Sposób D'Alemberta w zastosowaniu do równań różniczkowych liniowych rzędu n-go ze spółczynnikami stałymi

A. J. S t o d ó ł k i e w i c z .

SPOSOB D’ALEMBERTA

W ZASTOSOWANIU

R Z Ę D U n-g-o

ZE S P Ó Ł C Z Y N N lK A M i STAŁYMI.

W KRAKOWIE.

NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.

S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K SIĘ G A R N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z E J P O L S K IE J .

1893.

A. J. S t o d ó ł k i e w i c z .

SPOSÓB D’ALEMBERTA

W ZASTOSOWANIU

RZĘD U n-go

W KRAKOWIE.

NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.

S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K SIĘ G A R N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z E J P O L S K IE J .

1893.

ZE SPO ŁCZYN NI KAM I STAŁYMI.

Osobne odbicie z Tomu XX VI. Rozpraw W y działu matematyczno-przyrodniczego Akademii Um iejętności w Krakowie.

3 / n z i z

Kraków, 1893. — Drukarnia Uniwersytetu Jagiellońskiego, pod zarządem A . M. Kosterkiewicza.

Sposób D’Alemł>erta

w zastosowaniu do równań różniczkowych liniowych rzędu n-go ze spółczynnikami stałymi.

Przez

A. J. Stodółkiewicza.

Rzecz przedstaw iona n a posiedzeniu W ydz. m at.-przyr. d. 4 lipca 1892.;

referow ał członek Zajaczkow sld.

--- 0_<gg>_0---

Ogólny k ształt równań różniczkowych liniowych rzędu n-go ze spółczynnikami stałym i jest

d“y dn- ‘y d"~2y dy

dxn+ 1 d ^ + 2 d c ^ + ' ' ' ' + n ^ ^ A "y ~

^

gdzie A 1, A 2, . . . , A„ są liczby s ta łe , a X funkcya zmiennej nieza­

leżnej *. W iadomem je s t, źe całki takiego równania są w ścisłej za­

leżności od pierwiastków równania algebraicznego

Xn + A l X "-1 + A 2 r~° + . . . . A n_, l + A n = 0.

Sposób całkow ania, który w niniejszej pracy zamierzam wyłożyć jest, mojem zdaniem , bardziej z natu rą zagadnienia związany, aniżeli sposób, zw ykle używ any przy wykładach nauki równań różniczkowych. Sposób D ’Alem berta w ypływ a z zagadnienia bezpośrednio i ogólnie przy roz­

ważaniu równania pełnego. Oprócz tego, sposób wspomniany czyni zupełnie zbytecznem rozpatrywanie równań redukowanych i odróżnianie

pierwiastków równych u rojonych, lub rzeczywistych. Stosując sposób D ’A lem berta, połóżmy nasamprzód

d y Cn~<} , , dtf"~a) . dy' ,, dy (2) - j r = ^ ’ “V = y > • • • ’ & = y > d x = y ! natenczas, równanie (2) można napisać w kształcie:

(3) = x - A > y'n~° - Ą y ^ - ■ ■ ■ - a .-, y ’ - A * y- Mnożąc równanie (2) odpowiednio przez czynnniki nieoznaczone p-,,

\>-i, p.„_, i dodajac do równania (3), otrzym amy

d y^~ ,'> , d y , d y{n~3) . . cfo/' dy

d.o + ',/* + ^ ,fe + ■ • ■ • + ^ - 2 d x ~ [J'“ 'de =

= X - A , f n- » - !4, | ^ > A n_t y' - A„ y + (4) + ja, y (" -15 + u2 + --- + p.„_2 y " + p.„_„ y '.

N astępnie, połóżmy:

(5) y (n- ’; + (Xj y c’- 2-) + p.a y<*-*> + . . . . + p.„_2 y' + [x„. , y = ^ , natenczas, rugując y0‘~'; z równania (4) przy pomocy związku (5), ła­

two otrzym am y

f e t _ ł p . _ ,< - » f e l - A )«, -

d x d x y d x d% d x 1 r i 1 1

(6) — y ^ K ( [a , ~ A , ) + A 2 - p . J - r ' ‘ "s' - A ) + A - h i - ---

■ ■■■— y ’ K - (i*, - A ) + - (*•„-,] - y K - , (p-, - 4 ) + 4 J . Dla p.0 p-2, . . . . , |x„_2, p.„_, można zawsze znaleźć u k ład ilości sta­

ły ch , zadość czyniących w arunkow i, ażeby spółczynniki przy y (n~s\

y :"~3:, . . . . , y ' y by ły zerami. W rzeczy sam ej, trzeba tylko roz­

wiązać następujacy układ równań algebraicznych p,, (p.t - A ) + A 2 - p,a = o, {*■8 (;Jji -^j) "H -^a ‘ F'a = ^5 (7) . . . ...

