WYZNACZANIE WARTOŚCI PRZERWY ENERGETYCZNEJ Z POMIARU TRANSMISJI CIENKIEJ WARSTWY PÓŁPRZEWODNIKOWEJ Halina Czternastek

WYZNACZANIE WARTOŚCI PRZERWY ENERGETYCZNEJ Z POMIARU TRANSMISJI CIENKIEJ WARSTWY PÓŁPRZEWODNIKOWEJ Halina Czternastek

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z optyczną metodą wyznaczania energii przerwy wzbronionej w półprzewodnikach oraz techniką detekcji słabych sygnałów światła. Z badania współczynnika absorpcji w zależności od energii padających fotonów wyznaczana jest szerokość przerwy energetycznej kryształu tlenku kadmu, czyli poszukiwana energia aktywacji. Do ćwiczenia wykorzystywany jest jednowiązkowy spektrofotometr siatkowy - SPECOL.

Wymagania do kolokwium

1) Struktura pasmowa półprzewodników.

2) Oddziaływanie fal elektromagnetycznych z materią. Prawo Lamberta-Beera. Współczynnik absorpcji.

3) Absorpcja światła w półprzewodnikach. Krawędź absorpcji podstawowej.

4) Przejścia dozwolone i wzbronione, proste i skośne. Energia Przejść.

5) Zasada działania monochromatora.

Literatura

1) II Pracownia Fizyczna (praca zbiorowa) wydawnictwo naukowe AP w Krakowie 2000.

2) C. Kittel - Wstep do fizyki ciała stałego rozdz. 1,3,9.

3) A. Smith – Półprzewodniki, PWN, Warszawa 1969.

4) W. Kirjejew - Fizyka półprzewodników, PWN, Warszawa 1971.

5) Sz. Szczeniowski - Fizyka doświadczalna cz IV Optyka, PWN, Warszawa 1983.

Wstęp

1. Współczynnik absorpcji

W półprzewodnikach przewodnictwo elektryczne pojawia się jako stan wzbudzony pod wpływem takich czynników jak temperatura lub promieniowanie elektromagnetyczne. Rezultatem tych czynników jest między innymi przejście elektronów z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa.

Uwzględniając fakt, że absorpcja (pochłanianie) kwantów ℎ𝑣 promieniowania elektromagnetycznego (światła) przez półprzewodnik wiąże się m.in. z przejściami elektronów z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa poprzez energetyczną przerwę wzbronioną 𝐸 , badanie tego zjawiska pozwala na wyznaczenie wartości 𝐸 .

Makroskopowe własności optyczne materiału scharakteryzowane są przez jego zespolony współczynnik załamania 𝑁:

𝑁 = 𝑛 − 𝑖𝑘

gdzie: 𝑛 -współczynnik załamania, 𝑘- współczynnik ekstynkcji odpowiedzialny za pochłanianie energii fali elektromagnetycznej.

Fala płaska wektora elektrycznego 𝐸⃗ promieniowania elektromagnetycznego o częstotliwości 𝑣 rozchodząca się w kierunku 𝑥 z prędkością 𝑣 w materiale półprzewodnikowym opisana jest przy pomocy równania:

𝐸⃗ = 𝐸⃗𝑒𝑥𝑝 𝑖2𝜋𝑣 𝑡 − (1)

Prędkość rozchodzenia się światła w półprzewodniku 𝑣 wiąże się z prędkością światła w próżni 𝑐 poprzez zespolony współczynnik załamania 𝑁 zależnością:

𝑁 =𝑐 Stąd 𝑣

𝑣 = 𝑐

𝑁= 𝑐

𝑛 − 𝑖𝑘 lub

= − (2)

Podstawiając (2) do równania (1) otrzymujemy:

𝐸⃗ = 𝐸⃗𝑒𝑥𝑝 𝑖2𝜋𝑣 𝑡 − 𝑒𝑥𝑝 − (3)

W równaniu (3) druga eksponenta, zależna od drogi 𝑥 jaką przebyła fala w półprzewodniku, odpowiedzialna jest za tłumienie amplitudy wektora elektrycznego 𝐸⃗, czyli jest związana z pochłanianiem energii padającego promieniowania. Biorąc pod uwagę, że natężenie światła proporcjonalne jest do 𝐸⃗ , to mierząc natężenie światła Io przed przejściem przez próbkę o grubości 𝑑 i po przejściu I możemy wyznaczyć współczynnik absorpcji α.

