Przyk lad 6.2

Wyk lad 6

Przyk lady homomorfizm´ow

Przyk lad 6.1. Dla dowolnych grup (G₁, ·₁, e₁), (G₂, ·₂, e₂) przekszta lcenie f : G₁ → G₂ dane wzorem

f (x) = e2 dla x ∈ G1

jest homomorfizmem grup, bo f (a) ·₂ f (b) = e₂ ·₂ e₂ = e₂ = f (a ·₁ b) dla dowolnych a, b ∈ G₁. Nazywamy go homomorfizmem trywialnym.

Przyk lad 6.2. Niech G bedzie grup_, a i g ∈ G. Wtedy przekszta lcenie f : G → G dane_, wzorem

f (x) = g · x · g⁻¹ dla x ∈ G

jest automorfizmem grupy G, gdy˙z f (a·b) = g·(a·b)·g⁻¹ = (g·a·g⁻¹)·(g·b·g⁻¹) = f (a)·f (b) dla a, b ∈ G oraz przekszta lcenie h : G −→ G dane wzorem: h(x) = g⁻¹· x · g dla x ∈ G jest odwrotne do f . Taki automorfizm f nazywamy automorfizmem wewnetrznym._,

Przyk lad 6.3. Niech H bedzie dzielnikiem normalnym grupy G i niech π: G → G/H_, bedzie odwzorowaniem danym wzorem_,

π(x) = xH dla x ∈ G.

W´owczas dla dowolnych a, b ∈ G mamy, ˙ze π(ab) = (ab)H = (aH) · (bH) = π(a) · π(b), wiec π jest homomorfizmem grup. Ponadto G/H = {aH = π(a) : a ∈ G}, wi_, ec π jest_, ,,na”. Dla a ∈ G mamy, ˙ze a ∈ Ker(π) ⇔ π(a) = H ⇔ aH = H ⇔ a ∈ H, wiec_, Ker(π) = H. Taki homomorfizm π nazywamy epimorfizmem naturalnym.

Przy okazji zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy dzielnik normalny grupy G jest jadrem pewnego homo-_, morfizmu okre´slonego na tej grupie. Stad wobec Stwierdzenia 5. 18 (vi), dzielniki nor-_, malne grupy G sa to dok ladnie j_, adra homomorfizm´_, ow okre´slonych na grupie G. Z twierdzenia o izomorfizmie wynika stad zatem, ˙ze ka ˙zdy obraz homomorficzny_, grupy G jest izomorficzny z grupa ilorazow_, a G/H dla pewnego H C G._,

Stwierdzenie 6.4. Niech hai bedzie cykliczn_, a grup_, a niesko´_, nczona i niech B b_, edzie_, dowolna grup_, a. W´_, owczas dla dowolnego b ∈ B przekszta lcenie f : hai → B dane wzorem

f (a^k) = b^k dla wszystkich k ∈ Z (1) jest homomorfizmem grupy hai w grupe B i f (a) = b. Ponadto f (hai) = hbi oraz je´_, sli o(b) = ∞, to f jest zanurzeniem, a je´sli o(b) = n ∈ N, to f nie jest zanurzeniem i Ker(f ) = haⁿi.

Je´sli g: hai → B jest homomorfizmem i b = f (a), to g(a^k) = b^k dla ka˙zdego k ∈ Z i g jest ,,na”wtedy i tylko wtedy, gdy b jest generatorem grupy B.

W szczeg´olno´sci moc zbioru wszystkich homomorfizm´ow grupy hai w grupe B jest r´_, owna mocy zbioru B.

