7 Funkcja Lagrange’a i zadanie dualne
Rozwa˙zmy ogólne zadanie programowania liniowego
½ J(u) = hc, ui ! min .
u 2 U = fu = (u1, ..., un) 2 Rn; ui ¸ 0 dla i 2 I, Au · b, Au = bg gdzie
A = 2 64
a1,1 ... a1,n
... ... am,1 ... am,n
3 75 , A =
2 64
am+1,1 ... am+1,n
... ... as,1 ... as,n
3 75 ,
b = 2 64
b1 ...
bm 3 75 , b =
2 64
bm+1 ...
bs 3 75 .
Wprowad´zmy oznaczenia
U0 = fu 2 Rn; ui ¸ 0, i 2 Ig, gi(u) =Xn
j=1ai,juj¡ bi, i = 1, ..., m, gi(u) =Xn
j=1ai,juj¡ bi, i = m + 1, ..., s.
Mo˙zemy wi ˛ec zapisa´c wyj´sciowe zadanie w nast ˛epuj ˛acej postaci 8<
:
J(u) = hc, ui ! min .
u 2 U = fu 2 U0; gi(u) · 0 dla i = 1, ..., m, gi(u) = 0 dla i = m + 1, ..., sg.
(VI.1)
W dalszych rozwa˙zaniach wa˙zn ˛a rol ˛e odegra nast ˛epuj ˛aca funkcja L : U0£ Λ0 ! R,
L(u, λ) = J(u) +Xs
i=1λigi(u), gdzie
Λ0 = fλ 2 Rs; λi ¸ 0, i = 1, ..., mg, nazywana regularn ˛a funkcj ˛a Lagrange’a.
Par ˛e (u∗, λ∗) 2 U0£ Λ0 nazywamy punktem siodłowym funkcji Lagrange’a, je´sli L(u∗, λ) · L(u∗, λ∗) · L(u, λ∗)
dla dowolnych u 2 U0, λ 2 Λ0.
Lemat 5 Na to, aby para (u∗, λ∗) 2 U0 £ Λ0 była punktem siodłowym funkcji La- grange’a L potrzeba i wystarcza, aby spełnione były nast ˛epuj ˛ace warunki
1) L(u∗, λ∗) · L(u, λ∗) dla dowolnego u 2 U0, 2) λ∗igi(u∗) = 0 dla i = 1, ..., s,
3) u∗ 2 U
Dowód powy˙zszego lematu pomijamy.
Zwi ˛azek mi ˛edzy punktami siodłowymi funkcji Lagrange’a i rozwi ˛azaniami zadania (VI.1) wyja´snia cz ˛e´sciowo nast ˛epuj ˛ace
Twierdzenie 6 Je´sli (u∗, λ∗) 2 U0£ Λ0 jest punktem siodłowym funkcji Lagrange’a L, to u∗ jest rozwi ˛azaniem zadania (VI.1).
Dowód. Z warunków 3) i 2) wynika, ˙ze
u∗ 2 U oraz L(u∗, λ∗) = J(u∗).
W konsekwencji warunek 1) daje
J(u∗) · L(u, λ∗) = J(u) +Xs
i=1λ∗igi(u) (VI.4) dla u 2 U0 i w szczególno´sci dla u 2 U (U ½ U0). Ale
Xs
i=1λ∗igi(u) =Xm
i=1λ∗igi(u) +Xs
i=m+1λ∗igi(u) =Xm
i=1λ∗igi(u) · 0 dla u 2 U, poniewa˙z
gi(u) = 0, i = m + 1, ..., s, u 2 U, λ∗i ¸ 0, i = 1, ..., m,
gi(u) · 0, i = 1, ..., m, u 2 U.
Zatem z warunku (VI.4) otrzymujemy
J(u∗) · J(u) dla u 2 U, czyli u∗ jest rozwi ˛azaniem zadania (VI.1).
Uwaga 7 Twierdzenie 6 i lemat 5 pozostaj ˛a prawdziwe dla znacznie szerszej klasy zada´n ani˙zeli zadania programowania liniowego postaci ogólnej. W dalszym ci ˛agu poka˙zemy, ˙ze w przypadku zadania programowania liniowego w postaci ogólnej prawdziwe jest twierdzenie odwrotne do twierdzenia 6 (odwracaj ˛ac twierdzenie 6 w przypadku zadania programowania wypukłego, nale˙zy zało˙zy´c pewien dodatkowy warunek, nazy- wany warunkiem regularno´sci).
