1. Stawiamy hipotezy H0 i H1 oraz wybieramy odpowiedni model.
Z treści zadania wynika, że szacujemy wartość oczekiwaną oceny losowo wybranego studenta m.
H0 : m = 4.5, H1 : m > 4.5.
Badana cecha ma rozkład normalny o danej teoretycznej wartości odchylenia standardowego.
Zatem wybieramy Model 1.
2. Obliczamy wartość statystyki testowej.
U = x − m0 σ
√n
Podstawiamy x = 4.6, m0 = 4.5, σ = 0.5, n = 9.
I otrzymujemy:
U = x − m0 σ
√n = 4.6 − 4.5
0.5 ∗ 3 = 0.6
3. Znajdujemy zbiór krytyczny dla dango poziomu istotności α i danej hipotezy H1.
Ponieważ hipoteza alternatywna jest postaci H1 : m > m0, to wybieramy zbiór krytyczny postaci:
W = (u1−α; +∞)
Z tablicy 3 wyznaczamy wartość kwantyla rozkładu normalnego N (0, 1):
u1−α = u1−0.01= u0.99= 2.33
Zatem zbiór krytyczny jest postaci:
W = (2.33; +∞)
4. Podejmujemy decyzję weryfikacyjną.
Obliczona wartośc statystyki testowej U = 0.6. Zbiór krytyczny W = (2.33; +∞)
Ponieważ obliczona wartość statystyki testowej nie należy do zbudowanego zbioru krytycznego, to na poziomie istotności α = 0.01 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (tzn. przyjęcia H1).
Zatem na poziomie istotności α = 0.01 nie ma podstaw by twierdzić, że średnia ocen z egzaminu dla całej populacji studentów będzie większa niż 4.5.
1. Stawiamy hipotezy H0 i H1 oraz wybieramy odpowiedni model.
Z treści zadania wynika, że szacujemy wariancję pomiaru pewnym przyrządem σ2. H0 : σ2 = 0.0125, H1 : σ2 > 0.0125.
Badana cecha ma rozkład normalny, liczność próby n = 10 < 50.
Zatem wybieramy Model 4.
2. Obliczamy wartość statystyki testowej.
χ2 = ns2 σ02 Podstawiamy s2 = 0.0290, σ02 = 0.0125, n = 10.
I otrzymujemy:
χ2 = ns2
σ02 = 10 · 0.029
0.0125 = 23.2
3. Znajdujemy zbiór krytyczny dla dango poziomu istotności α i danej hipotezy H1.
Ponieważ hipoteza alternatywna jest postaci H1 : σ > σ0, to wybieramy zbiór krytyczny postaci:
W = (χ2(α; n − 1); +∞)
Z tablicy 4 wyznaczamy wartość krytyczną rozkładu chi-kwadrat:
χ2(α; n − 1) = χ2(0.01; 9) =
χ2(α; n − 1) = χ2(0.01; 9) = 21.67
Zatem zbiór krytyczny jest postaci:
W = (21.67; +∞)
4. Podejmujemy decyzję weryfikacyjną.
Obliczona wartośc statystyki testowej χ2 = 23.2. Zbiór krytyczny W = (21.67; +∞)
Ponieważ obliczona wartość statystyki testowej należy do zbudowanego zbioru krytycznego, to na po- ziomie istotności α = 0.01 nalezy odrzucić hipotezę H0 (tzn. przyjąć H1).
Zatem na poziomie istotności α = 0.01 można twierdzić, że wariancja pomiary tym przyrządem jest większa niż 0.0125.
1. Stawiamy hipotezy H0 i H1 oraz wybieramy odpowiedni model.
Z treści zadania wynika, że badana cecha jest mierzalna oraz porównujemy wartości oczekiwane w dwóch populacjach.
Oznaczmy przez m1, m2 wartości oczekiwane badanej cechy, a przez σ1, σ2 odchylenia standardowe badanej cechy odpowiednio w pierwszej (proszek A) i drugiej (proszek B) populacji.
H0 : m1 = m2, H1 : m1 > m2.
Badana cecha ma rozkład normalny, wartości teoretyczne odchylenia standardowego σ1, σ2 nie są znane.
Zatem wybieramy Model 2 dla weryfikacji hipotezy o równości wartości oczekiwanej w dwóch popula- cjach.
2. Obliczamy wartość statystyki testowej.
T = x1− x2
rn1s21+n2s22
n1+n2−2 · nn1+n2
1·n2
Podstawiamy x1 = 74.0, x2 = 57.3, s21 = 2.08, s22 = 1.65, n1 = 10, n2 = 7.
I otrzymujemy:
T = x1− x2
r
n1s21+n2s22
n1+n2−2 · nn1+n2
1·n2
= 74.0 − 57.3
q10·2.08+7·1.65
10+7−2 · 10+710·7 = 23.09 3. Znajdujemy zbiór krytyczny dla dango poziomu istotności α i danej hipotezy H1.
Ponieważ hipoteza alternatywna jest postaci H1 : m1 > m2, to wybieramy zbiór krytyczny postaci:
W = (t(2α; n1 + n2− 2); +∞)
Z tablicy 5 wyznaczamy wartość krytyczną rozkładu t-Studenta:
t(2α; n1+ n2− 2) = t(0.1; 15) = 1.75
Zatem zbiór krytyczny jest postaci:
W = (1.75; +∞)
4. Podejmujemy decyzję weryfikacyjną.
Obliczona wartośc statystyki testowej T = 23.09. Zbiór krytyczny W = (1.75; +∞)
Ponieważ obliczona wartość statystyki testowej należy do zbudowanego zbioru krytycznego, to na po- ziomie istotności α = 0.05 nalezy odrzucić hipotezę H0 (tzn. przyjąć H1).
