ANALIZA
MATEMATYCZNA 1
Marian Gewert Zbigniew Skoczylas
ANALIZA
MATEMATYCZNA 1
Definicje, twierdzenia, wzory
Wydanie dwudzieste czwarte zmienione
Oficyna Wydawnicza GiS
Wrocław 2015
Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska marian.gewert@pwr.edu.pl
Zbigniew Skoczylas Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska zbigniew.skoczylas@pwr.edu.pl
Projekt okładki
IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej
Copyright c 1991 – 2013, 2015 by Oficyna Wydawnicza GiS
Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cy- frowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich.
Skład wykonano w systemie LATEX.
ISBN 978–83–62780–30–3
Wydanie XXIV zmienione, Wrocław 2015 Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT
4
Spis treści
Wstęp 7
0 Zbiory i funkcje liczbowe 9
0.1 Liczby rzeczywiste . . . 9
0.2 Funkcje – podstawowe określenia . . . 11
0.3 Złożenia funkcji i funkcje odwrotne . . . 16
0.4 Funkcje elementarne i niektóre nieelementarne . . . 22
1 Ciągi liczbowe 29 1.1 Podstawowe określenia . . . 29
1.2 Granice ciągów . . . 32
1.3 Twierdzenia o granicach ciągów . . . 34
2 Granice i ciągłość funkcji 40 2.1 Definicje granic funkcji . . . 40
2.2 Twierdzenia o granicach funkcji . . . 44
2.3 Asymptoty funkcji . . . 50
2.4 Ciągłość funkcji . . . 52
2.5 Działania na funkcjach ciągłych . . . 56
2.6 Twierdzenia o funkcjach ciągłych . . . 57
3 Pochodne funkcji 60 3.1 Podstawowe pojęcia . . . 60
3.2 Pochodne jednostronne i pochodne niewłaściwe . . . 64
3.3 Twierdzenia o pochodnej funkcji . . . 66
3.4 Różniczka funkcji . . . 69
3.5 Pochodne wyższych rzędów . . . 71
3.6 Pochodne funkcji wektorowych . . . 72
4 Zastosowania pochodnych 74 4.1 Twierdzenia o wartości średniej . . . 74
4.2 Twierdzenia o granicach nieoznaczonych . . . 77
4.3 Rozwinięcie Taylora funkcji . . . 79
4.4 Ekstrema funkcji . . . 81
4.5 Funkcje wypukłe i punkty przegięcia . . . 86
4.6 Przybliżone rozwiązywanie równań . . . 88
4.7 Badanie funkcji . . . 90
5 Całki nieoznaczone 92 5.1 Funkcje pierwotne i całki nieznaczone . . . 92
5.2 Twierdzenia o całkach nieoznaczonych . . . 95
5.3 Całkowanie funkcji wymiernych . . . 97
5.4 Całkowanie funkcji trygonometrycznych . . . 101
5.5 Całkowanie funkcji z niewymiernościami . . . 103
6 Całki oznaczone 104 6.1 Podstawowe pojęcia . . . 104
6.2 Metody obliczania całek oznaczonych . . . 109
6.3 Własności całek oznaczonych . . . 111
6.4 Funkcja górnej granicy całkowania* . . . 115
6.5 Przybliżone metody obliczania całek* . . . 117
7 Zastosowanie całek oznaczonych 121 7.1 Zastosowania w geometrii . . . 121
7.2 Zastosowania w fizyce . . . 125
Dowody wybranych twierdzeń i faktów 128
Odpowiedzi i wskazówki 147
Literatura 168
6
1 Wstęp
Niniejsza książka jest pierwszą częścią zestawu podręczników do Analizy mate- matycznej 1. Pozostałymi częściami są zbiór pt. „Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania” oraz opracowanie „Analiza matematyczna 1. Kolokwia i egzaminy”. Pod- ręczniki te są przeznaczone głównie dla studentów politechnik. Mogą z nich korzystać także studenci wydziałów nauk ścisłych i przyrodniczych uniwersytetów oraz uczelni ekonomicznych, pedagogicznych i rolniczych.
