Statystyka matematyczna (4 zas., 2011/2012)
8. Asymptotyczna normalno±¢ i asymptotyczna efektywno±¢
estymatorów
Zad. 8.1 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu Cauchy'ego C(0, θ).
Zbadaj asymptotyczn¡ normalno±¢ estymatora
T (X1, . . . , Xn) = 1 n
n
X
i=1
1(a,∞)(Xi)
funkcji g(θ) = Pθ(X1 > a), gdzie a jest ustalon¡ liczb¡ rzeczywist¡.
Zad. 8.2 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu P oiss(λ). Uzasadnij, »e estymator 2√
X¯ funkcji g(λ) = 2√
λ jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczn¡ wariancj¦.
Zad. 8.3 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu N(µ, σ2), gdzie σ jest znane.
Rozwa»my nast¦puj¡ce estymatory funkcji g(µ) = µ2: ˆ
µ1 = ¯X2 (estymator najwi¦kszej wiarogodno±ci), ˆ
µ2 = ¯X2− σn2 (estymator nieobci¡»ony o minimalnej wariancji).
(a) Poka», »e je»eli µ 6= 0, to ˆµ1 i ˆµ2 s¡ asymptotycznie normalne oraz oblicz ich asymptotyczn¡ efektywno±¢.
(b) Znajd¹ asymptotyczny rozkªad estymatorów ˆµ1 i ˆµ2 w przypadku gdy µ = 0.
Zad. 8.4 Niech X1, . . . , Xnb¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu E(λ). Czy estymator postaci λ =ˆ n − 1
n ¯X parametru λ jest
(a) asymptotycznie normalny, (b) asymptotycznie efektywny?
Zad. 8.5 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu 0-1 z parametrem p. Poka»,
»e estymator
T (X1, . . . , Xn) =
n
P
i=1
+3 n + 5
parametru p jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczn¡ wariancj¦.
1
