1. Obliczy´ c n-te sumy cz¸e´sciowe podanych szereg´ ow

MATEMATYKA lista zada´ n nr 3

1. Obliczy´ c n-te sumy cz¸e´sciowe podanych szereg´ ow

a)

∞

X

n=1

7 ⁿ + 3 ⁿ

10 ⁿ b)

∞

X

n=1

1

n(n + 2) c)

∞

X

n=1



_n+1

√

2 −

ⁿ⁺²

√

2 ^ d)

∞

X

n=1

ln n n + 1

2. Korzystaj¸ ac z definicji zbada´ c zbie˙zno´s´ c podanych szereg´ ow (dla szereg´ ow zbie˙znych wyznaczy´ c ich sumy)

a)

∞

X

n=1

 1

n + 2 − 1 n + 1



b)

∞

X

n=1

(−2) ⁿ⁺¹ c)

∞

X

n=1

√ 1 n + √

n + 1 d)

∞

X

n=1

ln



1 + 1 n



3. Korzystaj¸ ac z w lasno´sci szeregu geometrycznego zbada´ c zbie˙zno´s´ c podanych szereg´ ow (dla szereg´ ow zbie˙znych wyznaczy´ c ich sumy)

a)

∞

X

n=1

(0, 999) ⁿ b)

∞

X

n=1



− 3 4

 n+1

c)

∞

X

n=1

3 ²ⁿ⁺³

2 ³ⁿ⁺² d)

∞

X

n=1

 1

3 ⁿ − 1 3 ⁿ⁺¹



4. Korzystaj¸ ac z kryterium por´ ownawczego zbada´ c zbie˙zno´s´ c podanych szereg´ ow

a)

∞

X

n=1

1

n ² + n b)

∞

X

n=1

√ 1

n + 1 c)

∞

X

n=1

2 + sin n

n d)

∞

X

n=1

n sin 1 n ²

5. Korzystaj¸ ac z kryterium d’Alemberta zbada´ c zbie˙zno´s´ c podanych szereg´ ow

a)

∞

X

n=1

2 ⁿ

n! b)

∞

X

n=1

(n!) ³

(2n)! c)

∞

X

n=1

2 ⁿ + 3 ⁿ

3 ⁿ + 4 ⁿ d)

∞

X

n=1

(2n)!(3n)!

(6n)!

6. Korzystaj¸ ac z kryterium Cauchy’ego zbada´ c zbie˙zno´s´ c podanych szereg´ ow

a)

∞

X

n=1

n

 3 5

 n

b)

∞

X

n=1

n ¹⁰⁰

π ⁿ c)

∞

X

n=1

 n + 2 n + 3

 n

²

d)

∞

X

n=1

3 ⁿ + 4 ⁿ 2 ⁿ + 5 ⁿ

7. Zbada´ c zbie˙zno´s´ c podanych szereg´ ow, korzystaj¸ ac z kryterium Leibniza oraz okre´sli´ c rodzaj zbie˙zno´sci

a)

∞

X

n=1

(−1) ⁿ

2 ⁿ + 1 b)

∞

X

n=1

 −2n 3n + 5

 n

c)

∞

X

n=1

(−1) ⁿ · n

n ² + 2 d)

∞

X

n=1

(−2) ⁿ⁻¹

3 ⁿ + 4