VOL. LXVIII 1995 FASC. 1
CARACT ´ ERISATION DES ALG ` EBRES LOCALEMENT m-CONVEXES DONT L’ENSEMBLE DES CARACT ` ERES EST ´ EQUIBORN ´ E
PAR
MOHAMED A K K A R (TALENCE)
1. Introduction. Dans cet article, suivant une id´ ee de W. ˙ Zelazko dans [8], on donne plusieurs caract´ erisations des alg` ebres localement m-convexes ayant tous leurs ´ el´ ements ` a spectre born´ e. Cela nous permet d’obtenir la caract´ erisation, parmi les alg` ebres localement m-convexes, de celles qui ont l’espace des caract` eres ´ equiborn´ e.
On obtient, comme cons´ equence imm´ ediate de cette caract´ erisation, que dans une alg` ebre localement m-convexe compl` ete, commutative et unitaire dont tous les ´ el´ ements sont ` a spectre born´ e, tout caract` ere est born´ e.
Nous ´ etablissons un lien naturel entre notre th´ eor` eme principal et celui de ˙ Zelazko dans [8] par l’introduction de la notion de topologie de Q-alg` ebre τ ∗ , associ´ ee ` a la topologie τ d’une alg` ebre et ayant les mˆ emes born´ es (voir lemme 2 et corollaire 3).
2. Pr´ eliminaires. Dans toute la suite, E d´ esigne une alg` ebre complexe, commutative unitaire, localement m-convexe et compl` ete ([5] ou [6]). Une telle alg` ebre est, d’apr´ es le th´ eor` eme de structure de [1], r´ eunion bornologi- que filtrante sup´ erieurement d’alg` ebres du mˆ eme type qui sont en plus de Fr´ echet. Cela signifie que E est une r´ eunion croissante de sous-alg` ebres E α
de E qui sont munies de topologies localement m-convexes de Fr´ echet telles que les injections canoniques soient continues et telles que, une partie de B de E est born´ ee si elle est contenue dans une sous alg` ebre E α et y est born´ ee. On note Σ(E) l’espace des fonctionnelles lin´ eaires multiplicatives non nulles sur E et M(E) le sous-espace de Σ(E) form´ e des fonctionnelles continues.
Pour tout ´ el´ ement x de E, le spectre alg´ ebrique de x est l’ensemble σ(x) = {λ ∈ C : x − λe non inversible}.
On a
b x(Σ(E)) = x(M(E)) = σ(x), b x ∈ E,
1991 Mathematics Subject Classification: Primary 46H05.
[59]
o` u x d´ b esigne la transform´ ee de Gelfand de x. On consid` ere sur l’alg` ebre E la semi-norme spectrale
(1) % E (x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)}.
On sait que
(2) % E (x) = sup{|ϕ(x)| : ϕ ∈ M(E)} = sup{|ϕ(x)| : ϕ ∈ Σ(E)}.
Pour toutes ces propri´ et´ es voir par exemple [5], [6] ou [9]. On a aussi (3) % E (x) = sup
i
{lim |x n | 1/n i : | · |, semi-normes continues sur E}.
Sur l’alg` ebre E on aura besoin de consid´ erer la topologie de la Mackey- fermeture d´ efinie dans [4].
Rappelons d’abord la notion de convergence au sens de Mackey : une suite (x n ) n dans E est dite Mackey-convergente vers x, ou converge au sens de Mackey vers x, s’il existe une suite de scalaires (ε n ) n tendant vers 0 et un disque born´ e B de E tel que x n − x ∈ ε n B pour tout n. Cela signifie que (x n ) n converge vers x dans l’espace semi-norm´ e E B = S
λ>0 λB engendr´ e par B et dont la semi-norme est la jauge de B.
Une partie F de E est Mackey-ferm´ ee dans E si toute suite d’´ el´ ements de F qui converge au sens de Mackey dans E a une limite qui appartient
`
a F . Les parties Mackey-ferm´ ees d´ efinissent une topologie dite de la Mackey- fermeture pour laquelle les parties ouvertes sont appel´ ees Mackey-ouvertes.
L’alg` ebre E est une Q-alg` ebre bornologique si l’ensemble des ´ el´ ements in- versibles de E est Mackey-ouvert.
Un ´ el´ ement x de E est r´ egulier s’il existe λ > 0 tel que la suite (x n /λ n ) n
est born´ ee [7].
