ANALIZA
MATEMATYCZNA 1
Marian Gewert Zbigniew Skoczylas
ANALIZA
MATEMATYCZNA 1
Definicje, twierdzenia, wzory
Wydanie dwudzieste piąte zmienione
GiS
Oficyna Wydawnicza GiS
Wrocław 2017
Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska marian.gewert@pwr.edu.pl
Zbigniew Skoczylas Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska zbigniew.skoczylas@pwr.edu.pl
Projekt okładki
IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej
Copyright c 1991 – 2017 by Oficyna Wydawnicza GiS
Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cy- frowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich.
Skład wykonano w systemie LATEX.
ISBN 978–83–62780–43–3
Wydanie XXV zmienione, Wrocław 2017 Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT
4
Spis treści
1 Wstęp 7
1 Zbiory i funkcje liczbowe 9
1 . Zbiory ograniczone i kresy . . . . 9
2 . Funkcje – podstawowe określenia . . . . 10
3 . Złożenia funkcji i funkcje odwrotne . . . . 16
4 . Funkcje elementarne i inne . . . . 21
2 Ciągi liczbowe 27 1 . Podstawowe określenia . . . . 27
2 . Granice ciągów . . . . 30
3 . Twierdzenia o granicach ciągów . . . . 32
3 Granice i ciągłość funkcji 40 1 . Definicje granic funkcji . . . . 40
2 . Twierdzenia o granicach funkcji . . . . 44
3 . Asymptoty funkcji . . . . 50
4 . Ciągłość funkcji . . . . 53
5 . Działania na funkcjach ciągłych . . . . 57
6 . Twierdzenia o funkcjach ciągłych . . . . 58
4 Pochodne funkcji 61 1 . Podstawowe pojęcia . . . . 61
2 . Pochodne jednostronne i pochodne niewłaściwe . . . . 65
3 . Twierdzenia o pochodnej funkcji . . . . 67
4 . Różniczka funkcji . . . . 72
5 . Pochodne wyższych rzędów . . . . 73
6 . Pochodne funkcji wektorowych . . . . 74
5 Zastosowania pochodnych 76 1 . Twierdzenia o wartości średniej . . . . 76
2 . Twierdzenia o granicach nieoznaczonych . . . . 80
3 . Rozwinięcie Taylora funkcji . . . . 82
4 . Ekstrema funkcji . . . . 85
5
5 . Funkcje wypukłe i punkty przegięcia . . . . 90
6 . Przybliżone rozwiązywanie równań . . . . 94
7 . Badanie funkcji . . . . 95
6 Całki nieoznaczone 97 1 . Funkcje pierwotne i całki nieznaczone . . . . 97
2 . Twierdzenia o całkach nieoznaczonych . . . 100
3 . Całkowanie funkcji wymiernych . . . 102
4 . Całkowanie funkcji trygonometrycznych . . . 106
5 . Całkowanie funkcji z niewymiernościami . . . 108
7 Całki oznaczone 109 1 . Podstawowe pojęcia . . . 109
2 . Metody obliczania całek oznaczonych . . . 113
3 . Własności całek oznaczonych . . . 115
4 . Funkcja górnej granicy całkowania* . . . 121
5 . Przybliżone metody obliczania całek* . . . 123
8 Zastosowanie całek oznaczonych 126 1 . Zastosowania w geometrii . . . 126
2 . Zastosowania w fizyce . . . 132
9 Odpowiedzi i wskazówki 134
Literatura 154
Skorowidz 154
6
1 Wstęp
Niniejsza książka jest pierwszą częścią zestawu podręczników do Analizy mate- matycznej 1. Pozostałymi częściami są zbiory zadań „Analiza matematyczna 1. Przy- kłady i zadania” i „Analiza matematyczna 1. Kolokwia i egzaminy”. Podręczniki te są przeznaczone głównie dla studentów politechnik. Mogą z nich korzystać także studenci wydziałów nauk ścisłych i przyrodniczych uniwersytetów oraz uczelni ekonomicznych, pedagogicznych i rolniczych.
Opracowanie zawiera definicje, twierdzenia i wzory z rachunku różniczkowego oraz całkowego funkcji jednej zmiennej wraz z zastosowaniami. Wszystkie zagadnienia teo- retyczne zakończono ćwiczeniami, przy czym początkowe z nich są z reguły najprost- sze. Podręcznik jest bogato ilustrowany (zawiera ponad 300 rysunków). Fragmenty materiału oznaczone gwiazdką nieznacznie wykraczają poza aktualny program przed- miotu. Tak samo oznaczono trudniejsze ćwiczenia. Dodatkowy materiał oraz trudniej- sze ćwiczenia dołączono z myślą o studentach, którzy chcą rozszerzyć swoją wiedzę z analizy matematycznej. Studentów zainteresowanych rozwiązywaniem trudnych i nie- typowych zadań z analizy zachęcamy do zapoznania się z książką „Algebra i analiza.