Zatem na poziomie istotności α = 0.05 można twierdzić, że używanie proszku A daje lepsze efekty niż używanie zwykłego proszku B .
1. Stawiamy hipotezy H0 i H1 oraz wybieramy odpowiedni model.
Z treści zadania wynika, że badana cecha jest zerojedynkowa (1 = zamierza głosować; 0 = nie za- mierza głosować), szacujemy wskaźnik struktury p, czyli odsetek uprawnionych do głosowania, którzy zamierzają wziąć udział w wyborach.
Z treści zadania można wnioskować, że głosujących będzie więcej niż 60%, zatem hipotezy stawiamy następująco:
H0 : p = 0.6, H1 : p > 0.6.
Badana cecha jest zerojedynkowa, liczność próby n = 2500 jest większa od 100.
Zatem wybieramy Model dla weryfikacji hipotezy o wskaźniku struktury.
2. Obliczamy wartość statystyki testowej.
U =
Zn
n − p0
qp0(1−p0) n
Podstawiamy p0 = 0.6, n = 2500, Zn= 1600, czyli Znn = 0.64 . I otrzymujemy:
U =
Zn
n − p0
qp0(1−p0) n
= 0.64 − 0.60
q0.6·0.4 2500
= 0.04 0.01 = 4
3. Znajdujemy zbiór krytyczny dla dango poziomu istotności α i danej hipotezy H1.
Ponieważ hipoteza alternatywna jest postaci H1 : p > 0.6, to wybieramy zbiór krytyczny postaci:
W = (u1−α; +∞)
Podstawiamy α = 0.05. Z tablicy 3 wyznaczamy wartość kwantyla rozkładu normalnego N (0.1):
u1−α = u1−0.05= u0.95= 1.65
Zatem zbiór krytyczny jest postaci:
W = (1.65; +∞)
4. Podejmujemy decyzję weryfikacyjną.
Obliczona wartośc statystyki testowej U = 4. Zbiór krytyczny W = (1.65; +∞)
Ponieważ obliczona wartość statystyki testowej należy do zbudowanego zbioru krytycznego, to na po- ziomie istotności α = 0.05 nalezy odrzucić hipotezę H0 (tzn. przyjąć H1).
Zatem na poziomie istotności α = 0.05 można twierdzić, że więcej niż 60% uprawnionych do głosowania weźmie udział w tych wyborach.
1. Stawiamy hipotezy H0 i H1 oraz wybieramy odpowiedni model.
Z treści zadania wynika, że badana cecha jest zerojedynkowa (1 = oswiadczył, że oczekuje poprawy warunków pracy; 0 = nie oświadczył, że oczekuje poprawy warunków pracy).
Porównujemy wartości wskaźnika struktury w dwóch populacjach: kobiet i mężczyzn.
Oznaczmy przez p1 świstaków pracujących przy zawijaniu w sreberka, które oczekują poprawy warun- ków pracy, a przez p2 odsetek świstaków pracujących przy masowaniu krów, które oczekują poprawy warunków pracy.
Z treści wynika, że chcielibyśmy wykazać, że świstaki pracujące przy masowaniu krów częściej niż świ- staki pracujące przy zawijaniu w sreberka oczekują poprawy warunków pracy, zatem stawiamy hipotezy następująco:
H0 : p1 = p2, H1 : p1 < p2.
Badana cecha ma jest zerojedynkowa, liczności prób z obu populacji n1 = 100, n2 = 200 są większe lub równe od 100.
Zatem wybieramy Model dla weryfikacji hipotezy o dwóch wskaźnikach struktury.
2. Obliczamy wartość statystyki testowej.
U =
Zn1 n1 −Znn2
2
rZn1+Zn2 n1+n2
1 − Zn1n +Zn2
1+n2
· nn1+n2
1·n2
Podstawiamy Zn1 = 50, Zn2 = 120, czyli Znn1
1 = 0.5 oraz Znn2
2 = 0.6 . I otrzymujemy:
U =
Zn1 n1 −Znn2
2
rZn1+Zn2 n1+n2
1 −Zn1n +Zn2
1+n2
· nn1+n2
1·n2
= 0.5 − 0.6
r
170 300
1 − 170300· 20000300
= −0.10
0.06 = −1.67 3. Znajdujemy zbiór krytyczny dla dango poziomu istotności α i danej hipotezy H1.
Ponieważ hipoteza alternatywna jest postaci H1 : p1 < p2, to wybieramy zbiór krytyczny postaci:
W = (−∞; −u1−α)
Podstawiamy α = 0.01. Z tablicy 3 wyznaczamy wartość kwantyla rozkładu normalnego N (0.1):
u1−α = u1−0.01= u0.99= 2.33 Zatem zbiór krytyczny jest postaci:
W = (−∞; −2.33) 4. Podejmujemy decyzję weryfikacyjną.
Obliczona wartośc statystyki testowej U = −1.67. Zbiór krytyczny W = (−∞; −2.33)
Ponieważ obliczona wartość statystyki testowej nie należy do zbudowanego zbioru krytycznego, to na poziomie istotności α = 0.05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (tzn. przyjęcią H1).
Zatem na poziomie istotności α = 0.05 nie ma podstaw by twierdzić, że w badanej populacji świstaki pracujące przy masowaniu krów częściej niż świstaki pracujące przy zawijaniu w sreberka oczekują poprawy warunków pracy.