Dow´od. Na mocy Stwierdzenia 3.7 ka˙zdy element grupy hai mo˙zna jednoznacznie zapisa´c w postaci a^k dla pewnego k ∈ Z. Wobec tego f jest dobrze okre´slone. Ponadto f (a) = f (a¹) = b¹ = b. We´zmy dowolne x, y ∈ hai. Wtedy x = a^k i y = a^l dla pewnych k, l ∈ Z. Stad f (x · y) = f (a_, ^k · a^l) = f (a^k+l) = b^k+l oraz f (x) · f (y) = b^k · b^l = b^k+l. Zatem f (x · y) = f (x) · f (y) i f jest homomorfizmem. Ze wzoru (1) od razu wynika, ˙ze f (hai) = hbi. Niech o(b) = ∞ i a^k ∈ Ker(f ) dla pewnego k ∈ Z. Wtedy b^k = e i na mocy Stwierdzenia 3.7, k = 0 oraz a^k = e. Zatem w tym przypadku Ker(f ) = {e} i na mocy Stwierdzenia 5.18 (vii), f jest zanurzeniem.

Niech teraz o(b) = n ∈ N. Niech a^k ∈ Ker(f ) dla pewnego k ∈ Z. Wtedy e = f(a^k) = b^k, skad na mocy Stwierdzenia 3.5, n|k, czyli k = nl dla pewnego l ∈ Z i a_, ^k= (aⁿ)^l ∈ haⁿi.

Je´sli za´s x ∈ haⁿi, to x = (aⁿ)^s= a^ns dla pewnego s ∈ Z, wiec f (x) = b_, ^ns = (bⁿ)^s= e^s = e, czyli x ∈ Ker(f ). Wobec tego w tym przypadku Ker(f ) = haⁿi, skad a_, ⁿ ∈ Ker(f ).

Ale aⁿ 6= e, bo o(a) = ∞, wiec Ker(f ) 6= {e} i f nie jest zanurzeniem._,

Ze Stwierdzenia 5.18 (iv) mamy, ˙ze g(a^k) = [g(a)]^k = b^k dla ka˙zdego k ∈ Z. Ponadto wykazali´smy wcze´sniej, ˙ze g(hai) = hbi, wiec g jest ,,na”wtedy i tylko wtedy, gdy b jest_, generatorem grupy B. 

Twierdzenie 6.5. Jedyna z dok ladno´_, scia do izomorfizmu niesko´_, nczona grup_, a cy-_, kliczna jest grupa Z_, ⁺. Ka˙zde dwie niesko´nczone grupy cykliczne hai i hbi sa izomor-_, ficzne. Ponadto przekszta lcenia f : hai → hbi i g: hai → hbi dane wzorami: f (a^k) = b^k i g(a^k) = b^−k dla k ∈ Z sa wszystkimi r´_, o˙znymi izomorfizmami grupy hai na grupe hbi._,

Dow´od. Niech hai i hbi bed_, a niesko´_, nczonymi grupami cyklicznymi. Wtedy na mocy Stwierdzenia 6.4 przekszta lcenie f : hai → hbi dane wzorem f (a^k) = b^k jest zanurzeniem i f jest ,,na”, czyli f jest izomorfizmem. W szczeg´olno´sci Z⁺ jest jedyna z dok ladno´sci_, a_, do izomorfizmu niesko´nczona grup_, a cykliczn_, a. Ponadto hb_, ⁻¹i = hbi, wiec g jest te˙z_, izomorfizmem, gdy˙z (b⁻¹)^k = b^−k dla dowolnego k ∈ Z. Mamy te˙z f (a) = b 6= b⁻¹ = g(a) na mocy Stwierdzenia 3.7, wiec f 6= g._,

Niech h: hai → hbi bedzie izomorfizmem. Wtedy na mocy Stwierdzenia 6.4 dla c = h(a)_, jest h(hai) = hci oraz h(a^k) = c^k dla k ∈ Z. Ale h jest ,,na”, wiec c jest generatorem_, grupy hbi i na mocy Stwierdzenia 3.7, c = b lub c = b⁻¹, skad h = f lub h = g. _,

Stwierdzenie 6.6. Niech hai bedzie grup_, a cykliczn_, a rz_, edu n ∈ N i niech B b_, edzie_, dowolna grup_, a. W´_, owczas dla dowolnego b ∈ B takiego, ˙ze o(b)|n przekszta lcenie f : hai → B dane wzorem

f (a^k) = b^k dla wszystkich k ∈ Z (2) jest homomorfizmem grupy hai w grupe B i f (a) = b. Ponadto f (hai) = hbi oraz je´_, sli

o(b) = n, to f jest zanurzeniem, a je´sli o(b) 6= n, to f nie jest zanurzeniem i Ker(f ) = ha^o(b)i.

