Wykład 2
Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice
http://kk.us.edu.pl
Przejście od opisu klasycznego do kwantowego najłatwiej
zrealizować w formalizmie hamiltonowskim mechaniki klasycznej.
Podstawową wielkością tego formalizmu jest tzw. funkcja
HamiltonaH(~r, ~p, t), która jest funkcją współrzędnych cząstki ~r, jej pędu~p i czasu.
Dla cząstki nie podlegającej ruchomym więzom i poruszającej się pod wpływem siły zachowawczejF~(~r, t), dla której istnieje energia potencjalnaV(~r, t),spełniająca związek
F~(~r, t) = −~∇V (~r, t),
gdzie operator∇~ we współrzędnych kartezjańskich ma postać
∇ =~
∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
,
Przejście od opisu klasycznego do kwantowego najłatwiej
zrealizować w formalizmie hamiltonowskim mechaniki klasycznej.
Podstawową wielkością tego formalizmu jest tzw. funkcja
HamiltonaH(~r, ~p, t), która jest funkcją współrzędnych cząstki ~r, jej pędu~p i czasu.
Dla cząstki nie podlegającej ruchomym więzom i poruszającej się pod wpływem siły zachowawczejF~(~r, t), dla której istnieje energia potencjalnaV(~r, t),spełniająca związek
F~(~r, t) = −~∇V (~r, t),
gdzie operator∇~ we współrzędnych kartezjańskich ma postać
∇ =~
∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
,
funkcja Hamiltona jest równa całkowitej energii mechanicznej cząstki
H(~r, ~p, t) = E = T + V (~r, t).
Prędkość we wzorze na energię kinetyczną T = m~v2
2 eliminujemy korzystając ze wzoru na pęd
~
p = m~v ⇒ ~v = ~p
m ⇒ T =m~v2 2 = ~p2
2m i funkcja Hamiltona przybiera postać
H(~r, ~p, t) = E = p~2
2m + V (~r, t).
Potwierdzony doświadczalnie, zarówno dla fotonów jak i cząstek materii, związek de Broglie’go pomiędzy pędem a długością fali cząstki
~ p = ~ ~k
sugeruje użycie do ich opisu skoncentrowanych wiązek fal, tzw.
paczek falowych.
⇒ Wprowadźmy pojęcie tzw. funkcji falowej ψ(x, y, z, t) zależnej od współrzędnych przestrzennych x, y, z i od czasu t lub krócej, od wektora położenia cząstki i od czasuψ(~r, t).
Potwierdzony doświadczalnie, zarówno dla fotonów jak i cząstek materii, związek de Broglie’go pomiędzy pędem a długością fali cząstki
~ p = ~ ~k
sugeruje użycie do ich opisu skoncentrowanych wiązek fal, tzw.
paczek falowych.
⇒ Wprowadźmy pojęcie tzw. funkcji falowej ψ(x, y, z, t) zależnej od współrzędnych przestrzennych x, y, z i od czasu t lub krócej, od wektora położenia cząstki i od czasuψ(~r, t).
Zakładamy, że funkcja falowaψ(~r, t) ma następujące własności:
może interferowć sama ze sobą, co tłumaczyłoby wyniki doświadczeń dyfrakcyjnych,
przyjmuje duże wartości tam, gdzie istnieje duże
prawdopodobieństwo znalezienia cząstki, a wszędzie gdzie indziej małe,
opisuje pojedynczą cząstkę, a nie statystyczny rozkład dużej liczby cząstek.
ψ(x)
x
∆x λ0
Funkcja falowa
ϕ(k)
k
i jej transformata Fouriera k0=2πλ0
∆k
Zaniedbajmy rozmiary paczki falowej, wówczasprędkość grupowa jest równa
dω
dk = d(~ω) d(~k) = dE
dp = d(p2/2m) dp = p
m = v .
ψ(x)
x
∆x λ0
Funkcja falowa
ϕ(k)
k
i jej transformata Fouriera k0=2πλ0
∆k
Zaniedbajmy rozmiary paczki falowej, wówczasprędkość grupowa jest równa
dω
dk = d(~ω) d(~k) = dE
dp = d(p2/2m)
dp = p
m = v . Opis cząstki za pomocą paczki falowej zgadza się z opisem klasycznym, jeśli można zaniedbać rozmiary paczki falowej.
ψ(x)
x
∆x λ0
Funkcja falowa
ϕ(k)
k
i jej transformata Fouriera k0=2πλ0
∆k
Zaniedbajmy rozmiary paczki falowej, wówczasprędkość grupowa jest równa
dω
dk = d(~ω) d(~k) = dE
dp = d(p2/2m)
dp = p
m = v . Opis cząstki za pomocą paczki falowej zgadza się z opisem klasycznym, jeśli można zaniedbać rozmiary paczki falowej.
Aby móc opisywać ilościowo zjawiska kwantowe powinniśmy dysponowaćrównaniem na funkcję falową ψ(~r, t).
Dla uproszczenia ograniczymy się na chwilę do układu jednowymiarowego opisywanego funkcją ψ(x, t).
Aby móc opisywać ilościowo zjawiska kwantowe powinniśmy dysponowaćrównaniem na funkcję falową ψ(~r, t).
Dla uproszczenia ograniczymy się na chwilę do układu jednowymiarowego opisywanego funkcją ψ(x, t).
