ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA

MATEMATYCZNA 1

Marian Gewert Zbigniew Skoczylas

ANALIZA

MATEMATYCZNA 1

Definicje, twierdzenia, wzory

Wydanie dwudzieste szóste poprawione

GiS

Oficyna Wydawnicza GiS

Wrocław 2019

Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska marian.gewert@pwr.edu.pl

Zbigniew Skoczylas Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska zbigniew.skoczylas@pwr.edu.pl

Projekt okładki

IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej

Copyright c 1991 – 2019 by Marian Gewert i Zbigniew Skoczylas

Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cy- frowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich.

Skład wykonano w systemie L^ATEX.

ISBN 978–83–62780–65–5

Wydanie XXVI poprawione, Wrocław 2019 Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl

Druk i oprawa: Drukarnia I-BiS, sp. z o.o., A.Bieroński, P.Bieroński, sp. jawna

4

Spis treści

Wstęp 7

1 Zbiory i funkcje liczbowe 9

1

.

Zbiory ograniczone i kresy . . . 9

2

.

Funkcje – podstawowe określenia . . . 10

3

.

Złożenia funkcji i funkcje odwrotne . . . 16

4

.

Funkcje elementarne i inne . . . 21

2 Ciągi liczbowe 27 1

.

Podstawowe określenia . . . 27

2

.

Granice ciągów . . . 30

3

.

Twierdzenia o granicach ciągów . . . 32

3 Granice i ciągłość funkcji 40 1

.

Definicje granic funkcji . . . 40

2

.

Twierdzenia o granicach funkcji . . . 44

3

.

Asymptoty funkcji . . . 50

4

.

Ciągłość funkcji . . . 53

5

.

Działania na funkcjach ciągłych . . . 57

6

.

Twierdzenia o funkcjach ciągłych . . . 58

4 Pochodne funkcji 61 1

.

Podstawowe pojęcia . . . 61

2

.

Pochodne jednostronne i pochodne niewłaściwe . . . 65

3

.

Twierdzenia o pochodnej funkcji . . . 68

4

.

Różniczka funkcji . . . 72

5

.

Pochodne wyższych rzędów . . . 73

6

.

Pochodne funkcji wektorowych . . . 74

5 Zastosowania pochodnych 76 1

.

Twierdzenia o wartości średniej . . . 76

2

.

Twierdzenia o granicach nieoznaczonych . . . 80

3

.

Rozwinięcie Taylora funkcji . . . 82

4

.

Ekstrema funkcji . . . 85

5

.

Funkcje wypukłe i punkty przegięcia . . . 90

6

.

Przybliżone rozwiązywanie równań . . . 94

7

.

Badanie funkcji . . . 95

6 Całki nieoznaczone 97 1

.

Funkcje pierwotne i całki nieznaczone . . . 97

2

.

Twierdzenia o całkach nieoznaczonych . . . 100

3

.

Całkowanie funkcji wymiernych . . . 103

4

.

Całkowanie funkcji trygonometrycznych . . . 107

5

.

Całkowanie funkcji z niewymiernościami . . . 108

7 Całki oznaczone 110 1

.

Podstawowe pojęcia . . . 110

2

.

Metody obliczania całek oznaczonych . . . 114

3

.

Własności całek oznaczonych . . . 116

4

.

Funkcja górnej granicy całkowania* . . . 122

5

.

Przybliżone metody obliczania całek* . . . 124

8 Zastosowania całek oznaczonych 127 1

.

Zastosowania w geometrii . . . 127

2

.

Zastosowania w fizyce . . . 133

Odpowiedzi i wskazówki 135

Literatura 155

Skorowidz 155

6

1 _Wstęp

Niniejsza książka jest pierwszą częścią zestawu podręczników do Analizy mate- matycznej 1. Pozostałymi częściami są zbiory zadań „Analiza matematyczna 1. Przy- kłady i zadania” i „Analiza matematyczna 1. Kolokwia i egzaminy”. Podręczniki te są przeznaczone głównie dla studentów politechnik. Mogą z nich korzystać także studenci wydziałów nauk ścisłych i przyrodniczych uniwersytetów oraz uczelni ekonomicznych, pedagogicznych i rolniczych.

