Zadania do wyk ladu ,,Wnioskowanie statystyczne”
dla IV roku matematyki, specjalno´sci zastosowania rach, prob i stat. r.a. 2010/2011 Lista nr 1
1. Udowodni´c lemat: Zbi´or zrandomizowanych regul decyzyjnych D∗ jest zbiorem wypuk lym.
2. Udowodni´c lemat: Zbi´or behawiorystycznych regu l decyzyjnych eD jest zbiorem wypuk lym.
3. Wykaza´c, ˙ze je˙zeli A = {a1, a2, . . . , ar} i X = {x1, x2, . . . , xn}, to zbi´or zrandomizowanych regu l decyzyjnych D∗ jest (rn− 1)-wymiarowy, podczas gdy zbi´or behawiorystycznych regu l de- cyzyjnych D jest n(r − 1)-wymiarowy.
4. Rozpatrzmy problem decyzyjny w kt´orym Θ = {θ1, θ2}, A = {a1, a2}, a obserwowalna zmienna losowa X przyjmuje warto´sci ze zbioru X = {x1, x2}, z prawdopodobie´nstwami:
Pθ1(X = x1) = 1/3, Pθ1(X = x2) = 2/3 oraz Pθ2(X = x1) = 1/4, Pθ2(X = x2) = 3/4. Funkcja straty jest zadana naste‘puja‘co:
L(θ, a) a1 a2
θ1 -1 2
θ2 2 -3
Oczywiste jest, ˙ze D = {d1, d2, d3, d4}, gdzie
d1(x1) = a1, d1(x2) = a1, d2(x1) = a1, d2(x2) = a2, d3(x1) = a2, d3(x2) = a1, d4(x1) = a2, d4(x2) = a2.
Zbi´or A∗mo˙zna uto˙zsamia´c z przedzia lem [0, 1] w tym sensie, ˙ze α ∈ A∗jest prawdopodobie´nstwem podje
‘cia akcji a1, a 1 − α jest prawdopodobie´nstwem podje
‘cia akcji a2. Niech δ = (1/10, 1/2, 1/10, 3/10)
be‘dzie zrandomizowana
‘regu la
‘decyzyjna
‘. Znale´z´c r´ownowa˙zna
‘jej behawiorystyczna
‘regu le
‘ decy- zyjna‘δ. Obliczy´c warto´sci funkcji ryzyka R˜ ∗(θ, δ) i eR(θ, ˜δ) dla ka˙zdego θ ∈ Θ.
5. (Cia
‘g dalszy zadania 4.) Niech ˜δ = (1/3, 3/4) be
‘dzie behawiorystyczna
‘regu la
‘decyzyjna
‘. Znale´z´c r´ownowa˙zna
‘jej zrandomizowana
‘ regu le
‘ decyzyjna
‘ δ. Obliczy´c warto´sci funkcji ryzyka R∗(θ, δ) i eR(θ, ˜δ) dla ka˙zdego θ ∈ Θ.
6. Niech ζ1/2 be
‘dzie mediana
‘rozk ladu zmiennej losowej X. Udowodni´c, ˙ze wszystkie liczby rzeczywiste a1, a2 takie, ˙ze ζ1/2 ≤ a1 ≤ a2 lub a2 ≤ a1 ≤ ζ1/2, spe lniaja
‘nier´owno´s´c E|X − a1| ≤ E|X − a2|.
