1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wykÃlad 6
dr in˙z. Krzysztof Bry´s
Zasada wÃl¸aczania-wyÃl¸aczania. Nieporz¸adki
Ten wykÃlad po´swiecony b¸edzie zasadzie wÃl¸aczania-wyÃl¸aczania czyli sposobowi obliczania liczno´sci sumy n zbior´ow oraz zastosowaniom tej zasady, w szczeg´olno´sci do wyznaczenia liczby nieporz¸adk´ow zbioru n-elementowego. ÃLatwo stwierdzi´c, ˙ze liczno´s´c sumy n zbior´ow nie jest w og´olno´sci r´owna sumie liczno´sci tych zbior´ow, gdy˙z pewne elementy tej sumy mog¸a nale˙ze´c do wi¸ecej ni˙z jednego zbioru. Na pocz¸atek sformuÃlujemy problem znajdowania liczno´sci sumy n zbior´ow oraz przypomnimy wzory na liczno´s´c sumy n = 2 i n = 3 zbior´ow.
Zasada wÃl¸aczania-wyÃl¸aczania dla n zbior´ow Wpierw zdefiniujemy problem, kt´ory b¸edziemy rozwa˙za´c.
Problem znalezienia liczno´sci sumy n zbior´ow Dane: zbiory sko´nczone A1, A2, . . . , An
Szukane: Liczno´s´c sumy tych zbior´ow czyli |A1∪ A2∪ An|.
Ka˙zdy ze zbior´ow Ai ( dla i = 1, 2, . . . , n) mo˙zna uto˙zsami´c z tymi elementami pewnego uniwersum, kt´ore posiadaj¸a i-t¸a wÃlasno´s´c. Suma zbior´ow skÃlada si¸e wtedy z tych element´ow uniwersum, kt´ore posiadaj¸a co najmniej jedn¸a z tych wÃlasno´sci. Otrzymujemy w ten spos´ob r´ownowa˙zn¸a posta´c zagadnienia liczno´sci sumy podzbioru:
R´ownowa ˙zna posta´c problemu znalezienia liczno´sci sumy n zbior´ow
Dane: Uniwersum U oraz zbi´or wÃlasno´sci 1, 2, . . . , n element´ow uniwersum (ka˙zdy element albo posiada albo nie posiada i-tej wÃlasno´sci, i = 1, 2, . . . , n.
Szukane: Liczba tych element´ow uniwersum, kt´ore posiadaj¸a co najmniej jedn¸a spo´sr´od wÃlasno´sci 1, 2, . . . , n.
PrzykÃlad Niech U b¸edzie zbiorem wszystkich student´ow a 1, 2, . . . n b¸ed¸a wykÃladami, na kt´ore ucz¸eszczaj¸a. Dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , n, przez Ai oznaczmy zbi´or tych student´ow nale˙z¸acych do U , kt´orzy nie zaliczyli i-tego wykÃladu. Poszukujemy liczby student´ow, kt´orzy nie zaliczyli co najmniej jednego wykÃladu (i w zwi¸azku z tym musz¸a na przykÃlad powtarza´c rok).
Aby wyrobi´c sobie intuicj¸e co do sposobu rozwi¸azania tego problemu rozwa˙zmy wpierw przypadki ”trywialne”:
Przypadek n = 2
Dane Zbiory sko´nczone A1, A2. Szukane |A1∪ A2|.
Oczywi´scie je´sli dodamy do siebie liczno´sci zbior´ow A1 i A2, to otrzymana w ten spos´ob liczba nie b¸edzie liczno´sci¸a sumy tych zbior´ow, gdy˙z elementy nale˙z¸ace do cz¸e´sci wsp´olnej tych zbior´ow byÃly liczone (wÃl¸aczone) dwa razy. Zatem raz trzeba ich liczb¸e odj¸a´c od sumy liczno´sci zbior´ow (musz¸a zosta´c raz wyÃl¸aczone). Otrzymujemy zatem wz´or na liczno´s´c sumy dw´och
4
2 zbior´ow:
|A1∪ A2| = |A1| + |A2| − |A1∩ A2|
Przypadek n = 3
Dane Zbiory sko´nczone A1, A2, A3. Szukane |A1∪ A2∪ A3|.