W dalszym ci ˛agu skorzystamy z nast ˛epuj ˛acego twierdzenia.
Lemat 8 (Farkasa) Niech dany b ˛edzie zbiór K postaci
K = fe 2 Rn; hdi, ei · 0 dla i = 1, ..., p, hdi, ei = 0 dla i = p + 1, ..., rg, gdzie d1,...,dr 2 Rn. Na to, aby wektor d 2 Rn spełniał warunek
hd, ei ¸ 0 dla e 2 K
potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby λ1,...,λr 2 R takie, ˙ze λ1 ¸ 0, ..., λp ¸ 0
oraz
d = ¡λ1d1¡ ... ¡ λrdr.
Dowód powy˙zszego twierdzenia pomijamy. Udowodnimy natomiast nast ˛epuj ˛ace odwrócenie twierdzenia 6.
Twierdzenie 9 Je´sli u∗ jest rozwi ˛azaniem zadania (VI.1), to istnieje punkt λ∗ 2 Λ0
taki, ˙ze para (u∗, λ∗) jest punktem siodłowym funkcji Lagrange’a L na zbiorze U0£Λ0. Dowód. Wprowad´zmy nast ˛epuj ˛ace oznaczenia
I1∗ = fi 2 f1, ..., mg; hai, u∗i = big, I2∗ = fi 2 I; ui∗ = 0g,
gdzie I jest zbiorem indeksów wyst ˛epuj ˛acym w opisie zadania (VI.1), ai jest i-tym wierszem macierzy A. Rozwa˙zmy zbiór K postaci
K = fe 2 Rn; hai, ei · 0, i 2 I1∗, hai, ei = 0, i = m + 1, ..., s, − fi, e®
· 0, i 2 I2∗g, gdzie fi = (0, ..., 0, ¡1, 0, ..., 0g (niezerowa jest i-ta współrz ˛edna). Otó˙z, je´sli dla wektora e 2 Rnf0g istnieje liczba t0 > 0 taka, ˙ze
u∗+ te 2 U dla t 2 [0, t0], (VI.7) to e 2 K f0g. Rzeczywi´scie, z warunku (VI.7) wynika, ˙ze
hai, ei · 0, i 2 I1∗, hai, ei = 0, i = m + 1, ..., s,
ei ¸ 0, i 2 I2∗, czyli e 2 K f0g.
Na odwrót, je´sli e 2 K f0g, to istnieje liczba t0 > 0 taka, ˙ze spełniony jest warunek (VI.7). W rzeczy samej, je´sli i 2 I1∗, to
hai, u∗+ tei = bi+ t hai, ei · bi
dla t ¸ 0. Je´sli za´s i 2 f1, ..., mg I1∗, to hai, u∗i < bi i w konsekwencji
hai, u∗+ tei = hai, u∗i + t hai, ei · bi
dla i 2 f1, ..., mg I1∗ i dostatecznie małych t ¸ 0 (t 2 [0, t0], gdzie t0 > 0).
Oczywi´scie
hai, u∗+ tei = hai, u∗i + t hai, ei = bi+ t ¢ 0 = bi dla i = m + 1, ..., s i dowolnego t 2 R.
Podobnie, je´sli i 2 I2∗, to
(u∗+ te)i = ui∗+ tei = tei ¸ 0 dla dowolnego t ¸ 0. Je´sli za´s i 2 I I2∗, to
ui∗ > 0 i w konsekwencji
(u∗+ te)i = ui∗+ tei ¸ 0
dla i 2 I I2∗ i dostatecznie małych t ¸ 0 (t 2 [0, t0], gdzie t0 > 0). Wystarczy zatem przyj ˛a´c t0 = minft0, t0g.
Niech teraz e 2 K f0g i t0 > 0 niech b ˛edzie takie, ˙ze u∗+ te 2 U dla t 2 [0, t0].