Poszukujemy równania falowego na ψ(x, t) o następujących własnościach:
powinno być ono równaniem liniowym tak, aby była spełniona zasada superpozycji, która pozwala uwzględniać efekty
interferencyjne,
współczynniki występujące w równaniu mogą zawierać wyłącznie stałe takie, jak h, masa, czy ładunek cząstki, a nie wielkości charakteryzujące ruch (pęd, energia, liczba falowa, częstość).
Aby móc opisywać ilościowo zjawiska kwantowe powinniśmy dysponowaćrównaniem na funkcję falową ψ(~r, t).
Dla uproszczenia ograniczymy się na chwilę do układu jednowymiarowego opisywanego funkcją ψ(x, t).
Poszukujemy równania falowego na ψ(x, t) o następujących własnościach:
powinno być ono równaniem liniowym tak, aby była spełniona zasada superpozycji, która pozwala uwzględniać efekty
interferencyjne,
współczynniki występujące w równaniu mogą zawierać wyłącznie stałe takie, jak h, masa, czy ładunek cząstki, a nie wielkości charakteryzujące ruch (pęd, energia, liczba falowa, częstość).
Drugi warunek łaczy się z pierwszym. Chodzi o to, żeby można było dodawać do siebie rozwiązania odpowiadające różnym wartościom zmiennych dynamicznych.
Z dotychczasowego kursu fizyki, a w szczególności z analizy doświadczeń dyfrakcyjnych wiemy, żefunkcja falowa ψ(x, t) reprezentująca cząstkę o całkowicie nieokreślonym położeniu i dokładnie znanym pędzie p i energii E biegnącą w dodatnim kierunku osi x powinna mieć jedną z postaci:
cos(kx − ωt), sin(kx − ωt), ei(kx−ωt), e−i(kx−ωt).
Drugi warunek łaczy się z pierwszym. Chodzi o to, żeby można było dodawać do siebie rozwiązania odpowiadające różnym wartościom zmiennych dynamicznych.
Z dotychczasowego kursu fizyki, a w szczególności z analizy doświadczeń dyfrakcyjnych wiemy, żefunkcja falowa ψ(x, t) reprezentująca cząstkę o całkowicie nieokreślonym położeniu i dokładnie znanym pędzie p i energii E biegnącą w dodatnim kierunku osi x powinna mieć jedną z postaci:
cos(kx − ωt), sin(kx − ωt), ei(kx−ωt), e−i(kx−ωt).
Przypomnijmy wzór na energię cząstki swobodnej znany z mechaniki klasycznej
E = p2 2m
i skorzystajmy ze związkówp = ~k i E = ~ω:
~ω = ~2k2
2m ⇒ ω = ~k2 2m.
Przypomnijmy wzór na energię cząstki swobodnej znany z mechaniki klasycznej
E = p2 2m
i skorzystajmy ze związkówp = ~k i E = ~ω:
~ω = ~2k2
2m ⇒ ω = ~k2 2m.
Skoncentrujmy się na funkcjiei(kx−ωt).
Zróżniczkujmy ją najpierw po x, a później po t:
∂
∂xei(kx−ωt) = ikei(kx−ωt),
∂
∂tei(kx−ωt) = −iωei(kx−ωt).
Skoncentrujmy się na funkcjiei(kx−ωt).
Zróżniczkujmy ją najpierw po x, a później po t:
∂
∂xei(kx−ωt) = ikei(kx−ωt),
∂
∂tei(kx−ωt) = −iωei(kx−ωt).
Z uwagi na związekω = 2~mk2 nasze równanie powinno mieć postać
∂ψ
∂t = γ ∂2ψ
∂x2.
Skoncentrujmy się na funkcjiei(kx−ωt).
Zróżniczkujmy ją najpierw po x, a później po t:
∂
∂xei(kx−ωt) = ikei(kx−ωt),
∂
∂tei(kx−ωt) = −iωei(kx−ωt).
Z uwagi na związekω = 2~mk2 nasze równanie powinno mieć postać
∂ψ
∂t = γ ∂2ψ
∂x2.
ψ(x, t) = ei(kx−ωt) ⇒ −iωei(kx−ωt)= γ −k2ei(kx−ωt)
⇒ γ = iω
k2 = i ~(~ω)
~2k2 = i ~E p2 = i ~
p2 p2 2m = i ~
2m,
Skoncentrujmy się na funkcjiei(kx−ωt).
Zróżniczkujmy ją najpierw po x, a później po t:
∂
∂xei(kx−ωt) = ikei(kx−ωt),
∂
∂tei(kx−ωt) = −iωei(kx−ωt).
Z uwagi na związekω = 2~mk2 nasze równanie powinno mieć postać
∂ψ
∂t = γ ∂2ψ
∂x2.