Oczywi´scie je´sli dodamy do siebie liczno´sci zbior´ow A1, A2 i A3 to otrzymana w ten spos´ob liczba nie b¸edzie liczno´sci¸a sumy tych zbior´ow, gdy˙z elementy nale˙z¸ace do wi¸ecej ni˙z jednego z tych zbior´ow b¸ed¸a w ten spos´ob liczone (wÃl¸aczone) wi¸ecej ni˙z raz. Odejmijmy zatem liczno´sci wszystkich cz¸e´sci wsp´olnych par tych zbior´ow (tzn. A1∩ A2, A1∩ A3, A2∩ A3). W ten spos´ob elementy nale˙z¸ace do dw´och z tych trzech zbior´ow b¸ed¸a liczone tylko raz (bo dwukrotnie zostaÃly wÃl¸aczone do sumy i raz zostaÃly wyÃl¸aczone). Ale elementy nalez¸ace do cz¸e´sci wsp´olnej wszystkich trzech zbior´ow zostaÃly trzykrotnie dodane do sumy (wÃl¸aczone) i trzykrotnie odj¸ete (wyÃl¸aczone). Musimy policzy´c (wÃl¸aczy´c) je raz. Dodajmy zatem do otrzymanej liczby liczno´s´c iloczynu (cz¸e´sci wsp´olnej) wszystkich trzech zbior´ow. Otrzymujemy zatem wz´or na liczno´s´c sumy trzech zbior´ow:
|A1∪ A2 ∪ A3| = |A1| + |A2| + |A3| − |A1∩ A2| − |A1∩ A3| − |A2∩ A3| + |A1∩ A2∩ A3|
Wr´o´cmy teraz do og´olnego przypadku problemu sformuÃlowanego na wst¸epie.
Przypadek og´olny: n jest dowoln¸a liczb¸a naturaln¸a wi¸eksz¸a ni˙z 1
Wz´or na liczno´s´c sumy n zbior´ow najpierw ”odgadniemy” a potem podamy dow´od jego poprawno´sci. Analizuj¸ac przypadki n = 2 i n = 3 mo˙zna domy´slic si¸e jak b¸edzie wygl¸adaÃl wz´or na liczno´s´c sumy zbior´ow w przypadku n = 4: najpierw nale˙zy doda´c do siebie liczno´sci poszczeg´olnych zbior´ow, potem odj¸a´c liczno´sci wszystkich iloczyn´ow dw´och zbior´ow potem doda´c liczno´sci iloczyn´ow trzech zbior´ow i w ko´ncu dodac liczno´s´c iloczynu wszystkich czterech.
Analogicznie w przypadku n = 5 i dla kolejnych warto´sci n. Wydaje si¸e, ˙ze nale˙zy doda´c liczno´sci wszystkich iloczyn´ow nieparzystej liczby zbior´ow a odj¸a´c liczno´sci wszystkich iloczyn´ow parzystej liczby zbior´ow. Nasz¸a hipotez¸e sformuÃlujemy w postaci og´olnej zasasdy wÃl¸aczania- wyÃl¸aczania dla dowolnej liczby zbior´ow a nast¸epnie udowodnimy.
Wprowad´zmy wpierw pewne oznaczenie, kt´ore pozwoli nam sformuÃlowa´c zasad¸e wÃl¸aczania- wyÃl¸aczania w spos´ob zwi¸ezÃly.
