Współczynnikowe warunki ekstremalności uogólnionych funkcji spiralnych

(1)

ROCZNIKI POLSKIEGO TOW ARZYSTW A MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE V II (1962)

A. Sm oluk (Wrocław) i J. Za m orsk it

Współczynnikowe warunki ekstremalności uogólnionych funkcji spiralnych

Uogólnionymi funlccjami spiralnymi nazywamy funkcje analityczne w 0 < \z\ < 1, spełniające następujące równanie:

gdzie rep(z) > 0 , p(z) = 1 + a2z2+ . .., a i są dowolnymi liczbami zespolonymi. Niech Ta /3 oznacza klasę funkcji spełniających równanie (1), gdy p(z) przebiega pełną klasę P funkcji o dodatniej części rzeczywistej, a a i f są ustalonymi liczbami zespolonymi. Jak łatwo zauważyć, funkcje klasy Ta można z dokładnością do stałego czynnika przedstawić roz

winięciem

Przy badaniu ekstremalności funkcjonału skończonego E(f) — E(bl f .. ., bn)

= Е{осг, ...,ocn',y1, . . . , y n), gdzie bk = xk + iyk oraz gradP Ф 0, dla klasy Ta>l³, zostało w pracy [3] udowodnione następujące

Tw ie r d z e n ie A. Funkcja klasy Pa>/3, dla której funkcjonał E(f) osiąga wartość ekstremalną, spełnia następujące równania różniczkowo-funkcyjne:

(1)

(2) f(z) = Ь2г? + ...), 0 < |з| < 1.

*k,Vk,

zf'(z)-Pf(z)

m P M = aQfz), i = 1 , 2 , gdzie

n n — j n

,

ⁿ ^{n —i}

(2)

120 A. S m o l u f c i J . Z a m o r s k i

n —1

Z > . k=0

\ d P d P }

1 d x kJrj " д У к + i) ’

b x 1 0 . .. 0

2&a 1 . .. 0

, «0

h - 1 b k- 2 • . ^{b x}

Korzystając z tego twierdzenia napiszemy równania algebraiczne wiążące n pierwszych współczynników funkcji ekstremalnej, od których funkcjonał wyłącznie zależy.

Twierdzenie 1. Pierwszych n współczynników funkcji klasy Tu /3, dla której funkcjonał P(f) osiąga wartość ekstremalną, spełnia następujący układ równań algebraicznych:

П

im у <*kAk = 0, fc=i

n n n

— 1

¹

У^акАкj y k a kAk — 2 rej У An_j У (2nJr k — 2j)akAk+n_^ = 0 r

= 1 k—1 j=0 k=0

n — 1

-dijiim У akAk— У kakAk} -f (re y < i kAk j У (fc+l)aA;A.A+1

*=1 k= 1 k = l ' k —0

n - 2 ?'+i

~

У

\^n-j

У

(2n-j-k — 2 j —l ) a kAk+n_j_! + /=0 fc=0

i

Ą-An_j_i ^ ( 2 w + & — 2j —l ) a fcA k+n_ ^ = 0, /C = 0

n n —L

1=o fc=o

udijx^im y j akAk— У У У a*(&+-£)^-fc+z, —

A: == 1 fc=X fc=l fc=0

n —L —l j + L

— У \An j У {2nJr k — 2 j—L)akAk+n_j_L-\- 1

■\-An_j_L 'У (2n-{-k — 2j —L)akA k+n_Ą +

k = 0

i —1 n—L—l

4- У Al-i У {IJĄ-k — n —j )an_j_lcAn_k — 0 r

y=l

fc=l

L = 2 , n —1.

(3)

Współczynnikowe warunki ekstremalności fu n kcji spiralnych 121

Dowód. Z twierdzenia A wynika, że dla funkcji ekstremalnej za

chodzi tożsamość

(3)

Oznaczmy

(*) ^{# 2} («)—-Pa (*)&(*) = 0.

2 n 2 n

P M Q i { z ) c ^v '-

7*=0 7=0

Po wprowadzeniu tych oznaczeń tożsamość (3) jest równoważna nastę

pującym 4^ +1 równościom

, N

(i) 2 ' ( ^ 1)Cg>_,-5fCj{>_J) = 0, JV = 0 , . . . , 2 » ,

7 = 0 N

(5) У ( 3 g ! - (j r _ o C S - ł - - B S _ (s _ , ) C g L ,) = 0 , Jr = 0 , . . . , 2 » - 1 .

