/
G rażyna Desueuko
ANALIZA M A TEM A TYCZN A CfcCH O S O B N IC Z Y C H G ŁO SU W Z A k R E S lE PA RA M ETRU F0
24/19^4
W A R S Z A W A 1984
ISSN 0 2 0 8 -5 6 5 8 .
f r a c a w p ły n ę ła do R e d a k c ji d n i a 23 l i s t o p a d a 1983 r .
; t
t ' - '
N a p r a w a c h r ę k o p i s u
I n s t y t u t Podstaw ow ych Problem ów T e c h n ik i PAN Nakład- 140 e g z . A rk.w yd. 2 , 4 , A rk .d r u k . 3 ,2 5
Oddano do d r u k a r n i w c z e rw c u 1984 r . Nr zam ó w ien ia 4 1 3 /3 4 .
W arszaw ska D ru k a rn ia Naukowa, W arszawa, u l . Ś n ia d e c k i c h 8
B i b l . U A M
IPPT PAN
ANALIZA MATEMATYCZNA CECH OSOBNICZYCH GŁOSU W ZAKRESIE
PARAMETRU F .O
S t r e s z c z e n i e
P rzep ro w ad zo n o p r ó b ę a n a l i z y c e c h o s o b n ic z y c h w z a k r e s i e c z ę s t o t l i w o ś c i p o d s ta w o w e j. W p r z y ję ty m m o d elu w y k o rz y s ta n o czasow e zm iany p a r a m e tr u Fq . D la u s t a l e n i a z ró ż n ic o w a ń m ię d z y - o s o b n ic z y c h p rz e p ro w a d z o n o a n a l i z ę je d n e g o z d a n i a p o w ta rz a n e g o p i ę c i o k r o t n i e p r z e z 10 o s ó b . W c e l u o k r e ś l e n i a p r z y d a t n o ś c i z a s to s o w a n e j m eto d y , d o konano s z c z e g ó ło w e j a n a l i z y p rzy k ład o w o p r z y j ę t y c h 16 p rz e b ie g ó w . Dokonano t r a n s f o r m a c j i 6 - yy mł a r owy ch w ek to ró w , r e p r e z e n t u j ą c y c h p o s z c z e g ó ln e fr a g m e n ty p r z e b ie g u • c z ę s t o t l i w o ś c i p o d staw o w ej w badanym z d a n iu , do u k ła d u w sp ó ł
rz ę d n y c h u tw o rz o n y c h p r z e z w e k to ry w ła s n e m a c ie rz y k o w a r i a n c j i . Mimo z a s t o s o w a n ia b a rd z o u p ro s z c z o n e g o m odelu o trz y m a n e w y n ik i w s k a z u ją n a j e g o w ysoką u ż y te c z n o ś ć . U zyskano w 95 % p o d o b ie ń stw o m iędzy w e k to r« « p ierw o tn y m 6-ciow ym iarow ym a w ektorem dwuwymia
rowym otrzym anym w w yniku t r a n s f o r m a c j i . S tw ie r d z o n o b a rd z o d u ż e o s o b n ic z e z ró ż n ic o w a n ia w p r z e b i e g a c h p a r a m e tr u Fq w n i e k t ó r y c h f r a g m e n ta c h a n a liz o w a n e g o z d a n i a .
U zyskane w y n ik i w s k a z u ją n a p r z y d a t n o ś ć p r z e d s ta w io n e j me
to d y do a n a l i z y p a ra m e tr u Fq p od kątem p r a k t y c z n y c h z a s to s o w a ń n p . w r e h a b i l i t a c j i , ro z p o z n a w a n iu gło só w l u b s y n t e z i e .
1 . W stęp.
Jednym z w a ż n ie js z y c h z a g a d n ie ń a n a l i z y a k u s ty c z n y c h p a r a -
P r a c a w ykonana w ram ach p ro b le m u w ęzłow ego 0 6 .9 .0 1
ł
m etrów J e s t u tw o r z e n i e o d p o w ie d n ie g o o p is u c z a s o w e j z m ie n n o ś c i c z ę s t o t l i w o ś c i p o d sta w o w e j. Z a s a d n ic z ą t r u d n o ś c i ą j e s t s p e c y f i c z n y c h a r a k t e r b ad an eg o p a r a m e tr u . T o te ż n i e w y s t a r c z a j ą c e j e s t p rz y jm o w a n ie t r a d y c y jn y c h m etod s to s o w a n y c h zw y k le w a n a l i z i e sy g n a łó w . I l o ś c io w y o p i s z m ie n n o ś c i p a r a m e tr u FQ j e s t u tr u d n io n y z powodu b ra k u o d p o w ie d n ie g o m odelu m a te m a ty c z n e g o . Z ag ad n ien io m tym p o św ię c o n o s z e r e g p r a c n p . ( [ 8 ] , [ 4 ] , [l4 ]) s ą one je d n a k a lb o n ie p r e c y z y jn e 1 p r z e z t o u n ie m o ż li w i a ją w ła ś c iw y o p i s a lb o s ą z b y t skom plikow ane d l a p r a k ty c z n e g o z a s t o s o w a n ia . P r z e d s ta w io n a p r a c a j e s t k o n ty n u a c j ą p o p r z e d n ic h b a d a ń ([33» BtD , k tó r y c h ce le m b y ło s t w o r z e n ie m odelu m atem aty czn eg o u m o ż liw ia ją c e g o o p i s c h a r a k t e r u zm ian p a r a m e tr u Fq . i P r z y j ę t a m eto d a po
w in n a b y ć u n iw e r s a ln a t z n . m u si u m o ż liw ia ć b a d a n ie w s z y s t k ic h c e c h a n a liz o w a n e g o s y g n a łu o r a z b y ć w m ia r ę p r o s t a . W ie le uw agi n a l e ż y p o ś w ię c ić z a g a d n i e n iu i n t e r p r e t a c j i z m ie n n o ś c i p a r a m e tr u Fq . W łaściw e bowiem s fo rm u ło w a n ie p ro b le m u w s p o s ó b d e c y d u ją c y wpływa n a r e z u l t a t y p r a c y . Na z m ie n n o ść p rz e b ie g ó w c z ę s t o t l i w o ś c i p o d staw o w ej (m ię d z y in n y m i} i s t o t n y wpływ m a ją c e c h y o s o b n ic z e g ł o s u . Temu z a g a d n i e n iu p o św ię c o n o s z c z e g ó l n i e d u żo uw agi w p r z e d s t a w ia n e j p r a c y . Za j e j c e l p r z y j ę t o o p ra c o w a n ie m odelu m atem aty czn eg o u m o ż liw ia ją c e g o i l o ś c i o w y o p i s ró ż n y c h c e c h s y g n a łu w z a k r e s i e p a r a m e tr u Fq . Z a ło ż o n o w s tę p n i e , i ż n a l e ż y do k o n ać m atem aty czn eg o o p is u c e c h m ię d z y o s o b n ic z y c h g ł o s u .
2 . Cechy in d y w id u a ln e w p r z e b i e g a c h c z ę s t o t l i w o ś c i p o d s t a wowej .
Ważnym c z y n n ik ie m w pływ ającym n a z m ie n n o ś ć p rz e b ie g ó w F0 j e s t in d y w id u a ln y c h a r a k t e r to n u k rta n io w e g o z w ią z a n y z c h a r a k t e r y s t y c z n y m i w ła s n o ś c ia m i g ło s u d a n e g o mówcy. In d y w id u a ln e ce c h y g ło s u z w ią z a n e z e zm ianam i c z ę s t o t l i w o ś c i p o d staw o w ej p r z e d s ta w io n o m ięd zy in n y m i w p r a c a c h ( [ 3 ] » [12J , [23]) . W n i e k tó r y c h p r a c a c h ( p o r . [1] , [ 2 ] ) s u g e r u j e s i ę c z ę s t o t l i w o ś ć p o d s t a wową ja k o dodatkow y p a r a m e tr u ż y te c z n y p r z y ro z p o z n a w a n iu g ł o sów . N a j c z ę ś c i e j w y k o r z y s tu je s i ę s t a t y s t y c z n e cech y te g o p a - m e tru : je g o w a r to ś ć ś r e d n i ą i ce c h y r o z k ł a d u ( p o r . [ 3 ] , [1 2 ],
[ 2 3 3 ) . I n f o r m a c ję o in d y w id u a ln y c h c e c h a c h g ł o s u z a w i e r a j ą Je d n a k n i e t y l k o s t a t y s t y c z n e c e c h y ro z k ła d ó w p a r a m e tr u F^
l e c z ró w n ie ż czaso w e zm ian y te g o p a r a m e tr u - k o n tu r p r z e b i e g u .