Dla uproszczenia dalszych rozwa˙za´n um´owmy si¸e, ˙ze ka˙zdy ze zbior´ow A1, A2, . . . , An jest iloczynem (cz¸e´sci¸a wsp´oln¸a) jednego zbioru (siebie samego). Wprowadzili´smy wi¸ec iloczyn jednego zbioru. Mo˙zemy teraz przej´s´c do oznaczenia. Dla dowolnego i = 1, 2, . . . n przez N(i) oznaczmy sum¸e liczno´sci wszystkich iloczyn´ow (cz¸e´sci wsp´olnyuch) i zbior´ow wybranych spo´sr´od A1, A2, . . . An, to znaczy:
N(i) = X
1≤p1<p2<...<pi≤n
|Ap1 ∩ Ap2 ∩ . . . ∩ Api|
Wybieramy na wszystkie mo˙zliwe sposoby i zbior´ow Ap1, Ap2, . . . , Api spo´sr´od A1, A2, . . . An i sumujemy liczno´sci iloczyn´ow tych i zbior´ow. ZakÃladamy, ˙ze numery zbior´ow w iloczynie 5
Rzeczywi´scie, liczno´s´c dopeÃlnienia sumy n zbior´ow, czyli liczb¸e element´ow uniwersum kt´ore nie nale˙z¸a do tej sumy mo˙zna obliczy´c odejmuj¸ac od liczno´sci uniwersum liczno´s´c sumy n zbior´ow. Wykorzystuj¸ac zasad¸e wÃl¸aczania-wyÃl¸aczania otrzymujemy wyra˙zenie z sum¸a, kt´or¸a poprzedza znak ”-”. Wymna˙zamy t¸a sum¸e przez −1 mno˙z¸ac ka˙zdy skÃladnik tej sumy przez
−1 a zatem podwy˙zszamy pot¸eg¸e (−1) do i. W ko´ncu wÃl¸aczamy wyraz N (0) do sumy jako pierwszy wyraz odpowiadaj¸acy i = 0.
Spr´obujmy teraz zastosowa´c zasad¸e wÃl¸aczania - wyÃl¸aczania do rozwi¸azania przykÃladowego zadania.
Zadanie 1. Po nocy sp¸edzonej na wsp´olnej nauce Matematyki Dyskretnej ka˙zd¸a ze 100 os´ob bior¸acych udziaÃl w tej nauce bolaÃla gÃlowa lub bolaÃl brzuch lub miaÃla wzmo˙zone pragnie- nie. Wiadomo, ˙ze 60 os´ob bolaÃla gÃlowa, 35 bolaÃl brzuch, 10 nie bolaÃla ani gÃlowa ani brzuch.
Spo´sr´od 26 os´ob, kt´ore miaÃly wzmo˙zone pragnienie 6 os´ob bolaÃla gÃlowa a 11 brzuch. Ile os´ob miaÃlo wszystkie wymienione objawy?
Rozwi¸azanie: Wpierw wprowad´zmy oznaczenia. Niech G oznacza zbi´or tych os´ob, kt´ore bolaÃla gÃlowa, B - zbi´or tych os´ob, kt´ore bolaÃl brzuch a P - zbi´or tych os´ob kt´ore miaÃly wzmo˙zone pragnienie.
Wypiszmy dane wynikaj¸ace wprost z tre´sci zadania:
|G| = 60, |B| = 35, |P | = 26, |P ∩ G| = 6, |P ∩ B| = 11.
Poniewa˙z ka˙zda ze 100 os´ob nale˙zy do co najmniej jednego z tych zbior´ow (czyli ka˙zdy nale˙zy do sumy), to |G ∪ B ∪ P | = 100. Wiemy, ˙ze 10 os´ob nie bolaÃla ani gÃlowa ani brzuch czyli 10 os´ob nale˙zy i do dopeÃlnienia zbioru G i do dopeÃlnienia zbioru B a zatem |G ∩ B| = 10.
PozostaÃle 90 os´ob bolaÃl brzuch lub gÃlowa a zatem nale˙z¸a do B lub do G (czyli nale˙z¸a do sumy tych zbior´ow). Zatem |G ∪ B| = 90. Szukana jest liczba os´ob, kt´ore miaÃly wszystkie wymienione objawy a zatem nale˙z¸a do ka˙zdego ze zbior´ow G, B, P (czyli nale˙z¸a do cz¸e´sci wsp´olnej tych zbior´ow).