Egzaminy na ocenę celującą”.
Równolegle do materiału omawianego na wykładzie studenci powinni przerabiać samodzielnie i na ćwiczeniach odpowiednio dobrane zadania. Takie zadania wraz z me- todami ich rozwiązywania można znaleźć w zbiorze zadań „Analiza matematyczna 1.
Przykłady i zadania”.
Ćwiczenia z tego podręcznika oraz przykłady i zadania z drugiej części zestawu są podobnych typów i mają ten sam stopień trudności jak zadania, które zwykle po- jawiają na kolokwiach i egzaminach. Zadania, które w poprzednich latach studenci Politechniki Wrocławskiej rozwiązywali na sprawdzianach, są umieszczone w trzeciej części podręcznika.
Do tego wydaniu dodano nowe ćwiczenia i rysunki oraz zmieniono układ mate- riału. Ponadto poprawiono zauważone błędy i usterki.
Serdecznie dziękujemy Pani dr Teresie Jurlewicz za przygotowanie odpowiedzi do ćwiczeń z wcześniejszych wydań. Szczególne podziękowania składamy Panom dr.
Maciejowi Burneckiemu, dr. Krzysztofowi Michalikowi, prof. dr. hab. Januszowi Mier-
7
8 Wstęp czyńskiemu, prof. dr. hab. Krzysztofowi Stempakowi oraz Pani dr Jolancie Sulkowskiej za liczne spostrzeżenia, które pozwalały ulepszać kolejne wydania. Dziękujemy także Koleżankom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechniki Wrocławskiej oraz na- szym Studentom za uwagi o poprzednich wydaniach. Dziękujemy również Koleżankom i Kolegom z innych uczelni za komentarze dotyczące zakresu i sposobu ujęcia mate- riału. Uprzejmie prosimy wykładowców i studentów o przesyłanie uwag o podręczniku oraz informacji o dostrzeżonych błędach i usterkach.
Marian Gewert Zbigniew Skoczylas
2 Ciągi liczbowe
2.
1. Podstawowe określenia
Definicja 1.1. (ciąg liczbowy)
Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych i przyj- mującą wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby natu- ralnej n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy np. przez an. Ciąg o takich wyrazach oznaczamy przez (an). Zbiór wyrazów ciągu (an), tj. {an: n ∈ N} , ozna- czamy krótko przez {an}. Ciągi będziemy przedstawiali na płaszczyźnie, jako zbiory punktów o współrzędnych (n, an) , gdzie n ∈ N, albo jako indeksowane punkty na osi liczb rzeczywistych.
an
n (a)
1 2 3 4 5
(1,a1) (2,a2)
(3,a3) (4,a4)
(5,a5)
b b b b b b b b b b (b)
a1 a2 a3 . . . an
Rys. 1.1.Ilustracja ciągu (a) na płaszczyźnie, (b) na prostej
Obrazowo: ciąg można traktować jako zbiór ponumerowanych liczb rzeczywistych, które są ustawione według rosnących numerów
a1, a2, a3, . . . , an, . . . Przykład 1.2. Ciągi możemy określać:
• wzorem:
(a) an = 2n, (b) bn= 1
sin n, (c) cn=√
n+1−√
n, (d) dn= 1+22+33+. . .+nn,
(e) en = 1 n+ 1
n + 1+ 1
n + 2+ . . . + 1
2n, (f) fn=
( 3n dla n nieparzystych, n3 dla n parzystych;
27
28 2. Ciągi liczbowe
• rekurencyjnie (tzn. kolejny wyraz ciągu wyraża się przez niektóre poprzednie):
(a) a1= 7, an+1= an+ 3 – ciąg arytmetyczny, (b) b1= 1, bn+1= 2bn – ciąg geometryczny,
(c) c1= 1, c2= 1, cn+2= cn+ cn+1 – ciąg Fibonacciego∗, (d) d1= 2, dn+1= 2d1;
• opisowo:
(a) an – n-ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby π, (b) pn – n-ta liczba pierwsza,
(c) cn – przedostatnia cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby (n + 3)2. Definicja 1.3. (ciągi ograniczone)
• Mówimy, że ciąg (an) jest ograniczony z dołu, jeżeli istnieje liczba rzeczywista m taka, iż nierówność m ¬ an jest prawdziwa dla wszystkich n ∈ N. Obrazowo: ciąg jest ograniczony z dołu, gdy jego wyrazy leżą nad pewną prostą poziomą.
an
n (a)
1 2 3 4 5 m
b b b b b b b b
bb bb
an
n (b)
1 2 3 4 5 M
b b b b b b
b b b b
Rys. 1.2.Wykres ciągu ograniczonego (a) z dołu, (b) z góry
• Podobnie mówimy, że ciąg (an) jest ograniczony z góry, jeżeli istnieje liczba rzeczy- wista M taka, iż nierówność an¬ M jest prawdziwa dla wszystkich n ∈ N. Obrazowo:
ciąg jest ograniczony z góry, gdy jego wyrazy leżą pod pewną prostą poziomą.