p a ra m e tró w j a k w a r to ś ć ś r e d n i a p r z e b i e g u , t o k ł o p o t l i w e s t a j e s i ę n a ś la d o w a n ie zm ian c z ę s t o t l i w o ś c i p o d sta w o w e j w c z a s i e . P o ró w n u ją c w iz u a l n i e d o s t a t e c z n i e d u ż ą l i c z b ę tonogram ów r ó ż n y c h o só b można zauw ażyć pew ne p r e d y s p o z y c je w s to s o w a n iu o k r e ś lo n y c h p rz e b ie g ó w p a ra m e tró w Fq . U w z g lę d n ie n ie c a ł e j i n f o r m a c j i a w ię c zarów no c e c h s t a t y s t y c z n y c h j a k i c e c h w y n ik a
ją c y c h z e zm ian c z ę s t o t l i w o ś c i p o d staw o w ej w c z a s i e może s t a n o w ić d o s t a t e c z n ą p o d sta w ę do w y k o r z y s t a n ia te g o p a r a m e tr u w r e h a b i l i t a c j i , ro z p o z n a w a n iu g ło só w l u b s y n t e z i e . Jednym z z a g a d n ie ń r e h a b i l i t a c j i o só b z wadami wymowy l u b o só b g łu c h y c h j e s t p ro b le m zw ią z a n y z n a u k ą i n t o n a c j i C[17] , [2 4 ]) . W p r a c y [25]
s u g e r u j e s i ę n a u k ę i n t o n a c j i p o p r z e z a n a l i z ę w y ś w ie tla n e g o o b ra z u - p r z e b i e g u Fq n a e k r a n i e m o n i to r a . S z e re g eksperym entów p o t w i e r d z i ł o w ysoką p r z y d a t n o ś ć t a k i e j m e to d y . K o n ieczn e s t a j e s i ę w ię c o k r e ś l e n i e typow ych ( d l a gło só w p e łn o s p r a w n y c h ) c e c h c z ę s t o t l i w o ś c i p o d staw o w ej o r a z u s t a l e n i e , j a k i e ce c h y w y n ik a ją z o s o b n ic z y c h z ró ż n ic o w a ń .
V z a k r e s i e b a d a ń s t a t y s t y c z n y c h i s t o t n y c h i n f o r m a c j i d o s t a r c z a a n a l i z a w a r t o ś c i ś r e d n i e j o r a z p a ra m e tró w r o z k ł a d u ( o d c h y l e n i a od normy u w id a c z n i a ją s i ę w w a r t o ś c i ś r e d n i e j j a k r ó w n ie ż w c h a r a k t e r z e r o z k ł a d u } . W p rz y p a d k u a n a l i z y z m ia n c z ę s t o t l i w o ś c i p o d staw o w ej g ło só w n ie p e łn o s p r a w n y c h można zauw ażyć n a s t ę p u j ą c e z ja w is k a : n i e n a t u r a l n ą m o n o to n ię p r z e b i e g u , n ie u z a s a d n io n e s p a d k i c z ę s t o t l i w o ś c i , z a b u r z e n i a w p e r i o d y c z n o ś c i p r z e b ie g u w y w o łu ją c e o d p o w ie d n ie zm ian y w p r z e b i e g u p a r a m e tr u Fq . P ie r w s z o planowym z a g a d n ie n ie m s t a j e s i ę w ię c o k r e ś l e n i e c e c h o s o b n ic z y c h d l a g ło só w p e łn o s p ra w n y c h , g d y ż n a t e j p o d s ta w ie można b a d a ć e w e n tu a ln e o d c h y le n i a od norm y ( p o r .
W c e l u z b a d a n i a c e c h o s o b n ic z y c h w z a k r e s i e p a ra m e tr u Fq wykonano n a s t ę p u ją c y e k s p e r y m e n t. Na ta ś m ie m a g n eto fo n o w ej z a p is a n o 3 w ypow iedzi ( t r a k t o w a n e p ó ź n i e j ja k o w zo rco w e) : "p ó jd z ie m y d o k i n a ? " , "p ó jd z ie m y do k i n a ! " , "p ó jd ziem y d o k i a a . " Do p r z e p ro w a d z e n ia e k sp e ry m e n tu w ybrano losow o 10 g ło só w ( 5 ż e ń s k ic h 1 5 m ę s k ic h ) . K ażd ej z ty c h o só b p o s ta w io n o z a d a n ie o d tw o r z e n ia u s ł y s z a n y c h w zorców . O d tw o rz e n ie t o m ia ło p o le g a ć n a p o w tó rz e n iu
w ypow iedzi ( z zachow aniem n a t u r a l n y c h w ła ś c i w o ś c i g ło s o w y c h } . D o św ia d c z e n ie p o w tó rz o n o c z t e r o k r o t n i e , w g o d z in ę po p ie r w s z y n e k s p e r y m e n c ie , w d n iu n a stę p n y m , po ty g o d n iu o r a z po m i e s i ą c u . W t e n s p o s ó b u z y sk a n o d l a k a ż d e j z o só b po p i ę ć p o w tó rz e ń te g o sam ego w z o rc a .
Z p r z y j ę t e g o m a t e r i a ł u dokonano e k s t r a k c j i p a r a m e tr u w ypro
w a d z a ją c w y n ik i p o m ia ru n a e k ra n t e l e w i z o r a . Do s z c z e g ó ło w e j a n a l i z y p r z y j ę t o z d a n ie - " p ó jd z ie m y do k i n a ? " . W p o z o s t a ły c h z d a n ia c h zauw ażono p o d o b n e ( j a k w wybranym z d a n iu ) c e c h y o so b n i c z e . Na r y c i n a c h 1 ,2 p r z e d s ta w io n o p rz y k ła d o w o w y n ik i e k s t r a k c j i p a ra m e tr u Fq d l a c z t e r e c h o s ó b . S k a la c z ę s t o t l i w o ś c i j e s t l i n io w a . Z n a c z n ik i u m ie sz c z o n o co 2 0 Hz, p o c z y n a ją c od n a jm n i e j
s z e j m ie r z o n e j w a r t o ś c i ró w n e j 7 0 H z .Z n a c z n ik i n a s k a l i c z a s u u m ieszczo n o co 8 d an y ch ( t e n * co 8 0 m s ). O b szar c z a r n o - b i a ł y odp o w iad a j e d n e j w ypow iedzi n a t o m i a s t l i n i a c z a r n o - b i a ł a d r u g i e j . T aki sp o s ó b w y ś w ie tl a n ia o b ra z u u m o ż liw ia n a ty c h m ia s to w e porów n a n i e dwóch p rz e b ie g ó w i n t o n a c y j n y c h .
P r z e d s ta w io n e z d j ę c i a u k a z u ją b e z p o ś r e d n io w ynik e k s t r a k c j i p a r a m e tr u Fq p r z e d ja k i m ik o lw ie k m atem atycznym i p ro c e d u ra m i
(w y g ła d z a n ie m , n o r m a l i z a c j ą ) . P o ró w n u ją c w y p o w ied zi te g o sam ego z d a n ia d l a p o s z c z e g ó ln y c h o só b można z a u w a ż y ć ( b e z j a k i e j k o l w i e k n o r m a l i z a c j i ) , że b a rd z o p o d o tn e do s i e b i e s ą p r z e b i e g i w wypo
w ie d z ia c h t e j sam ej o s o b y , n a t o m i a s t d l a r ó ż n y c h o só b k o n tu r y p rz e b ie g ó w z n a c z n i e s i ę r ó ż n i ą . Można w ię c z a ł o ż y ć , ż e z r ó ż n i c o w a n ia w e w n ą trz o s o b n ic z e s ą m n i e js z e n i ż m ięd zy o s o b n i c z e .
3 . Model m a te m a ty c z n y .
3 . 1 . P rz y g o to w a n ie d a n y c h o trz y m a n y c h z p o m ia ru c z ę s t o t l i w o ś c i p o d staw o w ej do a n a l i z y m a te m a ty c z n e j.