Poszukujemy wi¸ec |G ∪ B ∪ P |. Oznaczmy t¸a liczb¸e przez x. Zapiszmy teraz zasad¸e wÃl¸aczania-wyÃl¸aczania dla n = 3 zbior´ow G, B, P :
|G ∪ B ∪ P | = |G| + |B| + |P | − |G ∩ B| − |G ∩ P | − |B ∩ P | + |G ∩ B ∩ P | i wstawmy to co jest dane oraz niewiadom¸a x do tego r´ownania:
100 = 60 + 35 + 26 − |G ∩ B| − 6 − 11 + x.
Zauwa˙zmy, ˙ze |G ∩ B| mo˙zemy obliczy´c stosuj¸ac zasad¸e wÃl¸aczania wyÃl¸aczania dla n = 2 zbior´ow G i B. Mianowicie:
|G ∪ B| = |G| + |B| − |G ∩ B|
czyli
90 = 60 + 35 − |G ∩ B|
zatem
|G ∩ B| = 5.
Wstawiaj¸ac do otrzymanego wcze´sniej r´ownania z niewiadom¸a x mamy:
100 = 60 + 35 + 26 − 5 − 6 − 11 + x
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
3 s¸a uporz¸adkowane od najmniejszego do najwi¸ekszego ( w spos´ob rosn¸acy) aby nie liczy´c wielokrotnie tego samego iloczynu. Dla przykÃladu: A1∩ A2 = A2∩ A1 ale iloczyn ten b¸edzie liczony tylko raz gdy˙z w iloczynie postaci A2 ∩ A1 numery zbior´ow nie s¸a uporz¸adkowane w spos´ob rosn¸acy. Oczywi´scie N (1) jest sum¸a liczno´sci wszystkich zbior´ow.
PrzykÃladowo, dla n = 3:
N(1) = |A1| + |A2| + |A3|,
N(2) = |A1∩ A2| + |A1∩ A3| + |A2∩ A3|, N(3) = |A1∩ A2∩ A3|
PrzykÃlad cd. Wr´o´cmy na chwil¸e do naszego przykÃlad ze studentami nale˙z¸acym do zbioru U i wykÃladami o numerach 1, 2, . . . n. Iloczyn Ap1 ∩ Ap2 ∩ . . . ∩ Api jest zbiorem tych stu- dent´ow, kt´orzy nie zaliczyli wszystkie te i przedmiot´ow o numerach p1, p2, . . . pi. Mo˙zemy sobie wyobra´zi´c, ˙ze np. dziekan tworzy takie listy student´ow. N(i) byÃloby wtedy sum¸a liczb student´ow na wszystkich listach zawieraj¸acych nazwiska student´ow, kt´orzy niezaliczyli pewne i wykÃlad´ow. Oczywi´scie niekt´orzy studenci mogliby by´c liczeni w ten spos´ob wielokrotnie.
Mo˙zemy teraz przej´s´c do sformuÃlowania zasady wÃl¸aczania-wyÃl¸aczania dla dowolnej liczby zbior´ow. Liczby N(i) nale˙zy doda´c, gdy i jest nieparzyste i odj¸a´c gdy i jest parzyste. Otrzy- mujemy zatem:
Zasada wÃl¸aczania wyÃl¸aczania dla n zbior´ow
Niech A1, A2, . . . An b¸ed¸a sko´nczonymi podzbiorami. Wtedy
|A1∪ A2∪ An=
n
X
i=1
(−1)i−1N(i)
SformuÃlowanie to jest zgodne z nasz¸a hipotez¸a, gdy˙z wyra˙zenie (−1)i−1 jest r´owne +1 gdy i jest nieparzyste i r´owne −1 gdy i jest parzyste. Udowodnimy teraz podany wz´or metod¸a kombinatoryczn¸a. To znaczy poka˙zemy, ˙ze korzystaj¸ac z tego wzoru ka˙zdy element sumy tych zbior´ow jest liczony dokÃladnie raz. Nale˙zy zaznaczy´c, ˙ze zasada wÃlaczania-wyÃl¸aczania dla n zbior´ow mo˙ze by´c r´ownie˙z udowodniona za pomoc¸a indukcji matematycznej (dow´od taki mo˙zna znale´z´c w niekt´orych podr¸ecznikach) ale dow´od taki jest maÃlo czytelny ze wzgl¸edu na du˙z¸a (dla normalnego czÃlowieka, kt´ory nie jet matematykiem) liczb¸e indeks´ow i zmien- nych. Dow´od kombinatoryczny wydaje si¸e by´c sympatyczniejszy gdy˙z tak naprawd¸e polega na opowiedzeniu historyjki.