• Z kolei mówimy, że ciąg (an) jest ograniczony, jeżeli jest ograniczony z dołu i z góry. Obrazowo: ciąg jest ograniczony, gdy jego wyrazy leżą między dwiema prostymi poziomymi. Ciąg, który nie jest ograniczony, nazywamy nieograniczonym.
an
n (a)
1 2 3 4 5 M
m
b b b b b b b b b b
an
n (b)
1 2 3 4 5
b b b b b b b b b b
Rys. 1.3.Wykres ciągu (a) ograniczonego, (b) nieograniczonego
∗Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250), matematyk włoski.
1. Podstawowe określenia 29 Ćwiczenie 1.4. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, ograniczone:
(a) an = √n
2; (b) an = n
n + 1; (c) an=p
n2+ 3n − n;
(d) an= 5 sin (n! + 1); (e) an= 3−n; (f) an = 1 n + 1+ 1
n+2+. . .+ 1 n + n; (g*) an=
1 + 1
n
n
; (h) an = 10n − n2; (i*) an= 1 + 1 2+1
3 + . . . + 1 n. Definicja 1.5. (ciągi monotoniczne)
• Mówimy, że ciąg (an) jest rosnący, jeżeli nierówność an< an+1jest prawdziwa dla wszystkich n ∈ N. Obrazowo: ciąg jest rosnący, gdy jego wyrazy powiększają się ze wzrostem indeksu, tzn. a1< a2< a3< . . .
an
n (a)
1 2 3 4 5
b b b b b b b b b b
an
n (b)
1 2 3 4 5
b b b b b b b b b b
Rys. 1.4.Wykres ciągu (a) rosnącego, (b) malejącego
• Podobnie mówimy, że ciąg (an) jest malejący, jeżeli nierówność an > an+1 jest prawdziwa dla wszystkich n ∈ N. Obrazowo: ciąg jest malejący, gdy jego wyrazy zmniejszają się ze wzrostem indeksu się, tzn. a1> a2> a3> . . .
Uwaga. Jeżeli definicji ostre nierówności zastąpimy słabymi, to otrzymamy określenia odpowiednio ciągu niemalejącego i nierosnącego. Ciągi rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące nazywamy monotonicznymi. Wprowadza się także pojęcie ciągów mo- notonicznych od numeru n0.
Ćwiczenie 1.6. Zbadać monotoniczność ciągów:
(a) an =n − 1
n ; (b) an = n2− n; (c) an= 1 · 3 · . . . · (2n − 1)
n! ;
(d) an= (3n)!
(n!)3; (e*) an = n100− n50+ 1; (f*) an= 5n− 3n− 2n; (g) an = n + 10
n + 1
−1
; (h) an = n + 10 + |n − 10|; (i) an=p
n2+ 2n − n;
(j) an =100n
n! ; (k) an=
1+1
n
n
; (l) a1=√
2, an+1=√ 2+an; (m) an = √n
2n+ 1; (n*) an= 1
n + 1+ 1
n + 2+ . . . + 1 n + n.
Ćwiczenie 1.7. (a) Dla n 4 niech pn oznacza długość największej przekątnej n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1. Czy ciąg (pn) jest rosnący?
30 2. Ciągi liczbowe (b) Dla n 3 niech Snoznacza pole n-kąta foremnego opisanego na kole o promieniu 1.
Czy ciąg (Sn) jest malejący?
2. Granice ciągów
Definicja 2.1. (granica właściwa ciągu, ciąg zbieżny)
Mówimy, że ciąg (an) ma granicę właściwą a ∈ R, co zapisujemy lim
n→∞an = a, gdy dla dowolnej liczby dodatniej ε można dobrać taką liczbę naturalną n0, iż nierówność
|an− a| < ε będzie prawdziwa dla wszystkich n > n0. Ciąg, który ma granicę wła- ściwą, nazywamy zbieżnym. W przypadku przeciwnym ciąg nazywamy rozbieżnym.
Obrazowo: ciąg ma granicę a, gdy jego dostatecznie dalekie wyrazy leżą dowolnie blisko punktu a.
an
n a − ε
a a + ε
1 2 3 4 5 n0
b b b b b b b b b b b b b b b
b b
Rys. 2.1.Ilustracja ciągu zbieżnego Ćwiczenie 2.2. Korzystając z definicji uzasadnić równości:
(a) lim
n→∞
1 − 3n
1 + n = −3; (b) limn→∞ 1
2n+ 1 = 0; (c) lim
n→∞
√n
a = 1, gdzie a > 0.
