C’est en quelque sorte un article de synth` ese. On y trouve cependant des d´ emonstrations d´ etaill´ ees qui n’ont paru nulle part ailleurs.

(1)

INSTITUTE OF MATHEMATICS POLISH ACADEMY OF SCIENCES

WARSZAWA 1995

SYST ` EMES DOUBLEMENT ORTHOGONAUX DE FONCTIONS HOLOMORPHES ET APPLICATIONS

T H A N H V A N N G U Y E N et A H M E D Z E R I A H I

Laboratoire d’Analyse Complexe et Fonctionnelle, Universit´ e Paul Sabatier 118, Route de Narbonne, F-31062 Toulouse Cedex, France

0. Introduction. Nous donnons ici une ´ etude syst´ ematique des syst` emes doublement orthogonaux “de Bergman” et leurs applications ` a certains aspects de l’analyse pluricomplexe : espaces de fonctions holomorphes, fonctions s´ epar´ ement analytiques.

C’est en quelque sorte un article de synth` ese. On y trouve cependant des d´ emonstrations d´ etaill´ ees qui n’ont paru nulle part ailleurs.

1. Fonctions plurisousharmoniques extr´ emales et mesures d’´ equilibre. Soit D un ouvert de C

ⁿ

et E ⊂ C

ⁿ

. On d´ efinit la fonction plurisousharmonique extr´ emale associ´ ee au couple (E, D) ([SC,2]) par

(1.1) ω(z, E, D) = lim sup

z⁰→z

[sup{u(z

⁰

) : u ∈ P

01

(E, D)}], z ∈ D,

o` u P

0,1

(E, D) est la classe des fonctions u plurisousharmoniques sur D telles que u ≤ 1 et u/E ∩ D ≤ 0. Elle v´ erifie l’´ equation de Monge–Amp` ere complexe ([B-T], [K]) :

(1.2) (dd

^c

ω(·, E, D))

ⁿ

= 0 sur D \ E.

Pour α ∈ [0, 1[ on pose

(1.3) D

α

= D(E, α) := {z ∈ D : ω(Z, E, D) < α}

Si D est born´ e, alors

(1.4) ω(z, E, D

α

) = 1

α ω(z, E, D), ∀z ∈ D

_α

1991 Mathematics Subject Classification: 32A05, 32A37, 32D10.

Key words and phrases: extremal functions, doubly orthogonal systems, Schauder bases, separately analytic functions.

The paper is in final form and no version of it will be published elsewhere.

[281]

(2)

(1.4bis) E est “localement” non pluripolaire dans D

α

, c’est-` a-dire E rencontre chaque composante connexe de D

α

en un ensemble non pluripolaire (voir p. ex. [N-Z 2, Lemme 3], voir ´ egalement la proposition 1.2 ci- dessous).

On appelle condensateur dans C

ⁿ

tout couple (K, D) form´ e d’un ouvert hyperconvexe D de C

ⁿ

et d’un compact K ⊂ D “localement” non pluripolaire dans D.

On rappelle qu’on ouvert D de C

ⁿ

est dit hyperconvexe lorsqu’il existe une fonction plurisousharmonique % sur D, % < 0 et telle que {z ∈ D : %(z) < c} b D pour tout c < 0. Une telle % est appell´ ee une fonction plurisousharmonique d’exhaustion born´ ee de D.

Pour tout condensateur (K, D), le courant positif (dd

^c

ω(·, K, D))

ⁿ

s’identifie

`

a une mesure positive port´ ee par K. Nous la noterons µ

0

(K, D) ou µ

0

tout sim- plement et nous l’appellerons mesure d’´ equilibre du condensateur (K, D).

Un condensateur (K, D) est dit r´ egulier , ou P-r´ egulier , lorsque ω(·, K, D)

= 0 sur K. On sait qu’alors ω(·, K, D) − 1 est une fonction plurisousharmonique d’exhaustion born´ ee continue de D et (1.4) est v´ erifi´ ee [Za,1].

Proposition 1.1. Soit (K, D) un condensateur dans C

ⁿ

, µ

0

sa mesure d’´ equilibre. Alors si E ⊂ K est µ

0

-mesurable et µ

0

(E) = µ

0

(K), on a ω(·, E, D) = ω(·, K, D).

Ce r´ esultat est prouv´ e dans [N-Z,1] dans le cas o` u D est born´ e. Pour le cas g´ en´ eral, voir [Ze,2].

Proposition 1.2. Soit (K, D) un condensateur , µ

0

sa mesure d’´ equilibre.

1) Si u est plurisousharmonique sur D et u = −∞ µ

0

-presque partout sur K , alors u ≡ −∞.

2) Si (K, D) est r´ egulier , alors 1) est vraie avec D

α

` a la place de D , ∀α ∈ ]0, 1[ . D ´ e m o n s t r a t i o n. On se contente de prouver 2), l’autre preuve ´ etant sem- blable. Soit β ∈ ]0, α[ ; alors D

β

b D

α

et u est donc major´ ee sur D

β

par un certain M ∈ R. Pour tout A > 0 on a u + A ≤ M + A sur D

β

et u + A ≤ 0 µ

0

-presque partout sur K. Il existe donc E ⊂ K, µ

0

-mesurable tel que µ

0

(E) = µ

0

(K) et u + A ≤ 0 sur E. Par suite,

u ≤ M ω(·, E, D

β

) + A(ω(·, E, D

β

) − 1).

D’apr` es la proposition 1.1 et (1.4), ω(·, E, D

β

) = 1

β ω(·, E, D) = 1

β ω(·, E, D) < 1.

En faisant tendre A vers ∞, on obtient u ≡ −∞ sur D

β

.

2. Syst` emes doublement orthogonaux de Bergman. Nous aurons besoin

d’un th´ eor` eme d’approximation dont la d´ emonstration utilise les estimations L

²

do H¨ ormander [H¨ o].

(3)

Lorsque D est un ouvert de C

ⁿ

, on d´ esigne par O(D) l’espace des fonctions holomorphes sur D muni de la topologie de la convergence compacte sur D.

Lorsque K est un compact de C

ⁿ

, on d´ esigne par O(K) l’espace des germes de fonctions holomorphes au voisinage de K muni de sa topologie LF .

Soit λ la mesure de Lebesgue dans C

ⁿ

, et µ

1

la mesure d´ efinie par dµ

1

= (1 + |z|

²

)

⁻²

dλ. D´ esignons par O

²

(D, dµ

1

) l’espace de Hilbert des fonctions holomorphes sur D de carr´ e µ

1

-int´ egrable sur D.