Z faktu, ˙ze u∗ jest rozwi ˛azaniem zadania (VI.1) wynika, ˙ze hc, u∗i · hc, u∗+ tei dla t 2 [0, t0], czyli
0 · hc, ei . Oczywi´scie 0 · hc, 0i. Zatem
0 · hc, ei
dla dowolnego e 2 K. Z twierdzenia Farkasa wynika, ˙ze istniej ˛a liczby λ∗i ¸ 0, i 2 I1∗, λ∗m+1,...,λ∗s, µ∗i ¸ 0, i 2 I2∗, takie, ˙ze
c = ¡X
i∈I1∗
λ∗iai¡ Xs i=m+1
λ∗iai¡X
i∈I2∗
µ∗ifi. (VI.8)
Je´sli okre´slimy
λ∗i = 0 dla i 2 f1, ..., mg I1∗,
to otrzymamy punkt λ∗ = (λ∗1, ..., λ∗s) 2 Λ0. St ˛ad i z okre´slenia zbioru I1∗ mamy λ∗igi(u∗) = λi∗(hai, u∗i ¡ bi) = 0 (VI.9) dla i = 1, ..., s. Ponadto, równo´s´c (VI.8) mo˙zemy zapisa´c w postaci
c + Xs
i=1
λ∗iai = ¡X
i∈I2∗
µ∗ifi. (VI.10)
W konsekwencji, korzystaj ˛ac z okre´slenia zbioru I2∗, warunku µ∗i ¸ 0 dla i 2 I2∗
oraz równo´sci (VI.10), otrzymujemy
L(u, λ∗) ¡ L(u∗, λ∗) = hc, u ¡ u∗i + Xs
i=1
λ∗i hai, u ¡ u∗i
=
* c +
Xs i=1
λ∗iai, u ¡ u∗
+
=
*
¡X
i∈I2∗
µ∗ifi, u ¡ u∗
+
= X
i∈I∗2
µ∗iui¡X
i∈I2∗
µ∗iui∗ =X
i∈I2∗
µ∗iui ¸ 0
dla u 2 U0, czyli
L(u∗, λ∗) · L(u, λ∗), u 2 U0.
Z powy˙zszego warunku, warunku (VI.9) i lematu 5 wynika teza.
Teraz poka˙zemy, jak przy pomocy funkcji Lagrange’a L sformułowa´c zadanie (VI.1). Okre´slmy w tym celu funkcj ˛e
χ(u) = sup
λ∈Λ0
L(u, λ), u 2 U0. Oczywi´scie, je´sli u 2 U , to
Xs i=1
λigi(u) · 0
dla λ = (λ1, ..., λs) 2 Λ0, przy czym je´sli λ = 0 (oczywi´scie 0 2 Λ0), to Xs
i=1
λigi(u) = 0.
St ˛ad wynika, ˙ze
χ(u) = J(u) dla u 2 U .
Je´sli natomiast u 2 U0U , to musi zaj´s´c jeden z dwóch przypadków:
gi(u) > 0 dla pewnego i 2 f1, ..., mg
lub
gi(u) 6= 0 dla pewnego i 2 fm + 1, ..., sg.
Łatwo wida´c, ˙ze w obu przypadkach
sup
λ∈Λ0
Xs i=1
λigi(u) = +1
i w konsekwencji
χ(u) = 1 dla u 2 U0U . Reasumuj ˛ac
χ(u) =
½ J(u) ; u 2 U
1 ; u 2 U0U . St ˛ad wynika, ˙ze
u∈Uinf0
χ(u) = inf
u∈UJ(u) = J∗.
A zatem, zadanie (VI.1) mo˙zna zapisa´c w nast ˛epuj ˛acej, równowa˙znej postaci
½ χ(u) ! min .
u 2 U0 . (VI.11)
Owa rónowa˙zno´s´c oznacza, ˙ze zadania (VI.1) i (VI.11) maj ˛a ten sam zbiór rozwi ˛aza´n U∗ = fv 2 U ; J(v) = inf
u∈UJ(u)g = fv 2 U0; χ(v) = inf
u∈U0
χ(u)g
i t ˛e sam ˛a warto´s´c minimaln ˛a J∗ (przez zadanie równowa˙zne zadaniu minimaliza- cji (maksymalizacji) funkcji to˙zsamo´sciowo równej +1 (¡1) na zbiorze V rozu- miemy zadanie minimalizacji (maksymalizacji) dowolnej funkcji liniowej na zbiorze pustym).
Okre´slmy teraz funkcj ˛e χ w nast ˛epuj ˛acy sposób ψ(λ) = inf
u∈U0
L(u, λ), λ 2 Λ0
i rozwa˙zmy zadanie ½
ψ(λ) ! max .
λ 2 Λ0 . (VI.12)
Powy˙zsze zadanie nazywane jest zadaniem dualnym do zadania (VI.1), a zmienne λ1, ..., λs nazywane s ˛a zmiennymi dualnymi.
Oznaczmy
ψ∗ = sup
λ∈Λ0
ψ(λ), Λ∗ = fλ 2 Λ0; ψ(λ) = ψ∗g.