ψ(x, t) = ei(kx−ωt) ⇒ −iωei(kx−ωt)= γ −k2ei(kx−ωt)
⇒ γ = iω
k2 = i ~(~ω)
~2k2 = i ~E p2 = i ~
p2 p2 2m = i ~
2m,
a więcψ(x, t) = ei(kx−ωt) spełnia następujące równanie falowe:
∂ψ
∂t = i ~ 2m
∂2ψ
∂x2 ⇒ i ~∂ψ
∂t = −~2 2m
∂2ψ
∂x2.
a więcψ(x, t) = ei(kx−ωt) spełnia następujące równanie falowe:
∂ψ
∂t = i ~ 2m
∂2ψ
∂x2 ⇒ i ~∂ψ
∂t = −~2 2m
∂2ψ
∂x2. W przypadkutrójwymiarowym zachodzą następujące związki:
~
p= ~~k, k = |~k| = 2π λ ,
a funkcja falowa cząstki o określonym pędzie i energii i zupełnie nieokreślonym położeniuψ(~r, t) = ei(~k·~r −ωt) spełnia równanie falowe
a więcψ(x, t) = ei(kx−ωt) spełnia następujące równanie falowe:
∂ψ
∂t = i ~ 2m
∂2ψ
∂x2 ⇒ i ~∂ψ
∂t = −~2 2m
∂2ψ
∂x2. W przypadkutrójwymiarowym zachodzą następujące związki:
~
p= ~~k, k = |~k| = 2π λ ,
a funkcja falowa cząstki o określonym pędzie i energii i zupełnie nieokreślonym położeniuψ(~r, t) = ei(~k·~r −ωt) spełnia równanie falowe
i ~∂ψ
∂t = −~2 2m ∇~2ψ,
gdzie operator∇~2 we współrzędnych kartezjańskich ma postać
∇~2 = ~∇ · ~∇ = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2.
a więcψ(x, t) = ei(kx−ωt) spełnia następujące równanie falowe:
∂ψ
∂t = i ~ 2m
∂2ψ
∂x2 ⇒ i ~∂ψ
∂t = −~2 2m
∂2ψ
∂x2. W przypadkutrójwymiarowym zachodzą następujące związki:
~
p= ~~k, k = |~k| = 2π λ ,
a funkcja falowa cząstki o określonym pędzie i energii i zupełnie nieokreślonym położeniuψ(~r, t) = ei(~k·~r −ωt) spełnia równanie falowe
i ~∂ψ
∂t = −~2 2m ∇~2ψ,
gdzie operator∇~2 we współrzędnych kartezjańskich ma postać
∇~2 = ~∇ · ~∇ = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2.
Porównując równaniei ~∂ψ∂t = −2~m2 ∇2ψze związkiem
E = ~p2 2m
widzimy, żeenergię i pęd cząstkiswobodnej możemy reprezentować operatorami różniczkowymidziałającymi na funkcję falową ψ:
E → i~∂
∂t, p~→ −i~~∇.
Jeżeli na cząstkę działają potencjalne siły zewnętrzne F~(~r, t) = −~∇V (~r, t),
Porównując równaniei ~∂ψ∂t = −2~m2 ∇2ψze związkiem
E = ~p2 2m
widzimy, żeenergię i pęd cząstkiswobodnej możemy reprezentować operatorami różniczkowymidziałającymi na funkcję falową ψ:
E → i~∂
∂t, p~→ −i~~∇.
Jeżeli na cząstkę działają potencjalne siły zewnętrzne F~(~r, t) = −~∇V (~r, t),
to jej całkowita energia ma postać E = ~p2
2m + V (~r, t), a równanie falowe przyjmuje postać
i ~∂ψ(~r, t)
∂t = −~2
2m ∇2ψ(~r, t) + V (~r, t)ψ(~r, t).
Jest torównanie falowe Schr¨odingeraopisujące ruch cząstki o masie m w polu siły danej równaniem ~F(~r, t) = −~∇V (~r, t).
Chociaż wyprowadzenie równania Schr¨odingera miało charakter heurystyczny, to za jego słusznością przemawia zgodność uzyskiwanych na jego podstawie przewidywań teoretycznych z doświadczeniem.
to jej całkowita energia ma postać E = ~p2
2m + V (~r, t), a równanie falowe przyjmuje postać
i ~∂ψ(~r, t)
∂t = −~2
2m ∇2ψ(~r, t) + V (~r, t)ψ(~r, t).
Jest torównanie falowe Schr¨odingeraopisujące ruch cząstki o masie m w polu siły danej równaniem ~F(~r, t) = −~∇V (~r, t).
Chociaż wyprowadzenie równania Schr¨odingera miało charakter heurystyczny, to za jego słusznością przemawia zgodność uzyskiwanych na jego podstawie przewidywań teoretycznych z doświadczeniem.
Zakładamy, żefunkcja falowa ψ(~r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schr¨odingera daje pełny kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energi potencjalnej V (~r, t)i w tym sensie spełnia rolę analogiczną do klasycznej trajektorii ~r(t).
Założyliśmy, że funkcja falowa powinna być duża tam, gdzie prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest największe. To sugeruje konieczność statystycznej interpretacji funkcji ψ.
Zakładamy, żefunkcja falowa ψ(~r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schr¨odingera daje pełny kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energi potencjalnej V (~r, t)i w tym sensie spełnia rolę analogiczną do klasycznej trajektorii ~r(t).
Założyliśmy, że funkcja falowa powinna być duża tam, gdzie prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest największe. To sugeruje konieczność statystycznej interpretacji funkcji ψ.
Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii rozpatrywanego układu fizycznego opisywanego tą samą funkcją falową ψ(~r, t). Wynik pomiaru dowolnej wielkości fizycznej w określonej chwili czasu nie będzie na ogół identyczny, a określona wartość liczbowa będzie przyjmowana z określonymprawdopodobieństwem.
Zakładamy, żefunkcja falowa ψ(~r, t) bedąca rozwiązaniem równania Schr¨odingera daje pełny kwantowomechaniczny opis cząstki o masie m i energi potencjalnej V (~r, t)i w tym sensie spełnia rolę analogiczną do klasycznej trajektorii ~r(t).
