Lista 1.
Li zby rze zywiste
1. Znale¹¢rozwini iadziesitneuªamkówposta i n
k
dlan=1;2;3orazk=2;3;4;5;6;7;8;9;11;12;13.
Od zegozale»ydªugo±¢ okresu?Poda¢ przykªadrozwini iaookresiedªugo± i 10.
2. Pokaza¢,»erozwini ie
x=0;1234567891011121314151617181920212223
zªo»onezkolejny h li zbnaturalny h,niejestokresowe.
Wskazówka:Uzasadni¢,»ewpowy»szejli zbies¡miejs a,wktóry hwystpuj¡pokoleidwazera,
trzyzera, zteryzera,itd., zyli»e istniej¡dowolniedªugieÿod inki"zªo»onezsamy hzer.
3. Przeprowadzi¢dowódniewymierno± idlali zbposta i p
kgdziek=56;35;24oraz n p
kdlan=5,
k=7;8;10.
4. Udowodni¢ »ezbiórli zb aªkowity hnie jestograni zonyanizgóryanizdoªu.
Wskazówka: Wykorzysta¢aksjomatAr himedesa.
5. Pokaza¢,»e»adnali zbawymiernaniejestnajmniejszymograni zeniemodgóryzbioruty hli zb
wymierny hx ,którespeªniaj¡warunekx 3
<10.
Uwaga:Tutaj pra ujemytylkozli zbamiwymiernymi!
6. Korzystaj¡ zde ni jiznale¹¢kresygórnyidolnyod inkaotwartego(1 ;2).
7. Znale¹¢kresygórnyidolnyzbioruf 1
n +
1
k
;n;k2Ng.
8. Znale¹¢ kresy górnyi dolny zbioruA =f1;
1
2
; 1
3
; 1
4
; 1
5
;:::; 1
n
;:::gzªo»onegozodwrotno± ikolej-
ny h li zbnaturalny h.
9. Udowodni¢, »eli zba p
3+ p
6jestniewymierna.
10. Udowodni¢, »eli zba 3 p
5+ 3 p
6jestniewymierna.
11. Bezpomo ykalkulatoraznale¹¢ z± i aªkowiteli zbposta i( 3 p
4) n
dlan=1;2;:::;15.
Wskazówka:Wypisa¢sze± ianykolejny hli zbnaturalny horazkolejnepotgi zwórkiiporówna¢
je zesob¡
12. Udowodni¢, »eka»dymprzedzialeotwartym( a;b)istniejeli zba niewymierna.
13. Udowodni¢, »edowolneli zbyrze zywistex;y speªniaj¡nierówno±¢j j x j j yjj¬j x yj .
14. Udowodni¢, »edladowolny hli zbrze zywisty hx
1
;x
2
;:::;x
n
prawdziwajestnierówno±¢
j x
1 +x
2
++x
n j¬j x
1 j+j x
2
j++j x
n j :
15. Znale¹¢kresygórnyidolnyzbiorufx+y: x;y>0; [ x ℄+[ y℄=3g.
16. Wykaza¢,»e
maxfx;yg= 1
2
fx+y+j x yjg ;
gdzie maxfx;ygozna zawiksz¡zli zbxi y.
17. Nie ha;b bd¡ ustalonymili zbamirze zywistymi.Znale¹¢kresy zbioruli zbposta i
a os( x )+bsin( x ) ;
gdzie xjestdowoln¡li zb¡rze zywist¡.
18. Pokaza¢,»ej a b jj a j j bj j j
19. Nie hx=1;0234107::: ,y=1;0235106:::Czyjestprawd¡,»e
(a)1;02<x¬1;03?
(b)x+y>2;04692?
( )x<y?
20. Opisa¢ geometry zniezbiory (a) fx:j x 3j<2g,(b) fx:j x 1j<j x+1jg( ) fx: j a+1j<
