Plan wyk ladu nr 3: Funkcje, granice, cia,g lo´s´c
Szczeg´o ly: M. Krych, Skrypt dla sudent´ow ekonomii, roz. Funkcje Cia,g le
• Uzupe lnienie poprzedniego wyk ladu:
Por´ownanie tempa zbie˙zno´sci do zera/niesko´nczono´sci przez liczenie granicy ilorazu: ln(n) ≺ n ≺ nk ≺ qn (dla k > 1, q > 1)
• Dziedzina, przeciwdziedzina funkcji, funkcja odwrotna.
Przyk lady:
arcsin : [−1, 1] → [−π2, π2]
arctg : [−∞, ∞] → [−π2, π2]
• Granica funkcji w punkcie: definicja Heinego (cia,gowa) i Cauchy’ego (epsilonowo-deltowa). Granice niew la´sciwe i jednostronne.
• Twierdzenie o granicy trzech funkcji f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
• Funkcje monotoniczne i istnienie granicy funkcji monotonicznej
• Przyk lady: granice w zerze
sin(x)x (oszacowanie x cos(x) < sin(x) < x dla x > 0)
exx−1 (oszacowanie 1 + x ≤ ex ≤ 1−x1 dla x ∈ R )
ln(x+1)x (oszacowanie 1+xx ≤ ln(1 + x) ≤ x dla x > −1 )
• Funkcje cia,g le
• Przyk lady: wielomiany, ex, ln(x), funkcje trygonometryczne
• Operacje na funkcjach cia,g lych: operacje arytmetyczne, z lo˙zenie