3. Exemples de Q-alg` ebres bornologiques. a) Si E est une alg` ebre topologique localement convexe pour une topologie J , si (E, J ) est une Q- alg` ebre topologique, c’est-` a-dire si l’ensemble G(E) des ´ el´ ements inversibles de E est J -ouvert, alors E est une Q-alg` ebre bornologique.
b) Toute alg` ebre de Banach et plus g´ en´ eralement toute “pseudo-Banach algebra” au sens de [3] est une Q-alg` ebre bornologique.
c) Soit E une alg` ebre pseudo-localement convexe (voir [7] ou [9]) dont
l’ensemble des ´ el´ ements inversibles est ouvert. Si tout born´ e convexe B
est compl´ etant (c’est-` a-dire l’espace E B est de Banach), par exemple si E
est semi-compl` ete, alors la bornologie ` a d´ ecroissance rapide fait de E une
alg` ebre bornologique convexe ([7], Prop. 5, p. 28) qui est une Q-alg` ebre
alors que E n’est pas forc´ ement une Q-alg` ebre topologique localement con-
vexe.
4. Th´ eor` eme principal
Th´ eor` eme. Soit E une alg` ebre localement m-convexe commutative, compl` ete et unitaire. Alors les conditions suivantes sont ´ equivalentes :
(1) Tout ´ el´ ement x de E a un spectre compact.
(2) Tout ´ el´ ement x de E a un spectre born´ e.
(3) Tout ´ el´ ement x de E est r´ egulier.
(4) L’espace Σ(E) est ´ equiborn´ e dans le dual (E 0 , σ(E 0 , E)).
(5) Le rayon spectral % E est born´ e sur E.
(6) Le rayon spectral % E est Mackey continu en 0.
(7) L’alg` ebre E est une Q-alg` ebre bornologique.
D ´ e m o n s t r a t i o n. (1)⇒(2) est ´ evident.
(2)⇒(3). Si un ´ el´ ement x de E a un spectre born´ e, cela signifie que
% E (x) est fini. Soit λ > 0 tel que λ > % E (x), alors % E (x/λ) < 1 et donc la s´ erie P(x n /λ n ) converge dans E d’apr` es la propri´ et´ e (3) sur % E (x) rappel´ ee dans le paragraphe 2 (Pr´ eliminaires).
(3)⇒(1) est bien connue (voir [7] ou [2]).
(2)⇒(4). La propri´ et´ e (2) signifie que le rayon spectral % E (x) est fini pour tout x. On sait par ailleurs que pour tout x dans E on a l’´ egalit´ e (2); donc l’ensemble {|ϕ(x)| : ϕ ∈ M(E)} est born´ e, c’est-` a-dire que M(E) est simplement born´ e dans le dual topologique de E. Donc la restriction
`
a tout sous-espace tonnel´ e de E est ´ equicontinue d’apr´ es le th´ eor` eme de Banach–Steinhaus. Montrons que cela a pour cons´ equence que M(E), ainsi que Σ(E), sont ´ equiborn´ es : en effet, d’apr´ es [1], pour tout born´ e de E, il existe une sous-alg` ebre de Fr´ echet E α de E qui contient B et tel que B soit born´ e dans E α mais M(E)| E
αy est ´ equicontinue. Donc l’ensemble {ϕ(B) : ϕ ∈ M(E)} est born´ e. Il en est de mˆ eme pour Σ(E).
(4)⇒(5). Il est clair, d’apr´ es l’´ egalit´ e (2), que % E est born´ ee si, et seule- ment si, M(E) (ou Σ(E)) est ´ equiborn´ e.
(5)⇒(6). La semi-norme % E est continue en 0 pour la topologie de la Mackey-fermeture si, et seulement si, % E (x n ) tend vers 0 si x n tend vers 0 au sens de Mackey (voir [4]); ceci est ´ equivalent au fait que % E est born´ e.
(6)⇒(7). Supposons que l’ensemble G(E) des ´ el´ ements inversibles de E admette l’´ el´ ement unit´ e e de l’alg` ebre comme point int´ erieur pour la topologie τ (E) de la Mackey-fermeture de E; cela signifie qu’il existe une partie P ouverte pour τ (E), ´ equilibr´ ee et bornivore telle que
e − P ⊂ G(E).
Soit ε > 0. Pour tout λ tel que |λ| > ε, si x ∈ εP , alors x/λ ∈ P et
λe − x ∈ G(E), c’est-` a-dire que % E (x) ≤ ε. D’o` u la continuit´ e de % E pour
τ (E) en 0. Inversement, s’il existe P partie ´ equilibr´ ee bornivore, voisinage
de 0 pour τ (E) telle que x ∈ P , cela implique que % E (x) < 1. On en d´ eduit
que pour tout x de P , e − x ∈ G(E). Donc e est int´ erieur ` a G(E) et G(E) est ouvert pour τ (E) dans E.