Ćwiczenie* 2.3.
Udowodnić, że ciąg zbieżny:
(a) ma tylko jedną granicę; (b) jest ograniczony.
Definicja 2.4. (ciągu rozbieżnego do ∞)
• Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do ∞, co zapisujemy limn→∞an = ∞, gdy dla dowolnej liczby dodatniej E można dobrać taką liczbę naturalną n0, iż nierówność an> E będzie prawdziwa dla wszystkich n > n0. Obrazowo: ciąg jest rozbieżny do ∞, gdy dostatecznie dalekie wyrazy tego ciągu są większe od dowolnej liczby dodatniej.
an
n E
1 2 3 4 5 n0
b b b b b b b b b b b
b b b
Rys. 2.2.Ilustracja ciągu rozbieżnego do ∞
2. Granice ciągów 31
• Podobnie mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do −∞, co zapisujemy lim
n→∞an =
−∞, gdy dla dowolnej liczby ujemnej E można dobrać taką liczbę naturalna n0, że nierówność an < E będzie prawdziwa dla wszystkich n > n0. Obrazowo: ciąg jest rozbieżny do −∞, gdy jego dostatecznie dalekie wyrazy są mniejsze od dowolnej liczby ujemnej.
an
n
E
1 2 3 4 5
n0
b b b b b b b b b b b b
b b b
Rys. 2.3.Ilustracja ciągu rozbieżnego do −∞
Uwaga. O ciągach rozbieżnych do ∞ i −∞ mówimy także, że mają granice niewłaściwe odpowiednio ∞ lub −∞. Ciągami rozbieżnymi, które nie mają granic niewłaściwych, są np.: an = (−2)n, bn= cos nπ. Granica właściwa ani niewłaściwa ciągu nie zależy od wartości skończenie wielu jego wyrazów. Inaczej mówiąc, zmiana wartości skończonej liczby wyrazów ciągu nie zmienia jego granicy.
Ćwiczenie 2.5. Korzystając z definicji uzasadnić równości:
(a) lim
n→∞
√n = ∞; (b) lim
n→∞ 1 − n2
= −∞; (c) limn→∞(2n− 5) = ∞.
Ćwiczenie 2.6.
Pokazać, że ciąg geometryczny (qn) jest:
(i) zbieżny do 0, gdy |q| < 1; (ii) zbieżny do 1, gdy q = 1;
(iii) rozbieżny do ∞, gdy q > 1; (iv) rozbieżny, gdy q ¬ −1.
Korzystając z tego faktu wyznaczyć granice ciągów:
(a) an = 1
(−2)n; (b) an= 10√
3n; (c) an =
−5 4
n
; (d) an= (3 − π)n; (e) an= sinn2017; (f) an= tgn
nπ −π 4
. Definicja 2.7. (podciąg)
Niech (an) będzie ciągiem oraz niech (kn) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych.
Podciągiem ciągu (an) nazywamy ciąg (bn) określony wzorem bn= akn, gdzie n ∈ N.
Obrazowo: podciągiem nazywamy ciąg pozostały po skreśleniu pewnej liczby (być może nieskończonej) wyrazów ciągu wyjściowego (zobacz ilustracja niżej).
a\ a1 2 a\ a3 \ a4 5 a\ a6 7 a8 a9 a10\ . . .
k k k k k
b1 b2 b3 b4 b5 . . .
32 2. Ciągi liczbowe Przykład 2.8.
(a) Ciąg liczb parzystych bn= 2n jest podciągiem ciągu liczb naturalnych an= n.
(b) Ciąg bn=
1 + 1 n2+ 1
n2+1
jest podciągiem ciągu an=
1 + 1
n
n . (c) Ciąg (bn) = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .) nie jest podciągiem ciągu (an) = (1, 2, 3, . . .).
TWIERDZENIE 2.9. (o granicy podciągu)
(a) Podciąg ciągu z granicą właściwą ma tę samą granicę.
(b) Podciąg ciągu rozbieżnego do ∞ (−∞) jest rozbieżny do ∞ (−∞).
Uwaga. Ciąg, z którego można wybrać dwa podciągi z różnymi granicami, jest roz- bieżny.
Ćwiczenie 2.10. Korzystając z twierdzenia o granicy podciągu uzasadnić równości:
(a) lim
n→∞
1
1 + 2n = 0; (b) lim
n→∞
1
3n+ 2n = 0;
(c) lim
n→∞
n2√
3 = 1; (d) lim
n→∞
4 3
n3+n
= ∞.