Założyliśmy, że funkcja falowa powinna być duża tam, gdzie prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest największe. To sugeruje konieczność statystycznej interpretacji funkcji ψ.
Wyobraźmy sobie dużą liczbę kopii rozpatrywanego układu fizycznego opisywanego tą samą funkcją falową ψ(~r, t). Wynik pomiaru dowolnej wielkości fizycznej w określonej chwili czasu nie będzie na ogół identyczny, a określona wartość liczbowa będzie przyjmowana z określonymprawdopodobieństwem.
Ponieważfunkcja falowa może być zespolona, to założymy, że kwadrat modułu funkcji falowejjestgęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w elemencie objętości d3r = dxdy dz wokół punktu ~r w chwili t.
P(~r, t) = ψ∗(~r, t)ψ(~r, t) = |ψ(~r, t)|2, aP(~r, t)d3r jest odpowiednim prawdopodobieństwem.
Ponieważ prawdopodobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek jest równe jedności, to funkcja falowa ψ musi spełniać warunek
normalizacyjny
Z
|ψ(~r, t)|2d3r = 1,
Ponieważfunkcja falowa może być zespolona, to założymy, że kwadrat modułu funkcji falowejjestgęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w elemencie objętości d3r = dxdy dz wokół punktu ~r w chwili t.
P(~r, t) = ψ∗(~r, t)ψ(~r, t) = |ψ(~r, t)|2, aP(~r, t)d3r jest odpowiednim prawdopodobieństwem.
Ponieważ prawdopodobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek jest równe jedności, to funkcja falowa ψ musi spełniać warunek
normalizacyjny
Z
|ψ(~r, t)|2d3r = 1,
gdzie całkowanie przebiega po całym obszarze przestrzeni trójwymiarowej, w którym cząstka może się znajdować.
Jeśli obszar ten jest nieskończony, to całka normalizacyjna nie musi istnieć.
gdzie całkowanie przebiega po całym obszarze przestrzeni trójwymiarowej, w którym cząstka może się znajdować.
Jeśli obszar ten jest nieskończony, to całka normalizacyjna nie musi istnieć.Na przykład, dlaψ(~r, t) = Nei(~k·~r −ωt) mamy
Z
|ψ(~r, t)|2d3r = Z
ψ∗(~r, t)ψ(~r, t)d3r = Z
N∗e−i(~k·~r −ωt)Nei(~k·~r −ωt)d3r = |N|2 Z
d3r
| {z }
∞
= ∞,
a więc całka normalizacyjna nie istnieje.
gdzie całkowanie przebiega po całym obszarze przestrzeni trójwymiarowej, w którym cząstka może się znajdować.
Jeśli obszar ten jest nieskończony, to całka normalizacyjna nie musi istnieć.Na przykład, dlaψ(~r, t) = Nei(~k·~r −ωt) mamy
Z
|ψ(~r, t)|2d3r = Z
ψ∗(~r, t)ψ(~r, t)d3r = Z
N∗e−i(~k·~r −ωt)Nei(~k·~r −ωt)d3r = |N|2 Z
d3r
| {z }
∞
= ∞,
a więc całka normalizacyjna nie istnieje.Współczynnik N musi być stały, aby funkcja ψ spełniała równanie falowe.
gdzie całkowanie przebiega po całym obszarze przestrzeni trójwymiarowej, w którym cząstka może się znajdować.
Jeśli obszar ten jest nieskończony, to całka normalizacyjna nie musi istnieć.Na przykład, dlaψ(~r, t) = Nei(~k·~r −ωt) mamy
Z
|ψ(~r, t)|2d3r = Z
ψ∗(~r, t)ψ(~r, t)d3r = Z
N∗e−i(~k·~r −ωt)Nei(~k·~r −ωt)d3r = |N|2 Z
d3r
| {z }
∞
= ∞,
a więc całka normalizacyjna nie istnieje.Współczynnik N musi być stały, aby funkcja ψ spełniała równanie falowe.
Na razie będziemy zakładać, że obszar, w którym może znajdować się cząstka jest skończony.
gdzie całkowanie przebiega po całym obszarze przestrzeni trójwymiarowej, w którym cząstka może się znajdować.
Jeśli obszar ten jest nieskończony, to całka normalizacyjna nie musi istnieć.Na przykład, dlaψ(~r, t) = Nei(~k·~r −ωt) mamy
Z
|ψ(~r, t)|2d3r = Z
ψ∗(~r, t)ψ(~r, t)d3r = Z
N∗e−i(~k·~r −ωt)Nei(~k·~r −ωt)d3r = |N|2 Z
d3r
| {z }
∞
= ∞,
a więc całka normalizacyjna nie istnieje.Współczynnik N musi być stały, aby funkcja ψ spełniała równanie falowe.
Na razie będziemy zakładać, że obszar, w którym może znajdować się cząstka jest skończony.
Pokażemy, że warunek normalizacyjny funkcji falowej ψ ≡ ψ(~r, t) cząstki w dowolnym skończonym obszarze przestrzeni Ω nie zależy od czasu.Obliczmy
d dt
Z
Ω
|ψ|2d3r = Z
Ω
∂
∂t(ψ∗ψ) d3r = Z
Ω
ψ∗∂ψ
∂t +∂ψ∗
∂t ψ
d3r.