(7)⇒(1). Supposons que E est une Q-alg` ebre bornologique. Cela signifie qu’il existe une partie P bornivore de E telle que, pour tout r´ eel positif α on ait
x ∈ αP ⇒ % E (x) ≤ α.
P ´ etant bornivore, pour tout y ∈ E il existe α positif tel que y ∈ αP et donc % E (x) ≤ α. Ce qui signifie que le spectre de x est born´ e.
On d´ eduit du th´ eor` eme pr´ ec´ edent le r´ esultat bien connu suivant : Corollaire. Une alg` ebre norm´ ee E est une Q-alg` ebre si , et seulement si , le rayon spectral % E est born´ e ou, ce qui est ´ equivalent , si
% E (x) ≤ kxk, ∀x ∈ E.
Ce r´ esultat est ´ egalement vrai pour une “pseudo-Banach algebra” de [2]
si on remplace la norme k · k par
r(x) = inf{α > 0 : (x n /α n ) n soit born´ ee}.
5. Exemples et remarques
Proposition 1. Soit T un espace topologique pseudo-compact (i.e.
“countably compact ”), localement compact , non compact. Soit E = C(T ) l’alg` ebre des fonctions continues sur l’espace T , munie de la topologie de la convergence compacte. Alors E est une alg` ebre localement multiplicative- ment convexe, commutative et compl` ete, dont l’ensemble des caract` eres est
´
equiborn´ e et qui n’est pas une Q-alg` ebre topologique.
D ´ e m o n s t r a t i o n. Il est bien connu que l’alg` ebre E est localement m-convexe, compl` ete (voir [6], Prop. 12.2). Il est clair aussi que E n’est pas une Q-alg` ebre topologique puisqu’elle poss` ede des caract` eres non continus, alors que tous ses caract` eres sont born´ es ([6], Prop. 12.2).
Montrons que l’espace Σ(E) des caract` eres de E est ´ equiborn´ e ou, ce qui est ´ equivalent, que le rayon spectral % E est born´ e.
Soit B une partie born´ ee de E; on veut montrer que l’ensemble {χ(B) : χ ∈ Σ(E)} est born´ e. Mais Σ(E) est en correspondance avec l’espace βT , compactifi´ e de Stone– ˇ Cech de T . Donc
{χ(B) : χ ∈ Σ(E)} = {χ(B) : χ ∈ M(E)}.
Mais ceci est ´ egal ` a {f (t) : f ∈ B, t ∈ βT } = {f (t) : f ∈ B, t ∈ T }, c’est-` a-dire c’est {f (T ) : f ∈ B}. Montrons que ceci est born´ e; dans le cas contraire, soit t n ∈ T tel que
sup{f (t n ) : f ∈ B} > n pour tout entier n.
T ´ etant pseudo-compact, il existe une suite extraite (t n
k) k qui converge vers t dans T . Donc sup{f (t n
k) : f ∈ B} n’est pas born´ e. Ce qui est en contradiction avec l’hypoth` ese B born´ e de E, c’est-` a-dire born´ e sur tout compact de T .
Les r´ esultats suivants donnent un lien entre la famille des Q-alg` ebres bornologiques et les alg` ebres E poss´ edant une topologie τ ∗ de Q-alg` ebre, plus fine que la topologie τ de E mais ayant les mˆ emes born´ es.
Lemme 2. Soit (E, τ ) une alg` ebre localement multiplicativement convexe v´ erifiant les conditions ´ equivalentes du th´ eor` eme de ˙ Zelazko [8] (i.e. E est une Q-alg` ebre pour une topologie plus fine que τ ); alors si la topologie τ est d´ efinie par la famille kxk α de semi-normes, la topologie de τ ∗ de Q-alg` ebre de ˙ Zelazko est d´ efinie par la famille
kxk 0 = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)} et kxk ∗ α = max(kxk 0 , kxk α ), et les deux topologies τ et τ ∗ ont les mˆ emes born´ es.
D ´ e m o n s t r a t i o n. Tout born´ e de τ ∗ est born´ e pour τ . Inversement, soit B un born´ e de τ . D’apr´ es le th´ eor` eme principal le rayon spectral est born´ e sur B, donc k · k 0 est born´ e sur B; comme chaque k · k α est born´ e sur B par d´ efinition, les semi-normes k · k ∗ α sont donc born´ ees sur B, c’est-` a-dire que B est τ ∗ -born´ e.
