MINORATION AU POINT 1 DES FONCTIONS L ATTACH ´ EES ` A DES CARACT ` ERES DE DIRICHLET

VOL. LXV 1993 FASC. 2

MINORATION AU POINT 1 DES FONCTIONS L ATTACH ´ EES ` A DES CARACT ` ERES DE DIRICHLET

PAR

PIERRE B A R R U C A N D (PARIS)

ST ´ EPHANE L O U B O U T I N (CAEN)

Il est connu (voir [1], [3]) que lorsque χ varie parmi les caract` eres de Dirichlet non quadratiques, nous avons |L(1, χ)|

= O(Log(f

)).

Nous montrons ici qu’en se restreignant aux caract` eres d’ordre impair donn´ e, nous avons |L(1, χ)|

= o(Log(f

)). Il serait ´ evidemment bien plus satisfaisant de parvenir ` a prouver un tel r´ esultat sans restreindre χ ` a varier parmi des caract` eres d’ordre fix´ e.

Pour les caract` eres d’ordre pair, nous ne pouvons ´ etablir un tel r´ esultat qu’en nous restreignant aux caract` eres pour lesquels les conducteurs de χ

restent born´ es (mais sans avoir ` a exiger que l’ordre de χ soit fix´ e).

1. Cas des caract` eres d’ordre impair. Dans toute la suite, χ d´ esignera un caract` ere de Dirichlet primitif, non quadratique et non princi- pal. Nous noterons f

son conducteur. Il existe (voir [1], [3]) une constante effective c > 0 telle que pour tout tel χ nous ayons

|L(1, χ)| ≥ c Log(f

) , i.e. nous ayons

|L(1, χ)|

= O(Log(f

)) .

Si χ est de plus d’ordre 3 et si K est le corps cubique cyclique totalement r´ eel de conducteur f

et de discriminant d(K) = f

dont le groupe des caract` eres est engendr´ e par χ, alors en remarquant que la fonction zˆ eta de K se factorise en ζ

(s) = ζ(s)L(s, χ)L(s, χ) = ζ(s)|L(s, χ)|

pour 0 < s < 1, nous en d´ eduisons que cette fonction zˆ eta est n´ egative ou nulle sur ]0, 1[. Il en r´ esulte (voir [2]) que l’on a

Res

(ζ

) = |L(1, χ)|

≥ 2 + o(1)

e Log(d(K)) = 1 + o(1) e Log(f

) .

Il existe donc une constante effective c > 0 telle que pour tout caract` ere

primitif d’ordre 3 nous ayons

|L(1, χ)| ≥ c pLog(f

) .

Le mˆ eme raisonnement montrerait ´ egalement que si n ≥ 3 impair est fix´ e, alors il existe une constante effective c

> 0 telle que pour tout caract` ere χ d’ordre n et de conducteur f

premier, au moins un des caract` eres ψ

= χ

, 1 ≤ i ≤ n − 1 (qui sont tous de conducteur f

= f

) v´ erifie

|L(1, ψ

)| ≥ c

(Log(f

))

.

Malheureusement, nous ne savons pas pour n ≥ 5 montrer que cette in´ egalit´ e est satisfaite pour i = 1, i.e. pour ψ

= χ. N´ eanmoins, nous avons

Th´ eor` eme 1. Il existe une constante effective c > 0 telle que pour tout caract` ere primitif χ d’ordre n impair nous ayons

|L(1, χ)| ≥ c

(Log(f

))

.

En cons´ equence, pour n ≥ 3 impair et fix´ e, lorsque χ varie parmi les carac- t` eres de Dirichlet primitifs d’ordre n nous avons

|L(1, χ)|

= o(Log(f

)) .

Pour obtenir ce r´ esultat, nous reprenons la preuve de la minoration de

|L(1, χ)| que nous donnions dans [3]. Nous remarquons qu’elle se d´ ecompose en trois ´ etapes :

(i) On se donne c

> 0 et on pose s

= 1 + 1

c

Log(f

) ;

(ii) On montre qu’il existe c

> 0 ne d´ ependant que de c

tel que

|L(1, χ)| ≥ c

|L(s

, χ)|;

(iii) On remarque que

|L(s, χ)| ≥ Y

p

1

1 + 1/p

= ζ(2s) ζ(s) ≥ 1

ζ(s) ≥ s − 1

s , s > 1 .