Opracowanie zawiera definicje, twierdzenia i wzory z rachunku różniczkowego oraz całkowego funkcji jednej zmiennej wraz z zastosowaniami. Wszystkie zagadnienia teo- retyczne zakończono ćwiczeniami, przy czym początkowe z nich są z reguły najprost- sze. Podręcznik jest bogato ilustrowany (zawiera ponad 300 rysunków), ułatwia to przyswajanie wiedzy. Na końcu książki umieszczono dowody większości twierdzeń (w tekście twierdzenia te oznaczone są symbolem ). Fragmenty materiału oznaczone gwiazdką nieznacznie wykraczają poza aktualny program przedmiotu. Tak samo ozna- czono trudniejsze ćwiczenia. Dodatkowy materiał, trudniejsze ćwiczenia oraz dowody twierdzeń dołączono z myślą o studentach, którzy chcą rozszerzyć swoją wiedzę z analizy matematycznej.
Równolegle do materiału omawianego na wykładzie studenci powinni przerabiać samodzielnie i na ćwiczeniach odpowiednio dobrane zadania. Przykładową listę zadań wraz z metodami ich rozwiązywania można znaleźć w drugiej części podręcznika.
Ćwiczenia z tego podręcznika oraz zadania z listy zadań są podobnych typów i mają ten sam stopień trudności jak zadania, które zwykle pojawiają na kolokwiach i egzaminach. Zestawy zadań, które w poprzednich latach studenci Politechniki Wro- cławskiej rozwiązywali na sprawdzianach, są umieszczone w trzeciej części podręcz- nika.
W obecnym wydaniu podręcznika zmieniono układ materiału oraz dodano nowy paragraf”Przybliżone rozwiązywanie równań”. Jednocześnie przeredagowano sformu- łowania wszystkich definicji i twierdzeń. Ponadto zwiększono liczbę łatwych ćwiczeń, dołączono nowe rysunki oraz dowody kolejnych twierdzeń. Poprawiono także błędy i usterki zgłoszone przez studentów i wykładowców. Dzięki temu książka stała się bar- dziej przyjazdna dla czytelnika.
8 Wstęp Serdecznie dziękujemy Pani dr Teresie Jurlewicz za przygotowanie odpowiedzi do ćwiczeń z wcześniejszych wydań. Szczególne podziekowania składamy Panom dr.
Maciejowi Burneckiemu, prof. dr. hab. Januszowi Mierczyńskiemu oraz prof. dr. hab.
Krzysztofowi Stempakowi za liczne spostrzeżenia, które pozwalały ulepszać kolejne wydania. Dziękujemy także Koleżankom i Kolegom z Wydziału Matematyki Poli- techniki Wrocławskiej oraz naszym Studentom za uwagi o poprzednich wydaniach.
Dziękujemy również Koleżankom i Kolegom z innych uczelni za komentarze dotyczące zakresu i sposobu ujęcia materiału. Uprzejmie prosimy wykładowców i studentów o przesyłanie uwag o podręczniku oraz informacji o dostrzeżonych błędach i usterkach.
Marian Gewert Zbigniew Skoczylas
1 1 Ciągi liczbowe
1.1 Podstawowe określenia
•
Definicja 1.1.1. (ciąg liczbowy)Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych i przyj- mującą wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy np. przez an. Ciąg o takich wyra- zach oznaczamy przez (an). Zbiór wyrazów ciągu (an), tj. {an: n ∈ N} , oznaczamy krótko przez {an}. Ciągi będziemy przedstawiali na płaszczyźnie, jako zbiory punk- tów o współrzędnych (n, an) , gdzie n ∈ N, albo jako indeksowane punkty na osi liczb rzeczywistych.
an
n (a)
1 2 3 4 5
(1,a1) (2,a2)
(3,a3) (4,a4)
(5,a5)
b b b b b b b b b b (b)
a1 a2 a3 . . . an
Rys. 1.1.1. Ilustracja ciągu (a) na płaszczyźnie, (b) na prostej
Obrazowo: ciąg można traktować jako zbiór ponumerowanych liczb rzeczywistych, które są ustawione według rosnących numerów
a1, a2, a3, . . . , an, . . .