3 . 1 . 1 . E k s t r a k c j a p a r a m e tr u FQ o r a z r e d u k a c j a d a n y c h . W łaściw y sp o s ó b p o m ia ru c z ę s t o t l i w o ś c i p o d staw o w ej ma z a s a d n i c z e z n a c z e n ie we w s z y s t k ic h p r a c a c h z w ią z a n y c h z a n a l i z ą te g o p a r a m e tr u . N a le ż y d o k ła d n i e o k r e ś l i ć j a k i c h błędów pom ia
row ych można s i ę s p o d z ie w a ć i p r z y j ą ć ta k ą m e to d ę , k t ó r a u m o ż li
w i popraw ny o p i s zm ian p r z e b i e g u c z ę s t o t l i w o ś c i p o d sta w o w e j w c z a s i e . N ie J e s t mankam entem , j a k s i ę n i e r a z s ą d z i , d o s t a r c z a n i e p r z e z a n a l i z ę i n s t r u m e n t a l n ą z b y t d u ż e j l i c z b y d o k ła d n y c h
( . a i )
(a*)- obciy-oopoori
( w
R y c .1 . P r z e b i e g i c z ę s t o t l i w o ś c i p o d s ta w o w e j w z d a n i u " p ó jd z ie m y d o k i n a ? " wymawianym p r z e z o s o b ę HK.
Ca-) e k s t r a k c j a a n a lo g o w a
Ox) e k s t r a k c j a c y f r o w a . P r z e b i e g o d p o w ia d a ją c y o b s z a r o w i c z a rn e m u n a f o t o g r a f i i o d p o w ia d a p r z e b i e g o w i z r y c . 4 a . P r z e b i e g o z n a c z o n y l i n i ą c z a r n o - b i a ł a o d p o w ia d a
p o w t ó r z e n i u w y p o w ie d z i p r z e z o s o b ę Ha.
d o k i n a ? " wymawianym d w u k r o tn i e p r z e z o s o b y : Ca) J I
f W WJ
f c ) P J C r y c . c1 o d p o w ia d a je d n e m u z d a n i u , r y c . c2 d r u g i e m u ).
d a n y c h , l e c z n i e w ł a ś c i w y s p o s ó b i c h i n t e r p r e t a c j i . N a b ł ą d c y f r o w e j e k s t r a k c j i p a r a m e t r u Fo ma w pływ s z e r e g r ó ż n o r o d n y c h c z y n n ik ó w . K ażdy z e s k ła d n ik ó w u k ł a d u p o m ia ro w e g o w p ro w a d z a sw ó j s t a ł y b ł ą d z w ią z a n y z c h a r a k t e r y s t y k ą p r z « n o s z e n i a s y g n a ł u o r a z b ł ę d y l o s o w e . P r z y j ę c i e s t a ł e j c z ę s t o t l i w o ś c i p r ó b k o w a n ia u ł a t w i a n u m e r y c z n ą a n a l i z ę d a n y c h l e c z w p ro w a d z a b ł ę d y t r u d n e do o k r e ś l e n i a . P r z y j m u j ą c c z ę s t o t l i w o ś ć z b y t n i s k ą t r a c i s i ę i n f o r m a c j ę o z m ia n a c h c z ę s t o t l i w o ś c i m ie d z y m om entam i p o m ia r u ( c o z w ł a s z c z a w w y s o k ic h ż e ń s k i c h g ł o s a c h m oże m ie ć i s t o t n e
z n a c z e n i e ) , z a ś u s t a l a j ą c w i ę k s z ą c z ę s t o t l i w o ś ć p r ó b k o w a n ia n a l e ż y s i ę l i c z y ć z m o ż l iw o ś c i ą dw u- l u b k i l k u k r o t n e g o p o m ia r u t e g o sam eg o o k r e s u . N a j p o p r a w n i e j s z ą m e to d ą j e s t d o k o n y w a n ie p o m i a r u k a ż d e g o o k r e s u . Z a l e t ą t e g o r o z w i ą z a n i a j e s t o t r z y m a n i e d o k ł a d n i e j s z y c h d a n y c h r e p r e z e n t u j ą c y c h p r z e b i e g Fq , w adą d o d a tk o w e u t r u d n i e n i a o b l i c z e n i o w e . N a j w ł a ś c i w s z e w y d a je s i ę z a s t o s o w a n i e m e to d y p o z w a l a j ą c e j n a d o k ła d n y p o m ia r p r z y m o ż l i w ie n i e w i e l k i c h n a k ł a d a c h o b l i c z e n i o w y c h . M eto d ę e k s t r a k c j i p a r a m e t r u Fq o r a z p r z e t w a r z a n i a w y n ik u p o m ia r u n a p o s t a ć c y f r o w ą p r z e d s t a w i o n o w p r a c a c h C p 5 ] , [1 S ]) . Dane o t r z y m a n e z p o m ia r u k a ż d e g o o k r e s u w p ro w ad zo n o do p a m i ę c i m i n i k o m p u t e r a . N a s t ę p n i e z a p o m o cą p r o s t e g o a lg o r y tm u d o k o n a n o p o w tó r n e g o o d c z y t u w l i n i o w e j s k a l i c z a s u , p r z y j m u j ą c k o l e j n e d a n e j a k o ś r e d n i e w a r t o ś c i c z ę s t o t l i w o ś c i w s t a ł y c h p r z e d z i a ł a c h c z a s o w y c h . Vażnym z a g a d n i e n ie m j e s t u s t a l e n i e w ł a ś c i w e j l i c z b y d a n y c h r e p r e z e n t u j ą c y c h
a n a li z o w a n y p r z e b i e g . P r z y j ę c i e z b y t d u ż e j l i c z b y d a n y c h n i e t y l k o k o m p l i k u j e a lg o r y tm y o b l i c z e n i o w e a l e r ó w n i e ż n i e u w i
d a c z n i a w s p o s ó b n a ty c h m ia s to w y i s t o t n y c h c e c h b a d a n e g o p r z e b i e g u . U s t a l e n i e - z a ś z b y t m a ł e j l i c z b y d a n y c h r e p r e z e n t u j ą c y c h p r z e b i e g j e s t o c z y w is ty m b łę d e m . P o w y ż sz y p r o b l e m m ożna z i l u s t r o w ać p r o s ty m p r z y k ł a d a .
Załóżmy, że p r z e b ie g j e s t próbkowany w A momentach cza
sowych oznaczonyćh tg» t g , t g
I
- ) > .. i 2 3 *1 9 fe ? g Nuraęr oąvlo$ci.
LoUxsn^\
Hyc. 3 . P rz e b ie g f u n k c j i i je g o w a r to ś c i w ła sn e . M acierz a u t o k o r e l a c j i z d e fin io w a n a n a s tę p u ją c o
R ( V t l V R ( V V >
p o s ia d a w tym przypadku 4 w a r to ś c i w łasn e p rz e d s ta w io n e n a r y c . 3 . Z a k ła d a ją c , że podwoimy l i c z b ę p ró b e k , otrzymamy p rz e b ie g próbkowany w 8 momentach czasow ych oznaczan y ch , t ^ , t ^ , t ^ , t . , t g , t y , tg ('punkty t e zazn aczan o l i n i ą p rz e ry w a n ą ).
M acierz R ma t e r a z 8 w a r to ś c i w łasn y ch (o zn aczo n y ch n a r y c , 3 l i n i ą p rz e ry w a n ą ). J e ś l i ta k j a k w przedstaw ionym p r z y k ła d z ie dodatkowe w a r to ś c i w łasne (p o w s ta łe z p r z y j ę c i a podw ójnej l i c z b y punktów p ró b k o w an ia) są m ałe to możne p r z y j ą ć , że w y s ta r c z a ją c a j e s t r e p r e z e n t a c j a p rz e b ie g u ta k ą l i c z b ą d anych, ja k a odpowiada najw iększym w arto ścio m własnym. V powyższym p r z y k ła d z ie w id ać, i ż próbkow anie w 4 momentach czasow ych w y s ta rc z a ją c o d o b rz e o d z w ie rc ie d la c h a r a k te r p r z e b ie g u . Dwukrotne p o w ię k sz e n ie c z ę s t o t l i w o ś c i próbkow ania n i e spowodowało d o d a n ia i s t o t n y c h cech do badanego p r z e b ie g u . K ry teriu m p o z w a la ją c e d o b ra ć w łaściw ą l i c z b ę denych r e p r e z e n tu ją c y c h dany p r z e b ie g sform ułow ane j e s t n a s tę p u ją c o ( p o r . [ 7 ] ) .
¿ f ’
. . 1 1 -1 , l . (*21**21) ^ C ^ i ^ i - i ) - RłVCt 2i - i >tai)'r *(*2 1 -1^ 2 1 .+ R ,
» 2
l i R(t 2 i , t 2 i ) + R( t 2 i - 1 , t 2 i - V ) j "
¡¿ fi}
J e ż e l i w a r to ś ć J n<£1 t o n a l e ż y u z n a ć , ż e n p ró b e k w y s ta r c z y do r e p r e z e n to w a n ia c a łe g o p r z e b i e g u . Taka r e d u k c j a d a n y ch ma d u że „ z n a c z e n i e p o n ie w a ż u m o ż liw ia p o z b y c ie s i ę j u ż n a p o c z ą tk u a n a l i z y n a d m ia ru d a n y c h i u p r a s z c z a J ą w i s t o t n y s p o s ó b . V p rz y p a d k u d y sp o n o w a n ia skromnym s p r z ę te m komputerowym ma t o d e c y d u ją c e z n a c z e n i e .
