Macierze liczbowe

Macierze liczbowe

2.1 Podstawowe definicje

Macierz a (nad cia lem K) nazywamy tablic _, e prostok _, atn _, a _,

A =



 

 



a 1,1 a 1,2 . . . a 1,n

a 2,1 a 2,2 . . . a 2,n

... ... ...

a _m,1 a _m,2 . . . a _m,n



 

 



,

gdzie a i,j ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. B edziemy m´owi´c, ˙ze A jest macierz , a _, formatu m×n, tzn. macierz a o m wierszach i n kolumnach. Zbi´or wszystkich ,

takich macierzy oznaczamy przez K ^m,n .

2.1.1 Macierze szczeg´ olnych format´ ow

• n × n Macierze kwadratowe K ^n,n .

• m × 1 Macierze jednokolumnowe nazywane wektorami.

Zbi´or wektor´ow oznaczamy przez K ^m,1 = K ^m ,

K ^m 3 A = (a i,1 ) = ~a = ˆ a = (a _i ) ^m _i=1 =



 

 



a 1

a 2

...

a _m



 

 



.

11

• 1 × n Macierze jednowierszowe nazywane funkcjona lami.

Zbi´or funkcjona l´ow oznaczamy przez K ^m,1 = K ^nT (albo K ^nH ), K ^{n T} 3 A = (a 1,j ) = ~a ^T = ˆ a ^T = (a _j ) ⁿ _j=1 = [a ₁ , . . . , a _n ] .

• 1 × 1 Macierze jednoelementowe, uto˙zsamiane z K, tzn. K ^1,1 = K.

2.1.2 Podzia l blokowy

Cz esto wygodnie jest przedstawi´c macierz w postaci blokowej, kt´ora w og´o- _, lno´sci wygl ada nast _, epuj _, aco: _,

A =



 



A 1,1 . . . A 1,t

... ...

A s,q . . . A s,t



 

 ∈ K ^m,n , (2.1)

gdzie A p,q ∈ K ^m

^,n

, 1 ≤ p ≤ s, 1 ≤ q ≤ t, ^{P s} p=1 m p = m, ^{P t} _q=1 n q = n.

Na posta´c blokow a mo˙zna patrzy´c jak na macierz, kt´orej elementami _, s a macierze. Z drugiej strony, macierz liczbow _, a mo˙zna interpretowa´c jako _, macierz w postaci blokowej z blokami formatu 1 × 1.

Wa˙zne szczeg´olne przypadki to podzia l kolumnowy macierzy,

A = [~a ₁ , ~a ₂ , . . . , ~a _n ] , gdzie ~a _j =



 

 



a 1,j

a 2,j

...

a _n,j



 

 



, 1 ≤ j ≤ n,

oraz podzia l wierszowy macierzy,

A =



 

 



ˆ a ^T ₁ ˆ a ^T ₂

...

ˆ a ^T _m



 

 



, gdzie a ˆ ^T _i = [a _i,1 , a _i,2 , . . . , a _i,n ] , 1 ≤ i ≤ m.

2.2 Dzia lania na macierzach

2.2.1 Podstawowe dzia lania

Mo˙zemy na macierzach wykonywa´c r´o˙zne dzia lania. Podstawowe z nich to:

u ∈ K, A ∈ K ^m,n =⇒ B = u ∗ A ∈ K ^m,n , b i,j = u ∗ a ^i,j (mno˙zenie macierzy przez liczb e) _,

A, B ∈ K ^m,n =⇒ C = A + B ∈ K ^m,n , c _i,j = a _i,j + b _i,j (dodawanie macierzy)

A ∈ K ^m,n =⇒ B = A ^T ∈ K ^n,m , b j,i = a i,j (transpozycja macierzy) A ∈ C ^m,n =⇒ B = A ^H ∈ K ^n,m , b _j,i = a _i,j (sprz e˙zenie hermitowskie) _, A ∈ K ^m,n =⇒ B = |A| ∈ K ^m,n , b i,j = |a ^i,j | (modu l macierzy)

W szczeg´olno´sci, mamy te˙z dla u, v ∈ K ⊂ C, A, B ∈ C ^m,n ,

(u ∗ A ± v ∗ B) ^H = u ∗ A ^H ± v ∗ B ^H , ^ A ^{T  T} = A = ^ A ^{H  H} .