7. Za l´o˙zmy, ˙ze Θ jest sp´ojnym podzbiorem przestrzeni Rk, a γ : Θ → R cia
‘g la
‘funkcja
‘, r´o˙zna od sta lej, na ka˙zdym otwartym podzbiorze zbioru Θ. Niech d oznacza dowolna ‘
‘niezrandomizowana regu le ‘
‘ decyzyjna
‘w problemie estymacji z funkcja
‘straty L(θ, a) = |γ(θ) − a|. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli wszystkie funkcje ζ1/2(θ), spe lniaja
‘ce warunek:
Pθ d(X) < ζ1/2(θ)
≤ 1/2 ≤ Pθ d(X) ≤ ζ1/2(θ)
dla ka˙zdego θ ∈ Θ, sa‘ cia
‘g le, to regu la decyzyjna d jest nieobcia
‘˙zona ze wzgle
‘du na funkcje
‘ straty L wtedy i tylko wtedy, gdy γ(θ) jest mediana
‘ rozk ladu zmiennej losowej d(X) dla ka˙zdego θ. (Regu ly o tej w lasno´sci nazywamy nieobcia
‘˙zonymi w sensie mediany.)
Program wyk ladu ,,Wnioskowanie statystyczne”
dla IV roku matematyki, zastosowania rach. prawdopodob. i stat.
w roku akademickim 2010/2011.
1. Teoria statystycznych funkcji decyzyjnych: gry statystyczne, randomizacja, optymalne regu ly decyzyjne, dopuszczalno´s´c, klasy istotnie zupe lne.
2. Estymacja nieobcia
‘˙zona i ekwiwariantna.
3. Estymacja bayesowska.
4. Estymacja minimaksowa.
5. Dopuszczalno´s´c estymator´ow.
6. Estymacja nieparametryczna.
7. Asymptotyczna teoria estymacji: estymatory zgodne asymptotycznie normalne, asymptotyczna efektywno´s´c estymator´ow.
8. Teoria test´ow jednostajnie najmocniejszych.
9. Nieobcia
‘˙zono´s´c w testowaniu hipotez.
10. Testy dla rozk ladu normalnego.
11. Problem dw´och pr´ob: test Studenta i jego odmiana dla por´owna´n parami, testy rangowe (Wilcoxona, Fishera-Yatesa, van der Waerdena, medianowy).
12. Testy rangowe jednorodno´sci, symetrii i niezale˙zno´sci.
13. Testy zgodno´sci: chi-kwadrat, Ko lmogorowa-Smirnowa.
14. Asymptotyczna teoria testowania hipotez: graniczne rozk lady statystyk testowych, asympto- tyczna efektywno´s´c test´ow, zgodno´s´c.
15. Zbiory ufno´sci, optymalno´s´c, zwia
‘zek z testami.
Literatura:
1. J. Bartoszewicz, Wyk lady ze statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1996.
2. H. Cram´er, Metody matematyczne w statystyce, PWN Warszawa 1958.
3. T. Ferguson, Mathematical Statistics. A Decision Theoretic Approach, Academic Press, New York 1967.
4. A. Jokiel-Rokita i R. Magiera, Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, Wyd.
III, GiS, Wroc law 2005.
5. M. Krzy´sko, Statystyka matematyczna, Wydanie II, Wyd. UAM, Pozna´n 2005.
6. R. Magiera, Modele i metody statystyki matematycznej, Wyd. II rozszerzone, GiS, Wroc law 2005.
7. E.L. Lehmann, Testowanie hipotez statystycznych, PWN Warszawa 1967.
8. E.L. Lehmann, Teoria estymacji punktowej, PWN Warszawa 1991.
9. R. Serfling, Twierdzenia graniczne statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1991.
10. J. Shao, Mathematical Statistics, Springer, New York 2003.
11. G.R. Shorack, Probability for Statisticians, Springer, New York 2000.
12. S. Trybu la, Statystyka matematyczna z elementami teorii decyzji, OWPWr, Wroc law 2004.
14. R. Zieli´nski, Siedem wyk lad´ow wprowadzaja
‘cych do statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1990.
13. R. Zieli´nski i W. Zieli´nski, Tablice statystyczne, PWN Warszawa 1990.
Zaliczenie ´cwicze´n: na podstawie aktywno´sci na ´cwiczeniach, ocen zada´n domowych i wynik´ow pisemnych sprawdzian´ow. Egzamin: pisemny i ustny.
3.10.2010 r. J. Bartoszewicz
10lista1.tex