•
Przykład 1.1.2. Ciągi możemy określać:• wzorem:
(a) an = 2n, (b) bn = 1
sin n, (c) cn=√
n+1−√
n, (d) dn = 1+22+33+. . .+nn,
(e) en= 1 n+ 1
n + 1+ 1
n + 2+ . . . + 1
2n, (f) fn=
( 3n dla n nieparzystych, n3 dla n parzystych;
28 Ciągi liczbowe
• rekurencyjnie (tzn. kolejny wyraz ciągu wyraża się przez niektóre poprzednie):
(a) a1= 7, an+1= an+ 3 – ciąg arytmetyczny, (b) b1= 1, bn+1= 2bn – ciąg geometryczny,
(c) c1= 1, c2= 1, cn+2= cn+ cn+1– ciąg Fibonacciego∗, (d) d1= 2, dn+1= 2d1;
• opisowo:
(a) an – n-ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby π, (b) pn – n-ta liczba pierwsza,
(c) cn – przedostatnia cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby (n + 3)2.
•
Definicja 1.1.3. (ciągi ograniczone)• Mówimy, że ciąg (an) jest ograniczony z dołu, jeżeli istnieje liczba rzeczywista m taka, iż nierówność m ¬ an jest prawdziwa dla każdego n ∈ N. Obrazowo: ciąg jest ograniczony z dołu, gdy wszystkie jego wyrazy leżą nad pewną prostą poziomą.
an
n (a)
1 2 3 4 5 m
b b b b b b b b
bb bb
an
n (b)
1 2 3 4 5 M
b b b b b b
b b b b
Rys. 1.1.2. Wykres ciągu ograniczonego (a) z dołu, (b) z góry
• Podobnie mówimy, że ciąg (an) jest ograniczony z góry, jeżeli istnieje liczba rzeczy- wista M taka, iż nierówność an ¬ M jest prawdziwa dla każdego n ∈ N. Obrazowo:
ciąg jest ograniczony z góry, gdy wszystkie jego wyrazy leżą pod pewną prostą po- ziomą.
• Z kolei mówimy, że ciąg (an) jest ograniczony, jeżeli jest ograniczony z dołu i z góry. Obrazowo: ciąg jest ograniczony, gdy wszystkie jego wyrazy leżą między dwiema prostymi poziomymi. Ciąg, który nie jest ograniczony, nazywamy nieograniczonym.
an
n (a)
1 2 3 4 5 M
m
b b b b b b b b b b
an
n (b)
1 2 3 4 5
b b b b b b b b b b
Rys. 1.1.3. Wykres ciągu (a) ograniczonego, (b) nieograniczonego
∗Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250), matematyk włoski.
Podstawowe określenia 29
◦
Ćwiczenie 1.1.4. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, ograniczone:(a) an= √n
2; (b) an= n
n + 1; (c) an=p
n2+ 3n − n;
(d) an= 5 sin (n! + 1); (e) an = 3−n; (f) an= 1 n + 1+ 1
n+2+. . .+ 1 n + n; (g*) an =
1 + 1
n
n
; (h) an= 10n − n2; (i*) an= 1 +1 2 +1
3+ . . . + 1 n.
•
Definicja 1.1.5. (ciągi monotoniczne)• Mówimy, że ciąg (an) jest rosnący, jeżeli nierówność an < an+1 jest prawdziwa dla każdego n ∈ N. Obrazowo: ciąg jest rosnący, gdy jego wyrazy powiększają się ze wzrostem indeksu, tzn. a1< a2< a3< . . .
an
n (a)
1 2 3 4 5
b b b b b b b b b b
an
n (b)
1 2 3 4 5
b b b b b b b b b b
Rys. 1.1.4. Wykres ciągu (a) rosnącego, (b) malejącego
• Podobnie mówimy, że ciąg (an) jest malejący, jeżeli nierówność an > an+1jest praw- dziwa dla każdego n ∈ N. Obrazowo: ciąg jest malejący, gdy jego wyrazy zmniejszają się ze wzrostem indeksu się, tzn. a1> a2> a3> . . .