Zauwa˙zmy, ˙ze macierze formatu m × n z dzia laniem dodawania s a grup , a _, przemienn a, przy czym elementem neutralnym jest macierz zerowa (gdzie _, a i,j = 0 ∀i, j), a przeciwn a do (a , i,j ) jest macierz (−a ^i,j ).

Je´sli macierze dane s a w postaci blokowej (2.1) to: _, B = u ∗ A =⇒ B ^p,q = u ∗ A ^p,q

C = A + B =⇒ C ^p,q = A p,q + B p,q

B = A ^T =⇒ B p,q = A ^T _q,p B = A ^H =⇒ B ^p,q = A ^H _q,p

2.2.2 Mno˙zenie macierzy

Je´sli A ∈ K ^m,l i B ∈ K ^l,n to

C = A ∗ B ∈ K ^m,n , gdzie

c i,j =

X l

k=1

a i,k ∗ b ^k,j , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Zauwa˙zmy, ˙ze mno˙zenie A ∗ B jest wykonalne wtedy i tylko wtedy gdy liczba kolumn macierzy A jest r´owna liczbie wierszy macierzy B. Je´sli A jest w postaci wierszowej, a B kolumnowej,

A =



 



ˆ a ^T ₁

...

ˆ a ^T _m



 

 , B = ^h ~b 1 , . . . ,~b l

i ,

to c i,j = ˆ a ^T _i ∗~b ^j ∀i, j.

Podstawowe w lasno´sci mno˙zenia macierzy s a nast _, epuj _, ace. (Zak ladamy, _,

˙ze macierze s a odpowiednich format´ow tak, ˙ze dzia lania s _, a wykonalne.) _, (A + B) ∗ C = A ∗ C + B ∗ C

C ∗ (A + B) = C ∗ A + C ∗ B

(rozdzielno´s´c mno˙zenia wzgl edem dodawania) _,

u ∗ (A ∗ B) = (u ∗ A) ∗ B = A ∗ (u ∗ B) = (A ∗ B) ∗ u (u ∈ K) (A ∗ B) ∗ C = A ∗ (B ∗ C) ( l aczno´s´c mno˙zenia) ,

Dowody tych w lasno´sci polegaj a na zwyk lym sprawdzeniu. Dlatego, dla _, przyk ladu, poka˙zemy tu jedynie l aczno´s´c. Niech macierze A, B, C b _, ed _, a odpo- _, wiednio format´ow m×k, k×l, l×n. (Zauwa˙zmy, ˙ze tylko wtedy odpowiednie mno˙zenia s a wykonalne.) Mamy _,

((A ∗ B) ∗ C) i,j =

X l

s=1

(A ∗ B) ^i,s c s,j =

X l

s=1

X k

t=1

a i,t b t,s

!

c s,j

=

X k

t=1

a i,t

X l

s=1

b t,s c s,j =

X k

t=1

a i,t (B ∗ C) ^t,j

= (A ∗ (B ∗ C)) i,j . Mamy te˙z

(A ∗ B) ^T = B ^T ∗ A ^T , (A ∗ B) ^H = B ^H ∗ A ^H . Rzeczywi´scie,

 (A ∗ B) ^{H } _i,j = (A ∗ B) ^j,i =

X l

k=1

a j,k b k,i

=

X l

k=1

a _j,k b _k,i =

X l

k=1

b _k,i a _j,k

=

X l

k=1

 B ^{H }

i,k

 A ^{H }

k,j = ^ B ^H ∗ A ^{H } _i,j .

2.2.3 Mno˙zenie macierzy w postaci blokowej

Je´sli macierze s a podane w postaci blokowej to mo˙zna je mno˙zy´c ‘blok-po- _, bloku’ (tak jak w przypadku blok´ow 1×1) o ile formaty odpowiednich blok´ow s a zgodne. Dok ladniej, je´sli A = (A _, i,k ), B = (B k,j ), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ l, 1 ≤ k ≤ n, oraz dla wszystkich i, j, k liczba kolumn bloku A ^i,k macierzy A jest r´owna liczbie wierszy bloku B k,j macierzy B to iloczyn

C = A ∗ B = (C ^i,j ) , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, gdzie

C i,j =

X l

k=1

A i,k ∗ B ^k,n . Poka˙zemy to na przyk ladzie. Niech

A =



 

A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 1,4

A 2,1 A 2,2 A 2,3 A 2,4

A 3,1 A 3,2 A 3,3 A 3,4



  , B =



 

 

B _1,1 B _1,2 B 2,1 B 2,2

B 3,1 B 3,2

B _4,1 B _4,2



 

  .

