Zadania były rozwiązywane na szybko, więc nie mogę zagwarantować poprawności. W razie zauważenia błędu proszę o maila. Rozwiązania pochodzą z poprzednich semestrów, więc proszę się nie dziwić informacjom „było na zajęciach”.

Odpowiedzi do zadań

Są tu odpowiedzi i wskazówki do części zadań. Za jakiś czas dopiszę odpowiedzi do kolejnych zadań.

Zadania były rozwiązywane na szybko, więc nie mogę zagwarantować poprawności. W razie zauważenia błędu proszę o maila. Rozwiązania pochodzą z poprzednich semestrów, więc proszę się nie dziwić informacjom „było na zajęciach”.

Kolokwium 05.IV.2004r.

1. Zbieżność punktowa dla każdego α > 0 na R, funkcja graniczna f ≡ 0. Zbieżność jednostajna jedynie dla α < 1, w pozostałych przypadkach „psuje się” w x _n = ± ^{√ 1}

2n .

2. Badając odpowiednie pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (0, 0) stwierdzamy, że można znaleźć w otoczeniu tego punktu funkcję y = ϕ(x). Na mocy Twierdzenia o funkcji uwikłanej funkcja ta jest różniczkowalna. Znajdujemy pochodną

ϕ ⁰ (x) = cos y sin x

− sin y cos x + 2y + 1

stwierdzamy, że ϕ ⁰ (0) = 0 więc możemy mieć ekstremum funkcji ϕ w x = 0. Różniczkując powyższą równość względem x i pamiętając, że y zależy od x otrzymujemy drugą pochodną funkcji ϕ. W punkcie x = 0 ma ona wartość 1. Tak więc funkcja ϕ ma w punkcie x = 0 minimum lokalne.

3. Robiliśmy na zajęciach (albo bardzo podobne)

4. Funkcja jest różniczkowalna wszędzie poza punktem (0, 0) jako iloraz funkcji różniczkowalnych, mia- nownik się nie zeruje. W punkcie (0, 0) funkcja nie jest różniczkowalna. Możemy to sprawdzić obliczając pochodne kierunkowe - poza pochodnymi cząstkowymi nie istnieją one. Można również zauważyć analizując na przykład ciąg _n ¹ , _n ¹
, że funkcja ta jest nieciągła w zerze, nie może więc być różniczkowalna.

Zadania przygotowawcze część I

1. a) Funkcja graniczna f ≡ 0 dla x > 0. Brak zbieżności jednostajnej (np x _n = _n ¹ . b) f (x) = x dla x ∈ R. Zbieżność jest jednostajna.

c) f ≡ 0 na [−1, 1]. Brak zbieżności jednostajnej.

d) Funkcja graniczna:

f (x) =

 ₁

x dla x 6= 0;

0 dla x = 0 obszar zbieżności R. Brak zbieżności jednostajnej.

e) Zbiór na którym zachodzi zbieżność punktowa x = kπ, k ∈ Z, funkcja graniczna f ≡ 0. Zbieżność jest jednostajna.

f) f ≡ 0, dla x > 0. Zbieżność jest jednostajna.

g) Zbieżność punktowa do f ≡ 0, zbieżność nie jest jednostajna.

2. a) Ciągłość wszędzie poza x ² = y ² , widać np. biorąc ciąg a + _n ¹ , a + _n+1 ¹
;

b) Ciągłość tylko poza okręgiem jednostkowym (czyli poza miejscami sklejenia dwóch funkcji), można

wziąć praktycznie dowolny ciąg, żeby to pokazać -> np. dla punktu (x ₀ , y ₀ ) na okręgu weźmy

(x ₀ + _n ¹ , y ₀ ). Wartość funkcji na elementach ciągu zbiega do ±∞. Mówiąc w skrócie: zbliżając

się do okręgu mianownik zbiega do 0, a licznik jest wciąż równy 1; zatem nie może być granicy

(właściwej).

c) Ciągłość tylko poza „sklejeniem”; w (0, 0) można wziąć ciąg ¹ _n , _n ¹ , _n

¹ +1
, w pozostałych punktach trzeba odpowiednio przesunąć;

d) Bardzo podobne do (b), ciągłość znów tylko poza „sklejeniem”;

e) Było na zajęciach (trzeba podzielić licznik i mianownik przez x ² );

f) Ciągłość wszędzie poza (0, 0) – oczywista, a w tym punkcie trzeba (znowu) podzielić licznik i mianownik przez x ² plus argumentacja jak na zajęciach;

g) Ciągłość poza sklejeniem oraz w punkcie (0, 0) — wszędzie indziej nieciągłość jest oczywista, bo mianownik jest bliski zera a licznik nie. W punkcie (0, 0) dzielimy licznik i mianownik przez y ² pamiętając, że granica sin(y)/y przy y → 0 to jedynka, a potem argumentujemy jak powyżej;

h) Ciągłość tylko poza osiami OX i OY. W punkcie (0, 0) można wziąć np. ¹ _n , _n ¹

; a poza tym punktem na osiach nieciągłość „widać”, bo mianownik jest bliski zeru a licznik nie.

Zadania przygotowawcze - drugie kolokwium 2. a) Punkt podejrzany (−5, −1), brak ekstremum;

b) W zerze problemy z pochodną, ale poza zerem punktów podejrzanych brak, a w (0, 0) widać że będzie maksimum;

c) Dość żmudne – podejrzane wychodzą osie oraz jeden punkt, punkt jest ekstremum, a żeby zbadać na osiach najlepiej jest narysować zbiory f > 0 (na czerwono) i f < 0 (na niebiesko). Ponieważ na osiach funkcja się zeruje, to łatwo zobaczyć, że minima są w punktach, które mają wyłącznie czerwone otoczenie, maksima mają otoczenie niebieskie, a tam gdzie w otoczeniu są obydwa kolory – nie ma ekstremum;

d) Bardzo żmudne i trudne – problemy z pochodną w (0, 0), a konkretnie ten punkt jest poza dzie- dziną – funkcja w tym punkcie „ucieka” do −∞. Trzebaby zbadać ciągłość na osi OX, bo x jest w mianowniku.arctg ma dobrze określoną granicę w +∞, −∞, więc w danym punkcie dobrze określona jest granica z góry i z dołu; choć są różne więc ciągłości brak. Punkt podejrzany, to (1, 1), gdzie też trzeba się namęczyć. . .

4. Bardzo polecam, choć nie bardzo jest o czym mówić. Jakobiany wyliczyć b. prosto, a obrazami zbiorów są (oczywiście) odpowiednio walec i kula.

7. Było na zajęciach. Nie jest miarą. Wystarczy wziąć A _n = {n}, czyli zbioru jednoelementowe i od razu widać, że

∞

P

n=1

µ(A _n ) 6= µ

 _∞ S

n=1

A _n



;

8. Jest miarą. Korzystamy z tego, że suma przeliczalnego i nieprzeliczalnego jest nieprzeliczalna oraz z tego, że przeliczalna suma przeliczalnych jest przeliczalna.

9. Trzeba obliczyć całkę

1

R

−1 2

R

−2

6 − x ² − y ² dy dx = 34 ² ₃ .

10. Typowe z pierwszego roku:

a

R

0 a−x

R

0

cos y sin x dy dx, całkę wewnętrzną liczy się prosto, a zewnętrzną trzeba najpierw raz przez części, a potem korzystając ze wzoru na kosinus różnicy.

20. Miarą jest dla c > 0, probablistyczną dla c = 1/2.