7 = 0

Zauważmy, że z określenia funkcji Рг(я) i Qi (г) oraz z wprowadzonych oznaczeń wynika, że

J3S-* = - Ą 4 . fc = 0 , . . . , 2 » , М2-» = Д 2), * = 0 , . . . , 2 « ,

c g j-i = c i4 i * = 0 , 1 , . . . , » —1, » + l , . . . , 2 » , . С$-* = Ф , fc = 0 , . . . , 2 » .

Zastosujmy (6) do równań (5); wówczas równania te przejdą w równania

у = o , ТУ < П,

7=0

? ' = °

+5iJ)-»c2, --BSL.cS)+ у ( S flL ^ -S g L y C } 4) = o ,

N ^ n.

7=n + l

Zamieńmy teraz wskaźnik sumowania i sprzęgnijmy otrzymane równania.

Otrzymamy

(6)

w

(7) У Й Ч —B f11 cft»_ t ) = o, N < n,

N —n —1 7=0

(8) У (B|1)cS5L,-Bf>cgL,)+

7=0 W

у = o,

j = N —я.+1

N ^ n.

(4)

122 A. S m o l u k i J . Z a m o r s k i

Widzimy, że dla Ж < n (4) jest identyczne z (7) oraz że z (4) i (8) wynika Я lv U Й 1)-C ^ ,) = 0 dla Ж = n , ..., 2n—l .

Ponieważ nie wszystkie B p są równe zero (gdyż grad i? # 0 ) , więc mamy

c p - c p = 0, czyli Xk,Vk

П

(9) im { J?TcajgAjej = 0.

k = 1

Jest to pierwsze z równań twierdzenia. Na innej drodze otrzymał je dla klasy T1>0 J. Hummel [2]. Po uwzględnieniu (9) widzimy, że równania

(5) są równoważne równaniom (4) dla N = 0 , 2 n—1. Zauważymy dalej, że równania (4) dla N = 0, 1 są tożsamościami. Zachodzi bowiem wtedy równość

X { в р с р ^ - в р с р . , ) =

J~ ° N N - i

— ^ (2j Ж-j-Jc) o.jcA.n_jA.n_ =

1=0 fe=0

iV-fc

= — a-к ^ (2j—W+ifc) J.n_7-An_jv+/+fc = 0.

f c= 0 } = 0

Eozpatrzmy teraz równania (4) dla N — n, 2n. Niech L = 2п —Ж.

Odpowiednie równania będą postaci

2 n —L

(10) JT (B ") - -Bf CgJ-b-ł) = o , £ = 0,

1 = 0

Dla i = 0 otrzymamy stąd równanie

71— 1

В^Щ> + В^Щ} + 2 т ^ ] ( B f O f + iffOW) = 0,

1 = 0

a po dokonaniu podstawienia — drugie równanie twierdzenia.

Dla L = 1 równanie (10) przechodzi w

» — 2 2n— 1

( + l i 1 ) ( ^ 1>с й - . _ / - в ? )с ® -|_ >) + fc=0 1=71 + 1

+ B i1LiC!12)- B £ . c ! ; )+B<;>ci2i 1-iiL2)cl1L1 = o, a stąd mamy trzecie równanie twierdzenia.

Dla L > 2 równania (10) możemy napisać w postaci

Tl—L — 1 71— 1 2n—L

{ N + H + U

J= 0 l = n —£ + 1 1=71 + 1

+ B ^ Łc f - £ i 2i i ci»1)+-B!l,>(42LŁ- Ą 2>ci,i £ = o.

(5)

Współczynnikowe warunki ekstremalności fu n kcji spiralnych 1 2 3

Ponieważ

n —1 i — 1 n —j

Z CB PC gU -Z-SfC S-i-y) = £ S =

j ~ n —L -\-\ 7 = 1 A;=0

L— 1 L— 1— к ть— Z/4-1 Zr— 1

— У ]ак У] ( I ' - l c —2j)AL_i Ak+i-j- V An_k ^ ( L + k —n—j)a n_i_kAL_i

k=O 1 = 1 f c = l 1 = 1

i ponieważ mamy

L - l - k

^ (L — k — %j)AL_jAk+i = O,

7 = 1

więc ostatecznie równania (10) przechodzą w pozostałe równania twier

dzenia. Wreszcie z łatwością sprawdzamy, że dla L = n odpowiednie równanie (10) jest spełnione tożsamościowo.