Pokażemy, że warunek normalizacyjny funkcji falowej ψ ≡ ψ(~r, t) cząstki w dowolnym skończonym obszarze przestrzeni Ω nie zależy od czasu. Obliczmy
d dt
Z
Ω
|ψ|2d3r = Z
Ω
∂
∂t(ψ∗ψ) d3r = Z
Ω
ψ∗∂ψ
∂t +∂ψ∗
∂t ψ
d3r.
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~∂ψ
∂t = −~2
2m ∇2ψ + V ψ ⇒ ∂ψ
∂t =i ~
2m ∇2ψ + 1 i ~Vψ
Pokażemy, że warunek normalizacyjny funkcji falowej ψ ≡ ψ(~r, t) cząstki w dowolnym skończonym obszarze przestrzeni Ω nie zależy od czasu. Obliczmy
d dt
Z
Ω
|ψ|2d3r = Z
Ω
∂
∂t(ψ∗ψ) d3r = Z
Ω
ψ∗∂ψ
∂t +∂ψ∗
∂t ψ
d3r.
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~∂ψ
∂t = −~2
2m ∇2ψ + V ψ ⇒ ∂ψ
∂t =i ~
2m ∇2ψ + 1 i ~Vψ i z równania sprzężonego, przy założeniu V ≡ V (~r, t) = V∗(~r, t),
Pokażemy, że warunek normalizacyjny funkcji falowej ψ ≡ ψ(~r, t) cząstki w dowolnym skończonym obszarze przestrzeni Ω nie zależy od czasu. Obliczmy
d dt
Z
Ω
|ψ|2d3r = Z
Ω
∂
∂t(ψ∗ψ) d3r = Z
Ω
ψ∗∂ψ
∂t +∂ψ∗
∂t ψ
d3r.
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~∂ψ
∂t = −~2
2m ∇2ψ + V ψ ⇒ ∂ψ
∂t =i ~
2m ∇2ψ + 1 i ~Vψ i z równania sprzężonego, przy założeniu V ≡ V (~r, t) = V∗(~r, t),
−i~∂ψ∗
∂t = −~2
2m ∇2ψ∗+ V ψ∗ ⇒ ∂ψ∗
∂t =− i ~
2m ∇2ψ∗− 1 i ~Vψ∗.
Pokażemy, że warunek normalizacyjny funkcji falowej ψ ≡ ψ(~r, t) cząstki w dowolnym skończonym obszarze przestrzeni Ω nie zależy od czasu. Obliczmy
d dt
Z
Ω
|ψ|2d3r = Z
Ω
∂
∂t(ψ∗ψ) d3r = Z
Ω
ψ∗∂ψ
∂t +∂ψ∗
∂t ψ
d3r.
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~∂ψ
∂t = −~2
2m ∇2ψ + V ψ ⇒ ∂ψ
∂t =i ~
2m ∇2ψ + 1 i ~Vψ i z równania sprzężonego, przy założeniu V ≡ V (~r, t) = V∗(~r, t),
−i~∂ψ∗
∂t = −~2
2m ∇2ψ∗+ V ψ∗ ⇒ ∂ψ∗
∂t =− i ~
2m ∇2ψ∗− 1 i ~Vψ∗.
d dt
Z
Ω
|ψ|2d3r = i ~ 2m
Z
Ω
hψ∗∇2ψ −∇2ψ∗ψid3r
d dt
Z
Ω
|ψ|2d3r = i ~ 2m
Z
Ω
hψ∗∇2ψ −∇2ψ∗ψid3r
= i ~ 2m
Z
Ω
∇·~ hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψid3r
d dt
Z
Ω
|ψ|2d3r = i ~ 2m
Z
Ω
hψ∗∇2ψ −∇2ψ∗ψid3r
= i ~ 2m
Z
Ω
∇·~ hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψid3r
= i ~ 2m
Z
Γ(Ω)
hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψi
n
dΓn.
W ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie Stokesa Z
Ω
∇ · ~~ F d3r = Z
Γ(Ω)
F~· d~Γ = Z
Γ(Ω)
FndΓn,
Fn oznacza składową wektora ~F normalną do powierzchni Γ(Ω).
d dt
Z
Ω
|ψ|2d3r = i ~ 2m
Z
Ω
hψ∗∇2ψ −∇2ψ∗ψid3r
= i ~ 2m
Z
Ω
∇·~ hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψid3r
= i ~ 2m
Z
Γ(Ω)
hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψi
n
dΓn.
W ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie Stokesa Z
Ω
∇ · ~~ F d3r = Z
Γ(Ω)
F~· d~Γ = Z
Γ(Ω)
FndΓn,
Fn oznacza składową wektora ~F normalną do powierzchni Γ(Ω).
Otrzymaliśmy wzór d
dt Z
Ω
|ψ|2d3r = i ~ 2m
Z
Γ(Ω)
hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψi
n
dΓn.
Rozszerzmy obszar całkowania Ω na całą przestrzeń.
Otrzymaliśmy wzór d
dt Z
Ω
|ψ|2d3r = i ~ 2m
Z
Γ(Ω)
hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψi
n
dΓn.
Rozszerzmy obszar całkowania Ω na całą przestrzeń.Ponieważ funkcja falowa ψ powinna znikać w nieskończoności,to widzimy, że
d dt
Z
Ω
|ψ|2d3r = 0,
czyli całka normalizacyjna jest niezależna od czasu.