Th´ eor` eme 2.1. Soit D un ouvert hyperconvexe de C

ⁿ

. Alors l’espace O

²

(D, dµ

1

) est dense dans l’espace O(D).

D ´ e m o n s t r a t i o n. Soit E un compact de D et % : D → ]0, 1[ une fonction plurisousharmonique exhaustive sur D. Soit a, b ∈ ]0, 1[ tels que sup

_E

% < a <

b < 1, de sorte que ϕ := % − a est plurisousharmonique sur D, ϕ < 0 sur D

a

:= {z ∈ D : %(z) < a} et ϕ ≥ b − a > 0 sur D \ D

b

.

Soit χ une fonction C

^∞

` a support compact dans D telle que χ ≡ 1 sur D

b

. Soit f ∈ O(D); alors χf ∈ C

^∞

(D) ∩ L

²

(D, dµ

1

) et χf = f sur D

b

. Nous allons corriger cette fonction pour la rendre holomorphe. On cherche une fonction u de la mˆ eme classe que χf telle que la fonction

(2.1) g = χf − u

soit holomorphe sur D et u soit “assez petite” sur E. Cela se fait classiquement par le th´ eor` eme d’existence de H¨ ormander pour un choix convenable des fonctions poids. Pour chaque entier k ≥ 1, soit ϕ

k

= kϕ. Il est clair que |f ∂χ|

²

e

^−kϕ

est λ-int´ egrable sur D. D’apr` es le th´ eor` eme de H¨ ormander il existe u

k

localement int´ egrable sur D telle que

∂u

k

= f ∂

χ

sur D, (2.2)

R

D

|u

_k

|

²

e

^{− ˜}^ϕ^k

dλ ≤ R

D

|f ∂

_χ

|

²

e

^−ϕ^k

dλ (2.3)

o` u ϕ e

k

= ϕ

k

+ 2 log(1 + |z|

²

).

Comme ∂

χ

= 0 sur D

b

et % ≥ b − a =: ε > 0 sur D \ D

b

, le second membre de (2.3) est O(e

^−kε

) lorsque k → ∞. Puisque ϕ < a sur Da b D, il r´esulte de (2.3) qu’il existe une constante C > 0 telle que

(2.4) R

D

|u

_k

|

²

dλ ≤ Ce, ∀k ≥ 1.

D’apr` es (1.2) et le fait que χ ≡ 1 sur D

b

, on en d´ eduit que u

k

est holomorphe

sur D

b

⊃ D

_a

. Il r´ esulte alors de l’in´ egalit´ e de la moyenne et de (2.4) que la

suite (u

k

) tend vers 0 uniform´ ement sur tout compact de D

a

. Par cons´ equent, la

suite g

k

:= χf − u

k

est une suite de fonctions holomorphes sur D qui converge

uniform´ ement sur tout compact de D

a

, donc sur E, vers f . Comme ϕ < 1 − a sur

D, l’in´ egalit´ e (2.3) montre que u

k

∈ L

²

(D, dµ

1

). Par cons´ equent, g

k

∈ O

²

(D, dµ

1

)

(4)

et g

k

→ f uniform´ ement sur E. Comme E est un compact quelconque de D, le th´ eor` eme en r´ esulte.

R e m a r q u e. Ce th´ eor` eme nous sera utile au paragraphe 4, on en d´ eduit que O

²

(D, dµ

1

) est de dimension infinie. C’est ce fait qui sera utilis´ e dans la construction suivante. Rappelons que µ

1

est la mesure bor´ elienne sur D d´ efinie par dµ

1

= (1 + |z|

²

)

⁻²

dλ.

Soit (K, D) un condensateur de C

ⁿ

. Nous allons construire un syst` eme doublement orthogonal par la m´ ethode classique de Bergman qui est un cas particulier de la construction des fonctions propres d’un op´ erateur compact autoadjoint et positif d’un espace de Hilbert.

Soit H

1

= O

²

(D, dµ

1

) et H

0

le sous-espace vectoriel ferm´ e de L

²

(K, dµ

0

) engendr´ e par la restriction ` a K des fonctions de H

1

. On a alors une injection continue ` a image dense

(2.5) i : H

1

→ H

0

.

Posons A = i

^∗

◦i. Alors A est un op´ erateur lin´ eaire compact autoadjoint et positif v´ erifiant

(2.6) (Af | g)

1

= (f | g)

0

∀f, g ∈ H

₁

.

On a identifi´ e f ` a i(f ) qui est la restriction de f ` a K, (· | ·)

k

d´ esignant le produit scalaire sur H

k

, k = 0, 1 . . .

D’apr` es (2.6), A est injectif. On sait qu’alors A poss` ede une suite (λ

j

)

j≥1

de valeurs propres > 0 et H

1

poss` ede une base orthonorm´ ee (ϕ

j

)

j≥1

de fonctions propres ([R-N]). Rappelons la construction classique de cette base. Par un argument de compacit´ e on montre que

(2.7) λ

1

:= sup

kf k0=1

|(Af | f )

₁

| = sup

kf k0=1

kf k

²₀

est atteint en un point ψ

1

∈ H

₁

tel que A(ψ

1

) = λ

1

ψ

1

. En raisonnant par r´ ecurrence sur p ≥ 1, supposons ψ

1

, . . . , ψ

p

construits et soit H

p+1

le sous-espace ferm´ e de H

1

, orthogonal au syst` eme {ψ

1

, . . . , ψ

p

}. Alors on a A(H

_p+1

) ⊂ H

p+1

et on peut donc it´ erer la construction pr´ ec´ edente pour obtenir un ´ el´ ement ψ

p+1

tel que

λ

p+1

:= sup{(Af | f )

1

: f ∈ H

p+1

, |f |

1

= 1} = kψ

p+1

k

₀

, (2.8)

A(ψ

p+1

) = λ

p+1

ψ

p+1

, ψ

p+1

∈ H

_p+1

, kψ

p+1

k

₁

= 1.

(2.9)

Il est alors clair que (ψ

p

) est un syst` eme orthonorm´ e de H

1

orthogonal dans H

0

. Puisque A est injectif, 0 n’est pas valeur propre de A et la d´ ecomposition spectrale de A montre que {ψ

p

} est une base orthonorm´ ee de H

1

. Posons

ϕ

p

= λ

⁻¹_p

ψ

p

, (2.10)

γ

p

= λ

⁻¹_p

. (2.11)

Alors (ϕ

p

) est une base orthogonale de H

1

, orthonorm´ ee dans H

0

.