PJ/i— 2 (y*l ^ 1 ) "f" A n-J - [ Oj p-»-i (p*i — A J + An = o, z których , po rozwiazaniu, otrzymamy

A„

2 A. J. STODOŁKIBWIOŻ. [iog]

[107] S PO S Ó B d’aLEMBT5RTA. 3

(k-i — A ) A

■ “ ii ' W i— A ) '

A - , A n

w , ~ A ) n- ” A , ( h - A T - (f-i- A ) '

(9)

r « 4_ Ą rn- + A , rn~* + . . . + A„_, r + A ń = 0. (10) Odszukawszy jeden pierwiastek równania (10), otrzym amy z (9) odpo­

wiednia wartość na u.,, tudzież, z układu (8) obliczymy z łatwością wszystkie pozostałe ilości [x2, a ,, . . . , }

T akim sposobem, rozporządzać będziemy nowem równaniem róź- niczkowem (5), w którem ux jest funkcya zmiennej niezależnej a, okre­

śloną równaniem

skąd , oznaczając dla krótkości pierwszy pierwiastek równania (10) przez r1} w skutek związku (9), mamy

W idzim y z poprzedzającego, źe równanie (5) m a znowu ten sam kształt co równanie dane (1), ale jest rzędu o 1 niższego, i podobnie ja k (1) zawiera wszystkie spółczynniki stałe; przeto, do równania (5) możemy

(11⁾

również zastosować sposób D ’Alemberta. Napiszemy w tym celu u k ład następujący

(

—

(12)

Mnożąc drugie równanie z układu (12) przez v,, trzecie przez v, i t. d. przedostatnie przez v„_3 i ostatnie przez v»_, i dodając do rów­

nania pierwszego, otrzymamy

a o , d y in~^ di/ ' ' ' s; d y 1”^ d y ' d y

1 3 - 'y , --- - • ,--- - v 2

J,

;

d x d c d x d x ' d c

== u , - |X,y ^ - w / * - * - . . . . y(“- ,)+ v » . ..

• • ■ + v „ _ 3 y " + v„ _ 2 y \

Jeżeli dalej położymy

(14) y c" -2) l: v, + v2 ,y + . . . + v„_3 y + vn_ ,y = w2 i celem wyznaczenia stałych ilości v weźmiemy

~ ( v, f j f t K + va- ^ = « ,

—(vi r ; h ) v» + v 3,t-.[*8 = o , (15)

- • > , — [A, ) V „ _ 3 + V „ _ 2 — f i „ _ 2 = 0 ,

— (v! - f t K - . —[A-. = <3, natenczas z równania (3) otrzym amy

du„ , .

(15a) = w, + K — (*,)«,,

Liczby v wyznaczy się z u kładu (15), gdyż:

—K'n-i V„-2= —---- 5

V1 — P-l

______ —2 * l^n—i

4 A. J . STODÓŁKIEW TCZ. [ 1 0 8 ]

(16) ...

„ — ______ P*

f^*3 ___ ftn—t

v , - f t f a - f t . ) ” (v, - a ,)” 2

Z ostatniego rówitania powyższego układu (16), kładąc

(16a) ^{v 1} = s + [a1 ,

mieć będziemy równanie

(17) *-* + s”- 2 + [J-2 sn- 3 + . . . + (V-, s + (V-, = 0 ,

[109] s p o s ó b d’a l e m b e r t a. 5

które, ja k to łatwo okazać, ma wszystkie pierw iastki wspólne z rów­

naniem (1.0). Ażeby tego dowieść, napiszmy równanie (17) w kształcie

w tym celu, mnożymy równanie (18) przez r — y^ + A, a, po uporząd­

kowaniu iloczynu podług potęg r, otrzymamy

Z ostatniego rów nania, przy pomocy związków (7), mieć będziemy

nia (10) i nazwiemy go r2, natenczas na zasadzie związku (16a) będzie

Tutaj zauważyć ju ż m ożna, że sposób nic nie traci na ogólności w p rz y p ad k u , gdy r2 równa się poprzedniemu pierwiastkowi t \ . N a­

