LVI OLIMPIADA FIZYCZNA – ZAWODY II STOPNIA Zadanie 1 Pewien fotograf posiada aparat fotograﬁczny z obiektywem o ogniskowej f zmiennej w zakresie od fmin do

(1)

LVI OLIMPIADA FIZYCZNA – ZAWODY II STOPNIA

Zadanie 1

Pewien fotograf posiada aparat fotograficzny z obiektywem o ogniskowej f zmiennej w zakresie od f

min

do f

^max

. ´Srednica otworu przysłony obiektywu jest równa d.

Fotograf pragnie wykona´c portret kole˙zanki w taki sposób, by jej twarz była "ostra" na zdj˛eciu i zajmo- wała połow˛e jego wysoko´sci, a znajduj ˛ acy si˛e w odległo´sci l za ni ˛ a budynek był jak najbardziej rozmyty.

Przy jakiej warto´sci ogniskowej fotograf powinien wykona´c to zdj˛ecie? Rozwa˙z nast˛epuj ˛ ace przypadki:

a) ´srednica otworu przysłony d nie zale˙zy od f ;

b) d zmienia si˛e wraz ze zmian ˛ a f tak, ˙ze d/f jest stałe.

Uwaga: Rozmycie obrazu punktu B przy ostro´sci ustawionej na punkt A jest okre´slone przez wielko´s´c (´srednic˛e) plamki, jak ˛ a na matrycy (lub kliszy) aparatu utworzy ´swiatło wychodz ˛ ace z punktu B.

Przyjmij, ˙ze dla danego f obiektyw jest cienk ˛ a, idealn ˛ a (brak aberracji i dyfrakcji) soczewk ˛ a o ´srednicy d oraz ˙ze odległo´s´c kole˙zanki od obiektywu jest znacznie wi˛eksza od ogniskowej.

Zadanie 2

Rura o masie M składa si˛e z odcinków o ´srednicach d

¹

i d

²

, w których mog ˛ a porusza´c si˛e bez tarcia dwa tłoki (patrz rys.). Prawy tłok ma mas˛e m

2

. Rura mo˙ze swobodnie porusza´c si˛e w poziomie.

d

1

d

2

W chwili pocz ˛ atkowej ci´snienie powietrza pomi˛edzy tłokami było równe ci´snieniu zewn˛etrznemu, rura i prawy tłok były nieruchome, a lewy tłok miał pr˛edko´s´c v

1p

w prawo. Powietrze z obszaru pomi˛edzy tłokami nie wydostaje si˛e na zewn ˛ atrz, a jego masa jest zaniedbywalna w porównaniu z masami tłoków i rury. Przemiana tego powietrza jest odwracalna i adiabatyczna. Przyjmij, ˙ze siła z jak ˛ a powietrze działa na element powierzchni tłoka lub rury nie zale˙zy od pr˛edko´sci tego elementu.

Stwierdzono, ˙ze lewy tłok zatrzymał si˛e w chwili, gdy ci´snienie powietrza pomi˛edzy tłokami powróciło do warto´sci pocz ˛ atkowej. Wyznacz mas˛e m

1

lewego tłoka. Podaj warto´s´c liczbow ˛ a m

1

dla m

2

= 1kg, M = 3kg, d

1

= 0, 2m, d

2

= 0, 1m. Zakładamy, ˙ze wszystkie parametry s ˛ a tak dobrane, ˙ze do momentu zatrzymania lewy tłok nie uderzy w zw˛e˙zenie, a prawy nie wypadnie z rury.

Zadanie 3

Znajd´z opór zast˛epczy mi˛edzy punktami A i B niesko´nczonej sieci oporów przedstawionej na rysunku (α > 0). Dla jakiej warto´sci α ten opór zast˛epczy jest równy R ?

αR

αR α²R α²R αⁿR

αⁿR αR

αR α²R

α²R α³R

α³R αⁿ⁺¹R

αⁿ⁺¹R

R R A

B

(2)

Rozwi ˛azanie zadania 1

Niech x

A

, x

B

b˛ed ˛ a odległo´sciami punktów A i B od obiektywu, a y

A

, y

B

odległo´sciami od obiektywu obrazów tych punktów.