3 * 1 » 2 . O p isy p rz e b ie g ó w c z ę s t o t l i w o ś c i p o d s ta w o w e j.
P rz y tw o r z e n iu j a k i e g o k o lw ie k z b i o r u sy g n ałó w (p r z e b ie g ó w F p n a l e ż y z w r ó c ić uwagę n a c h a r a k t e r y s t y c z n e w ła s n o ś c i elem en tó w z a w a r ty c h w tym z b i o r z e o r a z n a ź r ó d ł a z m ie n n o ś c i s y g n a ł u . Na c h a r a k t e r p rz e b ie g ó w c z ę s t o t l i w o ś c i p o d staw o w ej ma wpływ s z e r e g ( n a o g ó ł z n a n y c h ) ró ż n o r o d n y c h p r z y c z y n .
V r e z u l t a c i e d u ż e z r ó ż n i c o w a n i e a n a liz o w a n y c h p rz e b ie g ó w p ow oduje k ło p o ty a i c h i n t e r p r e t a c j ą . Z p u n k tu w id z e n ia a n a l i z y sy g n ałó w i n t e r e s u j ą c e J e s t n i e t y l e ź r ó d ł o ( l u b ¿ r ó d ł a ) z m ie n n o ś c i s y g n a łu co s k u t k i j a k i e o n e w y w o łu ją . N a le ż y w ię c z w r ó c ić uwagę n a t o , czym r ó ż n i ą s i ę b ad a n e s y g n a ł y . W o d n i e s i e n i u do p rz e b ie g ó w c z ę s t o t l i w o ś c i p o d sta w o w e j można s t w i e r d z i ć , i ż r ó ż n i ą s i ę o n e n a s t ę p u ją c y m i cec h a m i :
(a } l i c z b ą o d cin k ó w , w k tó r y c h p r z e b i e g można uw ażać z a c i ą g ł ą f u n k c j ę c z a s u ,
Cb) c h a r a k t e r e m i u k ład em p rz e r w m ięd zy ty m i o d c in k a m i, ( c ) p o ło ż e n ie m p rz e b ie g ó w w s k a l i c z ę s t o t l i w o ś c i i w
s k a l i c z a s u ,
Cd) s z y b k o ś c ią zm ian c z ę s t o t l i w o ś c i , ( e ) sposobem zm ian c z ę s t o t l i w o ś c i .
Aby m o żliw a b y ł a a n a l i z a t a k z ło ż o n e g o s y g n a ł u , k o n ie c z n e j e s t p r z y j ę c i e pew nych z a ło ż e ń p o z w a la ją c y c h n a o p ra c o w a n ie w m ia rę p r o s t y c h a lg o ry tm ó w . Z a ło ż e n i a t e z w y k le d o t y e r ą z a g a d n ie ń zw ią z a n y c h z n o r m a l i z a c j ą czaso w ą o r a z c z ę s t o t l i w o ś c io w ą p a r a m e tr u Fo . ft-oponow ane sp o so b y n o r m a l i z a c j i c z ę s t o t l i w o ś c i o w e j d o ty c z ą w w ię k s z o ś c i n a s t ę p u j ą c y c h p r z e k s z t a ł c e ń :
1 . P r z y j ę c i e l o g a r y t m i c z n e j s k a l i c z ę s t o t l i w o ś c i . S k a la t a k a u m o ż liw ia b e z p o ś r e d n ie p o rów nyw anie g ło só w o r ó ż n y c h w y s o k o ś c ia c h ; n i e e l i m i n u j e r ó ż n i c spowodowanych po
ło ż e n ie m g ło só w w r ó ż n y c h z a k r e s a c h s k a l i c z ę s t o t l i w o ś c i .
2 . P o d z i e l e n i e w a r t o ś c i c z ę s t o t l i w o ś c i p r z e z w a r to ś ć ś r e d n i ą b ad an eg o z b i o r u p rz e b ie g ó w l u b p r z e z o d c h y le n i e s ta n d a rd o w e . N o r m a liz a c ja t a k a w z n a c z n e j m ie r z e usuw a z r ó ż n ic o w a n ia spowodowane zm iennym i w y so k o ściam i g ł o s u , n i e l i k w i d u j ą c i c h c a ł k o w ic ie .
3 . O dejm owanie w a r t o ś c i ś r e d n i e j z b i o r u .
M etoda t a w p rz y p a d k u p rz e b ie g ó w F0 n i e ma w ię k sz e g o s e n s u z uw agi n a t o , ż e c e n t r a l i z o w a n i e p rz e b ie g ó w z n a jd u j ą c y c h s i ę w r ó ż n y c h z a k r e s a c h s k a l i c z ę s t o t l i w o ś c i b ez zm iany s k a l i n i e d a j e p orów nyw alnych w yników .
4 . S p ro w a d z e n ie w s z y s t k ic h a n a liz o w a n y c h p rz e b ie g ó w do p rz e b ie g ó w o je d n a k o w e j ś r e d n i e j .
5 . D z i e l e n i e w a r t o ś c i c z ę s t o t l i w o ś c i p r z e z w a r to ś ć m aksy
m aln ą l u b m in im a ln ą p r z e b i e g u .
P oniew aż w n i n i e j s z e j p r a c y p r z y j ę t o z a c e l z b a d a n ie r ó ż n i c m ię d z y o s o b n ic z y c h w y n ik a ją c y c h j e d y n i e z e sp o s o b u o r a z s z y b k o ś c i zm ian c z ę s t o t l i w o ś c i p o d sta w o w e j, p r z y j ę t o t a k ą m etodę k t ó r a p o z w o li ł a n a p o z b y c ie s i ę p o z o s t a ł y c h r ó ż n i c w p r z e b i e g a c h p a r a m e tr u Fq .
3 . 2 . S e l e k c j a c h a r a k t e r y s t y c z n y c h w ła s n o ś c i p rz e b ie g ó w Fq . W ięk szo ść f i z y c z n y c h sy g n ałó w j e s t p r z e d s ta w ia n a ja k o f u n k c j e j e d n e j l u b dwóch zm ien n y ch . W p rz y p a d k u a n a l i z y c z ę s t o t l i w o ś c i po d staw o w ej o trzy m u jem y z b i ó r c i ą g ł y c h f u n k c j i z a le ż n y c h od c z a s u . N a jp ro s ts z y m sposobem p o m ia ru c h a r a k t e r y s t y c z n y c h c e c h s y g n a ł u j e s t p ró b k o w a n ie go w o k r e ś lo n y c h m om entach czaso w y ch t ^ . . . . t Q.
V t e n s p o s ó b k ażd y p r z e b i e g j e s t o k r e ś lo n y p r z e z w e k to r w p r z e s t r z e n i n -w y m ia ro w e j.
!'k )
R y c. A. P o m iar w a r t o ś c i s y g n a ł u .
W ektor t a k i z a w ie r a c a ł ą p o m ie rz o n ą in f o r m a c ją o danym o b i e k c i e . J e s t t o b a r d z o dogodny s p o s ó b p r z e d s t a w i e n i a i n f o r m a c j i z e w z g lę d u n a nu m ery czn ą a n a l i z ę . W p rz y p a d k u J e d n a k d u ż e j l i c z b y n ( p u n k tó w w k t ó r y c h dokonywany J e s t p o m i a r ) p r o c e s k l a s y f i k a c j i
i ro z p o z n a w a n ia k o m p lik u je s i ę . D o g o d n ie js z e J e s t wówczas o p a r c i e k l a s y f i k a c j i n a m i e j s z e j l i c z b i e d a n y c h - n a c e c h a c h c h a r a k t e r y s t y c z n y c h ro zp o zn aw an eg o p r z e b i e g u ( r y c . 5 ) . “
* r - j —
ponm ar
R y c . 5 . O k ła d a n a l i z y s y g n a ł u .
