Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach. Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach

Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(2)

W tej lekcji skupimy się na omawianiu przykładów wykorzystujących zależności między potęgami o takich samych wykładnikach, ale pozostałe poznane wcześniej własności również zastosujemy.

Głównym celem tej lekcji jest nabieranie biegłości w zauważaniu zależności i stosowaniu przekształceń związanych z potęgowaniem.

Twoje cele

Zastosujesz rozdzielność potęgowania względem mnożenia.

Zastosujesz rozdzielność potęgowania względem dzielenia.

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach

Źródło: licencja: CC 0, [online], dostępny w internecie:

pxhere.com.

(3)

Przeczytaj

Od szkoły podstawowej wiemy, że dla niezerowych liczb a i b oraz naturalnej liczby k prawdziwe są wzory:

a^k⋅ b^k= (a ⋅ b)^k

a^k:b^k= (a:b)^k Przypomnijmy dowody, powyższych równości:

rozdzielność potęgowania względem mnożenia

(a · b)^k= (a · b) · (a · b) · . . . · (a · b)k czynników= a · a · . . . · ak czynników· b · b · . . . · bk czynników= a^k· b^k rozdzielność potęgowania względem dzielenia

(a:b)^k=

a b k=

a b ·

a b· . . . ·

a

b k czynników=

k czynników

a· a· . . . · a b· b· . . . · bk czynników

=

a^k b^k

= a^k:b^k

W dowodach tych korzystamy z przemienności i łączności mnożenia.

Dla wykładników należących do zbiorów innych niż zbiór liczb naturalnych, deﬁnicje potęg konstruujemy tak, aby powyższe równości były prawdziwe.

Zatem dla dodatnich liczb a i b oraz dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi:

a^x⋅ b^x= (a ⋅ b)^x

a^x:b^x= (a:b)^x Przykład 1

Obliczymy wartości wyrażeń:

0, 4

1 2⋅ 1000

1

2 = (0,4 ⋅ 1000)

1 2 = 400

1 2 = 20

12

2 3⋅ 18

2

3= (12 ⋅ 18)

2

3 = 3 ⋅ 2²⋅ 2 ⋅ 3²

2

3 = 2³⋅ 3³

2

3 = (2 ⋅ 3)³

2 3 =

= 6^3⋅

2

3 = 6²= 36

2 3

4 3

:

9 4

4 3

=

2 3:

9 4

4 3

=

2 3 ⋅

4 9

4 3

=

8 27

4 3

=

2 3 4=

16 81

Przykład 2

Przekształcimy wyrażenia:

2

1 2+ 3

1 2 2

= 2

1 2+ 3

1

2 2

1 2+ 3

1

2 = 2

1 2· 2

1 2+ 3

1 2 + 3

1 2· 2

1 2+ 3

1

2 =

= 2

1 2⋅ 2

1 2+ 2

1 2⋅ 3

1 2+ 3

1 2⋅ 2

1 2+ 3

1 2⋅ 3

1 2 =

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

(4)

= 2 + 2

1 2⋅ 3

1 2+ 2

1 2⋅ 3

1

2+ 3 = 5 + 2 ⋅ 2

1 2⋅ 3

1

2= 5 + 2 ⋅ 6

1

2 = 5 + 2

√

⁶

5^1,5- 3^{1,5 2}= 5^1,5- 3^1,5 5^1,5- 3^1,5 =

= 5^1,5· 5^1,5- 3^1,5 - 3^1,5· 5^1,5- 3^1,5 =

= 5^1,5⋅ 5^1,5- 5^1,5⋅ 3^1,5- 3^1,5⋅ 5^1,5+ 3^1,5⋅ 3^1,5=

= 5³- 5^1,5⋅ 3^1,5- 5^1,5⋅ 3^1,5+ 3³= 125 - 2 ⋅ 15^1,5+ 27 = 152 - 2 ⋅ 15^1,5=

= 152 - 2 ⋅ 15

3

2 = 152 - 2 ⋅

√

¹⁵ ³= 152 - 2 ⋅ 15

√

15 = 152 - 30

√

¹⁵

W niektórych zadaniach będziemy korzystać z następującego twierdzenia:

Twierdzenie: Twierdzenie o równości potęg

Potęgi o równych podstawach, które są liczbami dodatnimi różnymi od 1, są równe dokładnie wtedy, gdy mają równe wykładniki.