Opracowanie zawiera definicje, twierdzenia i wzory z rachunku różniczkowego oraz całkowego funkcji jednej zmiennej wraz z zastosowaniami. Wszystkie zagadnienia teo- retyczne zakończono ćwiczeniami, przy czym początkowe z nich są z reguły najprost- sze. Podręcznik jest bogato ilustrowany (zawiera ponad 300 rysunków). Fragmenty materiału oznaczone gwiazdką nieznacznie wykraczają poza aktualny program przed- miotu. Tak samo oznaczono trudniejsze ćwiczenia. Dodatkowy materiał oraz trudniej- sze ćwiczenia dołączono z myślą o studentach, którzy chcą rozszerzyć swoją wiedzę z analizy matematycznej. Studentów zainteresowanych rozwiązywaniem trudnych i nie- typowych zadań z analizy zachęcamy do zapoznania się z książką „Studencki konkurs matematyczny. Zadania z rozwiązaniami”.

Równolegle do materiału omawianego na wykładzie studenci powinni przerabiać samodzielnie i na ćwiczeniach odpowiednio dobrane zadania. Takie zadania wraz z me- todami ich rozwiązywania można znaleźć w zbiorze zadań „Analiza matematyczna 1.

Przykłady i zadania”.

Ćwiczenia z tego podręcznika oraz przykłady i zadania z drugiej części zestawu są podobnych typów i mają ten sam stopień trudności jak zadania, które zwykle po- jawiają na kolokwiach i egzaminach. Zadania, które w poprzednich latach studenci Politechniki Wrocławskiej rozwiązywali na sprawdzianach, są umieszczone w trzeciej części podręcznika.

Do tego wydaniu dodano nowe ćwiczenia i rysunki. Ponadto poprawiono zauwa- żone błędy i usterki.

Serdecznie dziękujemy Pani dr Teresie Jurlewicz za przygotowanie odpowiedzi do ćwiczeń z wcześniejszych wydań. Szczególne podziękowania składamy Panom dr.

Maciejowi Burneckiemu, dr. Krzysztofowi Michalikowi, prof. dr. hab. Januszowi Mier-

8 Wstęp czyńskiemu, prof. dr. hab. Krzysztofowi Stempakowi oraz Pani dr Jolancie Sulkowskiej za liczne spostrzeżenia, które pozwalały ulepszać kolejne wydania. Dziękujemy także Koleżankom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechniki Wrocławskiej oraz na- szym Studentom za uwagi o poprzednich wydaniach. Dziękujemy również Koleżankom i Kolegom z innych uczelni za komentarze dotyczące zakresu i sposobu ujęcia mate- riału. Uprzejmie prosimy wykładowców i studentów o przesyłanie uwag o podręczniku oraz informacji o dostrzeżonych błędach i usterkach.

Marian Gewert Zbigniew Skoczylas

8 Zastosowania całek oznaczonych

8.

1. Zastosowania w geometrii

FAKT 1.1. (pole trapezu krzywoliniowego)

(a) Niech funkcje d i g będą ciągłe na przedziale [a, b] oraz niech d(x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b]. Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji d i g oraz prostymi x = a, x = b wyraża się wzorem:

pole (D) =

b

Z

a

[g(x) − d(x)] dx.

(b) Niech funkcje d i g będą ciągłe na przedziale [p, q] oraz niech d(y) ¬ g(y) dla każdego y ∈ [p, q]. Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji d i g oraz prostymi y = p, y = q wyraża się wzorem:

pole (D) =

q

Z

p

[g(y) − d(y)] dy.

x y

y = g(x)

y =d(x)

a b

D

x y

p q

D

x=d(y)

x= g(y)

Rys. 1.1.Trapezy krzywoliniowe Ćwiczenie 1.2. Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:

(a) y = −4x²+ 4x + 6, y = 3; (b) y = 4x²− 8x, y = x;

(c) y = 3x²− 6x + 1, y = −3x²+ 3x + 7; (d) x = y²− 2y, x = 3;

(e) x = 8 − y², x = y²; (f) y = 2 − x, x = y²;

128 Rozdział 8. Zastosowania całek oznaczonych (g) y = x⁴, y = 2 − x²; (h) y = x²− 6x + 7, y = 3 − x;

(i) y =√

3 cos x, y = sin x (−π/2 ¬ x ¬ π/2); (j) xy²= 1, xy²= 4, y = 1, y = 2;

(k) y = −p9 − x², y = 0; (l*) y = 2^x, y = x + 1.