Ćwiczenie 2.11. Wybierając odpowiednie podciągi uzasadnić, że nie istnieją granice:
(a) lim
n→∞(−1)n2+2n; (b) lim
n→∞n + (−1)nn2; (c) lim
n→∞sinnπ 3 .
TWIERDZENIE 2.12. (Bolzano† – Weierstrassa‡, o ciągach ograniczonych) Jeżeli ciąg jest ograniczony, to ma podciąg zbieżny.
Uwaga. Jeżeli ciąg nie jest ograniczony, to ma podciąg rozbieżny do −∞ lub ∞.
3. Twierdzenia o granicach ciągów
TWIERDZENIE 3.1. (o arytmetyce granic ciągów) Jeżeli ciągi (an) i (bn) mają granice właściwe, to (a) lim
n→∞(an+ bn) = lim
n→∞an+ lim
n→∞bn, (b) lim
n→∞(an− bn) = lim
n→∞an− lim
n→∞bn, (c) lim
n→∞(an· bn) =
n→∞lim an
·
n→∞lim bn
, (d) lim
n→∞(c · an) = c · limn→∞an (c ∈ R), (e) lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞an n→∞lim bn
, (f) lim
n→∞
√k
an =q limk
n→∞an (k ∈ N).
†Bernhard Bolzano (1781–1848), matematyk i filozof czeski.
‡Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897), matematyk niemiecki.
3. Twierdzenia o granicach ciągów 33 Dowód (c). Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Mamy pokazać, że istnieje taka liczba naturalna n0, iż nierówność |anbn− ab| < ε jest prawdziwa dla każdego naturalnego n >
n0. Ze zbieżności ciągu (an) wynika jego ograniczoność. Zatem istnieje liczba Ma taka, że
|an| ¬ Ma dla wszystkich n ∈ N. Niech M będzie większą z dwóch liczb Ma, |b|, tj. niech M = max {Ma, |b|} . W definicji granicy ciągu (an) przyjmujemy ε′= ε/2M . Wtedy istnieje taka liczba naturalna na, iż nierówność |an− a| < ε′ jest prawdziwa dla każdego n > na. Podobnie w definicy granicy ciągu (bn) przyjmujemy ε′= ε/2M. Wtedy istnieje taka liczba naturalna nb, że nierówność |bn− b| < ε′jest prawdziwa dla każdego n > nb. Pokażemy, że liczba n0= max {na, nb} spełnia początkowy warunek. Rzeczywiście, dla n > n0 mamy
|anbn− ab| = |an(bn− b) + b (an− a)| ¬ |an| |bn− b| + |b| |an− a|
¬ Ma· ε′+ M · ε′= Ma· ε
2M + M · ε
2M ¬ M · ε
2M + M · ε 2M = ε.
Zatem granica iloczynu ciągów równa się iloczynowi granic tych ciągów.
Uwaga. Wzory (a) i (c) są prawdziwe dla dowolnej liczby odpowiednio składników i czynników. Z kolei we wzorach (e) i (f) zakładamy, że wyrażenia po obu stronach znaku równości mają sens.
Ćwiczenie 3.2. Obliczyć granice:
(a) lim
n→∞
n2− 3n3
n3+ 1 ; (b) lim
n→∞
pn2+ n − n
; (c) lim
n→∞
1 + 2 + . . . + n
√9n4+ 1 ;
(d) lim
n→∞
2n− 1 3n+ 2
5
; (e) lim
n→∞
(n + 1)√3 8n3+ 1 n√
n2+ 1 ; (f) lim
n→∞
(n + 1)! − n!
(n + 1)! + n!; (g) lim
n→∞
n2+ 1499
(n3+ 1)333; (h) lim
n→∞
p3
n3+ 8 −p n2+ 4
; (i) lim
n→∞
√4n+ 1
√3
8n+ 1. Ćwiczenie 3.3. (a) Dla n 3 niech αn oznacza miarę kąta wewnętrznego n–kąta fo- remnego. Obliczyć lim
n→∞αn.
(b) Dla n 6 niech pn oznacza długość najkrótszej, a qn najdłuższej przekątnej n–
kąta foremnego, którego bok ma długość 1. Obliczyć: lim
n→∞pn, lim
n→∞qn.
(c) Dla n 3 niech Sn oznacza pole n–kąta foremnego opisanego na kole o promie- niu 1. Obliczyć lim
n→∞Sn.
Podać interpretacje geometryczne otrzymanych wyników.
Ćwiczenie 3.4. Pokazać równoważność lim
n→∞an = 0 ⇐⇒ limn→∞|an| = 0. Następnie uzasadnić równości:
(a) lim
n→∞(−1)n n
n2+ 1 = 0; (b) lim
n→∞
(−1)n
√n + 1 = 0.