Przykład 3

Wyznaczymy liczbę x, dla której 2^x⋅ 3^x= 36.

Korzystając z własności potęgowania możemy równanie przekształcić do postaci:

(2 ⋅ 3)^x= 36

6^x= 6²

Na mocy twierdzenia o równości potęg możemy zauważyć, że x = 2.

Przykład 4

Wyznaczymy liczbę x, dla której

3^x⋅15^x 5^x = 3.

Korzystając z własności potęgowania możemy równanie przekształcić do postaci:

(3⋅15)^x 5^x

= 3

3⋅15

5 x

= 3

9^x= 3

9^x= 9

1 2

Na mocy twierdzenia o równości potęg możemy zauważyć, że x =

1 2. Przykład 5

Obliczymy stosując prawa działań na potęgach:

5¹²⋅ 2¹⁰:10¹⁰= 5²⋅ 5¹⁰⋅ 2¹⁰:10¹⁰= 5²⋅ (5 ⋅ 2)¹⁰:10¹⁰= 25 ⋅ 10¹⁰:10¹⁰=

= 25 ⋅ (10:10)¹⁰= 25 ⋅ 1¹⁰= 25

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

(5)

3^{10 2}:6¹⁹⋅ 2¹⁸= 3²⁰:6¹⁹⋅ 2¹⁸=

3²⁰⋅2¹⁸ 6¹⁹

=

3²⋅3¹⁸⋅2¹⁸ 6⋅6¹⁸

=

9 6 ⋅

3⋅2 6 18

=

3

2 ⋅ 1¹⁸= 1,5

Przykład 6

Obliczymy stosując prawa działań na potęgach:

8^-7:(1,6)^-7:5^-6= (8:1,6)^-7:5^-6= 5^-7:5^-6= 5^{-7- ( -6)} = 5^{-7+ 6}= 5^-1=

1 5

(0,5)^-6⋅ 2^-6+ (0,125)^-5⋅ 2^-15= (0,5 ⋅ 2)^-6+ (0,125)^-5⋅ 2^{3 -5}=

= 1^-6+ (0,125)^-5⋅ 8^-5= 1 + (0,125 ⋅ 8)^-5=

= 1 + 1^-5= 1 + 1 = 2 Przykład 7

Rozwiążemy równanie 3^x- 2^x= 7 ⋅ 3^{x -2}- 2^{x -2}. Możemy wykonać kolejne przekształcenia:

3^x- 2^x= 7 ⋅ 3^{x -2}- 2^{x -2}

Od obu stron równania odejmujemy 7 ⋅ 3^{x -2}, do obu stron równania dodajemy 2^x:

3^x- 7 ⋅ 3^{x -2}= 2^x- 2^{x -2}

Korzystamy ze wzoru na iloczyn potęg o tych samych podstawach, aby zamienić 3^x= 3²⋅ 3^{x -2} oraz 2^x= 2²⋅ 2^{x -2}:

3²⋅ 3^{x -2}- 7 ⋅ 3^{x -2}= 2²⋅ 2^{x -2}- 2^{x -2}

9 ⋅ 3^{x -2}- 7 ⋅ 3^{x -2}= 4 ⋅ 2^{x -2}- 2^{x -2}

Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych:

2 ⋅ 3^{x -2}= 3 ⋅ 2^{x -2}

Dzielimy obie strony równania przez 3 oraz przez 3^{x -2}:

2 3 =

2^{x -2} 3^{x -2}

Korzystamy ze wzoru na iloraz potęg o tych samych wykładnikach:

2 3 1=

2 3 x -2

Korzystamy z twierdzenia o równości potęg:

1 = x - 2 x = 3

Słownik

rozdzielność potęgowania względem mnożenia

( )

( ) ( )

(6)

rozdzielność potęgowania względem mnożenia

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b oraz dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość (a ⋅ b)^x= a^x⋅ b^x; jeżeli rozważamy potęgi o wykładnikach całkowitych, wówczas podstawy potęg mogą być dowolnymi liczbami różnymi od zera

rozdzielność potęgowania względem dzielenia

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b oraz dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość (a:b)^x= a^x:b^x; jeżeli rozważamy potęgi o wykładnikach całkowitych, wówczas podstawy potęg mogą być dowolnymi liczbami różnymi od zera

twierdzenie o równości potęg

(inaczej: różnowartościowość funkcji wykładniczej) jeżeli potęgi o równych podstawach, które są liczbami dodatnimi i różnymi od 1, są równe, to ich wykładniki również są równe; zatem dla liczby a > 0 i a ≠ 1, jeżeli a^x= a^y, to x = y

(7)

Film samouczek

Polecenie 1

Przeanalizuj przykłady rozwiązane w ﬁlmie.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl Film nawiązujący do treści materiału.