Definiując transmisję próbki jako:

𝑇(𝜆) = 𝐼 𝐼 gdzie: λ –długość fali padającego promieniowania, mamy:

𝑇(𝜆) = = exp − = 𝑒𝑥𝑝(𝛼𝑑) (4)

gdzie 𝛼 = jest współczynnikiem absorpcji.

Tak więc znając 𝑇(𝜆) można ze wzoru (4) obliczyć współczynnik absorpcji 𝛼(𝜆):

𝛼(𝜆) = ln _{( )} (5)

Należy zauważyć, ze wzór (5) został wyprowadzony przy założeniu, że całe promieniowanie wnika do wnętrza materiału. Tak jednak nie jest, gdyż na powierzchni półprzewodnika następuje odbicie części światła, które zależy głównie od wartości współczynnika załamania n zgodnie ze wzorem:

𝑅 = 𝑛 − 1 𝑛 + 1

Ponieważ dla półprzewodników wartości 𝑛 są duże, odbicie 𝑅 należy uwzględnić we wzorze (5).

Wprowadzenie tej poprawki daje następującą zależność na współczynnik absorpcji:

𝛼 =1

𝑑ln1 − 𝑅 𝑇

Przy pomiarach transmisji, aby uzyskać wystarczająco duże natężenie światła po przejściu przez próbkę o grubości 𝑑, grubość ta musi być porównywalna z długością fali użytego promieniowania. Prowadzi to wielokrotnych odbić promienia świetlnego na powierzchniach próbki powodując efekty interferencyjne w widmie transmisji (rys.1).

Rys. 1. Transmisja promieniowania przez próbkę o grubości d w przypadku występowania wielokrotnych odbić wewnętrznych.

Ich uwzględnienie daje bardziej złożony wzór na transmisję próbki półprzewodnika o grubości d:

   

 2αα

exp R 1

αd exp R

T 1 ₂

2







  (6)

W równaniu (6) dla dużych wartości iloczynu αd można zaniedbać drugi wyraz w mianowniku otrzymując:

 R  d

T  1 ²exp stąd  

T R 2 ln 1 d

α 1 ^ (7)

Równanie (7) nie jest jeszcze dokładne, gdyż rozpatrywaliśmy warstwę, próbkę półprzewodnika o grubości 𝑑, jako samonośną. Zwykle warstwa taka o współczynnikach załamania n1,k znajduje się na podłożu o współczynniku załamania n2=1.5 ( dla szkła k2=0).

Uwzględniając ten fakt w obliczeniach przedstawionych na Rys.1 otrzymany ostateczny wzór na współczynnik absorpcji α:

   

T R12 01 1 R ln 1 d

α 1  

 (8)

gdzie:

2

n1 n0

n1 n0 R01















  jest odbiciem na granicy powietrze –warstwa,

2

n2 n1

n2 n1 R12















  jest odbiciem na granicy warstwa-szkło,

n0=1 jest współczynnikiem załamania powietrza.

Typowa zależność 𝑇 =𝑇(𝜆) dla cienkiej warstwy półprzewodnikowej na podłożu ze szkła przedstawiona jest na Rys.2. Dla fal długich ( kwantów promieniowania o energii hν<EG ) warstwa półprzewodnikowa jest przezroczysta. W obszarze tym występują maksima i minima interferencyjne, które wykorzystuje się do wyznaczania współczynnika załamania warstwy n1.

400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

_

Transmisja [%]

długość fali [nm]

Tmax Tmax

_

krawędź absorpcji podstawowej

Rys.2. Widmo transmisji T(λ) cienkiej warstwy półprzewodnikowej.

Efekty interferencyjne pojawiają się, gdy fala o długości λ przechodząc od jednej powierzchni wewnętrznej warstwy do drugiej zmienia fazę o wartość:

λ 1d Λ  2n

Promień świetlny odbity od tylnej powierzchni wraca (Rys.1) z fazą zmienioną o 3Δ, 5Δ itd.