Zwi ˛azek mi ˛edzy zadaniami (VI.11) i (VI.12) wyra˙za nast ˛epuj ˛ace
Twierdzenie 10 Na to, aby spełnione były jednocze´snie warunki a) U∗ 6= ;
b) Λ∗ 6= ; c) J∗ = ψ∗
potrzeba i wystarcza, aby funkcja Lagrange’a L miała punkt siodłowy na zbiorze U0£ Λ0. Wówczas zbiór punktów siodłowych funkcji Lagrange’a L jest identyczny ze zbiorem U∗£ Λ∗.
Dowód. Konieczno´s´c. Załó˙zmy, ˙ze spełnione s ˛a warunki a), b), c). Istnieje wi ˛ec para (u∗, λ∗) 2 U∗£ Λ∗. Poka˙zemy, ˙ze para ta jest punktem siodłowym funkcji Lagrange’a L. Otó˙z,
ψ∗ = ψ(λ∗) = inf
u∈U0
L(u, λ∗) · L(u∗, λ∗) · sup
λ∈Λ0
L(u∗, λ) = χ(u∗) = J∗. St ˛ad i z warunku c) mamy
L(u∗, λ∗) = inf
u∈U0
L(u, λ∗) = sup
λ∈Λ0
L(u∗, λ), sk ˛ad
L(u∗, λ) · L(u∗, λ∗) · L(u, λ∗)
dla (u, λ) 2 U0 £ Λ0, co oznacza, ˙ze (u∗, λ∗) jest punktem siodłowym funkcji La- grange’a L.
Jednocze´snie pokazali´smy, ˙ze je´sli spełnione s ˛a warunki a), b), c), to zbiór U∗£ Λ∗ jest zawarty w zbiorze punktów siodłowych funkcji Lagrange’a L.
Dostateczno´s´c. Niech (u∗, λ∗) 2 U0 £ Λ0 b ˛edzie punktem siodłowym funkcji La- grange’a L na zbiorze U0 £ Λ0. St ˛ad w szczególno´sci wynika, ˙ze
L(u∗, λ) · L(u∗, λ∗) dla λ 2 Λ0. To z kolei oznacza, ˙ze
χ(u∗) = sup
λ∈Λ0
L(u∗, λ) = L(u∗, λ∗).
Z faktu, ˙ze (u∗, λ∗) jest punktem siodłowym funkcji Lagrange’a L wynika te˙z, ˙ze, L(u∗, λ∗) · L(u, λ∗)
dla u 2 U0, sk ˛ad
L(u∗, λ∗) = inf
u∈U0
L(u, λ∗) = ψ(λ∗).
Zatem
L(u∗, λ∗) = ψ(λ∗) · ψ∗ · J∗ · χ(u∗) = L(u∗, λ∗) (VI.14) (nierówno´s´c ψ∗ · J∗ mo˙zna uzasadni´c nast ˛epuj ˛aco: z faktu, ˙ze
ψ(λ) = inf
u∈U0
L(u, λ) · L(u, λ) dla (u, λ) 2 U0£ Λ0, wynika, ˙ze
ψ∗ = sup
λ∈Λ0
ψ(λ) · sup
λ∈Λ0
L(u, λ) = χ(u) dla u 2 U0, a st ˛ad
ψ∗ · inf
u∈U0
χ(u) = J∗).
Z (VI.14) wynika, ˙ze
ψ(λ∗) = ψ∗ = J∗ = χ(u∗),
co oznacza, ˙ze spełniony jest warunek c) oraz u∗ 2 U∗, λ∗ 2 Λ∗. Jednocze´snie pokazali´smy, ˙ze zbiór punktów siodłowych funkcji Lagrange’a L na zbiorze U0£ Λ0
jest zawarty w zbiorze U∗£ Λ∗.
Z powy˙zszego twierdzenia wynikaj ˛a nast ˛epuj ˛ace wnioski.
Wniosek 11 Nast ˛epuj ˛ace warunki s ˛a równowa˙zne:
1) istnieje punkt siodłowy funkcji Lagrange’a L na zbiorze U0£ Λ0
2) spełnione s ˛a warunki a), b), c) twierdzenia 10 3) istniej ˛a punkty u∗ 2 U0, λ∗ 2 Λ0 takie, ˙ze
χ(u∗) = ψ(λ∗) 4) zachodzi nierówno´s´c
maxλ∈Λ0
u∈Uinf0
L(u, λ) = min
u∈U0
sup
λ∈Λ0
L(u, λ)
Wniosek 12 Je´sli (u∗, λ∗) i (a∗, b∗) s ˛a punktami siodłowymi funkcji Lagrange’a L na zbiorze U0£ Λ0, to (u∗, b∗) i (a∗, λ∗) s ˛a tak˙ze punktami siodłowymi tej funkcji na U0£ Λ0.