Podstawowym z a g a d n ie n ie m w każdym p r o c e s i e ro z p o z n a w a n ia ( p r z e z c z ło w ie k a czy t e ż m a s z y n ę ) J e s t s e l e k c j a c e c h c h a r a k t e r y s t y c z n y c h . O c z y w iste J e s t , ż e l i c z b a w ła ś c iw o ś c i p o trz e fc n a do p opraw nego r o z w ią z a n i a p ro b le m u z a l e ż y od s i ł y d y sk ry m in a c y j n e j w y b ran y ch w ła ś c i w o ś c i. Z a g a d n ie n ie t o J e s t skom plikow ane p r z e z f a k t , ż e w ię k s z o ś ć c e c h c h a r a k t e r y s t y c z n y c h n i e J e s t ła tw o i b e z p o ś r e d n io m i e r z a l n a . I s t o t n y J e s t w ię c w ybór -tych c e c h o r a z i c h e k s t r a k c j a . W ro z p o z n a w a n iu p r z e z m aszynę zw y k le używ a s i ę c e c h m a te m a ty c z n y c h , t a k i c h J a k c e c h y s t a t y s t y c z n e , w s p ó łc z y n n ik i k o r e l a c j i , w e k to ry , w a r t o ś c i w łe s n e m a c ie rz y ko
w a r i a n c j i i t p . W o d n i e s i e n i u do o p isó w p rz e b ie g ó w c z ę s t o t l i w o ś c i p o d staw o w ej a n a liz o w a n o r ó ż n e c e c h y s y g n a łu z a pomocą b a rd z o d o k ła d n y c h m a te m a ty c z n y c h m o d e li ( p o r . [ 8 ] , [ 2 3 ] ) o r a z n ie p r e c y z y jn y c h m etod o p is o w y c h .
W s z y s tk ie m a te m a ty c z n e m etody a n a l i z y p a r a m e tr u FQ o p i e r a j ą s i ę n a szty w n o p r z y j ę ty m u k ł a d z i e w s p ó łrz ę d n y c h ( i s t n i e j e J e d y n ie m o ż liw o ść w yboru l o g a r y tm i c z n e j l u b l i n i o w e j s k a l i c z ę s t o t l i w o ś c i o r a z l i n i o w e j l u b odcinkow o l i n i o w e j s k a l i c z a s u ) . W p rz y p a d k u m o d elo w an ia z ło ż o n y c h p rz e b ie g ó w p a r a m e tr u Fq o p is k o m p lik u je s i ę do t e g o s t o p n i a , ż e n i e może b y ć p r z y d a t n y w p r o c e s i e ro z p o z n a w a n ia l u b k l a s y f i k a c j i . P r z y p u s z c z a ln i e k o r z y s tn e
i>eLekt\ą teth
cV)aTuWe- klasu^ikator
■»yf.Kjumjcb >
d e o . I Ł
b y ło b y p r z e d s t a w i e n i e p rz e b ie g ó w p a r a m e tr u Fq n i e w tra d y c y jn y m u k ł a d z i e w sp ó łrz ę d n y c h a l e w ta k im u k ł a d z i e , k t ó r y by u w id a c z n i a ł cech y c h a r a k t e r y s t y c z n e p r z e b i e g u . N a le ż y p r z y j ą ć , ż e n i e p o w in ie n t o b y ć u k ła d skom plikow any a w ię c z a w ie r a ć dw ie do t r z e c h w s p ó łr z ę d n y c h . P o ż ą d a n e j e s t w p ro w ad zen ie t a k i e j t r a n s f o r m a c j i , k t ó r a u m o ż liw i s k o n c e n tro w a n ie in f o r m a c j i n a k i l k u p ie r w s z y c h sk ła d o w y c h i w y e lim in u je t e w s p ó łr z ę d n e w k tó r y c h w a r i a n c j a j e s t m a ła . W ta k im k o n t e k ś c i e t r a n s f o r m a c j a p o l e g a n a r o z w in i ę c iu bad an eg o o b ie k t u w z b i ó r w ek to ró w bazow ych i od
r z u c e n i a c z ę ś c i r o z w i n i ę c i a w sp o s ó b z a p e w n ia ją c y ma2y b ł ą d . 3. 3. Z a s to s o w a n ie d y s k r e t n e j t r a n s f o r m a c j i l i n io w e j do
s e l e k c j i c e c h .
3 . 3 . 1 . T e o re ty c z n e p o d sta w y m etody.
O ptym alną m etodą k o m p r e s ji d a n y c h s p o ś ró d w s z y s t k ic h t r a n s f o r m a c j i lin io w y c h j e s t t r a n s f o r m a c j a K arh u n en a-L o ev eg o ( K - L ) , p o n ie w a ż b łą d c a łk o w ity ( k w a d r a t r ó ż n i c y m iędzy w ektorem p ie rw o tn y m i w ektorem o w yzerow anych s k ła d o w y c h ) d l a u k ła d u K-L o s i ą g a minimum. W p r a k ty c z n y c h z a s to s o w a n ia c h używa s i ę d y s k r e t n e j t r a n s f o r m a c j i K-L. W e rs ję t ą o ra z w e r s j ę u o g ó ln io n ą d l a
sygnałów c i ą g ł y c h p r z e d s ta w io n o w p r a c a c h ([5 3 , [7 ] , [20] , [2 2 ]) . T ra n s f o r m a c ja K-L p o le g a n a w y ra ż e n iu f u n k c j i p r z e z l i -
J e ś l i f u n k c j e ^ s ą pró b k o w an e ró w n o m ie rn ie w p r z e d z i a l e T.j, T2 t o mogą one b y ć p r z e d s ta w io n e w f o r m ie w e k to ró w .
X i ( t l ) X iC t2 )
i _ X i ( t n ) .
g d z ie n - l i c z b a p ró b e k w p r z e d z i a l e T^, Tg
R ów nanie (2 3 sp ro w a d z a s i ę wówczas do n a s t ę p u j ą c e j p o s t a c i
X i - i C i a$ 3 M
g d z i e
&
$ j ( t l )
$ j ( t 2 )
(j)j ( t n )
o r a z £ j c ^
J e ś l i w s p ó łc z y n n ik i c ^ p r z e d s ta w io n e s ą w f o r m ie w e k to ra
' c i1 Ci 2 - l i i '
ui n
t o r ó w n a n ie (4) może b y ć p r z e d s ta w io n e w f o r m ie m a c ie rz o w e j i i “ i - i K^zie ^ J e s t m a cierzą. ( 3) F u n k c ja a u t o k o r e l a c j i o k r e ś lo n a w z b i o r z e s k ła d a ją c y m s i ę z M k l a s j e s t z d e f in io w a n a n a s t ę p u j ą c o
R ( * S) - .¿ L p i u i j E |
^ \
g d z ie p iw .) j e s t p raw dopodobieństw em p o ja w i e n i a s i ę o b ie k t u z k l a s y O i.
( 6 ;
E li j e s t w a r t o ś c i ą o c z e k iw a n ą z c a łe g o zb io i-u ob
s e r w a c j i .
D y s k re tn y a n a lo g f u n k c j i a u t o k o r e l a c j i o k r e ś l o n e j rów naniem (6 )
1 *
j e s t z d e f in io w a n y n a s t ę p u j ą c o
Po p o d s t a w i e n iu ró w n a n ia (5} do ( 7 ) otrzym ujem y
R = | p ( « ) f i f i Y J = § | J ; p i l a ) E ( ą ą ' r) J $ Ca;
J e ś l i z a ło ż y m y , ż e M
g d z i e D ^ J e s t m a c ie r z ą d ia g o n a ln ą X , o* . ' o ‘
: h :
t ) x - -
Xr)
CSł)
C10)
t o ró w n a n ie ( 8 ) r e d u k u j e s i ę do p o s t a c i
R = ^ i ’ C
11)
P rz e m n a ż a ją c ró w n a n ie (1 1 ) p r z e z m a c ie rz © o tr z y m u j einy (1 2 ) Kolumny m a c ie rz y cj) tw o rz ą u k ła d o rto n o rm a ln y t z n .
1 j e ś l i i - j
: J l 0 j e ś l i i ^ j ^13)
R ów nanie (12) u p r a s z c z a s i ę do p o s t a c i
= o )
Z ró w n a n ia (1 4 ) o r a z z d e f i n i c j i w ektorów i w a r t o ś c i w ła s n y c h w id a ć , ż e j - t y w e k to r w ła sn y u ż y ty w r o z w i n i ę c i u ( 4 ) j e s t w ektorem w łasnym m a c ie rz y k o r e l a c j i o d p o w iad ający m j - t e j w a r t o ś c i w ł a s n e j .
W ektory w ła s n e s ą o r to n o r m a ln e , s t ą d w s p ó łc z y n n ik i r o z w i n i ę c i a
( 1 5 )
(16) c i mogą b y ć o b li c z o n e n a s t ę p u j ą c o
ę j Ą ę i -
ą = $ j l
(17)
O ptym alne r e z u l t a t y u z y s k u j e s i ę , j e ś l i j e s t s p e ł n io n y w aru n ek E {Ci] “ 0 t z n . j e ś l i w s z y s tłf ie b a d a n e o b i e k t y s ą s c e n t r a l i z o w ane- Z ałóżm y, i ż w ybieram y -ty lk o m (< n j s k ła d n ik ó w c^ i chcemy dokonać e s t y m a c ji w e k to ra x . Wprowadzony wówczas do r o z w i n i ę c i a
b ł ą d b ę d z i e rów ny su m ie n - n w a r t o ś c i w ła s n y c h .