Maksymalne wzmocnienie natężenia światła przechodzącego przez warstwę zachodzi wówczas, gdy różnica faz pomiędzy promieniami „1”, „3”, „5” itd. wynosi:

2∆ = 𝑚𝜋, maksima interferencyjne (9)

a maksymalne osłabienie, gdy:

4∆ = (2𝑚 + 1)𝜋, minima interferencyjne gdzie m przyjmuje wartości 0,1,2,3 …

Obliczając ze wzoru (8) n1 dla dwu kolejnych maksimów n1=(2m+1)λ1/2d i n1=(2m)λ2/2d, gdzie λ1< λ2 oraz eliminując z tych wzorów nieznaną wartość m otrzymujemy równanie na współczynnik załamania n1 warstwy półprzewodnikowej:

2d λ2

1 λ1

1 1 n1











 

 (10)

gdzie λ1, λ2 – długości fal przy których występują kolejne maksima interferencyjne.

Wzór (10) wyprowadzono przy założeniu, że w badanym zakresie długości fal można pominąć zależność n1=n1(λ). Następnie obliczamy R01 i R12 oraz na podstawie równania (8) obliczamy współczynnik absorpcji α.

2. Krawędź absorpcji podstawowej

Przechodząc z obszaru przezroczystości, w którym mogą wystepować efekty interferencyjne w kierunku fal krótszych, wchodzimy w obszar silnego pochłaniania związanego z przejściami elektronów z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa. Obszar ten nazywamy obszarem krawędzi podstawowej. Badanie kształtu zależności współczynnika absorpcji α=f(hν) w obszarze krawędzi absorpcji podstawowej pozwala nie tylko wyznaczyć wartość EG ale uzyskać również inne informacje dotyczące energetycznej struktury pasmowej. Z badań tych można wnosić o kształcie pasm energetycznych w punkcie przejść elektronowych, typie przejść ( proste, skośnie) i rodzaju przejść (dozwolone, wzbronione).

3. Typy i rodzaje przejść optycznych pasmo-pasmo

Poprzednio podana zależność na współczynnik absorpcji ( równ. 12) została wyprowadzona w oparciu o klasyczną teorię oddziaływania fal elektromagnetycznych z materią, która nie ukazuje związku pomiędzy współczynnikiem α a energią pochłanianych kwantów promieniowania. Zależność tę wyprowadza się w ramach półklasycznej teorii wzajemnego oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego z ciałem stałym.

Wychodząc z zasady zachowania energii otrzymuje się wyrażenie:

Wpw wp hνp hνw 2

0 E 2αε

1  





 

 

(11)

wiążące współczynnik α z energią padającego promieniowania, gdzie n1 jest współczynnikiem załamania warstwy półprzewodnikowej, ε0 –przenikalnością elektryczną próżni, hνw, hνp są energiami elektronu w paśmie walencyjnym (w) i przewodnictwa (pP, Wpw jest prawdopodobieństwem przejścia elektronu ze stanu w do stanu p pod wpływem promieniowania elektromagnetycznego w jednostce czasu. Takie przejścia elektronów ze stanów o niższej energii w paśmie walencyjnym do stanów o wyższej energii w paśmie przewodnictwa w wyniku pochłaniania kwantów światła nazywamy przejściami optycznymi.

Ostateczna jawna postać zależności współczynnika od energii padającego promieniowania jest następująca:

𝛼ℎ𝑣 = _∗

∙ ( ) ∫ 𝑑 𝑘⃗ 𝜋 δ ℎ𝑣 − ℎ𝑣 (12)

gdzie hνpw=hνp- hνw,



k

prawdopodobieństwo przejścia elektronu pomiędzy stanem walencyjnym i przewodnictwa.

Całkowanie we wzorze (12) wynika z zastąpienia sumowania w (11), co jest słuszne z powodu prawie ciagłego widma stanów energetycznych w pasmach. Funkcja delta Diraca zapewnia spełnienie zasady zachowania energii przy przejściu elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa.

Wielkość πpw jest różna od zera przy spełnieniu warunku:

g 0 k p h k w h k

h  

 

 

(13)

gdzie: hkw

jest pseudopędem elektronu w stanie początkowym w paśmie walencyjnym,

k p h

jest pseudopędem elektronu w stanie końcowym w paśmie przewodnictwa,

k g h

jest pędem fotonu.

