(1)Egzamin: Statystyka I, 3 lutego 2017 1

Egzamin: Statystyka I, 3 lutego 2017

1. Rozważmy dwuwymiarowy model normalny

X1

X2



∼ Nµ1

µ2



,σ₁² 0 0 σ²₂



.

Oznaczmy wektor parametrów θ = (µ₁, µ₂, σ₁², σ²₂)^T oraz zdefiniujmy reparametryzację

ζ(θ) = (µ₁− µ₂, σ²₁− σ²₂, µ₂, σ₂²)^T. Łatwo zauważyć, że I(θ) = diag(σ⁻²₁ , σ₂⁻², σ₁⁻⁴/2, σ⁻⁴₂ /2).

Policz I⁻¹(ζ). Wskazówka: I(ζ) = (∂θ^T/∂ζ)I(θ)(∂θ/∂ζ^T).

2. W modelu Hardy’ego-Weinberga M ultinom(n, θ², 2θ(1 − θ), (1 − θ)²) oblicz: (i) informację Fi- shera, (ii) estymator największej wiarygodności (MLE) oraz (iii) asymptotyczną wariancję MLE.

3. W modelu liniowym y = Xβ +ε, plan X jest macierzą n×p pełnego rzędu p, H = X(X^TX)⁻¹X^T oraz predyktor obserwacji ˆy = Hy. Udowodnij, że hii = cor²(yi, ˆyi), gdzie hii jest i−tym elementem diagonalnym H oraz i = 1, 2, . . . , n.

4. Rozważmy próbę prostą X1, X2, . . . , Xn z rozkładu normalnego N (µ, σ²). Znajdź najlepszy w sensie błędu średniokwadratowego estymator wariancji postaci Sc = cPn

i=1(Xi− ¯X)², gdzie c > 0.

5. Obserwujemy pojedyńczą obserwację X z rozkładu f_θ(x) = (1 − θ)e^−x+ 2θe^−2x dla x ≥ 0 oraz θ ∈ [0, 1]. (i) Skonstruuj jednostajnie najmocniejszy test na poziomie α = 0.05 dla H₀ : θ = 1 przeciw H₁: θ < 1. (ii) Oblicz funkcję mocy tego testu.

6. W modelu prostej regresji logistycznej zakłada się, że obserwujemy niezależne zmienne Y1, Y2, . . . , Yn, gdzie Yi∼ Bin(1, pi) oraz log(pi/(1 − pi)) = β0+ β1Xi dla i = 1, . . . , n.

(a) Przypuśćmy, że prawdopodobieństwo bycia blondynem zależy do koloru oczu (niebieski,inny).

Zbuduj model regresji logistycznej odpowiadający tym przypuszczeniom.

(b) Dla losowej próbki osób Y1, Y2, . . . , Yn znajdź dwuwymiarową statystykę dostateczną dla tego modelu.

(c) Wyznacz estymatory największej wiarygodności parametrów na podstawie obserwacji Y1, Y2, . . . , Yn.

1