Dow´odNiech x b¸edzie dowolnym elementem nale˙z¸acym do A1∪A2∪. . .∪An( w przykÃladzie ze studentami x jest dowolnym studentem, kt´ory nie zaliczyÃl co najmniej jednego wykÃladu).
Poka˙zemy, ˙ze korzystaj¸ac z prawej strony wzoru nazwanego zasad¸a wÃl¸aczania-wyÃl¸aczania dla nzbior´ow x b¸edzie liczony dokÃladnie raz. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze x nale˙zy do dokÃladnie k zbior´ow spo´sr´od A1, A2, . . . , An (to znaczy student x niezaliczyÃl dokÃladnie k spo´sr´od n wykÃlad´ow). Wtedy, dla dowolnego i = 1, 2, . . . , k, element x wyst¸epuje w dokÃladnie ³ki´ iloczynach zbior´ow postaci Ap1 ∩ Ap2 ∩ . . . ∩ Api dla 1 ≤ p1 < p2 < . . . < pi ≤ n (bo na tyle sposob´ow mo˙zna wybra´c i zbior´ow spo´sr´od k - w przykÃladzie i wykÃlad´ow spo´sr´od k niezaliczonych przez studenta x). Zatem x jest liczony ³ni´ razy do liczby N (i). A zatem wedÃlug wzoru x jest liczony
5
Rzeczywi´scie, liczno´s´c dopeÃlnienia sumy n zbior´ow, czyli liczb¸e element´ow uniwersum kt´ore nie nale˙z¸a do tej sumy mo˙zna obliczy´c odejmuj¸ac od liczno´sci uniwersum liczno´s´c sumy n zbior´ow. Wykorzystuj¸ac zasad¸e wÃl¸aczania-wyÃl¸aczania otrzymujemy wyra˙zenie z sum¸a, kt´or¸a poprzedza znak ”-”. Wymna˙zamy t¸a sum¸e przez −1 mno˙z¸ac ka˙zdy skÃladnik tej sumy przez
−1 a zatem podwy˙zszamy pot¸eg¸e (−1) do i. W ko´ncu wÃl¸aczamy wyraz N (0) do sumy jako pierwszy wyraz odpowiadaj¸acy i = 0.
Spr´obujmy teraz zastosowa´c zasad¸e wÃl¸aczania - wyÃl¸aczania do rozwi¸azania przykÃladowego zadania.
Zadanie 1. Po nocy sp¸edzonej na wsp´olnej nauce Matematyki Dyskretnej ka˙zd¸a ze 100 os´ob bior¸acych udziaÃl w tej nauce bolaÃla gÃlowa lub bolaÃl brzuch lub miaÃla wzmo˙zone pragnie- nie. Wiadomo, ˙ze 60 os´ob bolaÃla gÃlowa, 35 bolaÃl brzuch, 10 nie bolaÃla ani gÃlowa ani brzuch.
Spo´sr´od 26 os´ob, kt´ore miaÃly wzmo˙zone pragnienie 6 os´ob bolaÃla gÃlowa a 11 brzuch. Ile os´ob miaÃlo wszystkie wymienione objawy?