(5)

Cette construction a ´ et´ e faite par Bergman dans le cas d’une variable complexe ([Be]). Suivant sa terminologie, nous appellerons (ϕ

p

) le syst` eme doublement orthogonal de Bergman associ´ e au condensateur (K, D) (en abr´ eg´ e : S.D.O.B.).

Il r´ esulte de la construction pr´ ec´ edente que (γ

p

) est une suite croissante ten- dant vers ∞, qui ne d´ epend que du condensateur (K, D). Il est possible de l’interpr´ eter en terme de n-diam` etre de Kolmogorov et d’apr` es Mityagin [Mi], la nucl´ earit´ e de l’espace O(D) implique la propri´ et´ e suivante :

(2.12)

∞

X

j=1

γ

_j^−ε

< ∞, ∀ε > 0.

Grˆ ace ` a cette propri´ et´ e, on d´ emontre le r´ esultat suivant (voir [N-Z,2], [N-S]) : Proposition 2.2. Le S.D.O.B. associ´ e au condensateur (K, D) v´ erifie l’estimation suivante :

(2.13) lim sup

j→∞

log |ϕ

j

(z)|

log γ

j

≤ ω(z; K, D), ∀z ∈ D.

Grˆ ace au lemme de Hartogs classique, il en r´ esulte facilement :

Corollaire 2.3. Pour tout α ∈ ]0, 1[ , et tout compact E ⊂ D

α

, il existe une constante C > 0 telle que

(2.14) |ϕ

_j

|

_E

:= sup

z∈E

|ϕ

_j

(z)| ≤ Cγ

_j^α

, ∀j ∈ N

^∗

.

3. Convexit´ e logarithmique des normes duales sur l’espace O

⁰

(D). Au paragraphe 2, nous avons obtenu une estimation du syst` eme (ϕ

j

). Ici nous voulons donner une estimation du syst` eme biorthogonal (ϕ

⁰_j

) associ´ e ` a (ϕ

j

). Posons (3.1) kf k

_α

:= R

Dα

|f |

²

dµ

1

1/2

, 0 < α ≤ 1, f ∈ O(D).

D’apr` es l’in´ egalit´ e de la moyenne, les normes (3.1) engendrent la topologie de O(D). Pour α = 0 rappelons que kf k

²₀

= R

K

|f |

²

dµ

0

. On d´ efinit les normes duales de (3.1) sur O

⁰

(D) :

(3.2) kT k

^∗_α

:= sup{|hT, f i : f ∈ O(D), kf k

α

≤ 1}, T ∈ O

⁰

(D).

On suppose dans la suite que (K, D) est r´ egulier.

Th´ eor` eme 3.1. Soient 0 ≤ α

0

≤ α

₁

≤ 1, θ ∈ ]0, 1[ , ε ∈ ]0, θ[ . Alors il existe une constante C

1

> 0 (d´ ependant de α

0

, α

1

, θ, ε) telle que

(3.3) kT k

^∗_(1−θ)α₀_+θα₁

≤ C

1

kT k

^{∗ 1−θ+ε}_α₀

kT k

^{∗ θ−ε}_α₁

, ∀T ∈ O

⁰

(D).

(6)

La d´ emonstration de ce th´ eor` eme n´ ecessite quelques pr´ eliminaires. On consid` ere dans O(D) les boules associ´ ees aux normes (3.1) :

U

_α

:= n

f ∈ O(D) : R

Dα

|f |

²

dµ ≤ 1 o

, 0 < α ≤ 1,

U

₀

:=

n

f ∈ O(D) : R

Dk

|f |

²

dµ

0

≤ 1 o . Le th´ eor` eme 3.1 sera une cons´ equence du r´ esultat suivant :

Proposition 3.2. Soient 0 ≤ α

0

< α

1

≤ 1, 0 < θ < 1. Alors pour tout β ∈ ]0, 1[ tel que β > (1 − θ)α

0

+ θα

1

, il existe une constante C

2

> 0 telle que (3.4) U

_α

⊂ C

₂

r

^−θ

U

_α₀

+ C

2

r

^1−θ

U

α1

, ∀r > 0.

Montrons tout d’abord que la proposition 3.2 implique le th´ eor` eme 3.1.

D ´ e m o n s t r a t i o n d u t h ´ e o r ` e m e 3.1. Soit T ∈ O

⁰

(D), α

0

, α

1

∈ [0, 1] tels que 0 ≤ α

0

< α

1

≤ 1, θ ∈ ]0, 1[ , β ∈ [0, 1] tel que β > (1−θ)α

₀

+θα

1

. Soit f ∈ U

β

et r > 0. D’apr` es la proposition 3.2, il existe g ∈ C

2

r

^−θ

U

_α₀

et h ∈ C

2

r

^1−θ

U

_α₁

tels que f = g + h sur D. Il en r´ esulte alors que

|T (f )| ≤ |T (g)| + |T (h)| ≤ C

₂

(r

^−θ

kT k

^∗_α₀

+ r

^1−θ

kT k

^∗_α₁

), ce qui implique l’in´ egalit´ e suivante :

kT k

^∗_β

≤ C

₂

(r

^−θ

kT k

^∗_α

0

+ r

^1−θ

kT k

^∗_α

1

), ∀r > 0.

La borne inf´ erieure du second membre lorsque r > 0 varie est ´ egale ` a C

2

(1 − θ)

^θ−1

θ

^−θ

|T |

^{∗ 1−θ}_α

0

|T |

^∗θ_α

0

.

On en d´ eduit imm´ ediatement les estimations (3.3) en rempla¸ cant θ par θ − ε et β = (1 − θ)α

0

+ θα

1

> (1 − θ + ε)α

0

+ θα

1

> (1 − θ + ε)α

0

+ (θ − ε)α

1

.

D ´ e m o n s t r a t i o n d e l a p r o p o s i t i o n 3.2. Nous aurons besoin du lemme suivant tout ` a fait classique qui se d´ emontre modulo une partition de l’unit´ e et estimations L

²

de H¨ ormander (voir [A]).