Je´sli g: hai → B jest homomorfizmem i b = g(a), to g(a^k) = b^k dla ka˙zdego k ∈ Z, o(b)|n i g jest ,,na”wtedy i tylko wtedy, gdy b jest generatorem grupy B.

Dow´od. Z Uwagi 3.4 mamy, ˙ze o(a) = n, wiec hai = {e, a, a_, ², . . . , aⁿ⁻¹} na mocy Stwierdzenia 2.16. Niech b ∈ B bedzie takie, ˙ze o(b)|n. Wtedy dla dowolnych k, l ∈ Z_, takich, ˙ze a^k = a^l jest a^k−l = e, wiec na mocy Stwierdzenia 3.5, n|k − l, sk_, ad o(b)|k − l._, Zatem e = b^k−l, skad b_, ^k = b^l, czyli f (a^k) = f (b^l). Wobec tego f jest dobrze okre´slone.

Ponadto f (a) = f (a¹) = b¹ = b. We´zmy dowolne x, y ∈ hai. Wtedy x = a^k i y = a^l dla pewnych k, l ∈ Z. Stad f (x·y) = f (a, ^k·a^l) = f (a^k+l) = b^k+loraz f (x)·f (y) = b^k·b^l = b^k+l. Zatem f (x · y) = f (x) · f (y) i f jest homomorfizmem. Ze wzoru (2) od razu wynika, ˙ze f (hai) = hbi. Niech o(b) = n i a^k∈ Ker(f ) dla pewnego k ∈ Z. Wtedy b^k = e i na mocy Stwierdzenia 3.5, n|k, skad a_, ^k = e. Zatem w tym przypadku Ker(f ) = {e} i na mocy Stwierdzenia 5.18 (vii), f jest zanurzeniem. Niech teraz o(b) 6= n. Wtedy o(b) < n. Niech a^k∈ Ker(f ) dla pewnego k ∈ Z. Wtedy e = f(a^k) = b^k, skad na mocy Stwierdzenia 3.5,_, o(b)|k, czyli k = o(b)l dla pewnego l ∈ Z i a^k = (a^o(b))^l ∈ ha^o(b)i. Je´sli za´s x ∈ ha^o(b)i, to x = (a^o(b))^s = a^o(b)s dla pewnego s ∈ Z, wiec f (x) = b, ^o(b)s = (b^o(b))^s = e^s = e, czyli x ∈ Ker(f ). Wobec tego w tym przypadku Ker(f ) = ha^o(b)i, skad a_, ^o(b) ∈ Ker(f ). Ale a^o(b) 6= e, bo o(b) < n, wiec Ker(f ) 6= {e} i f nie jest zanurzeniem._,

Ze Stwierdzenia 5.18 mamy, ˙ze g(a^k) = [g(a)]^k = b^kdla ka˙zdego k ∈ Z i o(b)|n. Ponadto wykazali´smy wcze´sniej, ˙ze g(hai) = hbi, wiec g jest ,,na”wtedy i tylko wtedy, gdy b jest_, generatorem grupy B. 

