Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.
Caªka nieoznaczona.
Informacje pomocnicze:
przydatne wzory:
Lp. Wzór Uwagi
1. R dx = x + c
2. R adx = ax + c
3. R x α dx = α+1 1 x α+1 + c α ∈ R \ {−1}
4. R sin xdx = − cos x + c
5. R cos xdx = sin x + c
6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= π 2 + kπ, k ∈ N
7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N
8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c
10. R 1
cosh
2x dx = tgh x + c
11. R 1
sinh
2x dx = − ctgh x + c
12. R a x dx = ln a 1 a x + c a > 0
13. R e x dx = e x + c
14. R 1
x dx = ln |x| + c x 6= 0
15. R 1
cos
2x dx = tg x + c x 6= π 2 + kπ, k ∈ N
16. R 1
sin
2x dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N
17. R 1
√
a
2−x
2dx = arcsin x a + c a 6= 0
18. R 1
a
2+x
2dx = a 1 arctg x a + c a 6= 0
19. R 1
√ x
2+a dx = ln
x + √
x 2 + a
+ c a ∈ R
20. R 1
a
2−x
2dx = 2a 1 ln a+x a−x
+ c a > 0, |x| 6= a
21. R f
0(x)
f (x) dx = ln |f (x)| + c
22. R 1
ax+b dx = 1 a ln |ax + b| + c
23. R cos n xdx = n 1 sin x cos n−1 x + n−1 n R cos n−2 xdx n ≥ 2 24. R sin n xdx = − n 1 cos x sin n−1 x + n−1 n R sin n−2 xdx n ≥ 2 25. R √
x 2 + adx = 1 2 x √
x 2 + a + a 2 ln |x + √
x 2 + a| + c
26. R dx
(x
2+1)
n= 2n−2 1 (1+x x
2)
n−1+ 2n−3 2n−2 R 1
(1+x
2)
n−1dx n ≥ 2
27. R √
a 2 − x 2 dx = a 2
2arcsin |a| x + x 2 √
a 2 − x 2 + c
Twierdzenie 1. (Podstawowe prawa rachunku caªkowego)
Niech funkcje f i g b¦d¡ ci¡gªe na przedziale [a, b] oraz k ∈ R \ {0}. Wówczas:
• R kf (x)dx = k · R f (x)dx , gdzie a = const. ∈ R,
• R [f (x) ± g(x)]dx = R f (x)dx ± R g(x)dx.
Twierdzenie 2. (caªkowanie przez podstawienie)
Niech funkcja f b¦dzie ci¡gªa na przedziale [a, b] oraz funkcja g ma ci¡gª¡ pochodn¡ (tzn. funkcja g
0(x) jest ci¡gªa). Wówczas zachodzi poni»szy wzór na caªkowanie przez podstawienie:
Z
f [g(x)] · g
0(x)dx = Z
f (t)dt, (1)
gdzie t = g(x) oraz dt = g
0(x)dx.
Twierdzenie 3. (caªkowanie przez cz¦±ci)
Niech funkcje f i g maj¡ ci¡gªe pochodne. Wówczas ma miejsce tzw. wzór na caªkowanie przez cz¦±ci:
Z
f (x)g
0(x)dx = f (x)g(x) − Z
f
0(x)g(x)dx. (2)
Inne metody caªkowania
a) Caªkowanie funkcji wymiernych
Algorytm rozkªadania na uªamki proste:
1. Wielomian Q(x) z mianownika wyra»enia wymiernego W (x) =
P (x)Q(x)zgodnie z wªasno±ci¡:
wielomian rzeczywisty jednej zmiennej mo»na rozªo»y¢ na iloczyn wielomianów rzeczywistych co najwy»ej drugiego stopnia; rozkªadamy do postaci:
Q(x) = q
m(x − e
1)
n1(x − e
2)
n2· · · (x − e
l)
n1· (x
2+ b
1x + c
1)
k1. . . (x
2+ b
rx + c
r)
kr, gdzie δ
i= b
2i− 4c
i< 0 dla i = 1, 2, ...., r.