Ćwiczenie* 1.3. Uzasadnić równości:

(a)

π 4

Z

0

tg x dx +

1

Z

0

arc tg x dx = π

4; (b)

1

Z

0

e^x2dx +

e

Z

1

√ln x dx = e.

FAKT 1.4. (objętość bryły obrotowej)

(a) Niech f będzie nieujemną funkcją ciągłą na przedziale [a, b]. Ponadto niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f, prostymi x = a, x = b oraz osią Ox. Wtedy objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu T wokół osi Ox wyraża się wzorem:

objętość (V ) = π

b

Z

a

f²(x) dx.

y

x

a b

y= f (x)

T V

y

b x y= f (x)

Rys. 1.2.Bryła powstała z obrotu trapezu krzywoliniowego wokół osi Ox

(b) Niech f będzie nieujemną funkcją ciągłą na przedziale [a, b], gdzie a ­ 0, Niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f prostymi x = a, x = b oraz osią Ox. Wtedy objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu T wokół osi Oy wyraża się wzorem:

objętość (V ) = 2π

b

Z

a

xf (x) dx.

y

x

a b

y= f (x) T

y

x y= f (x)

b V

Rys. 1.3.Bryła powstała z obrotu trapezu krzywoliniowego wokół osi Oy

1. Zastosowania w geometrii 129 Dowód (a). Niech funkcja f spełnia założenia. Objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu T wokół osi Ox jest granicą sumy objętości

”plastrów” ∆Vk aproksymujących tę bryłę, gdy ich wysokości ∆xkdążą jednocześnie do zera (rysunek)

∗ y

x a xk−1xk b

f(x^∗_k) x^∗_k y= f (x)

T

y

x

a b

y= f (x)

f(x^∗_k)

∆xk

∆Vk

V

Zatem objętość bryły obrotowej V wyraża się wzorem

objętość (V ) = lim

δ(P)→0 n

X

k=1

objętość (∆Vk) = lim

δ(P)→0 n

X

k=1

πf²(x^∗k) ∆xk= π

b

Z

a

f²(x) dx.

Ćwiczenie 1.5. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół obu osi:

x y

y = ²_x (a)

1

2 4

T

y = 2 sin x (b)

x y

π T

3 1

1 2 (c)

x y

T

Ćwiczenie 1.6. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół wskazanych osi:

(a) T : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1

1 + x², Ox; (b) T : 0 ¬ x ¬ 4, 0 ¬ y ¬√

xe^−x, Ox;

(c) T : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬p2x − x², Oy; (d) T : 0 ¬ x ¬r π

3, 0 ¬ y ¬ tg x², Oy.

Ćwiczenie 1.7. Korzystając ze wzoru na objętość bryły obrotowej obliczyć objętości brył:

(a) kula o promieniu R;

(b) stożek ścięty o promieniach podstaw r, R i wysokości H;

(c) odcinek paraboloidy obrotowej o wysokości b i promieniu podstawy a.

130 Rozdział 8. Zastosowania całek oznaczonych Ćwiczenie* 1.8. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół osi Ox:

x y

y = 1+sin x y = 1+cos x (a)

T

x y

T y =√x y = x²

(b)

x y

2 3

1 2 (c)

T

FAKT 1.9. (objętość bryły)

Niech S(x), gdzie a ¬ x ¬ b, oznacza pole przekroju bryły V płaszczyzną prostopadłą do osi Ox w punkcie x oraz niech funkcja S będzie ciągła na przedziale [a, b]. Wtedy objętość bryły V wyraża się wzorem

objętość (V ) =

b

Z

a

S(x) dx.

a b x

S(x)

x

V

Rys. 1.4.Przekrój bryły płaszczyzną

Ćwiczenie 1.10. Korzystając ze wzoru na objętość bryły obliczyć objętości:

(a) ostrosłupa o polu podstawy P i wysokości H;

(b) półkuli o promieniu R.