Twierdzenie 6.7. Niech n ∈ N. Jedyna z dok ladno´_, scia do izomorfizmu grup_, a cy-_, kliczna rz_, edu n jest grupa Z_, ⁺n. Ka˙zde dwie grupy cykliczne hai i hbi rzedu n s_, a izomor-_, ficzne. Ponadto przekszta lcenia f_s: hai → hbi dane wzorami: f_s(a^k) = b^sk dla k ∈ Z oraz s ∈ {1, 2, . . . , n} takich, ˙ze (s, n) = 1 sa wszystkimi r´_, o˙znymi izomorfizmami grupy hai na grupe hbi. W szczeg´_, olno´sci istnieje dok ladnie ϕ(n) r´o˙znych izomorfizm´ow grupy hai na grupe hbi._,

Dow´od. Niech hai i hbi bed_, a grupami cyklicznymi rz_, edu n i niech s ∈ {1, 2, . . . , n}_, bedzie takie, ˙ze (s, n) = 1. Wtedy na mocy Wniosku 3.11, b_, ^s jest generatorem grupy hbi, wiec o(b_, ^s) = n. Zatem ze Stwierdzenia 6.6 przekszta lcenie f_s: hai → hbi dane wzorem f_s(a^k) = b^sk dla k ∈ Z jest zanurzeniem i fs jest ,,na”, czyli f_s jest izomorfizmem. W szczeg´olno´sci Z⁺n jest jedyna z dok ladno´sci_, a do izomorfizmu grup_, a cykliczn_, a rz_, edu n._, Niech s, r ∈ {1, 2, . . . , n} i (s, n) = (r, n) = 1 oraz fs = fr. Wtedy fs(a) = fr(a), skad_, b^s= b^r i na mocy Stwierdzenia 2.16, s = r.

Niech h: hai → hbi bedzie izomorfizmem. Wtedy na mocy Stwierdzenia 6.6 dla c = h(a)_, jest h(hai) = hci oraz h(a^k) = c^k dla k ∈ Z. Ale h jest ,,na”, wiec c jest generatorem_, grupy hbi i na mocy Wniosku 3.11, c = b^s dla pewnego s ∈ {1, 2, . . . , n} takiego, ˙ze (s, n) = 1. Zatem h(a^k) = (b^s)^k = b^sk dla k ∈ Z. Wobec tego h = fs. 

Stwierdzenie 6.8. Niech m, n ∈ N. Istnieje dok ladnie (n, m) wszystkich homomor- fizm´ow grupy cyklicznej hai rzedu n w grup_, e cykliczn_, a hbi rz_, edu m i s_, a one postaci:_,

f_j(a^k) = b^{j·(n,m)m ·k} dla k ∈ Z oraz j = 0, 1, . . . , (n, m) − 1. (3) Ponadto Ker(f_j) =D

a

(n,m) (j,(n,m))

E

dla j = 0, 1, . . . , (n, m) − 1.

Dow´od. Oznaczmy A = hai i B = hbi. W´owczas na mocy Stwierdzenia 6.6 ka˙zdy homomorfizm f : A → B jest jednoznacznie wyznaczony przez element c = f (a), przy czym f (a^k) = c^k dla k ∈ Z i o(c)|n. Ponadto z twierdzenia Lagrange’a o(c)|m, wiec_, z teorii liczb mamy, ˙ze o(c)|(n, m). Z Uwagi 3.16 w grupie B istnieje dok ladnie jedna podgrupa C rzedu (n, m). Dalej, z Uwagi 3.4, o(x) = |hxi| dla ka˙zdego x ∈ B. Ponadto_, z Twierdzenia 3.9, o

 b^(n,m)m



= (n, m), wiec C =_, D

b^(n,m)m E

. Ale o(c)||C| i w C istnieje dok ladnie jedna podgrupa rzedu o(c), wi_, ec c ∈ C. W ten spos´_, ob wykazali´smy, ˙ze je´sli f : A → B jest homomorfizmem, to f (a) ∈ hb^(n,m)m i. Na odwr´ot, je´sli c ∈ hb^(n,m)m i, to o(c)|(n, m), wiec ze Stwierdzenia 6.6 przekszta lcenie f : A → B dane wzorem f (a_, ^k) = c^k dla k ∈ Z jest homomorfizmem i f (a) = c. Wynika stad, ˙ze istnieje dok ladnie (n, m),

wszystkich homomorfizm´ow grupy A w grupe B i wszystkie one s_, a postaci_, f_j(a^k) = b^{j·(n,m)m ·k} dla k ∈ Z oraz j = 0, 1, . . . , (n, m) − 1.