stępnie, pozostanie nam tylko obliczyć v2, v3, . . . , v„_2 'z równań (16) i całkować równanie różniczkowe (14) rządu n-2go, w którem funkcya w2 określa się równaniem (15a), a które scałkowane d a je :

jem y z tym samym pożytkiem sposób D ’Alem berta. Powtórzywszy n-1 razy szereg podobnych, ja k powyższe, działań, obniżymy rząd równania aż do 1-go i otrzym amy równanie liniowe kształtu

r„ je st tutaj ostatnim pierwiastkiem równania (10), a u funkcya zmien- ( 18) r ’" ' + r" 2 + [a,r*"* + . . . + y-H^ r + fv_, = 0

i wprowadźmy pierwiastek, którego mu b ra k u je : r = ;x. & A, ;

r" + A l r ‘ ‘ + A 2 r"-’ + A a r ” s + . . . + A n_, r + A „ = 0 , co było do dowiedzenia.

Stąd w ypływ a, że, jeżeli odnajdziemy drugi pierwiastek równa-

v,

Do całkowania równania (14) ze spółczynnikami stałymi znowu stosu-

V ~ r „ y = un_ , , z którego po scałkowaniu wynika

nej niezależnej x , wiadomą z poprzedzającego całkowania. Ostatni związek będzie zarazem całką ogólną danego rów nania, która zawierać musi n stałych dowolnych, gdyż każde całkowanie wprowadza jedne ilość stałą c. W szystkie stałe, oprócz ostatniej cn, zawarte będą we funkcyi un_t. Ponieważ zależność funkcyi ui: u2, . . . , un_, jest za­

wsze jednakow ego kształtu, przeto, ru gując kolejno z całki ogólnej wzmiankowane funkcye ux, u2, , . . , , możemy napisać całkę szukaną w postaci szeregu n następujących, zależnych jed n a od drugiej kw adratur.

y = + [cn + J Icn_, + J < rw + w [cB_ +

— \ ...(et 4- \ X e~r‘ x d r) . . . dr] d x ] d x j , W zór ten jest ogólny dla wszelkich możliwych przypadków.

Jeżeli równanie (l)będzie redukow ane, natenczas należy tylko wzór powyższy uprościć, pisząc X = 0.

&& Jeżeli napotkam y w (10) pierw iastki rów ne, naprzykład r„ = r„_

wówczas będzie

e~rn = e° =- 1

i wzór powyższy w tym przypadku na ogólności bynajm niej nic nie straci.

Teoryę wyłożoną objaśnimy biorąc p rzykład n astęp u jący : Niech będzie dane równanie

6 A . J . ST O D Ó ŁK IEW IC Z. [ 1 1 0 ]

7^; 4- a. - ' d*y a2 , + a3y = x m d x i 1 d x l 2 d x

w którem a,, an a3 są liczby jakiebądź.

Równania całkow e, w edług poprzedzającej teoryi, będą

^ c, + ^ x m e~r‘ x d x ^ ,

ui — e’2 1 ( u \ e~'s x d x j ,

y = er* 35 ^ c3 + ^ u2 e~r*x d x ^ ,

gdzie r , , r a, ;-3 oznaczają pierw iastki równania 03 + a. z* + a, z + a. = 0 .

[ l i i ] s p o s ó b d’a l e m b e r tA . 7

Z trzech powyższych równań całkow ych łatwo utworzyć następująca całkę ogólną

e * • [ c3 + ^ e~rj “+r» * | ca + ^ e~r* x+ri * ( .+

+ ^ x m e~rt * d x ^ d x I d x J ,

W przypadku kiedy m je st całkowite dodatne kw ad ratury te nie przed­

stawiają żadnych trudności.

- ■;

^ ... . '/‘I - .':"X

■ ‘^yrrt:hr-'.--:vłxśi:\A

: -ś4 i f f

■t V

i

' " ■ . ■ o ’ .- ■■' . >:• ■• ' - ■ .:. " . “ \. ’ .