Otrzymaliśmy wzór d
dt Z
Ω
|ψ|2d3r = i ~ 2m
Z
Γ(Ω)
hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψi
n
dΓn.
Rozszerzmy obszar całkowania Ω na całą przestrzeń. Ponieważ funkcja falowa ψ powinna znikać w nieskończoności,to widzimy, że
d dt
Z
Ω
|ψ|2d3r = 0,
czyli całka normalizacyjna jest niezależna od czasu.
Zdefiniujmywektor prądu prawdopodobieństwa S~(~r, t) = −i ~
2m
hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψi.
Przy jego użyciu równanie d
dt Z
Ω
|ψ|2d3r = i ~ 2m
Z
Ω
∇·~ hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψid3r
Zdefiniujmywektor prądu prawdopodobieństwa S~(~r, t) = −i ~
2m
hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψi.
Przy jego użyciu równanie d
dt Z
Ω
|ψ|2d3r = i ~ 2m
Z
Ω
∇·~ hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψid3r
można zapisać w postaci Z
Ω
∂
∂tP(~r, t) + ~∇ · ~S(~r, t)
d3r= 0,
a ponieważ obszar całkowania Ω jest dowolny, to
Zdefiniujmywektor prądu prawdopodobieństwa S~(~r, t) = −i ~
2m
hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψi.
Przy jego użyciu równanie d
dt Z
Ω
|ψ|2d3r = i ~ 2m
Z
Ω
∇·~ hψ∗∇ψ −~ ∇ψ~ ∗ψid3r
można zapisać w postaci Z
Ω
∂
∂tP(~r, t) + ~∇ · ~S(~r, t)
d3r= 0,
a ponieważ obszar całkowania Ω jest dowolny, to
otrzymujemy równanie w postaci różniczkowej
∂
∂tP(~r, t) + ~∇ · ~S(~r, t) = 0.
Jest to tzw.równanie ciągłości.
otrzymujemy równanie w postaci różniczkowej
∂
∂tP(~r, t) + ~∇ · ~S(~r, t) = 0.
Jest to tzw.równanie ciągłości. Równanie to jest analogiczne do prawa zachowania cieczy o gęstości P i gęstości prądu ~S.
otrzymujemy równanie w postaci różniczkowej
∂
∂tP(~r, t) + ~∇ · ~S(~r, t) = 0.
Jest to tzw.równanie ciągłości. Równanie to jest analogiczne do prawa zachowania cieczy o gęstości P i gęstości prądu ~S.
Wektor ~S(~r, t) możemy zapisać w formie S~(~r, t) = Re
ψ∗−i~
m ∇ψ~
.
Operator(−i~/m)~∇jest operatorem prędkości,ale w
przeciwieństwie do gęstości prawdopodobieństwa P wektor ~S nie podlega pomiarowi.
otrzymujemy równanie w postaci różniczkowej
∂
∂tP(~r, t) + ~∇ · ~S(~r, t) = 0.
Jest to tzw.równanie ciągłości. Równanie to jest analogiczne do prawa zachowania cieczy o gęstości P i gęstości prądu ~S.
Wektor ~S(~r, t) możemy zapisać w formie S~(~r, t) = Re
ψ∗−i~
m ∇ψ~
.
Operator(−i~/m)~∇jest operatorem prędkości,ale w
przeciwieństwie do gęstości prawdopodobieństwa P wektor ~S nie podlega pomiarowi.
Gęstość prawdopodobieństwa P(~r, t) umożliwia obliczeniewartości oczekiwanejdowolnego operatora A(~r, t), będącego dowolną funkcją położenia i czasu, w stanie kwantowomechanicznym określonym przez funkcję falową ψ(~r, t).
hAi = Z
A(~r, t)P(~r, t) d3r = Z
ψ∗(~r, t)A(~r, t) ψ(~r, t) d3r.
Na przykład, wartość oczekiwana operatora położenia ~r h~ri =
Z
ψ∗(~r, t) ~r ψ(~r, t) d3r,
Gęstość prawdopodobieństwa P(~r, t) umożliwia obliczeniewartości oczekiwanejdowolnego operatora A(~r, t), będącego dowolną funkcją położenia i czasu, w stanie kwantowomechanicznym określonym przez funkcję falową ψ(~r, t).
hAi = Z
A(~r, t)P(~r, t) d3r = Z
ψ∗(~r, t)A(~r, t) ψ(~r, t) d3r.
Na przykład, wartość oczekiwana operatora położenia ~r h~ri =
Z
ψ∗(~r, t) ~r ψ(~r, t) d3r, co jest równoważne układowi trzech równań:
hxi = Z
ψ∗xψ d3r, hy i = Z
ψ∗yψ d3r, hzi = Z
ψ∗zψ d3r.
Gęstość prawdopodobieństwa P(~r, t) umożliwia obliczeniewartości oczekiwanejdowolnego operatora A(~r, t), będącego dowolną funkcją położenia i czasu, w stanie kwantowomechanicznym określonym przez funkcję falową ψ(~r, t).
hAi = Z
A(~r, t)P(~r, t) d3r = Z
ψ∗(~r, t)A(~r, t) ψ(~r, t) d3r.