Ponadto ze Stwierdzenia 6.6, Ker(f_j) = ha^lji, gdzie l_j = o(b^j·(n,m)m ). Ale na mocy Twier- dzenia 3.9, o(b^j·(n,m)m ) = _(j,(n,m))^(n,m) , wiec l_{, j} = _(j,(n,m))^(n,m) , skad Ker(f_{, j}) = D

a

(n,m) (j,(n,m))

E . 

Przyk lad 6.9. Wyznaczymy wszystkie homomorfizmy grupy A = hai cyklicznej rzedu_, 124 w grupe cykliczn_, a B = hbi rz_, edu 168. Wypiszemy te˙z j_, adro ka˙zdego z tych homo-_, morfizm´ow.

Najpierw stosujac algorytm Euklidesa obliczamy (124, 168) = (124, 44) = (44, 36) =_, (36, 8) = (8, 4) = 4. Nastepnie obliczamy_{, (n,m)}^m = ¹⁶⁸₄ = 42. Ze Stwierdzenia 6.8 sa_, dok ladnie 4 takie homomorfizmy:

f₀(a^k) = e dla ka˙zdego k ∈ Z i Ker(f0) = A;

f₁(a^k) = b^42k dla ka˙zdego k ∈ Z i Ker(f1) = ha^(1,4)4 i = ha⁴i = {e, a⁴, a⁸, . . . , a¹²⁰}, f₂(a^k) = b^84k dla ka˙zdego k ∈ Z i Ker(f2) = ha^(2,4)4 i = ha²i = {e, a², a⁴, . . . , a¹²²}, f₃(a^k) = b^126k dla ka˙zdego k ∈ Z i Ker(f3) = ha^(3,4)4 i = ha⁴i = {e, a⁴, a⁸, . . . , a¹²⁰}.

Twierdzenie 6.10. Z dok ladno´scia do izomorfizmu istniej_, a dok ladnie dwie grupy_, rzedu 4: grupa czw´_, orkowa Kleina K i grupa cykliczna Z⁺4.

Dow´od. Niech G bedzie grup_, a rz_, edu 4. Je´sli G posiada element rz_, edu 4, to G jest_, cykliczna i z Twierdzenia 6.7, G ∼= Z⁺4. W przeciwnym przypadku ze Stwierdzenia 2.19, G = {e, x, y, z} dla pewnych x, y, z ∈ G takich, ˙ze xy = yx = z, o(x) = o(y) = o(z) = 2.

Wobec tego tabelka grupy G ma posta´c:

· e x y z

e e x y z

x x e z y

y y z e x

z z y z e

Rozwa˙zmy bijekcje f : K → G tak_, a, ˙ze f (e) = e, f (S_{, a}) = x, f (S_b) = y i f (S_O) = z.

Wtedy tabelka grupy K przejdzie na tabelke grupy G, wi_, ec f jest izomorfizmem, czyli_, G ∼= K. Ponadto grupa K nie jest cykliczna, a wiec K nie jest izomorficzna z grup_, a Z_, ⁺4.



Przyk lad 6.11. Ze Stwierdzenia 6.7 mamy, ˙ze dla n ∈ N, f : Z⁺ → Z⁺n dane wzorem f (k) = k · 1 dla k ∈ Z jest homomorfizmem grupy Z⁺ na grupe Z_, ⁺n oraz Ker(f ) = hni.

Zatem z twierdzenia o izomorfizmie mamy

Z⁺n ∼= Z⁺/hni.

Twierdzenie 6.12. Niech f : G → A bedzie homomorfizmem grupy sko´_, nczonej G w grupe A. W´_, owczas |f (G)| dzieli |G|. Je˙zeli dodatkowo A jest grupa sko´_, nczona, to |f (G)|_, dzieli (|G|, |A|).