Corollaire 3. Si (E, τ ) est une alg` ebre localement multiplicativement convexe compl` ete unitaire, les conditions suivantes sont ´ equivalentes :
1) Tout ´ el´ ement de E a un spectre born´ e.
2) Tout ´ el´ ement de E a un spectre compact.
3) E est une Q-alg` ebre pour une topologie τ ∗ plus fine que τ ayant les mˆ emes born´ es que τ .
4) E est une Q-alg` ebre pour une topologie τ 1 localement multiplicative- ment convexe compl` ete.
5) E est une Q-alg` ebre bornologique.
6) Le rayon spectral est born´ e sur E.
7) L’espace Σ(E) est ´ equiborn´ e.
Ce corollaire d´ ecoule du lemme pr´ ec´ edent, du th´ eor` eme principal et du th´ eor` eme de ˙ Zelazko [8].
R e m a r q u e 4. Soit (E, τ ) une alg` ebre localement multiplicativement
convexe sur laquelle il existe une topologie plus fine τ ∗ ayant les mˆ emes
born´ es telle que (E, τ ∗ ) soit une Q-alg` ebre; dans ce cas l’alg` ebre (E, τ )
n’est pas en g´ en´ eral une Q-alg` ebre (voir [8]); mais c’est une Q-alg` ebre
bornologique. En effet, (E, τ ∗ ), ´ etant une Q-alg` ebre topologique, est par
cons´ equent une Q-alg` ebre bornologique pour la bornologie de τ ∗ qui est la
mˆ eme que celle de τ .
Exemple 5. Soit C(T ) l’alg` ebre de la proposition 1. Ce n’est pas une Q-alg` ebre topologique pour la topologie de la convergence compacte. Con- sid´ erons la topologie de ˙ Zelazko qui est plus fine que la topologie de la convergence compacte et qui fait de C(T ) une Q-alg` ebre topologique; elle est d´ efinie par la famille des semi-normes
kf k K = sup{|f (t)| : t ∈ K} (K : compact de T ) et kf k 0 = sup{|λ| : λ ∈ σ(f )} = sup{|f (t)| : t ∈ T }.
Cette topologie est en fait la topologie de la convergence uniforme sur T , i.e. la topologie usuelle d’alg` ebre de Banach de C(T ). Dans ce cas le rayon spectral est born´ e (voir proposition 1), mais non continu. Donc c’est une Q-alg` ebre bornologique qui n’est pas une Q-alg` ebre topologique. La topologie de Q-alg` ebre la plus proche de la topologie de la convergence com- pacte est celle d’alg` ebre de Banach. Le spectre Σ(E) est ´ equiborn´ e et non
´
equicontinu.
R e m a r q u e 6. Le th´ eor` eme principal donn´ e ici est l’´ equivalent borno- logique de r´ esultats de A. Mallios dans [5], th. 1.3 (p. 185) et lemme 1.3 (p. 187) qui donnent des ´ equivalences entre l’´ equicontinuit´ e du spectreM(E), le fait que b E (donc E si celle-ci est compl` ete) soit une Q-alg` ebre et la σ- compacit´ e de M(E). Le th´ eor` eme 1.3 donne l’´ equivalence de ces trois pro- pri´ et´ es dans le cas o` u x 7→ x (transform´ b ee de Gelfand) est continue. De ces deux r´ esultats Mallios d´ eduit qu’une alg` ebre “spectrally barreled l.m.c.”
compl` ete E est une Q-alg` ebre si, et seulement si, M(E) est ´ equicontinu.
Dans ce cas pr´ ecis des alg` ebres “spectrally barreled”, o` u toute partie born´ ee de M(E) est ´ equicontinue (c’est le cas des alg` ebres de Fr´ echet)notre th´ eor` eme est ´ equivalent ` a celui de Mallios. Par contre, dans le cas g´ en´ eral, l’´ equicon- tinuit´ e de M(E) est beaucoup plus forte que l’´ equibornitude de M(E) (voir l’exemple pr´ ec´ edent ou l’exemple donn´ e par ˙ Zelazko dans [8], p. 295).
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U.F.R. MATH ´EMATIQUES ET INFORMATIQUE UNIVERSIT ´E BORDEAUX 1
33405 TALENCE CEDEX FRANCE