Nous nous proposons ici d’amender la minoration de cette troisi` eme

´

etape. Il est clair que le Th´ eor` eme 1 d´ ecoule du r´ esultat suivant :

Lemme A. Pour tout caract` ere de Dirichlet (non n´ ecessairement primi- tif ) d’ordre n ≥ 3 impair nous avons

|L(s, χ)| ≥ ζ(2s)

ζ(s)

, s > 1 .

P r e u v e. Nous avons

|L(s, χ)|

= Y

p



1 − 2α

p

+ 1 p



o` u α

=

(χ(p) + χ(p)) v´ erifie donc α

≥ − cos(π/n). D’o` u

|L(s, χ)|

ζ(s)

≤ Y

p



1 + 2 cos(π/n)

p

+ 1

p



1 − 1 p



. Le lemme d´ ecoule alors de ce que pour A > 1 la fonction f

d´ efinie par

f

(x) =

 1 + 2x

A + 1 A



1 − 1 A



v´ erifie

f

(cos(π/n)) ≤ f

(1) =

 1 − 1

A



, et ce parce qu’elle est d´ ecroissante sur [0, ∞[, puisque l’on a

f

f

(x) ≤ 2

A + 2 Log

 1 − 1

A



≤ 0 .

2. Cas des caract` eres d’ordre pair. Si χ est d’ordre pair, et mˆ eme en excluant le cas des fonctions L attach´ ees ` a des caract` eres quadratiques pour lesquels on ne dispose comme seule minoration au point 1 que du r´ esultat ineffectif de Siegel, il ne semble pas possible d’amender (` a ordre de χ fix´ e) la majoration

|L(1, χ)|

= O(Log(f )) en

|L(1, χ)|

= o(Log(f )) .

N´ eanmoins, soit par exemple χ d’ordre 4 et soit ψ le caract` ere quadra- tique primitif et non principal induisant χ

. Soit de plus K le corps quar- tique cyclique de conducteur f

` a groupe des caract` eres engendr´ e par χ. La fonction zˆ eta de K se factorise en ζ

(s) = ζ(s)L(s, ψ)L(s, χ)L(s, χ) pour 0 < s < 1. Mˆ eme en supposant que cette fonction zˆ eta est n´ egative ou nulle sur ]0, 1[, il en r´ esulterait seulement (voir [2]) que l’on aurait

Res

(ζ

) = L(1, ψ)|L(1, χ)|

≥ 2 + o(1)

e Log(d(K)) = 2 + o(1)

e Log(f

f

) ≥ 2 + o(1) 3e Log(f

) . D’apr` es le Lemme C ci-dessous, nous en d´ eduirions l’existence d’une con- stante effective c > 0 telle que pour tout tel caract` ere quartique nous ayons la minoration suivante :

|L(1, χ)|

≥ c

Log(f

) Log(f

) .

Nous nous proposons de g´ en´ eraliser ce r´ esultat sans hypoth` ese sur le signe de ζ

en prouvant

Th´ eor` eme 2. Il existe une constante effective c > 0 telle que pour tout caract` ere χ primitif non quadratique, d’ordre pair et tel que χ

soit de conducteur f

divisant donc f

, nous ayons

|L(1, χ)| ≥ c

(Log(f

))

(Log(f

))

.

Si f

= f

est fix´ e et si χ varie parmi les caract` eres primitifs non quadra- tiques d’ordre pair pour lesquels χ

est de conducteur f

, alors nous avons

|L(1, χ)|

= o(Log(f

)) .

Plus pr´ ecis´ ement , sous ces hypoth` eses il existe une constante effective c > 0 telle que l’on ait

|L(1, χ)| ≥ c (Log(f

))

√2/2

.

La preuve de ce r´ esultat d´ ecoule des trois lemmes suivants. En effet, les Lemmes B et C, le choix s

= 1 + 1/(c

Log(f

)) et la majoration ζ(s

) ≤ s

/(s

− 1) donnent la majoration

|L(1, χ)|

≤ c

|L(s

, χ)|

≤ c

(Log(f

))

(Log(f

))

. Pour obtenir le premier r´ esultat qui dans tous les cas est un amendement de celui que nous connaissons d´ ej` a:

|L(1, χ)|

≤ c

Log(f

) ,

nous chercherons au Lemme D la plus grande valeur de a

> 1/2 telle que les hypoth` eses du Lemme B soient satisfaites avec de plus la contrainte a

/a

+ 1/(2a

) ≤ 1 (car f

≤ f

et peut lui ˆ etre ´ egal).