2. Wspóªczynnik q
mprzyjmujemy, »e jest równy 1. Mo»na tak zrobi¢, o ile podzielimy licznik i mianownik wyra»enia W (x) przez q
m.
3. Wyra»enie W (x) rozkªadamy w nast¦puj¡cy sposób na sum¦ uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju:
W (x) = P (x)
Q(x) = p
nx
n+ p
n−1x
n−1+ . . . + p
1x + p
0(x − e
1)
n1(x − e
2)
n2· · · (x − e
l)
n1· (x
2+ b
1x + c
1)
k1. . . (x
2+ b
rx + c
r)
kr= A
1x − e
1+ A
2(x − e
1)
2+ · · · + A
n1(x − e
1)
n1+ B
1x − e
2+ B
2(x − e
2)
2+ · · · + B
n2(x − e
2)
n2+ · · · + C
1x + D
1x
2+ b
1x + c
1+ C
2x + D
2(x
2+ b
1x + c
1)
2+ · · · + C
k1x + D
k1(x
2+ b
1x + c
1)
k1+ · · · + E
1x + F
1x
2+ b
2x + c
2+ E
2x + F
2(x
2+ b
2x + c
2)
2+ · · · + E
k2x + F
k2(x
2+ b
2x + c
2)
k2(3)
4. Aby wyznaczy¢ wspóªczynniki A
1, A
2, . . . , B
1, B
2, . . . E
k2, F
k2nale»y sprowadzi¢ praw¡ stron¦
(3) do wspólnego mianownika, a nast¦pnie porówna¢ licznik otrzymanego wyra»enia z wielo- mianem P (x) tzw. metoda wspóªczynników nieoznaczonych.
5. Caªki uªamków prostych pierwszego rodzaju obliczmy albo ze wzoru 22 (tabela caªek), albo poprzez podstawienie. Caªki uªamków prostych drugiego rodzaju wyliczmy jak poni»ej.
Obliczanie caªki uªamków prostych drugiego rodzaju
Z Ax + B
(ax
2+ bx + c)
ndx, (4 = b
2− 4ac < 0).
Powy»sz¡ caªk¦ sprowadzamy do postaci kanonicznej
Z Ax + B
[a(x − p)
2+ q]
ndx,
p = − b
2a , q = − 4 4a
; nast¦pnie wykonuj¡c podstawienie x − p = pq/a t, mamy
Z Ct + D (t
2+ 1)
ndt.
Teraz nale»y ja rozbi¢ na dwie caªki C R
(t2+1)t ndt oraz D R
(t2+1)1 ndt. Pierwsz¡ obliczmy przez pod- stawienie w = t
2+ 1, a drug¡ przy stosuj¡c wzór indukcyjny nr 26.
Uwaga 4. Je»eli W (x) =
P (x)Q(x)oraz stopie« wielomianu P (x) jest niemniejszy od stopnia wielo- mianu Q(x) to najpierw nale»y podzieli¢ wielomian P (x) przez Q(x). Je»eli w wyniku tego dzielenia otrzymamy wielomian Z(x) oraz reszt¦ z dzielenia R(x), to wówczas mo»emy zapisa¢:
P (x)
Q(x) = Z(x) + R(x)
Q(x) . (4)
b) Caªkowanie pewnych caªek niewymiernych:
1. Je»eli funkcja podcaªkowa jest iloczynem funkcji wymiernej oraz pewnej ilo±ci pot¦g postaci (ax + b)
m1n1, (ax + b)
m2n2, . . . lub
ax+bcx+dm1n1,
ax+bcx+dm2n2, . . . gdzie n
i, m
i∈ N s¡ wzgl¦dnie pierwsze to stosujemy odpowiednio podstawienia
ax + b = t
Mlub ax + b
cx + d = t
M(5)
gdzie M to najmniejsza wspólna wielokrotno±¢ m
1, m
2, . . . 2a. Caªk¦ postaci R
√ax2dx+bx+csprowadzamy do R √
dxa(x−p)2+q
i dokonujemy podstawienia x − p = q
1|a|
t.