Uwaga. Jeżeli w powyższych definicjach ostre nierówności zastąpimy słabymi, to mó- wimy, że ciąg (an) jest odpowiednio niemalejący i nierosnący. Ciągi rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące nazywamy monotonicznymi. Wprowadza się także pojęcie ciągów monotonicznych od numeru n0.
◦
Ćwiczenie 1.1.6. Zbadać monotoniczność ciągów:(a) an= n − 1
n ; (b) an= n2− n; (c) an =1 · 3 · . . . · (2n − 1)
n! ;
(d) an= (3n)!
(n!)3; (e*) an= n100− n50+ 1; (f*) an= 5n− 3n− 2n; (g) an= n + 10
n + 1
−1
; (h) an= n + 10 + |n − 10|; (i) an=p
n2+ 2n − n;
(j) an= 100n
n! ; (k) an=
1+1
n
n
; (l) a1=√
2, an+1=√ 2+an;
(m) an= √n
2n+ 1; (n*) an= 1
n + 1+ 1
n + 2+ . . . + 1 n + n.
◦
Ćwiczenie 1.1.7. (a) Dla n 4 niech pn oznacza długość największej przekątnej n- kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1. Czy ciąg (pn) jest rosnący?30 Ciągi liczbowe (b) Dla n 3 niech Snoznacza pole n-kąta foremnego opisanego na kole o promieniu 1.
Czy ciąg (Sn) jest malejący?
1.2 Granice ciągów
•
Definicja 1.2.1. (granica właściwa ciągu, ciąg zbieżny)Mówimy, że ciąg (an) ma granicę właściwą a ∈ R, co zapisujemy limn→∞an = a, gdy dla każdej liczby dodatniej ε można dobrać taką liczbę naturalną n0, iż nierówność
|an− a| < ε jest prawdziwa dla wszystkich n > n0. Ciąg, który ma granicę właściwą, nazywamy zbieżnym. W przypadku przeciwnym ciąg nazywamy rozbieżnym. Obra- zowo: ciąg ma granicę a, gdy jego dostatecznie dalekie wyrazy leżą dowolnie blisko punktu a.
an
n a − ε
a a+ ε
1 2 3 4 5 n0
b b b b b b b b b b b b b b b
b b
Rys. 1.2.1. Ilustracja granicy właściwej ciągu
◦
Ćwiczenie 1.2.2. Korzystając z definicji uzasadnić równości:(a) lim
n→∞
1 − 3n
1 + n = −3; (b) limn→∞ 1
2n+ 1 = 0; (c) lim
n→∞
√n
a = 1, gdzie a > 0.
◦
Ćwiczenie* 1.2.3.Udowodnić, że ciąg zbieżny:
(a) ma dokładnie jedną granicę; (b) jest ograniczony.
•
Definicja 1.2.4. (granice niewłaściwe ciągu)• Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do ∞, co zapisujemy limn→∞an = ∞, gdy dla każdej liczby dodatniej E można dobrać taką liczbę naturalną n0, iż nierówność an > E jest prawdziwa dla każdego n > n0. Obrazowo: ciąg ma granicę niewłaściwą ∞, gdy dostatecznie dalekie wyrazy tego ciągu są większe od dowolnej liczby dodatniej.
an
n E
1 2 3 4 5 n0
b b b b b b b b b b b
b b b
Rys. 1.2.2. Ilustracja granicy niewłaściwej ∞
Granice ciągów 31
• Podobnie, mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do −∞, co zapisujemy limn
→∞an =
−∞, gdy dla każdej liczby ujemnej E można dobrać taką liczbę naturalna n0, że nierówność an < E jest prawdziwa dla każdego n > n0. Obrazowo: ciąg ma granicę niewłaściwą −∞, gdy jego dostatecznie dalekie wyrazy są mniejsze od dowolnej liczby ujemnej.