Polecenie 2

Na podstawie informacji zawartych w ﬁlmie rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Wartość wyrażenia

√

³^{5 ⋅}

√

³25 jest równa:

5 5

√

³^{5 5}

4 3

3√¹⁶

3√² jest równa:

2 2

√

³^{2 8}

Wartość wyrażenia (1,7)^-3⋅ 17⁴ jest równa:

1,7 ⋅ 10⁴ 1,7 ⋅ 10³ 1,7 ⋅ 10²

12²⁰

2⁴¹⋅9⁹ jest równa:

2 9

9 2

9 4

28⁸

49⁴⋅4⁴ jest równa:

128 256 512

(8)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Oblicz. Wyniki wpisz w drugiej kolumnie.

Oblicz Wynik

0,25)⁸⋅ 8⁸

3 5 5⋅ 5⁵

13 17 -7⋅

17 13 -7

3 8 -5⋅

4 3 -5

(10)⁴:(2)⁴

1 2,4 -3

:

1 0,6 -3

1

5 11 2:

4 11 2

(0,5)^-2:(0,2)^-2

輸

(

( )

( ) ( )

(9)

Ćwiczenie 2

Poniżej wykonano pewne przekształcenia na wyrażeniu 7^0,5+ 2^{0,5 2}. Przeciągnij i upuść opisy i nazwy własności oraz deﬁnicji, z których skorzystano w poszczególnych krokach.

7^0,5+ 2^{0,5 2}=, = 7^0,5+ 2^0,5 7^0,5+ 2^0,5 =, = 7^0,5⋅ 7^0,5+ 2^0,5 + 2^0,5⋅ 7^0,5+ 2^0,5 =,

= 7^0,5⋅ 7^0,5+ 7^0,5⋅ 2^0,5+ 2^0,5⋅ 7^0,5+ 2^0,5⋅ 2^0,5=, = 7 + 7^0,5⋅ 2^0,5+ 2^0,5⋅ 7^0,5+ 2 =,

= 9 + 7^0,5⋅ 2^0,5+ 2^0,5⋅ 7^0,5=, = 9 + 7^0,5⋅ 2^0,5+ 7^0,5⋅ 2^0,5=, = 9 + 2 ⋅ 7^0,5⋅ 2^0,5=, = 9 + 2 ⋅ 14^0,5=

=9+214

Kolejne kroki Opis, nazwa własności lub deﬁnicja

70,5+20,52=

=70,5+20,570,5+20,5=

=70,5⋅70,5+20,5+20,5⋅70,5+20,5=

=70,5⋅70,5+70,5⋅20,5+20,5⋅70,5+20,5⋅20,5=

=7+70,5⋅20,5+20,5⋅70,5+2=

=9+70,5⋅20,5+20,5⋅70,5=

=9+70,5⋅20,5+70,5⋅20,5=

=9+2⋅70,5⋅20,5=

=9+2⋅140,5=

=9+214

輸

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

Ćwiczenie 3

Wyrażenie 50,5-21,52 zapisz w postaci a+bc, gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi. Uporządkuj poniższe wyrażenia tak, aby otrzymać rozwiązanie zadania.

=50,5⋅50,5-50,5⋅21,5-21,5⋅50,5+21,5⋅21,5=

=5-50,5⋅21,5-50,5⋅21,5+23=

=13-2⋅50,5⋅21,5=

=13-4⋅100,5=

=13-2⋅50,5⋅2⋅20,5=

=50,5-21,550,5-21,5=

=50,5·50,5-21,5-21,5·50,5-21,5=

50,5-21,52=

=13-410

=13-4⋅50,5⋅20,5=

醙

(10)

Ćwiczenie 4

Połącz w pary wyrażenia o równych wartościach.

30,5+20,52 31,5+20,52 30,5+21,52 31,5+21,52 60,5+12

醙

Ćwiczenie 5

Korzystając z twierdzenia o równości potęg rozwiąż równania. Przeciągnij poprawne rozwiązania.