Rozwi¸azanie: Wpierw wprowad´zmy oznaczenia. Niech G oznacza zbi´or tych os´ob, kt´ore bolaÃla gÃlowa, B - zbi´or tych os´ob, kt´ore bolaÃl brzuch a P - zbi´or tych os´ob kt´ore miaÃly wzmo˙zone pragnienie.
Wypiszmy dane wynikaj¸ace wprost z tre´sci zadania:
|G| = 60, |B| = 35, |P | = 26, |P ∩ G| = 6, |P ∩ B| = 11.
Poniewa˙z ka˙zda ze 100 os´ob nale˙zy do co najmniej jednego z tych zbior´ow (czyli ka˙zdy nale˙zy do sumy), to |G ∪ B ∪ P | = 100. Wiemy, ˙ze 10 os´ob nie bolaÃla ani gÃlowa ani brzuch czyli 10 os´ob nale˙zy i do dopeÃlnienia zbioru G i do dopeÃlnienia zbioru B a zatem |G ∩ B| = 10.
PozostaÃle 90 os´ob bolaÃl brzuch lub gÃlowa a zatem nale˙z¸a do B lub do G (czyli nale˙z¸a do sumy tych zbior´ow). Zatem |G ∪ B| = 90. Szukana jest liczba os´ob, kt´ore miaÃly wszystkie wymienione objawy a zatem nale˙z¸a do ka˙zdego ze zbior´ow G, B, P (czyli nale˙z¸a do cz¸e´sci wsp´olnej tych zbior´ow).
Poszukujemy wi¸ec |G ∪ B ∪ P |. Oznaczmy t¸a liczb¸e przez x. Zapiszmy teraz zasad¸e wÃl¸aczania-wyÃl¸aczania dla n = 3 zbior´ow G, B, P :
|G ∪ B ∪ P | = |G| + |B| + |P | − |G ∩ B| − |G ∩ P | − |B ∩ P | + |G ∩ B ∩ P | i wstawmy to co jest dane oraz niewiadom¸a x do tego r´ownania:
100 = 60 + 35 + 26 − |G ∩ B| − 6 − 11 + x.
Zauwa˙zmy, ˙ze |G ∩ B| mo˙zemy obliczy´c stosuj¸ac zasad¸e wÃl¸aczania wyÃl¸aczania dla n = 2 zbior´ow G i B. Mianowicie:
|G ∪ B| = |G| + |B| − |G ∩ B|
czyli
90 = 60 + 35 − |G ∩ B|
zatem
|G ∩ B| = 5.
Wstawiaj¸ac do otrzymanego wcze´sniej r´ownania z niewiadom¸a x mamy:
100 = 60 + 35 + 26 − 5 − 6 − 11 + x
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
6 a st¸ad
x= 1.
A zatem 1 osoba miaÃla wszystkie wymienione w tre´sci zadania objawy (przeuczenia si¸e Matem- atyki Dyskretnej :) )
Jako przykÃlad zastosowania zasady wÃl¸aczania-wyÃl¸aczania wyprowadzimy wz´or na liczb¸e nieporz¸adk´ow zbioru [n]. Wpierw jednak wprowadzimy poj¸ecie nieporz¸adku.
Nieporz¸adki.
Permutacj¸e f : [n] → [n] nazywamy nieporz¸adkiem je´sli dla ka˙zdego i ∈ [n] f (i) 6= i.
M´owi¸ac mniej formalnie nieporz¸adkiem nazywamy bijekcj¸e przeksztaÃlcaj¸ac¸a zbi´or [n] na zbi´or [n] (permutacj¸e zbioru [n]) bez punkt´ow staÃlych czyli tak¸a, w kt´orej ka˙zdemu elementowi zbioru [n] przyporz¸adkowany jest element r´o˙zny od niego.