J e ś l i w r o z w i n i ę c i u z a s t o s u j e s i ę w s z y s t k i e w e k to ry w ła s n e , t o b łą d b ę d z i e rów ny z e r a . In fo rm a ty w n o ś ć k a ż d e j c e c h y j e s t o k r e ś lo n a p r z e z o d p o w ie d n ią w a r t o ś ć w ła s n ą . K ażda w a r to ś ć w ła s n a - ró w n a j e s t w a r i a n c j i z g o d n ie z z a l e ż n o ś c i ą
G[2= - A ; C19)
J e ś l i w ię c w a r t o ś c i w ła s n e up o rząd k o w an e s ą w n a s t ę p u j ą c y sp o s ó b
t o c e c h y o d p o w ia d a ją c e tym w a rto ś c io m w łasnym s ą up o rząd k o w an e w t e n s a n s p o s ó b . W t r a n s f o r m a c j i K-L n a jw ię k s z e w a r ia n c j e ( w a r t o ś c i w ła s n e s ą z w lą z s n e z r z u t a m i w a r i a n c j i n a o s i e w sp ó ł
r z ę d n y c h ) o d p o w ia d a ją o k re ś lo n y m kolumnom m a c ie r z y (j> (kolum nom p r z e d s ta w ia ją c y m k i e r u n k i n a j w ię k s z e j z m ie n n o ś c i d a n y c h ) . U kład t a k i p o z w a la j e d n o c z e ś n ie ( p o u p o rz ą d k o w a n iu w a r t o ś c i w ła s n y c h ) s t w i e r d z i ć , o i l e p o p r z e d n i a c e c h a j e s t l e p s z a - b a r d z i e j i n f o r - matywna o d p o p r z e d n i e j . D rugą i s t o t n ą c e c h ą t r a n s f o r m a c j i j e s t f a k t , ż e c e c h y s ą n ie s k a r e l o w a n e ( m a c i e r z D ^ j e s t d ia g o n a l n a ) . S t o s u j ą c t r a n s f o r m a c j ę do u k ła d u s k ła d o w y c h g łó w n y ch d ecy d u je m y , czy w y b rać w e k to r w ła sn y o d p o w ia d a ją c y d a n e j w a r t o ś c i w ł a s n e j . O c z y w iśc ie a b s o l u t n a w ie l k o ś ć w a r t o ś c i w ła s n e j n i e d a j e ad e k w a tn e j i n f o r m a c j i . D la te g o używ a s i ę s to s u n k u d a n e j w a r t o ś c i w ła s n e j d o sumy w s z y s t k ic h w a r t o ś c i w ła s n y c h ( r ó w n e j ś la d o w i a n a liz o w a n e j m a c i e r z y )
3 * T k = u C C 2 0 )
S to s u n e k t e n w y ra ź m y w p r o c e n t a c h o k r e ś l a b ł ą d ś r e d n lo k w a d r a - tow y w prow adzany p r z e z e l i m i n a c j ę k tó r e g o ś z w ektorów w ła s n y c h b a d a n e j m a c i e r z y . W y ró żn ia s i ę k i l k a -typów m etod s e l e k c j i I n f o r m a c j i w k t ó r y c h k o r z y s t a s i ę z r o z w i n i ę c i a K -L . Są t o m etody w y k o r z y s t u ją c e i n f o r m a c j ę zaró w n o o ś r e d n i c h j a k i o w a r ia n c j a c h o b s e r w a c j i z p o s z c z e g ó ln y c h k l a s , b ą d ź m etody w y k o r z y s t u ją c e j e d y n ie w a r i a n c j ę (d o k o n u je s i ę c e n t r a l i z a c j i p r z e z w y zero w an ie s k ła d o w y c h w e k to ró w ś r e d n i c h w k l a s a c h ) .
R ó ż n ic e w p o s z c z e g ó ln y c h m e to d ach w y n ik a ją z r ó ż n y c h sposobów k o n s tr u o w a n ia m a c ie rz y k o w a r i a n c j i . Wybór o k r e ś lo n e g o w a r ia n t u
¡Kusi b y ć u z a s a d n io n y fiz y c z n y m a sp ek tem p ro b le m u . P oniew aż w p r a c y p r z y j ę t o z a ł o ż e n i e , ż e n a l e ż y z b a d a ć w y łą c z n ie r ó ż n i c e w k o n tu r a c h p rz e b ie g ó w p a r a m e tr u F0 , p r z y j ę t o m etodę w y k o rz y s tu j ą c ą i n f o r m a c ję J e d y n i e o w a r i a n c j i p r z e b ie g ó w . W s z y s tk ie p r z e b i e g i z o s t a ł y unorm ow ane. M a c ie rz k o w a r ia n c j i o b li c z o n o n a po d s t a w i e p rz e b ie g ó w s c e n t r a l i z o w a n y c h z e w z g lę d u n a w s z y s t k i e k l a s y . W c e l u z n a l e z i e n i a c e c h p rz e b ie g ó w w optym alnym u k ł a d z i e w s p ó łr z ę d n y c h wykonano n a s t ę p u j ą c ą p r o c e d u r ę s
1 . Normowanie p rz e b ie g ó w t a k ab y s p e ł n i o n a b y ł a z a l e ż n o ś ć X XT . 1
2 . O b lic z e n ie w e k to ra ś r e d n ie g o
(U - t ^ ( u ś r e d n i a n i e odbywa s i ę po całym z b i o r z e 3 . O b lic z e n ie m a c ie rz y k o w a r i a n c j i
S - E C2 0
O b l i c z a j ą c m a c ie rz k o w a r ia n c j i dokonano zm ian y s k a l i p o l e g a j ą c e j n a pom nożeniu r ó ż n i c m iędzy p o s z c z e g ó ln y m i w e k to ra m i a w ektorem
śre d n im w c e l u u z y s k a n ia p o s t a c i m a c ie rz y d o g o d n i e j s z e j do p r z e p ro w a d z a n ia o b l i c z e ń . P rz e m n o ż e n ie t a k i e n i e z m ie n ia u k ła d u w a r t o ś c i w ła s n y c h a ty l k o s p ro w a d z a s i ę do p rz e m n o ż e n ia w s z y s t k ic h w a r t o ś c i w ła s n y c h p r z e z t ę w a r to ś ć .
4 . O b l i c z e n i e w a r t o ś c i i w ektorów w ła s n y c h .
5 . U p o rząd k o w an ie w a r t o ś c i w ła s n y c h w edług m a le ją c y c h w a r t o ś c i X , > X j’^ • .
6 . O b lic z e n ie in f o rm a ty w n o ś c i p o s z c z e g ó ln y c h c e c h w ed łu g w z o ru (2 0 ).
7 . T r a n s f o r m a c ja p rz e b ie g ó w do u k ła d u w s p ó łr z ę d n y c h w ektorów w ła s n y c h o d p o w ia d a ją c y c h n a jw ię k s z y m w a rto ś c io m w łasnym w ed łu g z a l e ż n o ś c i ( 1 7 ) .
C e i t r a l i z o w a n l a z b i o r u dokonano p r z e z o d j ę c i e od k a ż d e g o w e k to r a r e p r e z e n t u j ą c e g o d an ą k l a s ę w e k to r a ś r e d n i e g o , g d z i e u ś r e d n i a n i e odbywa s i ę po całym z b i o r z e uczący m . Mankamentem p r z e k s z t a ł c e n i a K-L, t a k J a k w s z y s t k ic h m etod o p a r t y c h n a b a z i e w ektorów w ła s n y c h m a c ie rz y s ą w y s o k ie w ym agania o b li c z e n io w e . Z a g a d n ie n iu o b l i c z a n i a w ektorów i w a r t o ś c i w ła s n y c h p o ś w ię c a s i ę o d r ę t a e p r a c e .