an
n
E
1 2 3 4 5 n0
b b b b b b b b b b b b
b b b
Rys. 1.2.3. Ilustracja granicy niewłaściwej −∞
Uwaga.O ciągach rozbieżnych do ∞ i −∞ mówimy także, że mają granice niewłaściwe odpowiednio ∞ lub −∞. Ciągami rozbieżnymi, które nie mają granic niewłaściwych, są np.: an= (−2)n, bn = cos nπ. Granica właściwa ani niewłaściwa ciągu nie zależy od wartości skończenie wielu jego wyrazów. Inaczej mówiąc, zmiana wartości skończonej liczby wyrazów ciągu nie zmienia jego granicy.
◦
Ćwiczenie 1.2.5. Korzystając z definicji uzasadnić równości:(a) lim
n→∞
√n = ∞; (b) lim
n→∞ 1 − n2
= −∞; (c) limn→∞(2n− 5) = ∞.
◦
Ćwiczenie 1.2.6.Pokazać, że ciąg geometryczny (qn) jest:
(1) zbieżny do 0, gdy |q| < 1; (2) zbieżny do 1, gdy q = 1;
(3) rozbieżny do ∞, gdy q > 1; (4) rozbieżny, gdy q ¬ −1.
Korzystając z tego faktu wyznaczyć granice ciągów:
(a) an= 1
(−2)n; (b) an = 10√
3n; (c) an =
−5 4
n
; (d) an= (3 − π)n; (e) an= sinn17; (f) an = tgn
nπ −π 4
.
•
Definicja 1.2.7. (podciąg)Niech (an) będzie dowolnym ciągiem oraz niech (kn) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu (an) nazywamy ciąg (bn) określony wzorem
bn= akn, gdzie n ∈ N.
Obrazowo: podciągiem nazywamy ciąg pozostały po skreśleniu pewnej liczby (być może nieskończonej) wyrazów ciągu wyjściowego (zobacz ilustracja niżej).
a\ a1 2 a\ a3 \ a4 5 a\ a6 7 a8 a9 a\ . . .10
k k k k k
b1 b2 b3 b4 b5 . . .
32 Ciągi liczbowe
•
Przykład 1.2.8.(a) Ciąg liczb parzystych bn= 2n jest podciągiem ciągu liczb naturalnych an= n.
(b) Ciąg bn =
1 + 1 n2+ 1
n2+1
jest podciągiem ciągu an=
1 + 1
n
n . (c) Ciąg (bn) = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .) nie jest podciągiem ciągu (an) = (1, 2, 3, . . .).
2 Twierdzenie 1.2.9. (o granicy podciągu)
(1) Każdy podciąg ciągu z granicą właściwą ma tę samą granicę.
(2) Każdy podciąg ciągu rozbieżnego do ±∞ jest rozbieżny do ±∞.
Uwaga. Ciąg, z którego można wybrać dwa podciągi z różnymi granicami nie ma granicy.
◦
Ćwiczenie 1.2.10. Korzystając z twierdzenia o granicy podciągu uzasadnić równości:(a) lim
n→∞
1
1 + 2n = 0; (b) lim
n→∞
1
3n+ 2n = 0;
(c) lim
n→∞
n2√
3 = 1; (d) lim
n→∞
4 3
n3+n
= ∞.
◦
Ćwiczenie 1.2.11. Wybierając odpowiednie podciągi uzasadnić, że nie istnieją granice:(a) lim
n→∞(−1)n2+2n; (b) lim
n→∞n + (−1)nn2; (c) lim
n→∞sinnπ 3 .
2 Twierdzenie 1.2.12. (Bolzano† – Weierstrassa‡, o ciągach ograniczonych) Jeżeli ciąg jest ograniczony, to ma podciąg zbieżny.
Uwaga.Jeżeli ciąg nie jest ograniczony, to ma podciąg rozbieżny do −∞ lub ∞.