Lemme 3.3. Soit Ω un ouvert pseudoconvexe de C

ⁿ

, {Ω

⁺

, Ω

⁻

} un recouvre- ment de Ω tel que Ω

⁺

∩ Ω

⁻

b Ω. Alors il existe une constante M > 0 telle que pour toute fonction v p.s.h. sur Ω et pour tout f ∈ O(Ω) il existe f

⁺

∈ O(Ω

⁺

), f

⁻

∈ O(Ω

⁻

) v´ erifiant :

(i) f = f

⁺

− f

⁻

sur Ω

⁺

∩ Ω

⁻

, (ii) R

Ω^±

|f

^±

|

²

e

^−˜^v

dλ ≤ M R

Ω⁺∩Ω⁻

|f |

²

e

^−v

dλ o` u e v(z) = v(z) + 2 log(1 + |z|

²

).

Soient α

0

, α

1

, α, β ∈ [0, 1] tels que 0 < α

0

< α ≤ β < α

1

≤ 1. On notera pour

simplifier ω = ω(0, K, D).

(7)

Posons Ω = D, Ω

⁺

= D

β

, Ω

⁻

= D \ D

α

. Soit % ≥ 0. Posons v = v

p

:= % (ω − α

0

)

⁺

α

1

− α

0

o` u (ω − α

0

)

⁺

= sup{ω − α

0

, 0}. Appliquons alors le lemme 3.3.

Soit f ∈ U

β

. On a, en posant B

1

= sup

_z∈D_β

(1 + |z|

²

),

(3.5) R

Ω⁺∩Ω⁻

|f |

²

e

^−v

dλ ≤ B

1

sup

Ω⁺∩Ω⁻

e

^−v

≤ B

1

exp

− α − α

0

α

1

− α

₀

%

. D’apr` es le lemme 3.3, il existe f

^±

∈ O(Ω

^±

) telle que

(3.6) f = f

⁺

− f

⁻

sur Ω

⁺

∩ Ω

⁻

= D

β

\ D

_α

.

Compte tenu de l’estimation (3.5), les in´ egalit´ es (ii) du lemme s’´ ecrivent, en posant B

2

= B

1

M ,

R

Dβ

|f

⁺

|

²

e

^−˜^v

dλ ≤ B

2

exp

− α − α

0

α

1

− α

₀

%

, (3.7)

R

D\Dα

|f

⁻

|

²

e

^−˜^v

dλ ≤ B

2

exp

− α − α

0

α

1

− α

₀

%

(3.8)

Posons maintenant

(3.9) g := f

⁺

sur D

⁺

= D

β

,

f + f

⁻

sur D

⁻

= D \ D

α

.

D’apr` es la relation (3.6), g est bien d´ efini et donc g ∈ O(D), h := f − g ∈ O(D) et l’on a

(3.10) f = g + h sur D.

Nous allons prouver les estimations suivantes :

R

D_α0

|g|

²

dµ

1

≤ C

₂

exp

− α − α

0

α

1

− α

₀

%

, (3.11)

R

D_α1

|h|

²

dµ

1

≤ C

2

exp α

1

− α α

1

− α

₀

%

, (3.12)

o` u C

2

est une constante qui ne d´ epend ni de f , ni de %.

Commen¸ cons par prouver (3.12). Par d´ efinition h = f − g. Compte tenu de (3.9), on a alors

(3.13) R

D_α1

|h|

²

dµ

1

= R

D_α1\Dα

|f

⁻

|

²

dµ

1

+ R

Dα

|f − f

⁺

|

²

dµ

1

.

(8)

D’apr` es (3.8) et le fait que v ≤ % sur D

α1

, on obtient

(3.14) R

D_α1\Dα

|f

⁻

|

²

dµ

1

≤ sup

D_α1

e

^v

R

D_α1\Dα

|f

⁻

|

²

e

^−˜^v

dλ ≤ B

2

exp α

₁

− α α

1

− α

₀

%

.

D’autre part, on a (3.15) R

D_α1

|f − f

⁺

|

²

dµ

1

1/2

≤ R

D_α1

|f |

²

dµ

1

1/2

+ R

D_α1

|f

⁺

|

²

dµ

1

1/2

.

D’apr` es (3.7) et le fait que v ≤ % sur D

α

⊂ D

_α₁

, on a

(3.16) R

D_α1

|f |

²

dµ

1

≤ sup

Dα

e

^v

R

D_α1

|f

⁺

|

²

e

^−˜^v

dλ ≤ B

2

exp α

1

− α α

1

− α

0

%

.

Comme f ∈ U

β

et que D

α

⊂ D

β

, il r´ esulte des estimations (3.15) et (3.16) que l’on a

(3.17)

R

D_α1

|f − f

⁺

|

²

dµ

1

1/2

≤ (1 + B

2

) exp α

1

− α α

1

− α

₀

%

.

L’estimation (3.12) r´ esulte clairement des estimations (3.13), (3.14) et (3.17) en posant C

2

= 1 + 2B

2

.

Il reste ` a prouver (3.11). En effet, d’apr` es (3.9), on a

R

D_α1

|g|

²

dµ

1

≤ R

D_α0

|f

⁺

|

²

dµ

1

≤ sup

D_α0

e

^v

R

D_α0

|f

⁺

|

²

e

^−v

dµ

1

.

Comme v = 0 sur D

α0

, on en d´ eduit d’apr` es (3.7),

(3.18) R

D_α0

|g|

²

dµ

1

≤ B

₂

exp

− α − α

0

α

1

− α

0

. On en d´ eduit (3.11) avec C

2

= 1 + 2B

2

puisque B

2

≤ C

₂

.

Soit maintenant θ ∈ ]0, 1[ . Choisissons α := (1 − θ)α

0

− θα

₁

, de sorte que α − α

0

α

1

− α

₀

= θ et α

1

− α

α

1

− α

₀

= 1 − θ.

Alors pour tout β tel que (1−θ)α

0

+θα

1

< β < α

1

et f ∈ U

β

, on a la d´ ecomposition (3.10) avec les estimations (3.11) et (3.12) qui signifient que g ∈ C

1

r

^−θ

U

_α₀

et h ∈ C

1

r

^1−θ

U

_α₁

, avec r = e

^%

. Cela prouve donc les inclusions (3.4) pour r > 1 et α

0

> 0.

Si r ∈ ]0, 1] et α

0

> 0, on a r

^−θ

≥ 1 et donc U

_β

⊂ U

_α₀

⊂ r

^−θ

U

_α₀

⊂ C

₂

r

^−θ

U

_α₀

, ce qui prouve (3.4) dans ce cas.

