Dla operatora zwartego T w przestrzeni Hilberta mamy dim ker(I − T ) = dim ker(I − T∗).
Podobnie jak w dowodzie alternatywy Fredholma mo»na zagadnienie ograni- czy¢ do przypadku, gdy T ma sko«czony wymiar. Niech {ek}nk=1 b edzie baz a ortonormaln a w obrazie operatora T. Wtedy
T x =
n
X
k=1
hT x, ekiek =
n
X
k=1
hx, T∗ekiek Dalej
hT∗y, xi = hy, T xi =
n
X
k=1
hy, ekihT∗ek, xi.
Zatem
T∗y =
n
X
k=1
hy, ekiT∗ek.
Wektory ek s a ortogonalne do ker T∗, zatem wektory T∗ek s a liniowo nieza- le»ne. Rozwa»my równania
T x = x, T∗y = y.
Zapiszmy
x =
n
X
j=1
λjej, y =
n
X
j=1
λjT∗ej. Wtedy równania sprowadzaj a si e do ukªadów
λj =
n
X
k=1
hT ek, ejiλk λj =
n
X
k=1
hek, T ejiλk.
Macierze ukªadów s a sprz e»one do siebie, wi ec przestrzenie rozwi aza« maj a ten sam wymiar.