Równanie (13) przedstawia zasadę zachowania pseudopędu elektronu. Dla przejść optycznych zachodzi nierówność hk g

« h^kw, h^kp zatem pseudopęd elektronu prawie nie ulega zmianie:

kw

h^



Przejścia optyczne, w których zachowany jest pseudopęd elektronu odpowiadają pionowym przejściom na schemacie struktury półprzewodnika (Rys.3). Nazywamy je przejściami prostymi.

Rys.3. Schemat przejść prostych.

Zależność elementu macierzowego πpw od wektora falowego elektronu ^k wynika z symetrii funkcji falowych elektronu w stanie początkowym ψw i końcowym ψp. Jeśli jedna z funkcji ψw,

ψp jest parzysta, a druga nieparzysta ze względu na ^r , to przy h^kw



Gdy obie funkcje falowe mają tę samą symetrię, to element macierzowy πpw jest różny od zera dla h^kwh^kph^kg 0 i proporcjonalny do k. Przejścia tego typu zachodzą w pobliżu punktu

p w k

k ^

  i nazywamy je przejściami prostymi wzbronionymi.

Pamiętając o powyższych regułach wyboru przejść optycznych oraz zakładając paraboliczny kształt pasm energetycznych w pobliżu punktu przejścia otrzymuje się z równ. (12) następujące związki:

 ^1/2

1 h EG

C h  

 dla h EG , (14)

 0 dla h < E_G

dla przejść prostych dozwolonych oraz:

 ^3/2

2 h EG

C h  

 dla hEG, (15)

^{ 0} dla ^h < EG

dla przejść prostych wzbronionych, gdzie C1, C2 są stałymi niezależnymi od energii padającego promieniowania.

Osobno należy rozpatrzyć przypadek, kiedy ekstrema pasm walencyjnego i przewodnictwa odpowiadające najmniejszej wartości przerwy wzbronionej EG występują przy różnych wartościach wektora falowego elektronu ^k (Rys.4).

Rys.4. Schemat przejść skośnych.

Takie międzypasmowe przejścia elektronów, gdy h^kw  h^k_p nazywamy skośnymi. Aby przejście skośne spełniało zasadę zachowania pseudopędu elektronu należy, oprócz oddziaływania elektronu z promieniowaniem elektromagnetycznym, założyć dodatkowo oddziaływanie z fononem sieci krystalicznej. Zasada zachowania pseudopędu elektronu przyjmuje w tym przypadku postać:

p f

g

w hk hk hk

k

h^  ^  ^  ^ (16)

gdzie h^kf jest pędem fononu.

Przejście elektronu z punktu A w paśmie walencyjnym do punktu C w paśmie przewodnictwa zachodzi poprzez stan wirtualny B (Rys.4). W pierwszej fazie elektron przechodzi z punktu A do punktu B bez zmiany zmiany pseupędu h^k i stąd z emisją do absorpcją fononu (zmiana pseudopędu ^hk ) przechodzi do punktu C. W tym podwójnym przejściu zasada zachowania pseudopędu jest spełniona w każdym przejściu, zaś zasada zachowania energii:

f pw

g h h

h^  ^  ^ (17)

gdzie h^f jest energią fononu, jest spełniona dla przejścia skośnego jako całości. Znaki plus i minus odpowiadają przejściom elektronu z absorpcją (+) i emisją fononu (-).

Rozważania analogiczne do poprzednich, na temat symetrii funkcji falowych elektronu w stanie początkowym i końcowym, dają następujące związki:

 

3 h EG h f

C

h  

    dla hE_G , (18)

 0 dla h^< E_G

dla przejść skośnych dozwolonych oraz:

 

4 h EG h f

C

h  

    dla hE_G , (19)

0

 dla h^ < E_G

dla przejść skośnych wzbronionych gdzie C3, C4 są stałymi niezależnymi od energii padającego promieniowania.

Wzory (14), (15), (18), (19) stanowią równania prostych w układzie współrzędnych (αhν)^P=f(hν-EG). Przez ekstrapolację tych prostych do zera (Rys.5) otrzymujemy energię przejścia EG równą energii fotonu hν. Wartości wykładnika P wynoszą 2, 2/3, ½, 1/3 odpowiednio dla przejść prostych dozwolonych, prostych wzbronionych, skośnych dozwolonych i skośnych wzbronionych.