Il reste ` a montrer que (3.4) reste valable si α

0

= 0. Pour cela il suffit d’observer

que si β > θα

1

, il existe ε > 0 tel que β > (1 − θ)ε + θα

1

et donc d’apr` es ce qui

pr´ ec` ede on a U

β

⊂ C

₂

r

^−θ

U

_ε

+ C

2

r

^1−θ

U

_α₁

, ∀r > 0.

(9)

D’apr` es l’in´ egalit´ e de la moyenne, il existe une constante C(ε) > 0 telle que sup

K

|g|

²

≤ C(ε) R

Dε

|g|

²

dµ

1

, ∀g ∈ O(D).

Par cons´ equent, on a

R

K

|dg|

²

dµ

0

≤ µ

₀

(K)C(ε) R

Dε

|g|

²

dµ

1

, ce qui prouve que U

ε

⊂ C

⁰

(ε)U

0

o` u C

⁰

(ε) = µ

0

(K)C(ε).

On en d´ eduit que U

β

⊂ C

₂⁰

r

^−θ

U

₀

+ C

2

r

^1−θ

U

_α₁

, ∀r > 0, ce qui prouve encore (3.4) pour la constante e C

2

= max{C

₂⁰

, C

2

}.

Les in´ egalit´ es de convexit´ e du th´ eor` eme 4.1 constituent une version tr` es pr´ ecise de la propri´ et´ e (Ω) de Vogt [V] pour l’espace de Fr´ echet O(D). Cette propri´ et´ e (Ω) a ´ et´ e ´ etablie par Aytuna ([A]) pour l’espace O(D) en d´ emontrant une version plus faible de la proposition 4.2. Sa m´ ethode est bas´ ee sur les estimations L

²

de H¨ ormander [H]; c’est cette m´ ethode que nous avons reprise ici ([Ze,1]).

4. S.D.O.B. et bases de Schauder communes des espaces O(D) et O( b K

D

)

Th´ eor` eme 4.1. Soit (K, D) un condensateur r´ egulier dans C

ⁿ

. Soit (ϕ

j

) le S.D.O.B. associ´ e ` a ce condensateur. Alors :

1) (ϕ

j

) est une base de Schauder des espaces O(D

α

), O(D) et O( b K

D

), b K

D

d´ esignant l’enveloppe holomorphe-convexe de K dans D et D

α

= D(K, α), 0 < α < 1.

2) Pour tout α ∈ ]0, 1[ et toute suite complexe (c

j

), les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :

(i) P c

j

ϕ

j

converge dans O(D

α

), (ii) lim sup

j→∞

log |c

j

| log γ

j

≤ −α.

3) lim

j→∞

log |ϕ

j

|

Dα

log γ

j

= α, ∀α ∈ ]0, 1[ . 4) Reg sup

lim sup

j→∞

log |ϕ

j

| log γ

j

= ω(·, K, D) sur D \ b K

D

.

D ´ e m o n s t r a t i o n. 1) Il suffit de prouver que (ϕ

j

) est une base de O(D

α

), car

O(D) == lim proj

α↑1

O(D

α

), O( b K

D

) = lim ind

α↓0

O(D

α

).

(ϕ

j

) est totale dans O(D), d’apr` es le th´ eor` eme 2.1. Puisque O(D) est partout

dense dans O(D

α

), (ϕ

j

) est aussi totale dans O(D

α

). Il en r´ esulte que pour tout

f ∈ O(D

α

), sa restriction ` a K est un ´ el´ ement de l’espace hilbertien H

0

.

(10)

Soit f ∈ O(D

α

). Comme ´ el´ ement de H

0

, f est la somme de la s´ erie P

∞

0

ϕ

⁰_j

(f )ϕ

j

, o` u

ϕ

⁰_j

(f ) = R

K

f ϕ

j

dµ

0

. Soit β < α, ε > 0. On va montrer que

(4.1) |ϕ

⁰_j

(f )| ≤ C(β, ε)kf k

β

γ

_j^−β+ε

, ∀j.

En effet, il est facile de voir que kϕ

⁰_j

k

^∗₁

= γ

_j⁻¹

, kϕ

⁰_j

k

^∗₀

= 1, ce qui donne, avec (3.3), kϕ

⁰_j

k

^∗_β

≤ C(β, ε)γ

_j^−β+ε

, ∀j.

d’autre part, O(D) est partout dense dans O(D

α

) et B

β

b D

α

; on a donc kϕ

⁰_j

k

^∗_β

= sup{|ϕ

⁰_j

(g)| : g ∈ O(D

α

), kgk

β

≤ 1},

d’o` u (4.1).

(2.17) et (4.1) assurent la convergence normale de la s´ erie P

∞

j=0

ϕ

⁰_j

(f )ϕ

j

sur tout compact de D

α

. D’apr` es la proposition 1.2, la somme de cette s´ erie est ´ egale

`

a f sur D

α

.

2) Supposons P c

_j

ϕ

j

convergente dans O(D

α

), soit f sa somme. Alors c

j

= ϕ

⁰_j

(f ) et (ii) est une cons´ equence imm´ ediate de (4.1).

3) C’est une cons´ equence facile de (2.17) et de (4.1) appliqu´ ee ` a f = ϕ

j

, avec ϕ

⁰_j

(ϕ

j

) = 1.

4) Soit

u = Reg sup

lim sup

j→∞

log |ϕ

j

| log γ

j

.

En raison de (2.13) il suffit de prouver que l’in´ egalit´ e u(z) > ω(z, K, D) est impossible, ∀z ∈ D \ b K

D

. Supposons-la v´ erifi´ e en un point a ∈ D \ b K

D

et soit α := ω(a, K, D). A l’aide du lemme de Hartogs on voit facilement qu’il existe une boule ouverte B ⊂ D de centre a, C > 0 et β < α tels que

(4.2) |ϕ

_j

|

_B

≤ Cγ

_j^β

, ∀j.

Soit f = P ϕ

⁰_j

(f )ϕ

j

une fonction holomorphe admettant D

α

comme domaine d’holomorphie. Les in´ egalit´ es (4.1), (4.2) et (2.17) montrent que la s´ erie Pϕ

⁰_j

(f )ϕ

j

converge dans O(D

α

∪ B), f est donc analytiquement prolongeable ` a D

α

∪ B : c’est impossible.