Pour obtenir ` a f

= f

fix´ e un r´ esultat optimal, nous chercherons au Lemme D la plus grande valeur de a

> 1/2 telle que les hypoth` eses du Lemme B soient satisfaites.

Lemme B. Si a

> 0 et a

> 0 sont deux r´ eels tels que la fonction f (x) = 4a

x

+ 2a

x + 1 − 2a

soit positive ou nulle sur [−1, 1], alors il existe une constante M > 0 telle que pour tout caract` ere χ non quadratique et primitif nous ayons

ζ(s

)|L(s

, χ)|

|L(s

, ψ)|

≥ M, s

> 1 , o` u ψ est le caract` ere pair non principal et primitif induisant χ

.

P r e u v e. Partons du produit infini du terme gauche de cette in´ egalit´ e

`

a prouver. Pour chaque p premier, le facteur correspondant F

(s

) de ce

produit infini s’´ ecrit

F

(s

) =

 1 − α

p

+ O

 1 p

 

, o` u

α

= 1 + a

(χ(p) + χ(p)) + a

(ψ(p) + ψ(p)) ,

de sorte que si tous ces α

sont positifs ou nuls, alors ce produit infini est minor´ e pour une constante A > 0 convenable par le produit infini

Π(s

) =  Y

p≤p0

F

(s

) 

·

 Y

p>p0

1 1 − A/p

 ,

o` u p

est par exemple choisi tel que p ≥ p

implique p

> 2A pour s

≥ 1.

Puisque ce second produit infini est absolument convergent pour <(s

) >

1/2, il reste minor´ e par une constante strictement positive sur s

≥ 1.

Puisque chaque F

(s

) est minor´ e pour s

≥ 1 par F

(s

) ≥ 1

1 − 1/p

 1

1 + 1/p



≥

 p p + 1



, nous avons le r´ esultat d´ esir´ e.

Montrons donc finalement que chaque α

est positif ou nul.

Si χ(p) = 0, cela r´ esulte de α

≥ 1 − 2a

= f (0) ≥ 0.

Si χ(p) 6= 0, alors en d´ efinissant θ

par exp(2iπθ

) = χ(p), en remar- quant que ψ(p) = exp(4iπθ

) et en posant x = cos(2πθ

), cela r´ esulte de f (x) ≥ 0.

Lemme C (voir [4], Proposition 2). Il existe une constante c > 0 telle que pour tout caract` ere ψ primitif modulo f

, pair et non principal nous ayons

|L(s

, ψ)| ≤ c Log(f

), s

≥ 1 .

Lemme D. La plus grande valeur de a

> 1/2 telle qu’il existe a

> 0 tel que f (x) = 4a

x

+ 2a

x + 1 − 2a

soit positive ou nulle sur [−1, 1] est a

= 1/ √

2 et on a alors a

= 1/4.

La plus grande valeur de a

> 1/2 telle qu’il existe a

> 0 tel que f (x) = 4a

x

+ 2a

x + 1 − 2a

soit positive ou nulle sur [−1, 1] et tel que l’on ait a

/a

+ 1/(2a

) ≤ 1 est a

= 1/ √

2 et on a alors a

= 1/4.

R ´ EF ´ ERENCES

[1] E. L a n d a u, ¨ Uber Dirichletsche Reihen mit komplexen Charakteren, J. Reine Angew.

Math. 157 (1927), 26–32.

[2] S. L o u b o u t i n, Lower bounds for relative class numbers of CM-fields, Proc. Amer.

Math. Soc., to appear.

[3] S. L o u b o u t i n, Minoration au point 1 des fonctions L et d´ etermination des corps sextiques ab´ eliens totalement imaginaires principaux , Acta Arith. 62 (1992), 109–124.

[4] K. U c h i d a, Imaginary abelian number fields of degree 2

with class number one, in:

Proc. First Internat. Conf. on Class Numbers and Fundamental Units of Algebraic Number Fields, Katata 1986.

151, RUE DU CH ˆATEAU DES RENTIERS D ´EPARTEMENT DE MATH ´EMATIQUES

75013 PARIS, FRANCE U.F.R. SCIENCES

UNIVERSIT ´E DE CAEN ESPLANADE DE LA PAIX 14032 CAEN CEDEX, FRANCE E-mail: LOUBOUTI@UNIV-CAEN.FR

Re¸ cu par la R´ edaction le 17.2.1993