Na przykład, wartość oczekiwana operatora położenia ~r h~ri =
Z
ψ∗(~r, t) ~r ψ(~r, t) d3r, co jest równoważne układowi trzech równań:
hxi = Z
ψ∗xψ d3r, hy i = Z
ψ∗yψ d3r, hzi = Z
ψ∗zψ d3r.
Podobnie, dla operatora energii potencjalnej otrzymamy hV i =
Z
V(~r, t)P(~r, t) d3r = Z
ψ∗(~r, t)V (~r, t) ψ(~r, t) d3r. A jak obliczyć wartości oczekiwane operatorów energii i pędu?
Podobnie, dla operatora energii potencjalnej otrzymamy hV i =
Z
V(~r, t)P(~r, t) d3r = Z
ψ∗(~r, t)V (~r, t) ψ(~r, t) d3r. A jak obliczyć wartości oczekiwane operatorów energii i pędu?
Skorzystajmy z klasycznego wyrażenia na energię cząstki E = ~p2
2m + V (~r, t).
Podobnie, dla operatora energii potencjalnej otrzymamy hV i =
Z
V(~r, t)P(~r, t) d3r = Z
ψ∗(~r, t)V (~r, t) ψ(~r, t) d3r. A jak obliczyć wartości oczekiwane operatorów energii i pędu?
Skorzystajmy z klasycznego wyrażenia na energię cząstki E = ~p2
2m + V (~r, t).
Dla wartości oczekiwanych zachodzi hE i =
*~p2 2m + V
+ ,
Podobnie, dla operatora energii potencjalnej otrzymamy hV i =
Z
V(~r, t)P(~r, t) d3r = Z
ψ∗(~r, t)V (~r, t) ψ(~r, t) d3r. A jak obliczyć wartości oczekiwane operatorów energii i pędu?
Skorzystajmy z klasycznego wyrażenia na energię cząstki E = ~p2
2m + V (~r, t).
Dla wartości oczekiwanych zachodzi hE i =
*~p2 2m + V
+ ,
a wprowadzając operatory różniczkowe E = i~∂
∂t, p~= −i~~∇ otrzymamy
i ~ ∂
∂t
=
*
−~2
2m∇2+ V +
.
W takim razie, aby zachować konsystencję z równaniem Schr¨odingera, dla wartości oczekiwanych w stanie kwantowym opisywanym funkcją falową ψ(~r, t) powinniśmy przyjąć
Z
ψ∗(~r, t)i~∂
∂tψ(~r, t)d3r = Z
ψ∗(~r, t) −~2
2m∇2+ V
!
ψ(~r, t)d3r, gdzieodpowiednie operatory działają na ψ(~r, t), a nie na ψ∗(~r, t).
a wprowadzając operatory różniczkowe E = i~∂
∂t, p~= −i~~∇ otrzymamy
i ~ ∂
∂t
=
*
−~2
2m∇2+ V +
.
W takim razie, aby zachować konsystencję z równaniem Schr¨odingera, dla wartości oczekiwanych w stanie kwantowym opisywanym funkcją falową ψ(~r, t) powinniśmy przyjąć
Z
ψ∗(~r, t)i~∂
∂tψ(~r, t)d3r = Z
ψ∗(~r, t) −~2
2m∇2+ V
!
ψ(~r, t)d3r, gdzieodpowiednie operatory działają na ψ(~r, t), a nie na ψ∗(~r, t).
Do uzasadnienia tej reguły wrócimy jeszcze w dalszej części kursu.
Wzór na wartość oczekiwaną operatora pędu~p = −i~~∇jest równoważny trzem równaniom skalarnym:
hpxi = −i~
Z ψ∗∂ψ
∂x d3r, hpyi = −i~
Z ψ∗∂ψ
∂y d3r, hpzi = −i~
Z ψ∗∂ψ
∂z d3r.
Do uzasadnienia tej reguły wrócimy jeszcze w dalszej części kursu.
Wzór na wartość oczekiwaną operatora pędu~p = −i~~∇jest równoważny trzem równaniom skalarnym:
hpxi = −i~
Z ψ∗∂ψ
∂x d3r, hpyi = −i~
Z ψ∗∂ψ
∂y d3r, hpzi = −i~
Z ψ∗∂ψ
∂z d3r.
Oczekujemy, że jeśli zmiana energii potencjalnej w obszarze paczki falowej będzie zaniedbywalna, to ruch paczki falowej będzie zgodny z ruchem odpowiadającej jej cząstki klasycznej.
Przez położenie i pęd cząstki będziemy rozumieć wartości oczekiwane odpowiadających im operatorów.
Oczekujemy, że jeśli zmiana energii potencjalnej w obszarze paczki falowej będzie zaniedbywalna, to ruch paczki falowej będzie zgodny z ruchem odpowiadającej jej cząstki klasycznej.
Przez położenie i pęd cząstki będziemy rozumieć wartości oczekiwane odpowiadających im operatorów.
Obliczmy d
dt hxi = d dt
Z
ψ∗xψ d3r = Z ∂
∂t(ψ∗xψ) d3r
=
Z ∂ψ∗
∂t xψ d3r+ Z
ψ∗x ∂ψ
∂t d3r.
Oczekujemy, że jeśli zmiana energii potencjalnej w obszarze paczki falowej będzie zaniedbywalna, to ruch paczki falowej będzie zgodny z ruchem odpowiadającej jej cząstki klasycznej.
Przez położenie i pęd cząstki będziemy rozumieć wartości oczekiwane odpowiadających im operatorów.