R e m a r q u e. L’existence de bases communes est d´ emontr´ ee par Zakharyuta

([Za,1]) dans le cas particulier o` u D est “tr` es fortement pseudoconvexe” par une

m´ ethode diff´ erente de celle pr´ esent´ ee ici (voir [Ze,1]). L’assertion 4 du th´ eor` eme

est due ` a Nguyen et Siciak dans un cas particulier (voir [N-S]).

(11)

Application 1 — G´ en´ eralisation du th´ eor` eme de Whittaker

Th´ eor` eme 4.2. Soit (K, D) un condensateur r´ egulier dans C

ⁿ

. Si (f

i

) est une base commune des espaces O(D) et O( b K

D

), alors elle est une base commune des espaces O(D

α

), 0 < α < 1.

D ´ e m o n s t r a t i o n. La premi` ere preuve de cet ´ enonc´ e figure dans [Za1]. Nous en donnons bri` evement ici une nouvelle due ` a Lassere [L]. C’est une cons´ equence facile de l’assertion suivante : Soit C une partie ´ equicontinue de L(O(K), O(K)).

Si sa restriction ` a O(D) est une partie ´ equicontinue de L(O(D), O(D)), alors sa restriction ` a O(D

α

) est une partie ´ equicontinue de L(O(D

α

), O(D

α

)), ∀α ∈ ]0, 1[ .

Cette assertion se d´ emontre ´ el´ ementairement ` a l’aide de la base (ϕ

j

).

Application 2 — Propri´ et´ e produit de la fonction extr´ emale

Th´ eor` eme 4.3. Pour j = 1, . . . , p soit D

j

un ouvert pseudoconvexe de C

^nj

et E

j

un sous-ensemble K-analytique de D

j

. Alors pour tout z = (z

1

, . . . , z

p

) ∈ D

1

× . . . × D

p

on a

(4.3) ω(z, E

1

× . . . × E

p

, D

1

× . . . × D

p

) = max

j

ω(z

j

, E

j

, D

j

).

D ´ e m o n s t r a t i o n. C’est une cons´ equence du Th´ eor` eme 4.1.4, pour les d´ etails voir [N-S].

5. Isomorphisme d’espaces de fonctions holomorphes. Rappelons quelques r´ esultats de la th´ eorie des ´ echelles hilbertiennes de Mityagin dans le contexte o` u nous allons les appliquer.

Soit (a

j

) une suite croissante de r´ eels > 0 telle que lim

j→∞

a

j

= ∞; on note l

²

(exp(λa

j

)) :=

n

ξ = (ξ

j

) :

∞

X

j=1

|ξ

_j

|

²

exp(2λa

j

) < ∞ o

. C’est un espace de Hilbert avec la norme kξk

²_λ

:= P

∞

j=1

|ξ

_j

|

²

exp(2λa

j

).

Pour tout α ∈ R, on d´efinit deux espaces : L

²_α

(a

j

) = \

λ<α

l

²

(exp(λa

j

)), −∞ < α < ∞, (5.1)

L

²_α

(a

j

) = [

λ>α

l

²

(exp(λa

j

)), −∞ < α < ∞.

(5.2)

Le premier espace est une limite projective, c’est un espace de Fr´ echet; le deuxi` eme est une limite inductive.

Les cas qui nous int´ eressent v´ erifient la propri´ et´ e suivante : (5.3)

∞

X

j=1

e

^−ta^j

< ∞ ∀t > 0.

C’est la condition de nucl´ earit´ e des espaces (5.1) et (5.2).

(12)

Le th´ eor` eme d’isomorphisme de Mityagin s’exprime dans ce cas particulier de la fa¸ con suivante ([Mi]) :

Soient (a

j

) et (b

j

) deux suites croissantes de r´ eels > 0 v´ erifiant (5.3). Alors les conditions suivantes sont ´ equivalentes :

L

²_α

(a

j

) ' L

²_α

(b

j

).

(5.4.1)

0 < lim inf

j→∞

a

j

b

j

≤ lim sup

j→∞

a

j

b

j

< ∞.

(5.4.2)

L

²_α

(a

j

) ' L

²_α

(b

j

).

(5.4.3)

Soit ∆

ⁿ

(resp. ∆

ⁿ

) le polydisque unit´ e ouvert (resp. ferm´ e). Soit v : N

^∗

→ N

ⁿ

une bijection telle que |v(j)| ≤ |v(j + 1)|, ∀j ∈ N

ⁿ

. Posons e

j

(z) = z

^v(j)

et v

j

= |v(j)| pour j ∈ N

^∗

. Il est facile de voir que v

j

∼ j

^1/n

lorsque j → ∞. Il r´ esulte alors des in´ egalit´ es de Cauchy que l’application lin´ eaire

(5.5) O(e

^α

∆

ⁿ

) → L

²_α

(j

^1/n

), f =

∞

X

j=1

ξ

j

e

j

7→ ξ = (ξ

j

),

est un isomorphisme pour tout α ∈ R qui induit ´egalement un isomorphisme de O(e

^α

∆

ⁿ

) sur L

²_α

(j

^1/n

).

Les r´ esultats du §4 peuvent ´ egalement s’interpr´ eter en terme d’isomorphisme.

En effet, les estimations (4.9) et (4.10) impliquent que l’application (5.6) O(D

_α

) → L

²_α

(log γ

j

), f =

∞

X

j=1

ξ

j

ϕ

j

7→ ξ = (ξ

_j

),

est un isomorphisme pour tout α ∈ ]0, 1] qui induit un isomorphisme de O(K

α

) sur L

²_α

(log γ

j

) o` u γ

j

= γ

j

(K, D). Nous allons prouver le r´ esultat suivant :

Th´ eor` eme 5.1. Soit (K, D) un condensateur P-r´ egulier. Alors on a les propri´ et´ es suivantes :

0 < lim inf

j→∞

log γ

j

^1/n

≤ lim sup

j→∞

log γ

j

^1/n

< ∞, (1)

O(D) ' O(∆

ⁿ

), (2)

O(K) ' O(∆

ⁿ

).

(3)

D ´ e m o n s t r a t i o n. La relation (1) est ´ equivalente ` a (2) grˆ ace aux isomorphismes (5.5), (5.6) via le th´ eor` eme d’isomorphisme de Mityagin.