Poka˙zemy teraz, ˙ze zadanie dualne (dokładniej, pewne zadanie równowa˙zne zada- niu dualnemu) do zadania programowania liniowego (kanonicznego, podstawowego i ogólnego) jest równie˙z zadaniem programowania liniowego.
Rozwa˙zmy kanoniczne zadanie programowania liniowego postaci
½ J(u) = hc, ui ! min .
u 2 U = fu 2 Rn; u ¸ 0 , Au = bg , (VI.15)
gdzie A 2 Rs×n, b 2 Rs, c 2 Rn. W tym przypadku
U0 = fu 2 Rn; u ¸ 0g, Λ0 = Rs, L(u, λ) = hc, ui + hλ, Au ¡ bi =−
c + ATλ, u®
¡ hb, λi dla (u, λ) 2 U0£ Λ0,
ψ(λ) = inf
u∈U0
L(u, λ) =
½ ¡ hb, λi ; c + ATλ ¸ 0
¡1 ; w przeciwnym razie dla λ 2 Λ0. St ˛ad wynika, ˙ze zadanie dualne
½ ψ(λ) ! max . λ 2 Λ0
mo˙zna zapisa´c w nast ˛epuj ˛acej, równowa˙znej postaci
½ ¡ hb, λi ! max .
λ 2 Λ = fλ 2 Rs; c + ATλ ¸ 0g , (VI.16)
czyli ½
hb, λi ! min .
λ 2 Λ = fλ 2 Rs; ¡c ¡ ATλ · 0g
Zatem zadanie dualne jest w tym przypadku zadaniem programowania liniowego w postaci ogólnej (ze zbiorem I = ;).
Poka˙zemy teraz, ˙ze zadanie dualne do powy˙zszego zadania jest identyczne z zadaniem wyj´sciowym (VI.15). Otó˙z, funkcja Lagrange’a L1 dla zadania (VI.16), okreslona na zbiorze
Λ0£ U0 = Rs£ fu 2 Rn; u ¸ 0g jest postaci
L1(λ, u) = hb, λi +−
u, ¡c ¡ ATλ®
= hb ¡ Au, λi ¡ hc, ui = ¡L(u, λ).
Zatem
ψ1(u) = inf
λ∈Λ0
L1(λ, u) =
½ ¡ hc, ui ; b ¡ Au = 0
¡1 ; b ¡ Au 6= 0 dla u 2 U0. A wi ˛ec zadanie dualne
½ ψ1(u) ! max . u 2 U0
mo˙zna zapisa´c w nast ˛epuj ˛acej, równowa˙znej postaci
½ ¡ hc, ui ! max .
u 2 U = fu 2 Rn; u 2 U0, b ¡ Au = 0g ,
czyli ½
hc, ui ! min .
u 2 U = fu 2 Rn; u ¸ 0, Au = bg .
Rozwa˙zmy teraz podstawowe zadanie programowania liniowego postaci
½ J(u) = hc, ui ! min .
u 2 U = fu 2 Rn; u ¸ 0 , Au · bg , (VI.17) gdzie A 2 Rm×n, b 2 Rm, c 2 Rn. W tym przypadku
U0 = fu 2 Rn; u ¸ 0g, Λ0 = fλ 2 Rm; λ ¸ 0g, L(u, λ) = hc, ui + hλ, Au ¡ bi =−
c + ATλ, u®
¡ hb, λi dla (u, λ) 2 U0£ Λ0,
ψ(λ) = inf
u∈U0
L(u, λ) =
½ ¡ hb, λi ; c + ATλ ¸ 0
¡1 ; w przeciwnym razie
dla λ 2 Λ0. Łatwo wida´c, ˙ze dualne zadanie do zadania (VI.17) jest podstawowym zadaniem programowania liniowego postaci
½ hb, λi ! min .
λ 2 Λ = fλ 2 Rm; λ ¸ 0, ¡ATλ · cg .
Nietrudno tak˙ze pokaza´c, ˙ze zadaniem dualnym do powy˙zszego jest zadanie (VI.17).