TWIERDZENIE 3.5. (o trzech ciągach)
Jeżeli wyrazy ciągów (an), (bn), (cn) spełniają nierówności an¬ bn¬ cn dla n n0 oraz lim
n→∞an= lim
n→∞cn = b, to lim
n→∞bn= b.
34 2. Ciągi liczbowe
n an, bn, cn
cn
bn
an
b
1 2 3 4 5
bb b b b b b b b b b
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
b b b b b b b b b b
Rys. 3.1.Ilustracja twierdzenia o trzech ciągach
Dowód. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Wtedy ze zbieżności ciągów (an) i (cn) do b wynika, że istnieją takie liczby naturalne na, nc, iż nierówność |an− b| < ε jest prawdziwa dla n > na, a nierówność |cn− b| < ε jest prawdziwa dla n > nc. Niech nb oznacza największą wśród liczb na, nc oraz n0, tj. niech nb = max {na, nc, n0} . Wtedy dla n > nb zachodzą nierówności
b − ε < an< b + ε, b − ε < cn< b + ε.
Ponieważ dla n nbspełnione są nierówności: an¬ bn¬ cn, więc także b − ε < an¬ bn¬ cn< b + ε.
Stąd
|bn− b| < ε dla n > nb. To oznacza, że ciąg (bn) ma granicę b.
Ćwiczenie 3.6. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach uzasadnić równości:
(a) lim
n→∞
√n
2n+ 3n+ 5n= 5; (b) lim
n→∞
2 + n sin n n2+ 1 = 0;
(c) lim
n→∞
√n
3n− 2n = 3; (d) lim
n→∞
√2n
n =√
2;
(e) lim
n→∞
√n
n = 1; (f) lim
n→∞logn+1 n2+ 1 = 2;
(g) lim
n→∞
2n+1√
3n + 2 = 1; (h) lim
n→∞
r 1n
n + 2 n2 + 3
n3 = 1;
(i) lim
n→∞
n+1p
n3+ n2+ 1 = 1; (j) lim
n→∞ sin√
n + 1 − sin√ n= 0;
(k) lim
n→∞
1
√n2+ 1+ 1
√n2+ 2 + . . . + 1
√n2+ n
= 1;
(l*) lim
n→∞
2
√4n+ 2 + 22
√4n+ 22 + 23
√4n+ 23 + . . . + 2n
√4n+ 2n
= 2.
3. Twierdzenia o granicach ciągów 35 TWIERDZENIE 3.7. (o ciągu monotonicznym i ograniczonym)
Jeżeli ciąg (an) jest niemalejący oraz ograniczony z góry, to jest zbieżny.
an
n a
n0
1 2 3 4 5 6
b b b b b b b b b b b
an
n a
n0
1 2 3 4 5 6
b b b b b b b b b b b b b b b b
Rys. 3.2.Ilustracja twierdzenia o ciągu
(a) niemalejącym i ograniczonym z góry, (b) nierosnącym i ograniczonym z dołu Dowód. Pokażemy, że lim
n→∞an= sup {an}. Zbiór {an} jest niepusty i ograniczony z góry. Za- tem z aksjomatu ciągłości ma kres górny. Przyjmijmy a = sup {an}. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Pokażemy, że istnieje liczba n0 taka, że dla n > n0 zachodzi nierówność a − ε < an < a + ε. Z definicji kresu górnego wynika, że istnieje taki element an0 zbioru {an}, iż prawdziwa jest nierówność an0> a − ε. Gdyby tak nie było, to a − ε byłoby ograni- czeniem górnym zbioru {an}, mniejszym od a. To przeczyłoby definicji kresu górnego, jako najmniejszego ograniczenia górnego. Skoro ciąg (an) jest niemalejący, to nierówność
|a − an| = a − an¬ a − an0 < ε
jest prawdziwa dla wszystkich n > n0. To z kolei oznacza, że granicą ciągu (an) jest a.
Uwaga. Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie o ciągu nierosnącym i ograniczonym z dołu.
Ćwiczenie 3.8. Kolejne wyrazy ciągu tworzymy dopisując po przecinku dowolną cyfrę np. x1 = 0.3, x2 = 0.37, x3 = 0.370, x4 = 0.3705, . . . Pokazać, że ciąg (xn) jest zbieżny.
Ćwiczenie 3.9. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uza- sadnić zbieżność ciągów:
(a) an = 1
n + 1+ 1
n + 2+ . . . + 1
n + n; (b) an= n!
nn; (c) a1= 0, cn+1= arc tg (1 + cn); (d*) an =
1 + 1
n
n+1
; (e*) an= 1
1!+ 1
2!+ . . . + 1
n! + 2
(n + 1)!; (f*) an= √n n.
W przykładach (b) i (f*) ułożyć równania z granicami i następnie je wyznaczyć.