10x2x=522, 5x-4=7x-4, 3x⋅10x2x=225, 3x+6x=3⋅6x, 11x-5=112-4x

Równanie Rozwiązanie równania

10x2x=522 5x-4=7x-4 3x⋅10x2x=225 3x+6x=3⋅6x 11x-5=112-4x

醙

Ćwiczenie 6

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Wyrażenie 623⋅3623 ma wartość równą:

{6} {6} {#36}

Wyrażenie 3623:623 ma wartość równą:

{63} {#363} {6}

Równanie 10x25x2=40,5 jest spełnione przez liczbę:

{#x=-1} {x=0} {#x=1}

Równanie 6x3⋅2x=2723 jest spełnione przez liczbę:

{x=1} {x=2} {#x=3}

Wyrażenie 70,5+20,52 jest równe:

{9} {#9+214} {#9+56}

醙

Ćwiczenie 7

Oblicz wartość wyrażenia 2−43⋅3−43⋅6133−14⋅5−14⋅15−34.

難

(11)

Ćwiczenie 8

Oblicz wartość wyrażenia 1534⋅(253)0,75⋅5−3435.

難

(12)

Dla nauczyciela

Autor: Sebastian Guz Przedmiot: Matematyka

Temat: Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum Podstawa programowa:

Treści nauczania – wymagania szczegółowe:

I. Liczby rzeczywiste. Zakres podstawowy. Uczeń:

4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje obywatelskie;

kompetencje cyfrowe;

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii.

Cele operacyjne:

Zastosujesz rozdzielność potęgowania względem mnożenia.

Zastosujesz rozdzielność potęgowania względem dzielenia.

Strategie nauczania:

konstruktywizm;

konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

odwrócona klasa;

rozmowa nauczająca w oparciu o treści zawarte w sekcji „Film samouczek” i ćwiczenia interaktywne;

dyskusja.

Formy pracy:

praca indywidualna;

praca w parach;

praca w grupach;

praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

(13)

Przed lekcją:

1. Nauczyciel prosi uczniów o zapoznanie się z treściami zapisanymi w sekcji „Przeczytaj”.

Faza wstępna:

1. Wskazanie przez nauczyciela tematu: „Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach”

i celów zajęć, przejście do wspólnego ustalenia kryteriów sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel czyta polecenie numer 1 z sekcji „Film samouczek” - „Obejrzyj ﬁlm o mnożeniu i dzieleniu potęg o tych samych wykładnikach, a następnie wykonaj poniższe polecenie”. Uczniowie zapoznają się z treścią zawartą w materiale, w razie wątpliwości zadają pytania nauczycielowi na forum klasy.

2. Uczniowie wykonują indywidualnie ćwiczenie nr 1‑2, a następnie wybrany uczeń omawia ich wykonanie na forum krok po kroku.

3. Nauczyciel dzieli klasę na 4‑osobowe grupy. Uczniowie rozwiązują zadania 3‑5 na czas (od zadania łatwiejszego do trudniejszych). Grupa, która poprawnie rozwiąże zadania jako pierwsza, wygrywa, a nauczyciel może nagrodzić uczniów ocenami za aktywność. Rozwiązania są prezentowane na forum klasy i omawiane krok po kroku.

4. Uczniowie rozwiązują zadania indywidualnie wykonując ćwiczenia nr 6, 7 i 8. Nauczyciel sprawdza poprawność wykonanych zadań, omawiając je wraz z uczniami.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Wybrany uczeń podsumowuje zajęcia, zwracając uwagę na nabyte umiejętności.

Praca domowa:

1. Zadanie dla kolegi/koleżanki. Uczniowie dobierają się w pary i opracowują zadania analogiczne do ćwiczeń 7 i 8 z sekcji „Sprawdź się”. Następnie przesyłają je do siebie mailem, rozwiązują i na następnej lekcji porównują wyniki.

Materiały pomocnicze:

E‑podręcznik z matematyki na stronie: www.epodreczniki.pl Wskazówki metodyczne:

Nauczyciel może wykorzystać medium w sekcji „Film samouczek” do pracy przed lekcją. Uczniowie zapoznają się z jego treścią i przygotowują do pracy na zajęciach w ten sposób, żeby móc

samodzielnie rozwiązać zadania w temacie „Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach”.

Przetwarzam wzory matematyczne: 62%