Na koniec rozwa˙zmy ogólne zadanie programowania liniowego postaci 8<
:
J(u) = hc, ui ! min .
u 2 U = fu = (u1, ..., un) 2 Rn; ui ¸ 0, i 2 I, Au · b, Au = bg
(VI.18)
gdzie I ½ f1, ..., ng, A 2 Rm×n, A 2 Rs×n, b 2 Rm, b 2 Rs, c 2 Rn. W tym przypadku
U0 = fu = (u1, ..., un) 2 Rn; ui ¸ 0, i 2 Ig, Λ0 = fλ = (µ, µ) 2 Rm£ Rs; µ ¸ 0g, L(u, λ) = hc, ui + hµ, Au ¡ bi +−
µ, Au ¡ b®
=D
c + ATµ + ATµ, uE
¡ hb, µi ¡− b, µ® dla (u, λ) 2 U0£ Λ0,
ψ(λ) = inf
u∈U0
L(u, λ) =
( ¡ hb, µi ¡− b, µ®
; λ = (µ, µ) 2 eΛ
¡1 ; λ = (µ, µ) 2 eΛe
dla λ = (µ, µ) 2 Λ0, gdzie
Λ = fλ = (µ, µ) 2 Λe 0; (c + ATµ + ATµ)i ¸ 0, i 2 I, (c + ATµ + ATµ)i = 0, i /2 Ig,
eeΛ = Λ0Λ.e
Zatem zadanie dualne do zadania (VI.18) jest równowa˙zne nast ˛epuj ˛acemu ogólnemu zadaniu programowania liniowego
8>
>>
>>
>>
><
>>
>>
>>
>>
:
hb, µi +− b, µ®
! min . λ = (µ, µ) 2 Λ = fλ = (µ, µ) 2 Rm£ Rs; µ ¸ 0,
(c + ATµ + ATµ)i ¸ 0, i 2 I, (c + ATµ + ATµ)i = 0, i /2 Ig
= fλ = (µ, µ) 2 Rm£ Rs; µ ¸ 0, [¡AT j ¡AT]i
· µ µ
¸
· ci, i 2 I, [¡AT j ¡AT]i
· µ µ
¸
= ci, i /2 Ig
. (VI.19)
Tak˙ze i w tym przypadku zadanie dualne do zadania (VI.19) jest równowa˙zne zada- niu wyj´sciowemu (VI.18).
Z twierdze´n 9,10 wynikaj ˛a nast ˛epuj ˛ace dwa twierdzenia.
Twierdzenie 13 Na to, aby punkt u∗ 2 U był rozwi ˛azaniem zadania (VI.18) potrzeba i wystarcza, aby istniał punkt λ∗ = (µ∗, µ∗) nale˙z ˛acy do zbioru
Λ = fλ = (µ, µ) 2 Rm£ Rs; µ ¸ 0,
(c + ATµ + ATµ)i ¸ 0, i 2 I, (c + ATµ + ATµ)i = 0, i /2 Ig, spełniaj ˛acy równo´s´c
hc, u∗i = ¡ hb, µ∗i ¡− b, µ∗®
. (VI.20)
Twierdzenie 14 Na to, aby punkt u∗ 2 U był rozwi ˛azaniem zadania (VI.18) potrzeba i wystarcza, aby istniał taki punkt λ∗ = (µ∗, µ∗) 2 Rm£ Rs, ˙ze para (u∗, λ∗) spełnia warunki
ui∗ ¸ 0, i 2 I, Au∗ · b, Au∗ = b, µ∗ ¸ 0, (c + ATµ∗+ ATµ∗)i ¸ 0, i 2 I,
(c + ATµ∗+ ATµ∗)i = 0, i /2 I µ∗i(Au∗ ¡ b)i = 0, i = 1, ..., m, ui∗(c + ATµ∗+ ATµ∗)i = 0, i 2 I.
Ponadto mo˙zna udowodni´c nast ˛epuj ˛ace
Twierdzenie 15 Zadania (VI.18) i (VI.19) maj ˛a rozwi ˛azania jednocze´snie lub jed- nocze´snie rozwi ˛aza´n nie maj ˛a, przy czym w pierwszym przypadku spełniona jest równo´s´c (VI.20) dla dowolnej pary (u∗, λ∗) takiej, ˙ze u∗ jest rozwi ˛azaniem zadania wyj´sciowego (VI.18), λ∗ = (µ∗, µ∗) - rozwi ˛azaniem zadania dualnego (VI.19).
