Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. De nicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.
Wykªad 1. Caªki niewªa±ciwe. Zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i warun- kowa. Warto±¢ gªówna Cauchy'ego.
Na potrzeby dzisiejszego wykªadu zakªadamy, »e wszystkie funkcje s¡ funkcjami rzeczywistymi lokalnie caªkowalnymi, tzn. »e s¡ caªkowalne na dowolnym przedziale domkni¦tym zawartym w ich dziedzinie.
De nicja caªki niewªa±ciwej pierwszego rodzaju
De nicja Niech f : [ a, ∞) → R. Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji f na póªprostej [ a, ∞)de niujemy wzorem:
∞
Z
a
f (x) dx = limdef
T →∞
T
Z
a
f (x) dx.
1. Je»eli granica po prawej stronie nierówno±ci istnieje i jest sko«czona, to mówimy, »e caªka niewªa±ciwa jest zbie»na, w przeciwnym przypadku mówimy, »e jest rozbie»na.
2. Dokªadniej, je»eli powy»sza granica istnieje, ale jest niewªa±ciwa (tzn. jest równa ∞ lub −∞), to mówimy, caªka jest rozbie»na odpowiednio do ∞ lub −∞. Je±li za± granica ta nie istnieje, to mówimy, »e caªka jest rozbie»na.
Uwaga Analogicznie de niujemy caªk¦ niewªa±ciw¡ na póªprostej (−∞, a ]:
a
Z
−∞
f (x) dx def= lim
T →−∞
a
Z
T
f (x) dx.
Przykªady Korzystaj¡c z de nicji zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych.
1.
∞
Z
1
dx
(x + 2)2, 2.
∞
Z
π
x sin x dx, 3.
0
Z
−∞
π
2 + arctg x dx.
De nicja Niech f : (−∞, ∞) → R. Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji f na prostej (−∞, ∞)de niujemy wzorem:
∞
Z
−∞
f (x) dx =def
a
Z
−∞
f (x) dx +
∞
Z
a
f (x) dx,
gdzie a oznacza dowoln¡ liczb¦ rzeczywist¡. Caªka na prostej jest zbie»na, gdy obie caªki
a
Z
−∞
f (x) dx
oraz
∞
Z
a
f (x) dxs¡ zbie»ne. W przeciwnym przypadku caªka
∞
Z
−∞
f (x) dxjest rozbie»na
Uwaga Je»eli caªka niewªa±ciwa
∞
Z
−∞
f (x) dxjest zbie»na dla pewnego a ∈ R, to jest zbie»na dla dowolnego a ∈ R i jej warto±¢ nie zale»y od wyboru a.
Przykªady Korzystaj¡c z de nicji zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych.
1.
∞
Z
−∞
dx
x2− 4x + 13, 2.
∞
Z
−∞
e|x|dx.
Fakt Caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju
∞
Z
a
dx
xp, gdzie a > 0, jest zbie»na dla p > 1 i rozbie»na dla p ≤ 1.
Uwaga Analogiczny fakt jest prawdziwy tak»e dla caªek niewªa±ciwych
a
Z
−∞
dx
xp, gdzie a < 0, o ile funkcja podcaªkowa jest poprawnie okre±lona.
Kryteria zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych pierwszego rodzaju
Kryterium porównawcze
Niech funkcje f i g b¦d¡ okre±lone na póªprostej [ a, ∞) i niech dla ka»dego x ∈ [ a, ∞) zachodzi nierówno±¢ 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Wówczas:
1. Je»eli caªka
∞
Z
a
g(x) dxjest zbie»na, to tak»e caªka
∞
Z
a
f (x) dxjest zbie»na.
2. Je»eli caªka
∞
Z
a
f (x) dxjest rozbie»na, to tak»e caªka
∞
Z
a
g(x) dxjest rozbie»na.
Przykªady Korzystaj¡c z kryterium porównawczego zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ci- wych.
1.
∞
Z
2
(√
2 + cos x) dx
√x − 1 , 2.
∞
Z
4
dx x(√
x + 1), 3.
∞
Z
−∞
(x2+ 1) dx x4+ x2+ 1.
Kryterium ilorazowe
Niech funkcje f i g b¦d¡ obie dodatnie (lub obie ujemne) na póªprostej [ a, ∞) oraz niech
lim
x→∞
f (x)
g(x) = k, gdzie k ∈ (0, ∞).
Wówczas caªki
∞
Z
a
g(x) dxoraz
∞
Z
a
f (x) dxs¡ jednocze±nie zbie»ne lub jednocze±nie rozbie»ne.
Uwaga Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe tak»e dla caªek niewªa±ciwych na póªprostej (−∞, a ].
Przykªady Korzystaj¡c z kryterium ilorazowego zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych.
1.
∞
Z
5
x2dx
√
x5− 3, 2.
∞
Z
1
sin2 1 xdx.
Zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i zbie»no±¢ warunkowa
De nicja Mówimy, »e caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju z funkcji f jest zbie»na bezwzgl¦dnie, gdy caªka niewªa±ciwa z funkcji |f| jest zbie»na. Mówimy, »e caªka jest zbie»na warunkowo, gdy jest zbie»na, ale nie jest zbie»na bezwzgl¦dnie.