FAKT 1.11. (długość krzywej)

Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a, b]. Wtedy długość krzywej Γ = {(x, f(x)) : x ∈ [a, b]} wyraża się wzorem:

długość (Γ) =

b

Z

a

q

1 + [f^′(x)]²dx.

1. Zastosowania w geometrii 131 y

x

a b

y= f (x) Γ

Rys. 1.5.Krzywa Γ o równaniu y = f (x)

Dowód. Niech funkcja f spełnia podane założenia. Długość krzywej Γ definiujemy, jako gra- nicę sumy długości odcinków ∆Γkłamanej aproksymującej tę krzywą, gdy ∆xkdążą jedno- cześnie do zera (rysunek).

długość (Γ) = lim

δ(P)→0 n

X

k=1

długość (∆Γk) = lim

δ(P)→0 n

X

k=1

q

(∆xk)²+ [f (xk) − f (xk−1)]² y

x

a= x0 b= xn

y= f (x)

x1 x2 xk−1 xk

∆Γ1

∆Γ2

∆Γk ∆Γn

xk−1 x^∗_k xk

∆Γk

f(xk)−f(xk−1)

∆xk

Korzystając ze wzoru Lagrange’a (Twierdzenie ??, rozdz. ??) do funkcji f na przedziale [xk−1, xk] otrzymamy

lim

δ(P)→0 n

P

k=1

p(∆xk)²+[f (xk)−f (xk−1)]² = lim

δ(P)→0 n

X

k=1

q

(∆xk)²+ [f^′(x^∗_k) ∆xk]²

= lim

δ(P)→0 n

X

k=1

q

1 + [f^′(x^∗_k)]²∆xk

=

b

Z

a

q

1 + [f^′(x)]²dx.

Zatem długość krzywej Γ wyraża się wzorem

długość (Γ) =

b

Z

a

q

1 + [f^′(x)]²dx.

Uwaga. Długość krzywej Γ zadanej parametrycznie na R², tzn. Γ : x = x(t), y = y(t), a ¬ t ¬ b, gdzie funkcje x oraz y mają ciągłe pochodne, wyraża się wzorem

długość (Γ) =

b

Z

a

q

[x^′(t)]²+ [y^′(t)]²dt.

132 Rozdział 8. Zastosowania całek oznaczonych Ćwiczenie 1.12. Obliczyć długości krzywych:

(a) y = ln x, √

3 ¬ x ¬ 2√

2; (b) y = cosh x, 0 ¬ x ¬ 1;

(c*) y =√

x, 1 ¬ x ¬ 4; (d) y = ln cos x, 0 ¬ x ¬ π/3;

(e) x = cos t, y = sin t, 0 ¬ t ¬ π; (f*) x = t sin t, y = t cos t, 0 ¬ t ¬ 1.

FAKT 1.13. (pole powierzchni obrotowej)

(a) Niech funkcja nieujemna f ma ciągłą pochodną na przedziale [a, b]. Wtedy pole powierzchni Σ powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi Ox wyraża się wzorem:

pole (Σ) = 2π

b

Z

a

f (x) q

1 + [f^′(x)]²dx.

y

x

a b

y= f (x)

Σ y

b x y= f (x)

Rys. 1.6.Powierzchnia powstała z obrotu wykresu funkcji wokół osi Ox

(b) Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a, b], gdzie a ­ 0. Wtedy pole powierzchni Σ powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi Oy wyraża się wzorem:

pole (Σ) = 2π

b

Z

a

x q

1 + [f^′(x)]²dx.

y

x

a b

y= f (x)

y

x y= f (x)

Σ

a b

Rys. 1.7.Powierzchnia powstała z obrotu wykresu funkcji wokół osi Oy

Ćwiczenie 1.14. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu podanych wykresów funkcji wokół wskazanych osi:

(a) f(x) =√

x, 0 ¬ x ¬ 1, oś Ox; (b) f(x) = 2x − 1, 1 ¬ x ¬ 3, oś Oy;

(c) f(x) = sin x, 0 ¬ x ¬ π, oś Ox; (d*) f(x) = e^−x, 0 ¬ x ¬ 2, oś Ox.