W p rz y p a d k u d u ż e j w a r t o ś c i p ró b e k £ d u ż e j c z ę s t o t l i w o ś c i p ró b k o w an i a ) l i c z b a o b l i c z e ń s t a j e s i ę b a rd z o d u ż a i w y k lu c z a u ż y c ie t e j t r a n s f o r m a c j i . W p rz y p a d k u a n a l i z y c z ę s t o t l i w o ś c i p o d sta w o w ej n i e j e s t wymagana a ż t a k d u ż a l i c z b a p r ó b e k , co s t w a r z a m o ż liw o ś c i d l a w y k o r z y s t a n ia t e j m e to d y . A ta l w p r a c y jjl] p r z e d s t a w i ł m eto d ę o p a r t ą n a p r z e b i e g a c h czasow ych c z ę s t o t l i w o ś c i p o d sta w o w e j d o k o n u ją c k o m p r e s ji 500 d a n y c h r e p r e z e n t u j ą c y c h k aż d y k o n t u r Fq do 10 d a n y c h w u k ł a d z i e w s p ó łr z ę d n y c h K arh u n en a- L oevego. S p o d z ie w a ć s i ę n a l e ż y , ż e z a s t o s o w a n ie t e j m etody u - m o ż liw i b a rd z o z n a c z n ą r e d u k c j ę d a n y c h z m in im a ln ą u t r a t ą i n f o r m a c j i o p r z e b i e g u . W c e l u s p r a w d z e n ia s t o p n i a p r z y d a t n o ś c i t e j m etody do a n a l i z y p rz e b ie g ó w c z ę s t o t l i w o ś c i p o d staw o w ej z b a d a n o w s tę p n i e p r z y k ł a d i l u s t r u j ą c y m o ż liw o ś c i t r a n s f o r m a c j i K-L w p rz y p a d k u a n a l i z y z b i o r u d o ś ć z ró ż n ic o w a n y c h p rz e b ie g ó w . Z uw agi n a p o s ia d a n y b a r d z o skrom ny s p r z ę t kom puterow y p r z y j ę t o
a n a l i z ę p rz e b ie g ó w re p r e z e n to w a n y c h p r z e z 6 d a n y c h . Z a sto so w a n e a lg o r y tm y można z a a d o p to w a ć do a n a l i z y w ię k s z e j l i c z b y wym iarów . M etodę o b l i c z a n i a w ektorów o r a z w a r to ś c i w ła s n y c h p r z e d s ta w io n o
w z a ł ą c z n i k u . v
3 . 3 . 2 . T r a n s f o r m a c ja p r z y j ę t y c h p rz y k ła d o w o p rz e b ie g ó w . P r z y j ę t o 16 f i k c y j n y c h p rz e b ie g ó w d o ś ć c z ę s t o s p o ty k a n y c h w a n a l i z i e c z ę s t o t l i w o ś c i p o d s ta w o w e j. P r z e b i e g i t e p r z e d s ta w io n o n a r y c . 6 . Dane r e p r e z e n t u j ą c e p o s z c z e g ó ln e p r z e b i e g i z a m ie s z c z o n o w t a b e l i 1 .
T a b e la 1 .
Numer p r z e b i e g u
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
100 120 140 160 180 200
2 00 180 160 140 120 100
100 120 140 150 160 170
170 160 150140 120 100
100 100 100 100 100 100
100 105 100 105 100 105
100 120 130 130 120 100
130 120 100 100 120 130
100 140 180 180 140 100
180 140 100 100 140 180
100 100 100 120 130 140
140 130 120 100 100 100
100 100 120 130 140 150
150 140 130120 100 100
100 120 140 160 160 160
100 160 150 140 130 120
u m ie sz c z o n e n a r y c i n a c h o d p o w ia d a ją p o szczeg ó ln y m p rz e b ie g o m .
Do u k ła d u K-L p rz e tra n s f o rm o w a n o w ię c r ó ż n i c e m ięd zy p o s z c z e gó ln y m i w e k to ra m i a w ektorem ś r e d n im . R ó ż n ic e t e d l a p o s z c z e g ó ln y c h p rz e b ie g ó w p r z e d s ta w io n o w t a b e l i 2 .
T a b e la 2 .
Numer p r z e b i e g u
1 2 3 4 5 6 7 —8 '
- 1 2 .3 7 6 1 4 .1 54 3 -1 0 .1 6 5 7 9 .9 5 4 3 1 .9 0 9 0 .9 0 4 3 - 4 .1 2 5 7 6 .3 1 4 3 - 8 .6 6 9 7 .2 6 1 - 6 .0 0 9 5 .4 9 1 0 .3 1 6 1 .2 9 9 1 .2 4 1 1 .2 4 1 - 3 .3 5 9 1 .9 5 9 - 0 .2 5 1 2 .6 1 9 0 .3 2 4 - 0 .6 8 1 4 .7 2 9 - 5 .7 1 1
1 .6 4 4 - 3 .6 4 6 2 .3 2 4 4 - 0 .5 4 5 6 0 .0 2 9 4 1 .0 1 2 4 .4 3 4 - 6 .0 0 6 7 .2 3 5 - 8 .6 9 5 5 .4 6 6 - 0 .0 3 5 0 .2 9 - 0 .7 1 5 1 .2 1 5 1 .2 1 5 1 2 .5 7 3 - 1 3 .9 5 7 8 .3 7 3 - 1 1 .7 4 7 0 .3 2 8 1 .3 1 1 - 5 .7 0 7 4 .7 3 3
T a b e la 2 c . d .
Humer p r z e b i e g u
9 10 11 12 13 14 j 15 16
- 1 0 .3 1 4 3 - 0 .7 4 9 1 0 .6 1 5 1 0 .3 2 0 4 - 0 .7 7 8 - 1 2 .0 9 9
1 2 .2 0 4 3 - 0 .7 4 9 -12.10 3 -1 2 .3 9 7 6 - 0 .7 7 8 1 0 .6 2 3
- 3 .7 5 8 - 5 .3 5 1 - 5 .3 4 3 1 .3 9 3 5 -1 7 8 .7 2 3
1 0 .3 0 4 5 .1 9 7 1 .6 8 8 - 5 .6 3 7 6 - 5 .3 7 7 - 5 .3 3 9
- 6 .1 9 6 -7 - 7 8 9 - 1 .2 3 6 1 .741 5 .2 7 4 8 .5 8 3
1 0 .1 6 2 5 . 3 2 .0 3 6 - 1 .5 3 1 - 7 .8 1 5 - 7 .7 7 7
- 1 0 .1 4 6 - 5 .9 8 3 -0 .2 Ź 1 5 .2 3 4 5 .4 9 5 5 .5 3 3
-8 .6 2 5 7 7 .9 5 1 4 .9 2 9 1 .6 0 9 4 - 1 .1 5 5 - 4 .1 4 7 W ektor ś r e d n i o b li c z a n y z 16 a n a liz o w a n y c h p rz e b ie g ó w ma p o s t a ć
0 .3 8 9 1 5 7 ~ 0 .4 0 5 0 9 0 .4 0 5 2 0 .4 0 7 9 5 6 0 .4 0 5 3 6 0 .4 0 4 9 7
O b l i c z a n i e m a c ie rz y k o w a r i a n c j i w ed łu g w zoru ( 2 1 ) zaprogram ow ano w ję z y k u BASIC n a m ini k o m p u te rz e S i n c l a i r . D la p r z e d s ta w io n y c h r ó ż n i c o trz y m a n o n a s t ę p u j ą c ą m a c ie rz k o w a r i a n c j i
8 2 .2 0 6 0 1 3 1 .0 5 6 8
27.721 -1 1 .9 6 6 9 .7 9 2 4 .8 8 5
- 3 5 .7 9 8 - 8 .3 5 7 1 7 .7 5 3 6 2 5 .4 8 4
- 3 4 .9 8 2 - 2 3 .0 4 1 4
- 7 . 7 5 9 .0 1 2 3 .4 4
-3 0 .2 1 5 8 -3 5 .7 5 3 - 3 2 .3 7 5 - 7 .5 0 9
3 3 .9 5 7 2 .7 3
Po n iew aż m a c ie rz t a J e s t s y m e try c z n a p o dano w a r t o ś c i z n a j d u j ą c e
‘ s i ę po J e d n e j s t r o n i e p r z e k ą t n e j . W c e l u o b l i c z e n i a w a r t o ś c i o r a z w ektorów w ła s n y c h pow yższą m a c ie r z p r z e k s z t a ł c o n o do p o s t a c i
tF ó j d i agon a ln e j 8 2 .2 0 6 0 1 6 7 .2 7 6 0 4 3
6 7 .2 7 6 0 4 3 7 7 .3 1 5 0 2 1 3 8 .2 2 0 0 2 5
3 8 .2 2 0 0 2 5 9 0 .3 6 7 8 7 1 -9 .0 6 3 9 0 6 6
-9 .0 6 3 9 0 6 4 .6 0 0 5 3 1 9 -0 .2 1 4 2 7 0 0 6
-0 .2 1 4 2 7 0 0 6 1 .1 2 6 3 4 3 7 0 .1 2 4 9 2 9 0 7 0 .1 2 4 9 2 9 0 7 0 .8 5 0 2 3 2 5 4 Po powyższym p r z e k s z t a ł c e n i u suma elem entów z n a jd u j ą c y c h s i ę n a g łó w n e j p r z e k ą t n e j n i e u l e g a z m ia n ie
t r S - 2 5 6 .4 6 6 0 7
Suma w a r t o ś c i w ła s n y c h p o d an y ch m a c ie rz y p o w in n a b y ć rów na
e
- 2 5 6 .4 6 6 0 7 Lm
P o n iż e j pod an o o b li c z o n e k o le j n o w a r t o ś c i w ła s n e W a rto ś c i w ła s n e
15 8 .3 8 0 2 9 7 7 0 7 89 .0 8 1 0 6 5 4 4 9
6 .3 9 0 0 1 1 1 1 .2 0 2 5 5 ' 0 .8 1 3 8 5 0 .5 9 8 3 1 TR - 2 5 6 .4 6 6 0 7
I = 9 6 .4 8 8 9 3 G
O s t a t e c z n i e . Z \ ' , = 256.466C 7 l - Ą
W c e l u s p r a w d z e n i* czy w y s t a r c z a j ą c e j e s t p r z y j ę c i e u k ła d u ' w s p ó łr z ę d n y c h s k ł a d a j ą c y c h s i ę z dwóch w ektorów w ła s n y c h od
p o w ie d n ic h d l a c a łe g o z b io r u p r z e b i e g o b lic z o n o s t o s u n e k A ^ ^ X p
\ - :-■■■■■ ' — V--- T--- ■ 100* = 9 6 .4 8 8 9 A2 + A 3+ / l 4 + A 5+A f
Można p r z y j ą ć w ię c , że p o m i n ię c i e w ektorów w ła s n y c h o dpow ia
d a ją c y c h c z te re m p o z o s ta ły m w a rto ś c io m w łasnym n i e w prowadza
i s t o t n e g o b łę d u .