1.3 Twierdzenia o granicach ciągów
Twierdzenie 1.3.1. (o arytmetyce granic ciągów, dowód str. 123) Jeżeli ciągi (an) i (bn) mają granice właściwe, to
(1) lim
n→∞(an+ bn) = lim
n→∞an+ lim
n→∞bn, (2) lim
n→∞(an− bn) = lim
n→∞an− limn
→∞bn, (3) lim
n→∞(an· bn) =
nlim→∞an
·
nlim→∞bn
, (4) lim
n→∞(c · an) = c · limn→∞an (c ∈ R), (5) lim
n→∞
an
bn = lim
n→∞an
nlim→∞bn, (6) lim
n→∞
√kan= q limk n
→∞an (k ∈ N).
†Bernhard Bolzano (1781–1848), matematyk i filozof czeski.
‡Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897), matematyk niemiecki.
Twierdzenia o granicach ciągów 33 Uwaga.Wzory (1) i (3) są prawdziwe dla dowolnej liczby odpowiednio składników i czynników. Z kolei we wzorach (5) i (6) zakładamy, że wyrażenia po obu stronach znaku równości mają sens.
◦
Ćwiczenie 1.3.2. Obliczyć granice:(a) lim
n→∞
n2− 3n3
n3+ 1 ; (b) lim
n→∞
pn2+ n − n
; (c) lim
n→∞
1 + 2 + . . . + n
√9n4+ 1 ;
(d) lim
n→∞
2n− 1 3n+ 2
5
; (e) lim
n→∞
(n + 1)√3 8n3+ 1 n√
n2+ 1 ; (f) lim
n→∞
(n + 1)! − n!
(n + 1)! + n!; (g) lim
n→∞
n2+ 1499
(n3+ 1)333; (h) lim
n→∞
p3
n3+ 8 −p
n2+ 4
; (i) lim
n→∞
√4n+ 1
√3
8n+ 1.
◦
Ćwiczenie 1.3.3. (a) Dla n 3 niech αn oznacza miarę kąta wewnętrznego n–kąta foremnego. Obliczyć limn→∞αn.
(b) Dla n 6 niech pn oznacza długość najkrótszej, a qn najdłuższej przekątnej n–
kąta foremnego, którego bok ma długość 1. Obliczyć: lim
n→∞pn, lim
n→∞qn.
(c) Dla n 3 niech Sn oznacza pole n–kąta foremnego opisanego na kole o promie- niu 1. Obliczyć lim
n→∞Sn.
Podać interpretacje geometryczne otrzymanych wyników.
◦
Ćwiczenie 1.3.4. Pokazać równoważność limn→∞an = 0 ⇐⇒ limn→∞|an| = 0. Następnie uzasadnić równości:
(a) lim
n→∞(−1)n n
n2+ 1 = 0; (b) lim
n→∞
(−1)n
√n + 1 = 0.
Twierdzenie 1.3.5. (o trzech ciągach, dowód str. 123)
Jeżeli ciągi (an), (bn), (cn) spełniają nierówności an ¬ bn ¬ cn dla każdego n n0 oraz lim
n→∞an= lim
n→∞cn= b, to lim
n→∞bn= b.
n an, bn, cn
cn
bn
an
b
1 2 3 4 5
bb b b b b b b b b b
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
b b b b b b b b b b
Rys. 1.3.1. Ilustracja twierdzenia o trzech ciągach
34 Ciągi liczbowe
◦
Ćwiczenie 1.3.6. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach uzasadnić równości:(a) lim
n→∞
√n
2n+ 3n+ 5n= 5; (b) lim
n→∞
2 + n sin n n2+ 1 = 0;
(c) lim
n→∞
√n
3n− 2n= 3; (d) lim
n→∞
√2n
n =√
2;
(e) lim
n→∞
√n
n = 1; (f) lim
n→∞logn+1 n2+ 1 = 2;
(g) lim
n→∞
2n+1√
3n + 2 = 1; (h) lim
n→∞
r 1n
n+ 2 n2 + 3
n3 = 1;
(i) lim
n→∞
n+1p
n3+ n2+ 1 = 1; (j) lim
n→∞ sin√
n + 1 − sin√ n= 0;
(k) lim
n→∞
1
√n2+ 1 + 1
√n2+ 2 + . . . + 1
√n2+ n
= 1;
(l*) lim
n→∞
2
√4n+ 2 + 22
√4n+ 22 + 23
√4n+ 23+ . . . + 2n
√4n+ 2n
= 2.