Wtedy

C =



 

C _1,1 C _1,2 C 2,1 C 2,2

C 3,1 C 3,2



  , gdzie

C 1,1 = A 1,1 ∗ B ^1,1 + A 1,2 ∗ B ^2,1 + A 1,3 ∗ B ^3,1 + A 1,4 ∗ B ^4,1 ,

C 1,2 = A 1,1 ∗ B ^1,2 + A 1,2 ∗ B ^2,2 + A 1,3 ∗ B ^3,2 + A 1,4 ∗ B ^4,2 ,

C 2,1 = A 2,1 ∗ B ^1,1 + A 2,2 ∗ B ^2,1 + A 2,3 ∗ B ^3,1 + A 2,4 ∗ B ^4,1 ,

C 2,2 = A 2,1 ∗ B ^1,2 + A 2,2 ∗ B ^2,2 + A 2,3 ∗ B ^3,2 + A 2,4 ∗ B ^4,2 ,

C 3,1 = A 3,1 ∗ B ^1,1 + A 3,2 ∗ B ^2,1 + A 3,3 ∗ B ^3,1 + A 3,4 ∗ B ^4,1 ,

C 3,2 = A 3,1 ∗ B ^1,2 + A 3,2 ∗ B ^2,2 + A 3,3 ∗ B ^3,2 + A 3,4 ∗ B ^4,2 ,

o ile formaty blok´ow A i,k i B k,j s a zgodnie. _,

Bardzo wa˙znym przypadkiem szczeg´olnym mno˙zenia blokowego jest A ∗ B = A ∗ ^h ~b 1 ,~b 2 , . . . ,~b l

i

= ^h A ∗~b ¹ , A ∗~b ² , . . . , A ∗~b ^{l i} .

Zwr´o´cmy jeszcze uwag e na fakt, ˙ze je´sli ~a ∈ K _, ^m oraz ~b ∈ K ⁿ to C = ~a ∗~b ^T ∈ K ^m,n

jest macierz a formatu m × n, nazywan _, a iloczynem wewn _, etrznym wektor´ow. _, Je´sli natomiast wektory s a tych samych format´ow, ~a,~b ∈ K _, ⁿ , to

c = ~a ^T ∗~b = ~b ^T ∗ ~a ∈ K

jest liczb a, nazywan _, a iloczynem zewn _, etrznym. W przypadku ~a,~b ∈ C _, ⁿ defi- niujemy r´ownie˙z iloczyn skalarny wektor´ow jako liczb e zespolon _, a _,

g = ~b ^H ∗ ~a ∈ C.

2.3 Dalsze oznaczenia

2.3.1 Macierze tr´ ojk atne i jednostkowe _,

Wyr´o˙znimy nast epuj _, ace podzbiory macierzy formatu m × n (niekoniecznie _, kwadratowych):

TRIU ^m,n = { A ∈ K ^m,n : ∀i > j a ^i,j = 0 } , TRIL ^m,n = { A ∈ K ^m,n : ∀i < j a ^i,j = 0 } , DIAG ^m,n = { A ∈ K ^m,n : ∀i 6= j a i,j = 0 } .

S a to odpowiednio macierze tr´ _, ojk atne g´ _, orne, tr´ ojk atne dolne i diagonalne. _, Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy z tych podzbior´ow macierzy stanowi grup e ze wzgl _, edu _, na dzia lanie dodawania macierzy (s a to podgrupy {K, +}), oraz _,

DIAG ^m,n = TRIU ^m,n ∩ TRIL ^m,n .

Poniewa˙z macierze diagonalne D ∈ DIAG ^m,n maj a elementy niezerowe _, jednynie na g l´ownej diagonali, powiedzmy d i , 1 ≤ i ≤ min(m, n), b edziemy ,

pisa´c

D = diag ^ d 1 , d 2 , . . . , d min(m,n)

 .