Zauwa˙zmy, ˙ze dla soczewki idealnej (i ze wzgl˛edu na twierdzenie Talesa), wystarczy rozwa˙zy´c jedynie punkty na osi optycznej aparatu.

x_B

y_A y_B

x_A

d

c

B A

Rozwa˙zaj ˛ ac bieg "skrajnego" promienia (patrz rys.), przy ustawieniu ostro´sci na punkt A, z zale˙zno´sci geometrycznych dosta-

jemy y

A

− y

B

y

B

= c

d . (1)

gdzie c jest ´srednic ˛ a plamki utworzonej na matrycy przez promienie wychodz ˛ ace z punktu B.

Uwzgl˛edniaj ˛ ac równanie soczewki

1 x

i

+ 1 y

i

= 1

f , (2)

gdzie i = A, B, otrzymamy

c = d x

B

− x

A

x

B

f

x

A

− f . (3)

Uwzgl˛edniaj ˛ ac x

A

/f ≫ 1 oraz x

B

= l + x

A

otrzymamy c = d l

x

A

f

x

A

+ l . (4)

Rozmycie tła jest tym wi˛eksze im wi˛eksza jest ta liczba. ˙ Zeby okre´sli´c x

A

odpowiadaj ˛ ace maksymalnemu rozmyciu powinni´smy jeszcze uwzgl˛ednić, ˙ze zgodnie z warunkami zadania (ustalona wielko´sć twarzy na zdj˛eciu) powi˛ekszenie twarzy kole˙zanki powinno być stałe,

y

A

x

A

= p = const, (5)

Uwzgl˛edniaj ˛ ac dodatkowo, ˙ze y

A

/x

A

= 1/[(x

A

/f ) − 1] ≈ f /x

A

dostajemy c ≈ d

f l

(1/p) + (l/f ) p = d l

(1/p)f + l p. (6)

a) Przy ustalonych d, l, p to wyra˙zenie jest malej ˛ ac ˛ a funkcj ˛ a f , zatem najwi˛eksze rozmycie otrzymamy przy najmniejszym mo˙zliwym f , czyli dla

f = f

min

. b) Podstawiaj ˛ ac do (6) d = f /F (gdzie F = const) otrzymamy

c ≈ 1 F

l

(1/p) + (l/f ) p. (7)

Przy ustalonych F , l, p to wyra˙zenie jest rosn ˛ ac ˛ a funkcj ˛ a f . Zatem najwi˛eksze rozmycie otrzymamy przy najwi˛ekszym mo˙zli- wym f , czyli dla

f = f

^max

.

(3)

Tłoki i rura poruszaj ˛ a si˛e zgodnie z równaniami ruchu m

¹

dv

¹

dt = −pS

¹

, m

²

dv

²

dt = pS

²

, M dv

³

dt = pS

³

, (1)

gdzie S

¹

= πd

²1

/4, S

²

= πd

²2

/4, S

³

= S

¹

− S

²

; v

¹

, v

³

i v

³

s ˛ a odpowiednio pr˛edko´sciami lewego tłoka, prawego tłoka i rury, a p jest ró˙znic ˛ a mi˛edzy ci´snieniem wewn ˛ atrz rury a ci´snieniem zewn˛etrznym. Eliminuj ˛ ac z tych równa ´n p dostajemy dwie zasady zachowania

m

¹

S

¹

v

¹

+ m

²

S

²

v

²

= const = m

¹

S

¹

v

¹p

, (2)

m

1

S

¹

v

1

+ M

S

³

v

3

= const = m

1

S

¹

v

1p

. (3)

(Inna kombinacja liniowa jest zasad ˛ a zachowania p˛edu m

¹

v

¹

+ m

²

v

²

+M v

³

= const). Dla przemiany odwracalnej obowi ˛ azuje ponadto zasada zachowania energii, czyli w chwili powrotu ci´snienia gazu do ci´snienia pocz ˛ atkowego

1 2 mv

²1

+ 1

2 mv

2²

+ 1

2 M v

²3

= const = 1

2 m

¹

v

²1p

. (4)