Twierdzenie 1.3.7. (o ciągu monotonicznym i ograniczonym, dowód str. 124) Jeżeli ciąg (an) jest niemalejący oraz ograniczony z góry, to jest zbieżny.
an
n a
n0
1 2 3 4 5 6
b b b b b b b b b b b
an
n a
n0
1 2 3 4 5 6
b b b b b b b b b b b b b b b b
Rys. 1.3.2. Ilustracja twierdzenia o ciągu
(a) niemalejącym i ograniczonym z góry, (b) nierosnącym i ograniczonym z dołu Uwaga.Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla ciągu nierosnącego i ograniczonego z dołu.
◦
Ćwiczenie 1.3.8. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność ciągów:(a) an= 1
n + 1+ 1
n + 2+ . . . + 1
n + n; (b) an= n!
nn; (c) a1= 0, cn+1= arc tg (1 + cn); (d*) an=
1 + 1
n
n+1
; (e*) an= 1
1!+ 1
2!+ . . . + 1
n!+ 2
(n + 1)!; (f*) an = √n n.
W przykładach (b) i (f*) ułożyć równania z granicami i następnie je wyznaczyć.
Twierdzenia o granicach ciągów 35
◦
Ćwiczenie 1.3.9. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić równości:(a) lim
n→∞
100n
n! = 0; (b) lim
n→∞
[(3n)!]2 (2n)!(4n)! = 0;
(c*) lim
n→∞bn= 2, gdzie b1=√
2, bn+1=p2 + bn dla n ∈ N;
(d*) lim
n→∞cn=1 2
√ 5 − 1
, gdzie c1= 1 oraz cn+1= 1
1 + cn dla n ∈ N.
◦
Ćwiczenie 1.3.10. Kolejne wyrazy ciągu tworzymy dopisując po przecinku dowolną cyfrę np. x1= 0.3, x2= 0.37, x3= 0.370, x4= 0.3705, . . .. Pokazać, że ciąg (xn) jest zbieżny.Fakt 1.3.11. (określenie liczby e, dowód str. 124) Ciąg en=
1 + 1
n
n
jest zbieżny.
en
n e
1 2
3
1 2 3 4 5 6
b b b b b b b b b b b
Rys. 1.3.3. Wykres ciągu (en) Uwaga.Granicę ciągu (en) oznaczamy przez e:
e = lim
n→∞
1 + 1
n
n .
Liczba e podana z dokładnością do 2 cyfr po przecinku jest równa 2.72.
Logarytm przy podstawie e nazywamy naturalnym i oznaczamy przez ln; ln x = logex.
Funkcję wykładniczą przy podstawie e nazywamy eksponens i oznaczamy przez exp;
exp x = ex.
◦
Ćwiczenie 1.3.12.Pokazać, że jeżeli ciąg (xn) jest, rozbieżny do ±∞, to limn→∞
1+ 1
xn
xn
= e. Korzysta- jąc z tego obliczyć granice:
(a) lim
n→∞
1 + 1
n + 2
3n
; (b) lim
n→∞
1 − 1
n
n
; (c) lim
n→∞
1 − 1
n2
2n+1
;
(d) lim
n→∞
1 + 1
2n
2n+1
; (e) lim
n→∞
3n + 1 3n + 4
n
; (f) lim
n→∞
n − 1 n + 3
2n+1 .
36 Ciągi liczbowe Fakt 1.3.13. (o granicach niewłaściwych ciągów, dowód str. 125)
(1) Jeżeli lim
n→∞an= 0 i an > 0 (n ∈ N), to limn
→∞
1 an = ∞.
