzi następująca równość:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑃
𝐷
= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑃
𝐷1
+ ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑃
𝐷2
+ ⋯ + ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑃
𝐷𝑛
7
Przykład 4. Obliczyć podaną całkę podwójną po obszarze ograniczonym zadanymi krzywymi.
∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
𝑥𝑦 = 1
|𝑥 − 𝑦| = 1
Zamieniamy obszar regularny na obszary normalne:
8
Aby zamienić całkę po obszarze 𝐷 na sumę trzech całek po obszarach 𝐷1, 𝐷2 oraz 𝐷3 należy wyznaczyć współrzędne punktów charakterystycznych. W tym celu rozwiążemy dwa układy równań:
{ 1 𝑥 = 𝑦 𝑥 + 1 = 𝑦 oraz
{ 1 𝑥 = 𝑦 𝑥 − 1 = 𝑦
1
𝑥 = 𝑥 + 1/∗ 𝑥 1 = 𝑥2+ 𝑥 𝑥2+ 𝑥 − 1 = 0
9
∆= 1 + 4 = 5 𝑥1 =−1 + √5
2 ≅ 0.618 𝑥2 = −1 − √5
2 ≅ −1.618
Analogicznie wyznaczamy współrzędne x-owe dwóch pozostałych punktów:
1
𝑥 = 𝑥 − 1/∗ 𝑥 1 = 𝑥2− 𝑥 𝑥2− 𝑥 − 1 = 0
∆= 1 + 4 = 5 𝑥1 =1 + √5
2 ≅ 1.618
10
𝑥2 =1 − √5
2 ≅ −0.618
Dysponując powyższymi informacjami możemy zapisać rozważaną całkę jako sumę całek po trzech obszarach normalnych względem osi Ox:
11
∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
= ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷1
+ ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷2
+ ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷3
Zamieniamy powyższe całki na całki iterowane:
∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷1
+ ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷2
+ ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷3
=
∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑥+1
1 𝑥 1−√5
2
−1−√5 2
+ ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑥+1
𝑥−1
−1+√5 2
1−√5 2
+ ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑦
1 𝑥
𝑥−1 1+√5
2
−1+√5 2
12
∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑥+1
1 𝑥 1−√5
2
−1−√5 2
= ∫ [𝑥𝑦2 2 ]
1 𝑥 𝑥+1
𝑑𝑥
1−√5 2
−1−√5 2
= ∫ [𝑥(𝑥 + 1)2
2 −𝑥 (1 𝑥)
2
2 ] 𝑑𝑥
1−√5 2
−1−√5 2
=
∫ [𝑥3+ 2𝑥2+ 𝑥
2 − 1
2𝑥] 𝑑𝑥
1−√5 2
−1−√5 2
=
=1
2 ∫ [𝑥3 + 2𝑥2+ 𝑥]𝑑𝑥
1−√5 2
−1−√5 2
−1
2 ∫ [1 𝑥] 𝑑𝑥
1−√5 2
−1−√5 2
=
= 1 2[𝑥4
4 +2𝑥3 3 +𝑥2
2]
−1−√5 2 1−√5
2
−1
2[ln|𝑥|]
−1−√5 2 1−√5
2 =
Dla uproszczenia przyjmiemy przybliżone wartości granic całkowania:
= 1 2[𝑥4
4 +2𝑥3 3 +𝑥2
2]
−1.618
−0.618
−1
2[ln|𝑥|]−1.618−0.618 =
≅ −0.416 Pozostałe całki do samodzielnego obliczenia.
Twierdzenie o całkowaniu funkcji nieciągłych
Jeżeli funkcja 𝒇 jest ciągła na obszarze regularnym 𝑫 oraz funkcja ograniczona 𝒈 pokrywa się z funkcją 𝒇 poza skończoną liczbą krzywych, które są
wykresami funkcji ciągłych 𝒙 = 𝒙(𝒚) lub 𝒚 = 𝒚(𝒙), to funkcja 𝒈 jest całkowalna na obszarze regularnym 𝑫 oraz:
∬ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚
𝑫
= ∬ 𝒈(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚
𝑫
13
Definicja wartości średniej funkcji na obszarze.
Wartością średnią funkcji na obszarze 𝑫 nazywamy liczbę:
𝒇ś𝒓 = 𝟏
|𝑫|∬ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚
𝑫
|𝑫| oznacza pole obszaru.