Dow´od. Z twierdzenia o izomorfizmie mamy, ˙ze f (G) ∼= G/Ker(f ), skad na mocy_, twierdzenia Lagrange’a |f (G)| = |G/Ker(f )| = _{|Ker(f )|}^|G| , a wiec |f (G)| | |G|._, Je˙zeli dodatkowo grupa A jest sko´nczona, to z twierdzenia Lagrange’a i ze Stwierdzenia 5.18 (viii), |f (G)| dzieli |A|, wiec z elementarnej teorii liczb |f (G)| dzieli (|G|, |A|). _,

Wniosek 6.13. Je´sli grupy A i B sa sko´_, nczone i maja wzgl_, ednie pierwsze rz_, edy, to_, jedynym homomorfizmem f : A → B jest homomorfizm trywialny.

Dow´od. Poniewa˙z (|A|, |B|) = 1, wiec z Twierdzenia 6.12 mamy, ˙ze |f (A)| = 1._, Zatem f (A) = {e}, czyli f (a) = e dla ka˙zdego a ∈ A, a wiec f jest homomorfizmem_, trywialnym. 

Przyk lad 6.14. Poka˙zemy, ˙ze nie istnieje nietrywialny homomorfizm grupy D₃ w grupe Z_, ⁺15. W tym celu za l´o˙zmy, ˙ze istnieje nietrywialny homomorfizm f : D₃ → Z⁺15. Wtedy |f (D₃)| > 1 oraz z Twierdzenia 6.12, |f (D₃) | |(6, 15) = 3, wiec |f (D_{, 3})| = 3 oraz z twierdzenia o izomorfizmie i z twierdzenia Lagrange’a |Ker(f )| = 2. Ale Ker(f ) C D3

i grupa D₃ nie posiada dzielnika normalnego rzedu 2, wi_, ec mamy sprzeczno´s´_, c.

Przyk lad 6.15. Poka˙zemy, ˙ze je´sli niepuste zbiory A i B sa r´_, ownoliczne, to grupy symetryczne S(A) i S(B) sa izomorficzne. Rzeczywi´scie, niech f : A → B b_, edzie bijekcj_, a._, Okre´slamy F : S(A) → S(B) wzorem F (φ) = f ◦ φ ◦ f⁻¹ dla φ ∈ S(A). Wtedy ze Wstepu_, do matematyki mamy, ˙ze F (φ) jest bijekcja jako z lo˙zenie bijekcji, czyli F (φ) ∈ S(B) dla_, φ ∈ S(A). Ponadto dla dowolnych φ₁, φ₂ ∈ S(A) mamy

F (φ₁◦ φ₂) = f ◦ (φ₁◦ φ₂) ◦ f⁻¹ =

= (f ◦ φ₁◦ f⁻¹) ◦ (f ◦ φ₂◦ f⁻¹) = F (φ₁) ◦ F (φ₂),

wiec F jest homomorfizmem. Ponadto G: S(B) → S(A) dane wzorem G(ψ) = f_, ⁻¹◦ ψ ◦ f dla ψ ∈ S(B) jest przekszta lceniem odwrotnym do F . Zatem F jest izomorfizmem.

Twierdzenie 6.16 (Cayley’a). Ka˙zda grupa G zanurza sie w grup_, e symetryczn_, a_, S(G).

Dow´od. Niech dla g ∈ G: lg(x) = gx dla x ∈ G. Wtedy, jak wiemy lg jest bijekcja_, zbioru G na siebie, wiec l_{, g} ∈ S(G). Niech F (g) = l_g dla g ∈ G. Wtedy dla g, h, x ∈ G mamy, ˙ze (F (gh))(x) = l_gh(x) = (gh)x = g(hx) = gl_h(x) = l_g(l_h(x)) = (l_g ◦ l_h)(x) = (F (g) ◦ F (h))(x), skad F (gh) = F (g) ◦ F (h) i F jest homomorfizmem. Je˙zeli g ∈ Ker(F ),_, to l_g(x) = x dla x ∈ G, czyli gx = x dla x ∈ G. Zatem g = e. Stad ze Stwierdzenia 5.18,_, F jest zanurzeniem. 