(2) Jeżeli lim
n→∞an= ∞ oraz ciąg (bn) jest ograniczony, to lim
n→∞
bn an = 0.
(3) Jeżeli lim
n→∞an= ∞ oraz ciąg (bn) jest ograniczony z dołu, to lim
n→∞(an+ bn) = ∞.
(4) Jeżeli lim
n→∞an= ∞ oraz bn m > 0 (n ∈ N), to limn
→∞(anbn) = ∞.
Uwaga.Analogiczne twierdzenia można sformułować dla”działań” z symbolem −∞.
◦
Ćwiczenie 1.3.14. Obliczyć granice ciągów:(a) lim
n→∞
2n − (n + 1)!
n + 1 ; (b) lim
n→∞(5n− 4n− 3n− 2n) ; (c) lim
n→∞
√n + 3 −√
n; (d) lim
n→∞
2 + n2− n5 1 + n3 .
Pokażemy niżej, że granica ilorazu ciągów rozbieżnych do nieskończoności może przyj- mować dowolne wartości albo nawet nie istnieć.
•
Przykład 1.3.15.Dla ciągów:
(a) an= n2, bn= n mamy lim
n→∞an/bn= lim
n→∞n = ∞;
(b) an= cn, gdzie c > 0, bn= n mamy lim
n→∞an/bn= lim
n→∞c = c;
(c) an= n, bn = n2mamy lim
n→∞an/bn= lim
n→∞1/n = 0;
(d) an= (2 + (−1)n) n, bn= n mamy lim
n→∞an/bn = lim
n→∞(2 + (−1)n) — nie istnieje.
Z tego względu ciąg (an/bn) dla lim
n→∞an= ∞, limn
→∞bn= ∞ nazywamy wyrażeniem nieoznaczonym postaci ∞/∞. Ponadto, mamy sześć innych typów wyrażeń nieoznacz- nych. Są to kolejno:
• (an− bn) dla lim
n→∞an = ∞, limn→∞bn= ∞ — wyrażenie postaci ∞ − ∞;
• (an· bn) dla lim
n→∞an= 0, lim
n→∞bn= ∞, — wyrażenie postaci 0 · ∞;
• (an/bn) dla lim
n→∞an= 0, lim
n→∞bn = 0, — wyrażenie postaci 0/0;
• abnn
dla lim
n→∞an= 1, lim
n→∞bn= ∞, — wyrażenie postaci 1∞;
• abnn
dla lim
n→∞an= ∞, limn→∞bn= 0, — wyrażenie postaci ∞0;
• abnn
dla lim
n→∞an= 0, lim
n→∞bn= 0 — wyrażenie 00.
◦
Ćwiczenie 1.3.16. Podać przykłady ciągów (an), (bn) świadczące, że wyrażenia po- staci ∞ − ∞, 1∞, 00 są nieoznaczone. Rozważyć wszystkie wartości, jakie mogą przyjąć te wyrażenia.Twierdzenia o granicach ciągów 37 Twierdzenie 1.3.17. (o dwóch ciągach, dowód str. 125)
Jeżeli ciągi (an) i (bn) spełniają nierówność an ¬ bn dla n n0, a ciąg (an) jest rozbieżny do ∞, to również ciąg (bn) jest rozbieżny do ∞.
an, bn
n an
bn
1 2 3 4 5 6
b b b b b b b b b b
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
Rys. 1.3.4. Ilustracja twierdzenia o dwóch ciągach
Uwaga.Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla ciągów rozbieżnych do −∞.
◦
Ćwiczenie 1.3.18. Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach uzasadnić równości:(a) lim
n→∞[4n+ (−1)n] = ∞; (b) lim
n→∞(2n+ 3n) = ∞;
(c) lim
n→∞
(2 cos n − 5) n2
= −∞; (d) limn→∞
1
√1+ 1
√2+ . . . + 1
√n
= ∞.