Ćwiczenie 3.10. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić równości:
36 2. Ciągi liczbowe
(a) lim
n→∞
100n
n! = 0; (b) lim
n→∞
[(3n)!]2 (2n)!(4n)! = 0;
(c*) lim
n→∞bn= 2, gdzie b1=√
2, bn+1=p2 + bn dla n ∈ N;
(d*) lim
n→∞cn= 1 2
√ 5 − 1
, gdzie c1= 1 oraz cn+1= 1
1 + cn dla n ∈ N.
FAKT 3.11. (określenie liczby e) Ciąg en =
1 + 1
n
n
jest zbieżny.
en
n e
1 2
3
1 2 3 4 5 6
b b b b b b b b b b b
Rys. 3.3.Wykres ciągu (en) Dowód. Najpierw pokażemy, że ciąg (en) jest rosnący. Mamy
en+1
en =
1 + 1
n + 1
n+1
1 + 1
n
n = n + 1
n
1 − 1
(n + 1)2
n+1
>n + 1 n
1 − n + 1 (n + 1)2
= 1.
Nierówność otrzymaliśmy przyjmując r = n + 1 oraz x = −1/(n + 1)2 w nierówności Berno- ulliego§: (1 + x)r> 1 + rx. Ciąg (en) jest zatem rosnący.
Pokażemy teraz ograniczoność z góry tego ciągu. Skorzystamy ze wzoru dwumianowego New- tona
(a + b)n=
n 0
anb0+
n 1
an−1b1+
n 2
an−2b2+ . . . +
n n
a0bn
oraz z nierówności n! > 2n−1 prawdziwej dla każdego n 3. Nierówność ta jest łatwa do wykazania przy pomocy indukcji matematycznej. Mamy
en = 1 + 1
n
n
= 1 +
n 1
1 n+
n 2
1 n2 +
n 3
1
n3 + . . . +
n n
1 nn
= 1+1+1 2!
1−1
n
+1
3!
1−1
n
1−2
n
+ . . . + 1 n!
1−1
n
1−2
n
. . .
1−n − 1 n
< 1 + 1 + 1 2!+ 1
3!+ . . . + 1
n!< 1 +1 20 + 1
21 + 1
22 + . . . + 1 2n
< 1 +1 20 + 1
21 + 1 22 + . . .
= 1 + 1 1 −1
2
= 3.
§Zobacz „Wstęp do analizy i algebry”, str. 31., wyd. 3
3. Twierdzenia o granicach ciągów 37
To oznacza, że ciąg jest ograniczony z góry przez 3. Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym (Twierdzenie 3.7) wynika, że ciąg (en) jest zbieżny.
Uwaga. Granicę ciągu (en) oznaczamy przez e:
e = lim
n→∞
1 + 1
n
n .
Liczba e podana z dokładnością do 2 cyfr po przecinku jest równa 2.72.
Logarytm przy podstawie e nazywamy naturalnym i oznaczamy przez ln; ln x = logex.
Funkcję wykładniczą przy podstawie e nazywamy eksponens i oznaczamy przez exp;
exp x = ex. Ćwiczenie 3.12.
Pokazać, że jeżeli ciąg (xn) jest, rozbieżny do ±∞, to limn→∞
1+ 1
xn
xn
= e. Korzysta- jąc z tego obliczyć granice:
(a) lim
n→∞
1 + 1
n + 2
3n
; (b) lim
n→∞
1 − 1
n
n
; (c) lim
n→∞
1 − 1
n2
2n+1
;
(d) lim
n→∞
1 + 1
2n
2n+1
; (e) lim
n→∞
3n + 1 3n + 4
n
; (f) lim
n→∞
n − 1 n + 3
2n+1 .
FAKT 3.13. (o granicach niewłaściwych ciągów) (a) Jeżeli lim
n→∞an= 0 i an> 0 (n ∈ N), to lim
n→∞(1/an) = ∞.
(b) Jeżeli lim
n→∞an= ∞, a ciąg (bn) jest ograniczony, to lim
n→∞(bn/an) = 0.
(c) Jeżeli lim
n→∞an= ∞, a ciąg (bn) jest ograniczony z dołu, to lim
n→∞(an+ bn) = ∞.
(d) Jeżeli lim
n→∞an= ∞ oraz bn m > 0 (n ∈ N), to lim
n→∞(anbn) = ∞.
Dowód (a). Niech E będzie liczbą dodatnią. Pokażemy, że istnieje n0 ∈ N taka, że warunek 1/an> E jest spełniony dla n > n0. W definicji granicy ciągu (an) przyjmujemy ε = 1/E . Wtedy istnieje takie na ∈ N, że dla n > na spełniony jest warunek |an| < 1/E . Stąd i z założenia an> 0, mamy an< 1/E dla n > na. Zatem
1 an > 1
1/E = E dla n > n0= na, co kończy dowód.