2. Zastosowania w fizyce 133

2. Zastosowania w fizyce

FAKT 2.1. (droga przebyta w ruchu zmiennym)

Niech punkt porusza się po płaszczyźnie lub w przestrzeni ze zmienną prędkością v(t) = v(t) , gdzie t∈ [α, β] . Wtedy droga L przebyta przez niego w czasie od α do β wyraża się wzorem:

L =

β

Z

α

v(t) dt.

Inaczej mówiąc: droga L jest polem trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem prędkości v, osią Ot oraz prostymi t = α, t = β.

t v

v= v(t)

L

α β

Rys. 2.1.Droga przebyta przez punkt

Dowód. Podzielmy przedział czasowy [α, β] na odcinki [tk−1, tk], k = 1, 2, . . . , n, gdzie t0= α, tn = β o długościach odpowiednio ∆tk, k = 1, 2, . . . , n. W każdym przedziale [tk−1, tk], wybieżmy punkt t^∗_k, k = 1, 2, . . . , n. Wtedy droga L przebyta przez punkt jest granicą sumy dróg elementarnych ∆Lkprzebytych przez ten punkt w czasie ∆tkz prędkością stałą v (t^∗k), gdy ∆tkdążą jednocześnie do zera (rysunek).

t v

v= v(t)

tk−1 tk

α ^t∗k

∗

β

∆tk

v(t^∗_k)

∆Lk

Zatem droga L przebyta przez punkt wyraża się wzorem

L= lim

δ(P)→0 k=n

X

k=1

∆Lk= lim

δ(P)→0 k=n

X

k=1

v(t^∗k) ∆tk=

β

Z

α

v(t) dt.

Uwaga. W tym samym czasie punkt przesunie się o wektor r =

β

Z

α

v(t) dt.

Ćwiczenie 2.2. (a) Skoczek w dal do momentu odbicia od deski porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a = 2 m/s². Obliczyć długość roz- biegu, jeżeli sportowiec biegł przez t = 5 s.

134 Rozdział 8. Zastosowania całek oznaczonych (b) Z wieży o wysokości H = 20 m rzucono poziomo kamień nadając mu prędkość v⁰= 8 m/s. Obliczyć drogę, jaką przebył kamień w powietrzu (przyjąć g = 10 m/s²).

(c) Zenek goni Andrzeja, który w chwili t = 0 s znajduje się w odległości d = 100 m.

Prędkość Zenka w chwili t ­ 0 wynosi v^Z(t) = 8e^−0,01tm/s, a Andrzeja vA(t) = 10e^−0,02tm/s. Po jakim czasie Zenek dogoni Andrzeja?

FAKT 2.3. (praca wykonana przez zmienną siłę)

Załóżmy, że w punkcie x przedziału [a, b] działa siła F (x) (równoległa do osi Ox).

Praca W wykonana przez tę siłę od punktu a do punktu b wyraża się wzorem:

W =

b

Z

a

F (x) dx.

x

a b

F(x)

x a b x

y y= F (x)

W

Rys. 2.2.Praca wykonana przez siłę

Dowód. Praca wykonana przez siłę F (x) od punktu x = a do punktu x = b (rysunek) jest granicą sumy prac elementarnych ∆Wkwykonanych na drodze ∆xk= xk− xk−1 przez stałą siłę F (x^∗k), gdy drogi ∆xkdążą jednocześnie do zera (rysunek).

x

a xk−1 xk b

F(x^∗k)

x^∗_k

Zatem praca W wykonana przez siłę F wyraża się wzorem

W = lim

δ(P)→0 k=n

X

k=1

∆Wk= lim

δ(P)→0 k=n

X

k=1

F(x^∗k) ∆xk=

b

Z

a

F(x) dx.

Ćwiczenie 2.4. (a) Obliczyć pracę jaką wykonamy podnosząc ciało o masie m = 400 kg na wysokość h = 140 km nad powierzchnię Ziemi. Promień Ziemi wynosi R = 6400 km, opór powietrza zaniedbać.

(b) Drewniany sześcienny klocek o krawędzi a = 10 cm i gęstości γ1 = 0, 5 g/cm³ pływa w wodzie o gęstości γ2 = 1 g/cm³. Obliczyć pracę, jaką trzeba wykonać, aby całkowicie zanurzyć go w wodzie.