Pour d´ emontrer (2), on peut supposer D convexe (voir [Mi-He]). Soit E un polydisque ferm´ e tel que E ⊂ D. Alors (E, D) est un condensateur r´ egulier tel que b E

D

= E. Donc d’apr` es (5.6), O(E) ' L

²₀

(log γ

_j⁰

) o` u γ

_j⁰

= γ

j

(E, D). D’apr` es (5.4) et (5.5), on a

0 < lim inf

j→∞

log γ

⁰_j

j

^1/n

≤ lim sup

j→∞

log γ

_j⁰

j

^1/n

< ∞.

(13)

Puisque O(D) ' L

²₁

(log γ

_j⁰

), il r´ esulte du th´ eor` eme d’isomorphisme de Mityagin que O(D) ' O(∆

ⁿ

). D’o` u l’isomorphisme (2). Les estimations (1) en r´ esultent grˆ ace au th´ eor` eme de Mityagin ([Mi]).

L’isomorphisme (3) en r´ esulte par le mˆ eme th´ eor` eme puisque O(K) ' L

²₀

(log γ

j

).

R e m a r q u e. L’isomorphisme (2) du th´ eor` eme 5.1 est dˆ u ` a Zakharyuta ([Za,1]) dans le cas particulier o` u D est “tr` es fortement pseudoconvexe”. Le cas g´ en´ eral est dˆ u ` a Aytuna ([A]) et a ´ egalement ´ et´ e annonc´ e par Zakharyuta ([Za,3]). L’isomorphisme (3) du th´ eor` eme 5.1 est dˆ u ` a Zakharyuta ([Za,1], [Za,3]).

La d´ emonstration pr´ esent´ ee ici semble plus ´ el´ ementaire.

6. S.D.O.B. et fonctions s´ epar´ ement analytiques. Pour j = 1, . . . , p, soient D

j

un ouvert born´ e de C

ⁿ^j

et E

j

un sous-ensemble non C

ⁿj

-pluripolaire de D

j

. On pose

X := (D

1

× E

₂

× . . . × E

_p

) ∪ (E

1

× D

₂

× E

₃

× . . . × E

_p

)

∪ (E

₁

× . . . × E

_p−1

× D

_p

), X := b n

(z

1

, . . . , z

p

) ∈ D

1

× . . . × D

_p

:

p

X

j=1

ω(z

j

, E

j

, D

j

) < 1 o .

Une fonction f (z

1

, . . . , z

p

) d´ efinie sur X est dite s´ epar´ ement analytique sur X lorsque pour tout k = 1, . . . , p et pour z ∈ E

1

× . . . × ˇ E

k

× . . . × E

p

( ˇ E

k

signifie que E

k

n’y figure pas), la fonction ξ → f (z

1

, . . . , z

k−1

, ξ, z

k+1

, . . . , z

p

) est analytique sur D

k

.

Th´ eor` eme 6.1. On suppose que les E

j

sont K-analytiques sauf au plus un, et que les ouverts born´ es D

j

correspondants sont pseudoconvexes. Alors pour toute fonction f s´ epar´ ement analytique sur X , il existe une et une seule fonction b f analytique sur b X telle que f = b f sur X ∩ b X.

La d´ emonstration est divis´ ee en plusieurs ´ etapes :

1) Existence de b f , cas p = 2. Ce cas p = 2 a ´ et´ e trait´ e dans [N-Z,2]. On r´ esume ici la preuve. On peut supposer D := D

1

pseudoconvexe et E := E

1

K-analytique.

On pose G := D

2

, F := E

2

.

On se ram` ene au cas o` u E est compact et f continue et born´ ee sur E × G.

Sous ces conditions, on choisit une suite croissante (D

s

) d’ouverts hyperconvexes telle que E ⊂ D

s

b D et S D

_s

= D. Pour s fix´ e, soit (ϕ

j

) le S.D.O.B. associ´ e au condensateur e E := E ∩ e D

s

.

Pour w ∈ F , f (·, w) est holomorphe sur D, donc c’est un ´ el´ ement de O

²

( e D

s

, dµ

1

) et peut s’´ ecrire f (·, w) = P

∞

j=0

C

j

(w)ϕ

j

, avec C

j

(w) = R

E˜

f (z, w)ϕ

_j

(z) dµ

0

(z), µ

0

= (dd

^c

ω(·, e E, e D

s

))

ⁿ¹

.

(14)

L’int´ egrale d´ efinit une fonction analytique sur G que l’on note encore par C

j

. Par des majorations ad´ equates utilisant (2.12) et (2.13), on montre que la s´ erie P

∞

j=0

C

j

(w)ϕ

j

(z) converge uniform´ ement sur tout compact de l’ouvert X

s

:= {(z, w) ∈ e D

s

× G : ω(z, e E, e D

s

) + ω(w, F, G) < 1}

= {(z, w) ∈ D

s

× G : ω(z, E, D

s

) + ω(w, F, G) < 1}.

Soit F

s

(z, w) la somme de cette s´ erie. Elle est ´ evidemment ´ egale ` a f (z, w) sur X

s

∩ ( e D

s

× F ) = X

_s

∩ (D

_s

× F ), on v´ erifie qu’elle l’est encore sur X

s

∩ ( e E

s

× G) = X

s

∩ (E × G). On v´erifie ensuite que F

s

= F

s+1

sur X

s

. Ces v´ erifications utilisent (1.4bis). On obtient b f en “recollant les morceaux” (X

s

, F

s

) et en remarquant que S X

_s

= b X.

2) Existence de b f , cas p > 2. On a besoin de quelques nouvelles notations.

Pour α = (α

1

, . . . , α

p

) ∈ (R

⁺∗

)

^p

, on pose

D

_j^α^j

:= {ξ ∈ D

j

: ω(ξ, E

j

, D

j

) < α

j

}, D

^α

: = D

^α₁¹

× . . . × D

_p^α^p

, E

_j^α^j

:= E

j

∩ D

_j^α^j

, E

^α

= E

₁^α¹

× . . . × E

_p^α^p

.

On peut supposer E

1

, . . . , E

p−1

K-analytiques et D

₁

, . . . , D

p−1

pseudoconvexes.

On raisonne par r´ ecurrence en supposant que l’´ enonc´ e est vrai pout p − 1.