W ten sposób uzyskaliśmy n + l równań dla wyznaczenia n liczb zes

polonych bx, . . . , bn. Ponieważ dwa z tych równań są równaniami rzeczy

wistymi, więc ilość niewiadomych jest zgodna z ilością równań. Zagadnie

nie rozwiązalności tego układu w przypadku ogólnym wydaje się być trudne, natomiast w pewnych przypadkach równania te mogą być przyda

tne. Jako przykład podamy twierdzenie o jedyności funkcji gwiaździstej z biegunem (klasa T_lfi) ekstremalnej dla funkcjonału re6n.

Twierdzenie 2. Jedyną funkcją Masy T_10 dającą maksimum funkc

jonału re bn, n > 3 , jest funkcja

f , ( z ) = i ( 1 - г » Г а ' “ = - ( l + - - * n + ■ ■ • ) •

z z \ n I

U w aga. Z twierdzenia tego przez obrót płaszczyzny łatwo wynika, że jedyną funkcją gwiaździstą z biegunem, dającą maksimum \bn\, jest funkcja

&

D ow ód. Wiadomo ([1], [3]), że dla funkcji klasy T_lfi mamy oszaco

wanie rebn < 2 (n oraz gdy теЬп = 2 jn, to wszystkie współczynniki po

przednie znikają: bn_x = ... = b% = 0, nie wiadomo jednak, czy bx — 0, a przykład funkcji

/(«) = —(1 + f t z + z 2), — 2 < ^y, < 2,

&

należącej do klasy i realizującej wymaganą równość dla n — 2, wskazuje, że nie zawsze tak musi być. Załóżmy, że n > 3 i zastosujmy twierdzenie 1

(6)

124 A. S m o l u k i J . Z a m o r s k i

do funkcjonału rebn, uwzględniając od razu skądinąd znany fakt, że wówczas bz = ... = Ъп_г = 0. Łatwo obliczyć, że wtedy

A , = . . . = A n — 2 ~~ 0, A n _ ! = b j { n —1 ), A n = 1 / » ,

<Ъ = ( - 1 ) ‘-Ч ?, = я„ = ( - 1 ) п- 1»Г + 2.

Z trzeciego równania twierdzenia otrzymujemy, że M 6 w -4 + |& il2) = 0.

Stąd = 0, mamy bowiem 6n — 4 > 0 dla n > 3; i tak więc dla funkcji ekstremalnej mamy bx — b2 = . . . = bn_ x = 0. Aby teraz udowodnić jedyność funkcji podanej w twierdzeniu, należy zastosować lemat Schwarza do funkcji

gdzie

co (z) =

p { z ) + l ’

p(z) = sf*(z) /*(«) Porównaj również [4].

Prace cytowane

[1] J. Clunie, On meromorphic schlicht functions, Journ. London Math. Soc.

34 (1959), str. 215-216.

[2] J. A. H um m el, Л variational method for starlike functions, Proc. Am. Math.

Soc. 9 (1958), str. 82-87.

[3] J. Z am orski, Remarks on a class of analytic functions, Bull. Acad. Polon.

Sci. 8 (1960), str. 377-380.

[4] — Remarks on the extremal functions of a certain class of analytical functions, Ann. Polon. Math. 10 (1961), str. 247-252.

U N IW E R SY T E T W ROCŁAW SKI

IN ST Y T U T MATEMATYCZNY P O L SK IE J A K A D E M II N A U K

А . Смолюк (Вроцлав) и Я . За м о рс к и f

КОЭФФИЦИЕТНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ СПИРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

РЕЗЮМЕ

В этой заметке даются уравнения, которым удовлетворяют п первых коэффи

циентов разложения обобщенной спиральной функции, для функционал которой E{f) = E ( b i , . . . , b n) принимает экстремальное значение. В дальнейшем эти урав

(7)

Współczynnikowe warunki ekstremalności fu n kcji spiralnych 1 2 5

нения используются для доказательства того, что единственной звездной функ

цией, имеющей полюс, функционал которой геЪп принимает максимум, является функция

/*(«) = - ( l - z nf l n , п > 3.

г

A. Sm o l u k (Wrocław) i J. Za m o r s k i f

NECESSARY CONDITIONS FOR EXTREMAL GENERALIZED SPIRAL FUNCTIONS INVOLVING THEIR COEFFICIENTS

S U M M A R Y

In this paper the authors establish equations satisfied by the first n coefficients of the development of a generalized spiral function for which the functional E(f) =

— E(bt , ..., bn) attains its extremal value. Then these equations are used to show that the function

/*(«) = - ( l - z n)2ln , n > 3,

« z

is the only starlike function with a pole for which the functional rebn attains its maximum.