Przykªad Caªka niewªa±ciwa
∞
Z
1
sin x
x dx jest zbie»na, ale nie jest zbie»na bezwzgl¦dnie.
Twierdzenie Je»eli caªka niewªa±ciwa jest zbie»na bezwzgl¦dnie, to jest zbie»na. Ponadto zachodzi
nierówno±¢:
∞
Z
a
f (x) dx
≤
∞
Z
a
|f (x)| dx.
Przykªad Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ caªki niewªa±ciwej
∞
Z
1
cos 2x dx ex+ 1 .
De nicja caªki niewªa±ciwej drugiego rodzaju
De nicja Niech funkcja f okre±lona na przedziale (a, b] b¦dzie nieograniczona tylko na prawo- stronnym s¡siedztwie punktu a. Caªk¦ niewªa±ciw¡ drugiego rodzaju funkcji f na przedziale (a, b]
de niujemy wzorem:
b
Z
a
f (x) dx def= lim
T →a+ b
Z
T
f (x) dx.
1. Je»eli granica po prawej stronie nierówno±ci istnieje i jest sko«czona, to mówimy, »e caªka niewªa±ciwa funkcji f na (a, b] jest zbie»na, w przeciwnym przypadku mówimy, »e jest rozbie»na.
2. Dokªadniej, je»eli powy»sza granica istnieje, ale jest niewªa±ciwa (tzn. jest równa ∞ lub −∞), to mówimy, caªka jest rozbie»na odpowiednio do ∞ lub −∞. Je±li za± granica ta nie istnieje, to mówimy, »e caªka jest rozbie»na.
Uwaga Analogicznie de niujemy caªk¦ niewªa±ciw¡ funkcji f okre±lonej na przedziale [a, b) i nie- ograniczonej tylko na lewostronnym s¡siedztwie punktu b:
b
Z
a
f (x) dx =def lim
T →b− T
Z
a
f (x) dx.
Przykªady Korzystaj¡c z de nicji, zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych drugiego ro- dzaju.
1.
π
Z
π 2
dx sin x, 2.
e
Z
0
ln x dx x , 3.
0
Z
−1
dx
√5
x2.
Fakt Caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju
a
Z
0
dx
xp, gdzie a > 0, jest zbie»na dla p < 1 i rozbie»na dla p ≥ 1.
Kryteria zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych drugiego rodzaju
Kryterium porównawcze
Niech funkcje f i g b¦d¡ nieograniczone tylko na prawostronnym s¡siedztwie punktu a i niech dla ka»dego x ∈ (a, b) speªniaj¡ nierówno±¢ 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Wówczas:
1. Je»eli caªka
b
Z
a
g(x) dxjest zbie»na, to tak»e caªka
b
Z
a
f (x) dxjest zbie»na.
2. Je»eli caªka
b
Z
a
f (x) dxjest rozbie»na, to tak»e caªka
b
Z
a
g(x) dxjest rozbie»na.
Przykªady Korzystaj¡c z kryterium porównawczego, zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ci- wych drugiego rodzaju.
1.
√2
Z
0
√1
xarctg1
xdx, 2.
π
Z
0
cos2x dx
√3
x − π , 3.
4
Z
0
dx x2+√
x.
Kryterium ilorazowe
Niech funkcje dodatnie (ujemne) f i g b¦d¡ nieograniczone tylko na prawostronnym s¡siedztwie punktu a. Ponadto niech
lim
x→a+
f (x)
g(x) = k, gdzie k ∈ (0, ∞).
Wówczas caªki
b
Z
a
g(x) dxoraz
b
Z
a
f (x) dxs¡ jednocze±nie zbie»ne lub jednocze±nie rozbie»ne.
Uwaga Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe tak»e dla caªek niewªa±ciwych drugiego rodzaju na przedziale [a, b).
Przykªady Korzystaj¡c z kryterium ilorazowego, zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych.
1.
1
Z
0
dx
arcsin2x, 2.
π
Z
π 2
dx
√3
cos x.
Warto±¢ gªówna Cauchy'ego
De nicja 1) Niech f : R → R. Mówimy, »e caªka niewªa±ciwa
∞
Z
−∞
f (x) dxjest zbie»na w sensie warto±ci gªównej Cauchy'ego, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sko«czona granica
P.V.
∞
Z
−∞
f (x) dx def= lim
T →∞
T
Z
−T
f (x) dx,
któr¡ nazywamy warto±ci¡ gªówn¡ caªki niewªa±ciwej
∞
Z
−∞
f (x) dx.
2) Niech f : [a, c) ∪ (c, b] → R. Mówimy, »e caªka niewªa±ciwa
b
Z
a
f (x) dx jest zbie»na w sensie warto±ci gªównej Cauchy'ego, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sko«czona granica
P.V.
b
Z
a
f (x) dx def= lim
δ→0+
c−δ
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c+δ
f (x) dx
,
któr¡ nazywamy warto±ci¡ gªówn¡ caªki niewªa±ciwej
b
Z
a
f (x) dx.
Przykªady Wyznaczy¢ warto±ci gªówne caªek niewªa±ciwych:
1.
∞
Z
−∞
exdx ex+ 1, 2.
9
Z
−4
dx p|x|, 3.
1
Z
−2
1 xdx.