PrzykÃlad. Wypiszmy wszystkie nieporz¸adki zbioru [3] = {1, 2, 3}. Wszystkich permutacji zbioru [3] jest 3! = 6 wi¸ec Ãlatwo mo˙zna znale´z´c te z nich, kt´ore s¸a nieporz¸adkami. PrzykÃladowo permutacja (3, 2, 1, ) nie jest nieporz¸adkiem bo 2 stoi w tej permutacji na pozycji 2. Natomiast permutacja (2, 3, 1) jest nieporz¸adkiem bo ka˙zdy element zbioru [3] stoi na pozycji o numerze r´o˙znym od siebie. Podobnie permutacja (3, 1, 2) jest nieporz¸adkiem. ÃLatwo sprawdzi´c, ˙ze s¸a to wszystkie nieporz¸adki zbioru [3]. Zatem s¸a 2 permutacje zbioru [3], kt´ore s¸a nieporz¸adkami.
Zapami¸etajmy t¸a informacj¸e.
PrzykÃlad zastosowaniaNa prywatce jest n par maÃl˙ze´nskich (nie musz¸a by´c po ´slubie ale zaÃl´o˙zmy, ˙ze ka˙zda para skÃlada si¸e z osobnik´ow obu pÃlci). Dla uproszczenia przypu´scmy ˙ze pary oznakowane s¸a kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do n. Powiedzmy, ˙ze kobieta i m¸e˙zczyzna nale˙z¸acy do tej samej pary maj¸a te same numery startowe. Prywatka jest bardzo udana. W zwi¸azku z tym ka˙zdy pan wychodzi z losowo wybran¸a pani¸a. Jakie jest prawdopodobie´nstwo,
˙ze ka˙zdy wyjdzie z nieswoj¸a partnerk¸a?
Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy ukÃlad wychodz¸acych par definiuje pewn¸a permutacj¸e zbioru [n].
Wyb´or dokonywany przez m¸e˙zczyzn¸e o numerze i (i = 1, . . . , n) jest r´ownowa˙zny przy- porz¸adkowaniu argumentowi i warto´sci f (i), gdzie f (i) jest numerem kobiety, kt´or¸a wybiera.
Poniewa˙z ka˙zdy m¸e˙zczyzna wybiera inn¸a kobiet¸e (bo wybrana pani wychodzi i nie bierze udziaÃlu w dalszym wyborze) oraz ka˙zda kobieta zostaje wybrana przez kt´orego´s m¸e˙zczyzn¸e (bo pa´n i pan´ow jest tyle samo) wi¸ec zdefiniwone w ten spos´ob przeksztaÃlcenie zbioru [n] na zbi´or [n] jest bijekcj¸e. Zatem jest te˙z permutacj¸a (na pozycji o numerze i stoi liczba f (i)). Na ka˙zdej pozycji mamy inn¸a liczb¸e.
UkÃlad wychodz¸acych par, przy kt´orym ka˙zdym m¸e˙zczyzna wychodzi z nieswoj¸a partnerk¸a odpowiada bijekcji w kt´orej f (i) 6= i dla ka˙zdego i ∈ [n] albo (r´ownowa˙znie) permutacji zbioru [n], w kt´orej na i-tej pozycji stoi element r´ozny od i a zatem nieporz¸adkowi zbioru [n].
Zatem musimy obliczy´c prawdopodobie´nstwa tego, ˙ze losowo wybrana permutacja zbioru [n] jest nieporz¸adkiem. Wszystkich permutacji zbioru [n] jest n!. Zadanie sprowadza si¸e zatem do znalezienia liczby wszystkich nieporz¸adk´ow zbioru [n].
Znajdziemy teraz wz´or na liczb¸e nieporz¸adk´ow zbioru [n]. Wz´or ten posÃlu˙zy nam do obliczenia prawdopodobie´nstwa tego, ˙ze losowo wybrana permutacja zbioru [n] jest nieporz¸adkiem.
Wpierw sformuÃlujmy jednak problem, kt´ory b¸edziemy rozwa˙zac. Wprowad´zmy pewne oz-
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