Z Twierdzenia Cayley’a i z Przyk ladu 6.15 wynika od razu nastepuj_, acy_,

Wniosek 6.17. Ka˙zda grupa sko´nczona rzedu n zanurza si_, e w grup_, e permutacji S_, n

zbioru n-elementowego {1, 2, . . . , n}. 

Przyk lad 6.18. Podamy ilustracje zastosowania dowodu twierdzenia Cayley’a do_, wyznaczenia zanurzenia grupy Kleina w grupe S_{, 4}. Z tabelki grupy Kleina odczytujemy na podstawie kolejnych jej kolumn postacie lewostronnych mno˙ze´n lg dla g ∈ K:

e 7→  e S_a S_b S_O e Sa Sb SO



, S_a 7→

 e S_a S_b S_O Sa e SO Sb



, S_b 7→

 e S_a S_b S_O Sb SO e Sa

 , SO 7→

 e S_a S_b S_O S_O S_b S_a e



. Nastepnie wykorzystujemy bijekcj_, e zbioru K na zbi´_, or {1, 2, 3, 4}: e 7→ 1, S_a 7→ 2, S_b 7→ 3, S_O 7→ 4 i na mocy Przyk ladu 6.15 oraz tego,

˙ze z lo˙zenie zanurze´n jest zanurzeniem, otrzymujemy nastepuj_, ace zanurzenie grupy K w_, grupe S_, 4:

e 7→ 1 2 3 4 1 2 3 4



, S_a7→ 1 2 3 4 2 1 4 3



= (1, 2) ◦ (3, 4), S_b 7→ 1 2 3 4

3 4 1 2



= (1, 3) ◦ (2, 4), S_O 7→ 1 2 3 4 4 3 2 1



= (1, 4) ◦ (3, 4).

W szczeg´olno´sci mamy stad, ˙ze V = {e, (1, 2) ◦ (3, 4), (1, 3) ◦ (2, 4), (1, 4) ◦ (2, 3)} jest_, podgrupa grupy S_{, 4} i V ∼= K.

Twierdzenie 6.19. Wszystkimi z dok ladno´scia do izomorfizmu grupami rz_, edu 6 s_, a:_, Z⁺6 i D₃.

Dow´od. Grupy Z⁺6 i D₃ nie sa izomorficzne, bo pierwsza z nich jest abelowa, a druga_, nie jest abelowa.

Niech G bedzie grup_, a rz_, edu 6. Z Zagadki 5 z Wyk ladu 3 istnieje w G element a rz_, edu_, 2. Je´sli w G nie ma elementu rzedu 3, to G nie mo˙ze by´_, c cykliczna, gdy˙z w grupie

cyklicznej rzedu 6 o generatorze u element u_, ² ma rzad 3. Zatem ka˙zdy element zbioru_, G \ {e} ma rzad 2 i x_, ² = e dla ka˙zdego x ∈ G. Zatem ze Stwierdzenia 2.18 grupa G jest abelowa. Istnieje zatem v ∈ G \ {e, a} i wtedy {e, a, v, a · v} jest podgrupa rz_, edu 4 w_, grupie G, bo a · v = v · a, gdy˙z grupa G jest abelowa. Ale 4 6 |6, wiec mamy sprzeczno´s´_, c z twierdzeniem Lagrange’a. Zatem w grupie G istnieje element b rzedu 3._,

Za l´o˙zmy, ˙ze a · b = b · a. Wtedy ze Stwierdzenia 3.6, o(a · b) = 6, wiec G = ha · bi i na_, mocy Twierdzenia 6.7, G ∼= Z⁺6.