Uwaga. Analogiczne twierdzenia można sformułować dla”działań” z symbolem −∞.
Ćwiczenie 3.14. Obliczyć granice ciągów:
(a) lim
n→∞
2n − (n + 1)!
n + 1 ; (b) lim
n→∞(5n− 4n− 3n− 2n) ; (c) lim
n→∞
√n + 3 −√
n; (d) lim
n→∞
2 + n2− n5 1 + n3 .
38 2. Ciągi liczbowe Pokażemy niżej, że granica ilorazu ciągów rozbieżnych do nieskończoności może przyj- mować dowolne wartości albo nie istnieć.
Przykład 3.15.
Dla ciągów:
(a) an= n2, bn = n mamy lim
n→∞an/bn= lim
n→∞n = ∞, (b) an= cn, gdzie c > 0, bn= n mamy lim
n→∞an/bn= lim
n→∞c = c, (c) an= n, bn= n2mamy lim
n→∞an/bn= lim
n→∞1/n = 0, (d) an= (2 + (−1)n) n, bn= n mamy lim
n→∞an/bn= lim
n→∞(2 + (−1)n) — nie istnieje.
Z tego względu ciąg (an/bn) dla lim
n→∞an = ∞, limn→∞bn = ∞ nazywamy wyrażeniem nieoznaczonym postaci ∞/∞. Ponadto, mamy sześć innych typów wyrażeń nieozna- czonych. Są to kolejno:
• (an− bn) dla lim
n→∞an= ∞, limn→∞bn = ∞ — wyrażenie ∞ − ∞,
• (an· bn) dla lim
n→∞an= 0, lim
n→∞bn= ∞, — wyrażenie 0 · ∞,
• (an/bn) dla lim
n→∞an = 0, lim
n→∞bn= 0, — wyrażenie 0/0,
• abnndla lim
n→∞an= 1, lim
n→∞bn= ∞, — wyrażenie 1∞,
• abnn
dla lim
n→∞an= ∞, limn→∞bn= 0, — wyrażenie ∞0,
• abnndla lim
n→∞an= 0, lim
n→∞bn= 0 — wyrażenie 00.
Ćwiczenie 3.16. Podać przykłady ciągów (an), (bn) świadczące, że wyrażenia postaci
∞ − ∞, 1∞, 00 są nieoznaczone. Rozważyć wszystkie wartości, jakie mogą przyjąć te wyrażenia.
TWIERDZENIE 3.17. (o dwóch ciągach)
Jeżeli wyrazy ciągów (an) i (bn) spełniają nierówność an¬ bndla n n0, a ciąg (an) jest rozbieżny do ∞, to również ciąg (bn) jest rozbieżny do ∞.
an, bn
n an bn
1 2 3 4 5 6
b b b b b b b b b b
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
Rys. 3.3.Ilustracja twierdzenia o dwóch ciągach
Dowód. Mamy pokazać, że dla dowolnego E istnieje takie nb∈ N, iż nierówność bn> E jest prawdziwa dla n > nb. Niech E będzie liczbą dodatnią. Z definicji rozbieżności ciągu (an) do
3. Twierdzenia o granicach ciągów 39
∞, wynika, że istnieje na∈ N takie, iż an> E dla n > na. Przyjmując nb= na z założenia an¬ bn (n ∈ N), mamy bn> E dla n > nb. To oznacza, że ciąg (bn) jest rozbieżny do ∞.
Uwaga. Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla ciągów rozbieżnych do −∞.
Ćwiczenie 3.18. Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach uzasadnić równości:
(a) lim
n→∞[4n+ (−1)n] = ∞; (b) lim
n→∞(2n+ 3n) = ∞;
(c) lim
n→∞
(2 cos n − 5) n2
= −∞; (d) limn→∞
1
√1 + 1
√2+ . . . + 1
√n
= ∞.
Ćwiczenie 3.19. Dla ciągów (an) obliczyć lim
n→∞
an+1
an
albo lim
n→∞
√nan (do wyboru):
(a) an = 2n+ 3n; (b) an=n2
n!; (c) an=p
n2+ 2n; (d) an =
1 + 1
n
n2
.
Najważniejsze granice ciągów
• lim
n→∞
1
np = 0 (p > 0), lim
n→∞nq = ∞ (q > 0),
• lim
n→∞xn
= 0, gdy |x| < 1,
= 1, gdy x = 1,
= ∞, gdy x > 1, nie istnieje, gdy x ¬ −1,
• lim
n→∞
√n
a = 1 (a > 0), lim
n→∞
√n
n = 1,
• lim
n→∞
1 + 1
n
n
= e, lim
n→∞
1 − 1
n
n
= 1
e, ogólnie lim
n→∞
1 + a n
n
= ea(a ∈ R) .