(i) Soit T

p

le simplexe {(x

1

, . . . , x

p

) ∈ (R

⁺∗

)

^p

: P

p

j=1

x

j

≤ 1}. On va montrer que pour tout α ∈ T

p

il existe une fonction f

α

analytique sur D

^α

telle que f

α

= f sur D

^α

∩ X. On pose θ

_j

= α

j

(1 − α

p

)

⁻¹

pour j = 1, . . . , p − 1, D

^θ

= D

^θ₁¹

×. . .×D

^θ_p−1^p−1

, E

^θ

= E

₁^θ¹

×. . .×E

_p−1^θ^p−1

. Puisque f est s´ epar´ ement analytique sur X, f (z, ·) est analytique sur D

p

pour z ∈ E

^θ

, pour w ∈ F , f (·, w) est s´ epar´ ement analytique sur

X

_∗

:= (D

1

× E

2

× . . . × E

p−1

) ∪ . . . ∪ (E

1

× . . . × E

p−2

× D

p−1

).

Donc, par hypoth` ese de r´ ecurrence, il existe une fonction b f

w

analytique sur b X

∗

telle que b f

w

= f (·, w) sur b X

_∗

∩ X

_∗

. On remarque que D

^θ

⊂ b X

_∗

, car P

p−1

j=1

θ

j

≤ 1.

On consid` ere sur

Y := (D

^θ

× E

_p

) ∪ (E

^θ

× D

_p

) la fonction e f ,

f (z, w) = e f (z, w) si (z, w) ∈ E

^θ

× D

_p

, f b

w

(z) si (z, w) ∈ D

^θ

× E

_p

.

f est s´ e epar´ ement analytique sur Y et ´ egale ` a f sur Y ∩ X, donc d’apr` es le cas p = 2 il existe une fonction g analytique sur

Y = {(z, w) ∈ D b

^θ

× D

_p

: ω(z, E

^θ

, D

^θ

) + ω(w, E

p

, D

0

) < 1}

telle que g = e f sur b Y ∩ X.

(15)

La propri´ et´ e produit de la fonction extr´ emale (4.3) et (1.4) donnent, pour z = (z

1

, . . . , z

p−1

) ∈ D

^θ

,

ω(z, E

^θ

, D

^θ

) = max

1≤j≤p−1

1 − α

p

α

j

ω(z

j

, E

j

, D

j

).

Pour (z, W ) ∈ D

^α

⊂ D

^θ

× D

^αp^p

on a

ω(z, E

^θ

, D

^θ

) + ω(w, E

p

, D

0

) < 1 − α

p

+ α

p

= 1,

donc D

^α

⊂ b Y . On remarque que f = g sur D

^α

∩ X; en effet, e f = f = g sur Y ∩ Y ∩ X qui contient D b

^α

∩ X car D

^α

⊂ b T et D

^α

∩ X ⊂ Y ∩ X. On obtent donc le r´ esultat annonc´ e en posant f

α

= g.

(ii) Terminons maintenant la preuve de l’existence de b f . Soient α, β ∈ T

p

, soient f

α

et f

β

comme dans (i). Alors f

α

= f

β

sur D

^α

∩ D

^β

∩ X qui contient E

^γ

, avec γ = (min(α

1

, β

1

), . . . , min(α

p

, β

p

)). Or d’apr` es (1.4bis), E

^γ

est “localement”

non pluripolaire dans D

^γ

= D

^α

∩ D

^ω

, donc f

α

= f

β

sur D

^α

∩ D

^β

. On peut donc recoller les morceaux (D

^α

, f

α

) pour tous les α ∈ T

p

: on obtient une fonction b f analytique sur

X = b [

α∈Tp

D

^α

et ´ egale ` a f sur b Y ∩ X.

3) Unicit´ e. Si g est analytique sur b X et ´ egale ` a f sur b X ∩ X, alors pour tout α ∈ T

p

, b f et g sont analytiques sur D

^α

⊂ b X et ´ egales sur E

^α

qui est “localement”

non pluripolaire dans D

^α

, donc identiques sur D

^α

. Par cons´ equent b f = g sur b X, r´ eunion des D

^α

.

R e m a r q u e s. 1) Le th´ eor` eme 5.1 est une extension du th´ eor` eme bien connu de J. Siciak ([Si,1]).

2) Dans le cas p = 2, l’hypoth` ese que D = D

1

et G = D

2

sont born´ es, oubli´ ee dans [N-Z,2], est faite pour garantir les propri´ et´ es de convergence de la fonction extr´ emale. Plus pr´ ecis´ ement, si D est un ouvert born´ e de C

ⁿ

, alors :

• pour toute suite croissante (E

_s

) de sous-ensembles de C

ⁿ

, ω(z, E

s

, D) & ω

z, [

E

s

, D

, ∀z ∈ D,

• pour toute suite croissante (D

_s

) d’ouverts de C

ⁿ

telle que S D

s

= D et tout E ⊂ C

ⁿ

,

ω(z, E

s

, D) & ω(z, E, D), ∀z ∈ D.

Lorsque D et G ne sont pas born´ es (D ouvert pseudoconvexe, G ouvert), la

d´ emonstration de [N-Z,2] est valable sous les hypoth` eses suivantes :

(16)

• Il existe une suite croissante d’ouverts hyperconvexes (D

_t

) telle que D

t

b D, S D

_t

= D et que

t→∞

lim ω(z, E ∩ D

s

, D

t

) = ω(z, E ∩ D

s

, D), ∀z ∈ D, ∀s,

s→∞

lim ω(z, E ∩ D

s

, D) = ω(z, E, D), ∀z ∈ D.

• Il existe une suite croissante d’ouverts (G

_t

) ayant les mˆ emes propri´ et´ es par rapport au couple (F, G).

Ces hypoth` eses sont satisfaites lorsque E et F sont des compacts P -r´ eguliers dans D et G respectivement, avec D, G pseudoconvexes : on retrouve le r´ esultat de Zakharyuta [Za,2].

Elles sont ´ egalement satisfaites lorsque D et G sont hyperconvexes ([K]).

3) Dans son article de synth` ese sur les fonctions plurisousharmoniques [Sa], A. Sadullaev a donn´ e bri` evement une autre d´ emonstration du th´ eor` eme 5.1 avec p = 2, D

i

pseudoconvexe et E

i

bor´ elien (i = 1, 2).

N o t e. V. P. Zakharyuta nous a aimablement communiqu´ e son texte poly- copi´ e “Espaces de fonctions analytiques” (95 pages en Russe). On y trouve des

´

enonc´ es semblables ` a certains r´ esultats de notre texte avec des techniques de d´ emonstrations diff´ erentes.

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