Teraz za l´o˙zmy, ˙ze a · b 6= b · a. Poniewa˙z o(b) = 3, wiec z Uwagi 3.4, H = hbi jest_, podgrupa rz_, edu 3 grupy G i |G| = 6, wi_, ec (G : H) = 2, sk_, ad na mocy Stwierdzenia 4.14,_, H C G. Dalej, ze Stwierdzenia 2.16, H = {e, b, b²}. Ale a⁻¹ = a, wiec a · b · a ∈ hbi oraz_, a · b · a 6= b i a · b · a 6= e, wiec a · b · a = b_, ², skad b · a = a · b_, ² i b² · a = a · b. Stad_, wynika, ˙ze elementy: e, a, b, b², a · b, a · b², sa parami r´_, o˙zne, a poniewa˙z |G| = 6, wiec_, G = {e, a, a · b, a · b², b, b²}. Ponadto z naszych rozwa˙za´n wynika, ˙ze tabelka dzia lania · w grupie G wyglada nast_, epuj_, aco:_,

· e a a · b a · b² b b²

e e a a · b a · b² b b²

a a e b b² a · b a · b²

a · b a · b b² e b a · b² a a · b² a · b² b b² e a a · b

b b a · b² a a · b b² e

b² b² a · b a · b² a e b

Niech f : D₃ → G bedzie bijekcj_, a tak_, a, ˙ze f (e) = e, f (S_{, a}) = a, f (S_b) = a · b, f (S_c) = a · b², f (O₁) = b, f (O₂) = b². Wtedy tabelka grupy D₃ przejdzie na tabelke grupy G,_, wiec na mocy Uwagi 5.20, f jest izomorfizmem, czyli G ∼_, = D3. 

Przyk lad 6.20. Udowodnimy, ˙ze dla dowolnego cia la K istnieje epimorfizm f : GL_n(K) → K^∗. Niech f (A) = det(A) dla A ∈ GL_n(K). Z algebry liniowej wy- nika, ˙ze f jest odwzorowaniem w zbi´or K^∗. Natomiast z twierdzenia Cauchy’ego wynika,

˙ze f jest homomorfizmem grup. Dla dowolnego a ∈ K^∗ niech X_a oznacza macierz kwa- dratowa stopnia n, kt´_, ora jest diagonalna i na g l´ownej przekatnej ma elementy a, 1, . . . , 1._, Wtedy det(X_a) = a · 1 · . . . · 1 = a, wiec a = f (X_{, a}). Zatem funkcja f jest ”na” i f jest epimorfizmem.

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze Ker(f ) = SL_n(K). Zatem z twierdzenia o izomorfizmie mamy,

˙ze GL_n(K)/SL_n(K) ∼= K^∗.

Zagadka 1. Udowodnij, ˙ze grupy D₄ i Q₈ nie sa izomorficzne._, Zagadka 2. Udowodnij, ˙ze U T₃(Z2) ∼= D4.

Zagadka 3. Udowodnij, ˙ze zbi´or Aut(G) wszystkich automorfizm´ow grupy G tworzy

grupe ze wzgl_, edu na sk ladanie przekszta lce´_, n. Uzasadnij te˙z, ˙ze zbi´or Inn(G) wszystkich automorfizm´ow wewnetrznych grupy G jest podgrup_, a grupy Aut(G)._,

Zagadka 4. Udowodnij, ˙ze grupa D4 zanurza sie w grup_, e S_, 4.

Zagadka 5. Niech a i b bed_, a r´_, o˙znymi elementami rzedu 2 w grupie G, przy czym_, a · b = b · a. Uzasadnij, ˙ze istnieje dok ladnie jeden homomorfizm grup f : Q₈ → G taki, ˙ze f (i) = a, f (k) = b i podaj obrazy pozosta lych element´ow grupy Q₈.

Zagadka 6. Niech X bedzie niepustym zbiorem generator´_, ow grupy G i niech f , g bed_, a homomorfizmami okre´slonymi na grupie G w grup_, e A takimi, ˙ze f (x) = g(x) dla_, ka˙zdego x ∈ X. Udowodnij, ˙ze w´owczas f = g.

Zagadka 7. Wyznacz wszystkie homomorfizmy grupy Q⁺ w grupe Q_, ^∗.