Uwzgl˛edniaj ˛ ac nasze zasady zachowania oraz, ˙ze w chwili ko ´ncowej v

¹

= 0, otrzymamy 1

2 m

²

S

²

m

2

m

¹

S

1

²

v

1²p

+ 1

2 M S

³

M

m

¹

S

1

²

v

²1p

= 1

2 m

¹

v

²1p

, czyli

S

2²

m

2

+ S

3²

M = S

1²

m

1

. (5)

Wyra˙zaj ˛ ac S

1

, S

2

i S

3

przez d

1

i d

2

otrzymamy st ˛ ad

m

1

= d

⁴1

(d

⁴2

/m

²

) + (d

²1

− d

²2

)

²

/M . (6) Dla podanych warto´sci liczbowych otrzymamy

m

¹

= 4kg. (7)

Zauwa˙zmy w tym szczególnym przypadku S

²

/m

²

= S

³

/m

³

, co oznacza, ˙ze przyspieszenia rury i drugiego tłoka s ˛ a takie same

(patrz wzory (1)). Zatem rozwa ˙zana sytuacja jest równowa˙zna elastycznemu zderzeniu ciała o masie m

¹

z ciałem o masie

M + m

²

. W takim przypadku ciało uderzaj ˛ ace zatrzyma si˛e po zderzeniu je´sli m

¹

= M + m

²

, co jest zgodne w wynikiem (7).

(4)

Oznaczmy opór zast˛epczy mi˛edzy punktami A i B przez ρ(R). Poniewa˙z jedyn ˛ a wielko´sci ˛ a o wymiarze oporu jest R musi zachodzi´c proporcjonalno´s´c

ρ(R) = xR, (1)

gdzie x jest funkcj ˛ a wył ˛ acznie α.

Zauwa˙zmy, ˙ze nasza sie´c jest równowa˙zna układowi na poni˙zszym rysunku. Z wcze´sniejszej analizy wynika, ˙ze opór ´srodko-

I₁ I₂ αR

αR

ρ(αR ) I −I2 1

I−I₂ I−I₁ R

R

I I

A B

wego, zast˛epczego opornika jest równy

ρ(αR) = αρ(R). (2)

Stosuj ˛ ac drugie prawo Kirchhoffa dla oczek układu zast˛epczego otrzymujemy

RI

¹

− (I

²

− I

¹

)ρ(αR) − (I − I

¹

)αR = 0, (3) αRI

²

− (I − I

²

)R + (I

²

− I

¹

)ρ(αR) = 0. (4) Jednocze´snie spadek napi˛ecia mi˛edzy punktami A i B wynosi

U

AB

= I

¹

R + I

²

αR. (5)

Z drugiej strony ten spadek napi˛ecia jest okre´slony przez opór zast˛epczy ρ(R) mi˛edzy punktami A i B i pr ˛ ad I

U

AB

= Iρ(R). (6)

Równania (3), (4), (5) i (6) stanowi ˛ a po uwzgl˛ednieniu (2) układ równa ´n pozwalaj ˛ acy na wyznaczenie szukanego oporu zast˛ep- czego.

Z równa ´n (3) i (4), uwzgl˛edniaj ˛ ac (2) i (1), dostajemy

I

1

= α (x + 1)

α + 2xα + 1 I, (7)

I

²

= (xα + 1)

α + 2xα + 1 I. (8)

Z powy˙zszego wynika ˙ze

I

¹

+ I

²

= I, (9)

co mo˙zna zauwa˙zy´c od razu uwzgl˛edniaj ˛ ac symetri˛e naszego układu zast˛epczego. Wstawiaj ˛ ac wzory (7) i (8) do równania (5), po uwzgl˛ednieniu równania (6) dostaniemy równanie na współczynnik x

2αx

²

+ 1 − α

²

x − 2α = 0. (10)

Otrzymujemy dwa rozwi ˛ azania

x

¹,2

= α

²

− 1 ± q

(α

²

− 1)

²

+ 16α

²

4α . (11)

Zauwa˙zmy, ˙ze drugie rozwi ˛ azanie jest niefizyczne, gdy˙z jest ujemne dla dowolnych α > 0. Ostatecznie otrzymujemy, ˙ze szukany opór zast˛epczy jest równy

ρ(R) = α

²

− 1 + q

(α

²

− 1)

²

+ 16α

²