Obliczy¢ sumy podanych szeregów: (a

dr Krzysztof ›yjewski IP›; I S-Ist.in». 14 listopada 2018

Szeregi liczbowe

1. Wyznacz sum¦ szeregu oraz znajd¹ jego wyraz ogólny, je»eli jego suma cz¦±ciowa Sn = _2n+1²ⁿ . 2. Obliczy¢ sumy podanych szeregów:

(a)

∞

P

n=1 1 2

n

(b)

∞

P

n=1 2²ⁿ+2ⁿ

8ⁿ (c)

∞

P

n=1 1

(2n−1)(2n+1) (d)

∞

P

n=1 1 n(n+1)(n+2)

3. Podaj wzór ci¡gu sum cz¦±ciowych (Sn) szeregu P^∞

n=1 3ⁿ 5ⁿ.

4. Zbada¢ czy podane szeregi speªniaj¡ warunek konieczny zbie»no±ci szeregów:

(a)

∞

P

n=1

(−2)ⁿ (b)

∞

P

n=1

cos_n¹ (c)

∞

P

n=1 n²

n³−1 (d)

∞

P

n=1

1 + ¹_n
n

(e)

∞

P

n=1 3 5

n

5. Zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów korzystaj¡c z:

• kryterium porównawczego (a)

∞

P

n=1 n

n³+1 (b)

∞

P

n=1

tg^{2 √1}_n (c)

∞

P

n=1 ln(n+1)

√3

n²

(d)

∞

P

n=1 5n+1

n²+3, (e)

∞

P

n=1

√ 1

n(n+1) (f )

∞

P

n=1

√ 1 n(n²+n)

• kryterium Cauchy'ego (a)

∞

P

n=1 n³

2ⁿ (b)

∞

P

n=1 1

n 1 + _n¹
n²

(c)

∞

P

n=1 n 2n+1

n

(d)

∞

P

n=1

sinⁿ _2n^π
(e)

∞

P

n=1

n ³₅
n

(f )

∞

P

n=1 n+4 n+3

n²

(g)

∞

P

n=1 n eⁿ

• kryterium d'Alamberta (a)

∞

P

n=1 2n−1

2ⁿ (b)

∞

P

n=1 50ⁿ

n! (c)

∞

P

n=1 n eⁿ

(d)

∞

P

n=1 n²ⁿ

(2n)! (e)

∞

P

n=1 3ⁿ

2ⁿ(2n+1) (f )

∞

P

n=1 n n³+1,

• kryterium Leibniza (a)

∞

P

n=1 (−1)ⁿ

3n−1 (b)

∞

P

n=1

(−1)^{n n+2}_n2+3 (c)

∞

P

n=2 (−2)ⁿ

n! (d)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

√n n+2. 6. Zbada¢ zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ i warunkow¡ podanych szeregów:

(a)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n³² (b)

∞

P

n=1 (−1)√ ⁿ

n (c)

∞

P

n=1 (−1)ⁿ

n! (d)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ ln(n+1) (e)

∞

P

n=1

(−1)^{n sin}_n²ⁿ Przydatne nierówno±ci:

• ln x < x − 1dla ka»dego x > 0;

• ln(x + 1) < xdla ka»dego x > −1;

• sin x ≤ x dla ka»dego x > 0;

• sin x ≥ ²_πx dla ka»dego x ∈ [0,^π₂].

• tg x > x dla ka»dego x ∈ (0,^π₂);

• tg x ≤ _π⁴x dla ka»dego x ∈ [0,^π₄].

• | sin x| ≤ |x| dla ka»dego x ∈ R;

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