Obliczmy d
dt hxi = d dt
Z
ψ∗xψ d3r = Z ∂
∂t(ψ∗xψ) d3r
=
Z ∂ψ∗
∂t xψ d3r+ Z
ψ∗x ∂ψ
∂t d3r. Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i z równania do niego sprzężonego.
Oczekujemy, że jeśli zmiana energii potencjalnej w obszarze paczki falowej będzie zaniedbywalna, to ruch paczki falowej będzie zgodny z ruchem odpowiadającej jej cząstki klasycznej.
Przez położenie i pęd cząstki będziemy rozumieć wartości oczekiwane odpowiadających im operatorów.
Obliczmy d
dt hxi = d dt
Z
ψ∗xψ d3r = Z ∂
∂t(ψ∗xψ) d3r
=
Z ∂ψ∗
∂t xψ d3r+ Z
ψ∗x ∂ψ
∂t d3r. Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i z równania do niego sprzężonego.
Wówczas otrzymujemy d
dt hxi =
Z ∂ψ∗
∂t xψ d3r+ Z
ψ∗x ∂ψ
∂t d3r
Wówczas otrzymujemy d
dt hxi =
Z ∂ψ∗
∂t xψ d3r+ Z
ψ∗x ∂ψ
∂t d3r
= 1
i ~
"
− Z
−~2
2m∇2ψ∗+ V ψ∗
!
xψ d3r
+ Z
ψ∗x −~2
2m∇2ψ + V ψ
! d3r
#
Wówczas otrzymujemy d
dthxi =
Z ∂ψ∗
∂t xψ d3r+ Z
ψ∗x∂ψ
∂t d3r
= 1
i ~
"
− Z
−~2
2m∇2ψ∗+ V ψ∗
!
xψ d3r
+ Z
ψ∗x −~2
2m∇2ψ + V ψ
! d3r
#
= i ~ 2m
Z hψ∗x ∇2ψ−∇2ψ∗xψid3r.
W drugiej całce wykonamy całkowanie przez części.
Wówczas otrzymujemy d
dthxi =
Z ∂ψ∗
∂t xψ d3r+ Z
ψ∗x∂ψ
∂t d3r
= 1
i ~
"
− Z
−~2
2m∇2ψ∗+ V ψ∗
!
xψ d3r
+ Z
ψ∗x −~2
2m∇2ψ + V ψ
! d3r
#
= i ~ 2m
Z hψ∗x ∇2ψ−∇2ψ∗xψid3r.
W drugiej całce wykonamy całkowanie przez części.
Z ∇2ψ∗ xψ d3r=
Z ∇ ·~ h∇ψ~ ∗xψi d3r−Z ∇ψ~ ∗· ~∇ (xψ) d3r
Z ∇2ψ∗ xψ d3r=
Z ∇ ·~ h∇ψ~ ∗xψi d3r−Z ∇ψ~ ∗· ~∇ (xψ) d3r
= Z
brzeg
h∇ψ~ ∗ xψi
n
dΓn
| {z }
0
−Z ∇ψ~ ∗· ~∇ (xψ) d3r.
Pierwsza całka po prawej stronie znika, gdyż funkcja falowa i jej gradient znikają na brzegu obszaru o nieskończonych (dużych) rozmiarach, a drugą całkę jeszcze raz całkujemy przez części.
−Z ∇ψ~ ∗· ~∇ (xψ) d3r = −
Z ∇ ·~ hψ∗∇ (xψ)~ id3r
| {z }
0
+ Z
ψ∗∇2(xψ)d3r = Z
ψ∗
2∂ψ
∂x + x∇2ψ
d3r, gdzie pierwsza całka znika na mocy twierdzenia Stokesa,a przy przekształceniu drugiej wykorzystaliśmy równość
∇2(xψ) = ∇ · ~~ ∇ (xψ) = ~∇ ·h∇x~ ψ + x ~∇ψi= ~∇ ·hxψ + x ~ˆ ∇ψi
= ∂ψ
∂x +∇x~
| {z }
ˆ x
·~∇ψ + x∇2ψ =2∂ψ
∂x + x∇2ψ.
−Z ∇ψ~ ∗· ~∇ (xψ) d3r = −
Z ∇ ·~ hψ∗∇ (xψ)~ id3r
| {z }
0
+ Z
ψ∗∇2(xψ)d3r = Z
ψ∗
2∂ψ
∂x + x∇2ψ
d3r, gdzie pierwsza całka znika na mocy twierdzenia Stokesa, a przy przekształceniu drugiej wykorzystaliśmy równość
∇2(xψ) = ∇ · ~~ ∇ (xψ) = ~∇ ·h∇x~ ψ + x ~∇ψi= ~∇ ·hxψ + x ~ˆ ∇ψi
= ∂ψ
∂x +∇x~
| {z }
ˆ x
·~∇ψ + x∇2ψ =2∂ψ
∂x + x∇2ψ.
Podsumujmy d
dt hxi = i ~ 2m
Z hψ∗x ∇2ψ−∇2ψ∗ xψid3r
= i ~ 2m
Z
ψ∗x∇2ψ −
2ψ∗∂ψ
∂x + ψ∗x∇2ψ
d3r
= −i ~ m
Z ψ∗∂ψ
∂x d3r = 1 m
Z ψ∗
−i~ ∂
∂x
ψ d3r = 1 mhpxi . Analogiczne związki dostajemy dla składowych y i z.