2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 0

50 100 150 200 250 300 350

(h)P [eV/cm]P

energia fotonów [eV]

E_G

Rys.5. Wyznaczanie wartości przerwy energetycznej EG. 4. Budowa i zasada działania spektrofotometru SPECOL

SPECOL produkcji Zeiss-Jena jest jednowiązkowym spektrofotometrem siatkowym. Schemat jego układu optycznego przedstawiono na rys.6.

Rys. 6. Układ optyczny spektrofotometru SPECOL: 1- żarówka, 2,5,7 –soczewki, 3- lustro, 6- siatka dyfrakcyjna, 4,8- szczeliny, 9- próbka, 10- matówka, 11- fotodetektor, 12- pokrętło, 13- wzmacniacz liniowy, 14- miernik.

Z żarówki (1) światło białe przechodzi przez soczewkę (2), odbija się od lustra (3) i jest ogniskowane na szczelinie (4). Soczewka (5), której ognisko znajduje się w płaszczyźnie szczeliny (4) daje równoległą wiązkę światła białego padającą na siatkę dyfrakcyjną (6).

Soczewka (7) ogniskuje w płaszczyźnie szczeliny (8) światło o różnych długościach fali.

Używając pokrętła (12), na którym zaznaczone są długości fal w nm, sprzężonego mechanicznie z siatką dyfrakcyjną można zmieniać długość fali światła wychodzącego ze szczeliny (8) w zakresie od 320 nm do 760 nm. Wiązka światła monochromatycznego po wyjściu ze szczeliny (8) pada na próbkę (9), a po przejściu przez matówkę (10) rejestrowana jest przez fotodetektor (11). Sygnał z fotodetektora podawany jest na liniowy wzmacniacz (13), którego wzmocnienie można dowolnie ustalać potencjometrem, tak aby uzyskać dostatecznie wysoki sygnał, mierzalny na mierniku (14).

Jeżeli:

a) ustalimy zero na mierniku (14) potencjometrem „O” przy zamkniętej szczelinie (8) [przesłona w pozycji 0],

b) następnie przy braku badanej próbki w obszarze wiązki i otwartej szczelinie (8) [przesłona szczeliny (8) w pozycji 0] ustawimy wzmocnienie wzmacniacza potencjometrem „100” do wartości 100 na skali miernika (14),

c) wprowadzimy do obszaru wiązki próbkę to wówczas wskazana na mierniku (14) wartość będzie transmisją T próbki w % zgodnie ze wzorem:

100 )

( x

I T I

o

  %

gdzie: Io jest natężeniem światła padającego na próbkę I jest natężeniem światła po przejściu przez próbkę.

Przebieg pomiarów

Uwaga! Spektrometr należy włączyć na godzinę przed planowanym pomiarem.

1) Włączyć stabilizator żarówki (1) spektrofotometru SPECOL.

2) Ustawić długość fali λ=760 nm, a następnie po przesłonięciu szczeliny (8) [przesłona w pozycji 0], ustawić 0 na skali miernika (14) potencjometrem „0”; następnie, po otwarciu szczeliny (8) [przesłona w pozycji 1] ustawić wzmocnienie potencjometrem „100”

uzyskując na skali miernika (14) wartość 100. Czynności cechowania wzmocnienia powtórzyć kilkakrotnie przed rozpoczęciem pomiarów.

Opracowanie wyników

1) Wstawić badaną próbkę w obszar wiązki światła. Wykonać pomiary T(λ) zaczynając od λ=760 nm co 5 nm w kierunku krótszych fal.

2) Sporządzić wykres T(λ) i z obszaru gdzie występują interferencje wyznaczyć współczynnik załamania n warstwy ( wzór 10) przy znanej grubości warstwy.

3) Korzystając z wyliczonej wartości współczynnika załamania n obliczyć R01 i R12, a następnie współczynnik absorpcji α(hν) w obszarze silnej absorpcji dla T<40 % ( wzór 8).

4) Sporządzić wykresy (αhν)^P=f(hν-EG) dla różnych wartości P (Rys.5).

5) Z ekstrapolacji (αhν)^P → 0 odczytać wartość EG.

6) Wybrać wartość EG leżącą w obszarze krawędzi absorpcji podstawowej.

7) Określić typ przejścia optycznego na podstawie wartości P.

Uwaga! Należy wsunąć filtr dla długości fali z zakresu od 490 do 630 nm.