Dwie p ie r w s z e w a r t o ś c i w ła s n e z a w i e r a j ą 9 6 .5 % in f o r m a c j i o p r z e b i e g a c h . W ektory w ła s n e o d p o w ia d a ją c e w a r t o ś c i o a własnym
\ . j i X 2 p r z e d s ta w ia p o n iż s z y w ydruk
d l a A -, = 1 5 8 ,3e d l a A 2 - 8 9 ,0 6 W ektory w ła s n e
V1 V2
-0 .6 0 9 1 8 2 7 8 0 .4 9 7 6 5 7 2 9 -0 .3 8 0 4 7 1 6 -0 .0 8 2 2 4 1 4 3 5 -0 .1 0 5 9 9 5 2 6 -0 .5 0 1 6 6 6 0 7 ,
0 .1 6 8 4 0 3 4 8 -0 .4 6 8 4 7 7 5 2 0 .3 7 8 3 5 1 7 8 0.028 7 2 9 9 2 9 0 .5 4 8 9 9 2 6 5 0 .5 2 3 3 8 6 1 8
\ • ‘ .
Z g o d n ie z wzorem ( i ? ) d o konano n a s t ę p u j ą c e g o p r z e k s z t a ł c e n i a ' C i = i ip x*
W w yniku o trz y m a n o z b i ó r 16 dwuwymiarowych w ektorów r e p r e z e n t u ją c y c h w e k to ry z t a b e l i 2 . Na r y c . 7 p r z e d s ta w io n o dwuwymiarowe w e k to ry w nowym u k ł a d z i e w s p ó łrz ę d n y c h V1, Y2. W t a b e l i 3 podano sk ła d o w e t y c h w ektorów .
T a b e la 3 . Numer p r z e b i e g u
1 2 3 4 j 5 6 7
2 1 .1 1 2 .2 3 9 9
- 2 3 .1 5 9
- 0 .3 6 8 1 5 .5 6 ie 5
- 1 .0 0 1 - 1 7 .2 5 5 1 -1 .0 2 2 7
- 2 .8 6 6 6 j 0 .9 2 8 3 6 - 0 .3 5 3 3 0 .8 7 8 9 5
- 0 .3 8 6 8 -9 .5 5 4 4 3 T a b e la 3 c . d .
Numer p r z e b i e g u
8 9 10 11 j 12 13 14
-1 .6 6 6 7 4
1 1 .2 3 3 5 6 -0 .3 6 8 5 9 -2 1 .6 8 9 1
- 2 .4 1 7 2 3 .5 5 0 9
1 1 .8 7 1 0 7 1-14.34811 5 .3 0 1 0 2 ! 3 .5 5 6 2 8 1 3 .8 6 9
1 .9 8 9
-1 5 .4 7 8 6 0 .0 3 2 4
\
T a b e la 3 c . d . Numer p r z e b i e g u
15 16
1 4 .4 7 8 6 - 3 .8 5 7
- 0 .7 3 5 7 -1 0 .3 6 1
W ektory w ła s n e o d p o w ia d a ją c e w a rto ś c io m własnym A j i o r to g o n a ln e
s ą
V; v-, = 0
r * o0 1
[-0 .6 0 9 1 8 2 7 8 -0 .3 8 0 4 7 1 6 -0 .1 0 5 9 9 5 2 6 0 .1 6 8 4 0 3 4 8 0 .3 7 8 3 5 1 7 8 0 .5 4 8 9 9 2 6 5 ]*
0 .4 9 7 6 5 7 2 9 -0 .0 8 2 2 4 1 4 3 5
-0 .5 0 1 6 6 6 0 7 -0 .4 6 8 4 7 7 5 2 0 .028 7 2 9 9 2 9
0 . 523?,St1S -j
K ażda w a r to ś ć w ła s n a rów na j e s t w a r i a n c j i
r 2 ^ ^ = 1 5 8 .3 7 9
\3 i '= A i
A l 8 9 .0 7 9
D la p ie r w s z e j tra n s fo rm o w a n e j z m ie n n e j o trzy m u jem y [ - 0 ,5 0 9 - 0 .3 8 0 5 - 0 .1 0 6 0 .1 6 8 4 0 .3 7 8 3 0.5491*
’ 82 .206 3 1 .0 5 8 8 - 1 1 .9 6 6 - 3 5 .7 9 8 - 3 4 .9 8 2 -3 0 .2 1 5 8 - 0 .6 0 9 3 1 .0 5 9 2 7 .7 2 9 .7 9 - 8 .3 5 7 - 2 3 .0 4 1 - 3 5 .7 5 3 - 0 .3 8 0 5 - 1 1 .9 6 6 9 .7 9 2 4 .8 8 5 1 7 .7 5 4 - 7 . 7 5 - 3 2 .3 7 5 - 0 .1 0 6 - 3 5 .7 9 8 - 8 .3 5 7 1 7 .7 5 4 2 5 .4 8 4 9 .0 1 - 7 .5 0 9 X 0 .1 6 8 4
- 3 4 .9 8 2 - 2 3 .0 4 - 7 .7 5 9 .0 1 2 3 .4 4 3 3 .9 5 0 .3 7 8 3
- 3 0 .2 1 5 - 3 5 .7 5 - 3 2 .3 7 - 7 .5 0 9 3 3 .9 5 7 2 .7 3 0 .5 4 9 1 5 8 .3 7 9 A n a lo g ic z n ie d l a d r u g i e j z m ie n n e j
- 0 .0 8 0 2 - 0 .5 0 1 6 6 - 0 .4 6 8 0 .0 2 8 7 0 .5 2 3 4 )>
# € 2 . 2 0 6 3 1 .0 5 8 8 - 1 1 .9 6 6 - 3 5 .7 9 8 -3 4 .9 8 2 - 3 0 .2 1 5 8 0 .4 9 7 6 3 1 .0 5 9 2 7 .7 2 9 .7 9 - 8 .3 5 7 - 2 3 .0 4 1 - 3 5 .7 5 3 - 0 .0 8 0 2 - 1 1 .9 6 6 9 .7 9 2 4 .8 8 5 1 7 .7 5 4 - 7 .7 5 - 3 2 .3 7 5 - 0 .5 0 1 6 6 - 3 5 .7 9 8 - 8 .3 5 7 1 7 .7 5 4 2 5 .4 8 4 9 .0 1 - 7 .5 0 9 A - 0 .4 6 8 4
- 3 4 .9 8 2 - 2 3 .0 4 - 7 .7 5 9 .0 1 2 3 .4 4 3 3 .9 5 0 .0 2 8 7
- 3 0 .2 1 5 - 3 5 .7 5 - 3 2 .3 7 - 7 .5 0 9 3 3 .9 5 7 2 .7 3 0 .5 2 3 4