2b. Caªk¦ postaci R √
ax
2+ bx + cdx sprowadzamy do R pa(x − p)
2+ qdx i dokonujemy podsta- wienia x − p = q
1
|a|
t, a nast¦pnie stosujemy wzory(wymiennie) Z √
x
2+ adx = 1 2 x √
x
2+ a + a
2 ln |x + √
x
2+ a| + c;
lub
Z √
a
2− x
2dx = a
22 arcsin x
|a| + x 2
√
a
2− x
2+ c.
c) Caªkowanie pewnych wyra»e« trygonometrycznych:
1. Caªk¦ R W (sin x, cos x, tg x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg
x2. Wówczas mamy:
dx = 2
1 + t
2dt, sin x = 2t
1 + t
2, cos x = 1 − t
21 + t
2.
2. Caªk¦ R W (sin
2x, cos
2x, sin x cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:
dx = 1
1 + t
2dt, sin
2x = t
21 + t
2, cos
2x = 1 1 + t
2. 3. Caªk¦ postaci R sin
mx cos
nxdx, n, m ∈ N liczmy:
a) gdy m, n s¡ parzyste jak podpunkcie 2;
b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x, c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.
4. Caªki postaci R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystaj¡c ze wzo- rów:
sin x sin y = 1
2 [cos(x − y) − cos(x + y)], cos x cos y = 1
2 [cos(x − y) + cos(x + y)], sin x cos y = 1
2 [sin(x − y) + sin(x + y)].
Inne przydatne wzory trygonometryczne:
cos
2x =
1+cos 2x2, sin
2x =
1−cos 2x2, cos 2x = cos
2x − sin
2x, sin 2x = 2 sin x cos x.
1. Sprawd¹, czy funkcja F (x) = (x
2+ 5x + 1) cos x jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f (x) = (2x + 5) cos x − (x
2+ 5x + 1) sin x − 2013 w zbiorze P = [-2013;2013].
2. Wyznaczy¢ funkcj¦ pierwotn¡ funkcji f(x) = x
2− 3, do której wykresu nale»y punkt (1; 3).
3. Wyznaczy¢ zbiór, w którym wykres dowolnej funkcji pierwotnej funkcji f(x) = 4x
2− x jest wypukªy.
4. Korzystaj¡c z podstawowych wzorów na caªki funkcji elementarnych oblicz podane caªki nie- oznaczone:
(a) R x
2dx; (b) R x
2√
x + x
3+ 4x − 1dx; (c) R 5x − 6x
2+
1x+ cos x + e
xdx;
(d) R
dx√5
x2
; (e) R 3
xdx; (f ) R
x2dxx2+1
; (g) R 2
x· 5
1−xdx; (h) R sin
2 x2dx; (i) R tg
2xdx;
(j) R
exdx3ex−2
; (k) R
4x2+1
dx; (l) R
x√x−x√4 x
√3
x
dx;
(m) R
√x−2√3 x2+4√55x3 6√3
x
dx; (n) R
(x2−1)3x
dx; (o) R
53x
−
√x42+1+
5√ 3
cos2x
dx − cosh xdx;
(p) R
cos 2xcos2x sin2x
dx; (r) R
1sin2x cos2x
dx; (s) R e
x1 −
ex−x2dx.
5. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez podstawianie oblicz:
(a) R
exex+2
dx; (b) R x √
x
2− 3dx; (c) R
x3x2−2
dx;
(d) R
ln xx
dx; (e) R xe
x2dx; (f ) R (5 − 3x)
10dx;
(g) R
2x+12x2+2x+5
dx; (h) R sin
3xdx; (i) R (7x + 2)
4dx;
(j) R
x dx√
16−9x4
; (k) R
sin x3+2 cos x
dx; (l) R
cos(ln x) xdx;
(m) R (x
2+ x) sin(x
3+
32x
2)dx; (n) R
x2cos2(x3+1)
dx; (o) R
dx(x2+1) arctan x
dx;
(p) R x
3ln(x
4+ 2)dx; (r) R
sin3xcos x+1
dx; (s) R
sin x cos x1+cos2x
dx;
6. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz¦±ci oblicz:
(a) R x sin xdx; (b) R x
2e
−xdx; (c) R
xcos2x
dx;
(d) R ln xdx; (e) R 3
xcos xdx; (f ) R
ln x√3
x5
dx;
(g) R x
2sin xdx; (h) R e
2xsin xdx; (i) R e
4xcos 3xdx;
(j) R x ln
3x; (k) R x
4ln xdx; (l) R xe
xcos xdx;
(m) R (3x
2+ 4x − 1) cos 4xdx; (n) R e
3xsin 2xdx; (o) R x
3ln
2x dx;
(p) R
x arcsin x√1−x2
dx; (r) R
x ln(√1+x2+x)
√
1+x2
dx; (s) R
x2sin xcos3x
dx;
7. Oblicz caªki z funkcji wymiernych:
(a) R
2xx+1
dx; (b) R
x+2x2−2x
dx; (c) R
1x(x+1)2
dx;
(d) R
x2x2+2x−3
dx; (e) R
3x2+4x+7
dx; (f ) R
8x+22x2+4x+3
dx;
(g) R
x(x+2)x2+2x+3
dx; (h) R
x4−x3+x2+1x3+x
dx; (i) R
2x2+x−4x3−x2−2x
dx;
(j) R
x2(x+2)2(x+4)2
dx; (k) R
3x2−5x+2x3−9x2+6x−54
dx; (l) R
7x2+7x−176x3−9x2+6x+56
dx;
(m) R
x2+x−1(x2+4x+4)2
dx;
8. Oblicz caªki z funkcji trygonometrycznych:
(a) R
11+sin x+cos x
dx; (b) R
sin2x1+cos x
dx; (c) R
1cos x
dx;
(d) R
1sin x+cos x
dx; (e) R
13+cos x
dx; (f ) R cos
4xdx;
(g) R sin
3xdx; (h) R
14 sin2x+9 cos2x
dx; (i) R sin
3x cos
3xdx;
(j) R sin
2x cos
4xdx; (k) R sin 3x cos 5xdx; (l) R sin x sin 3xdx;
(m) R sin
8xdx; (n) R sin
7xdx; (o) R
sin2x−cos2xsin4x+cos4x
dx.
9. Oblicz caªki z funkcji niewymiernych:
(a) R
√ 12+3x−2x2
dx; (b) R
1+√x 1−√
x
dx; (c) R
3+√62x+1√3
2x+1+√4
2x+1
dx;
(d) R
1√x+√3
x
dx; (e) R
1x
q
x−1x+1
dx; (f ) R
x2+√1+x√3
1+x
dx;
(g) R
dx√
2x2+4x+3
; (h) R
dx√
3−2x−x2
; (i) R
dx√ 4x2−27
; (j) R
dx√1−4x2
; (k) R
dx√x2+5x+7
; (l) R
dx√−3x2+2x+1
; (m) R √
−x
2− 4x + 5dx; (n) R √
x
2− 2x − 1dx;
10. Oblicz nast¦puj¡ce caªki nieoznaczone:
(a) R
dxsin2x·ctg x
; (b) R
(1−x)2 x√x
dx; (c) R x sin x cos xdx;
(d) R
x6+1x2+x+1
dx; (e) R x tg
2xdx; (f ) R x
2arctg 3xdx;
(g) R cos
4x · sin
3xdx; (h) R √x ln xdx; (i) R sin 2x · e
sin xdx;
(j) R
x2−3x+2(x2+x+1)(x+1)2