Zamiana zmiennych w równaniu Fokkera-Plancka
Dla uproszczenia rozważmy jednowymiarowe równanie
Fokkera – Plancka.
Załóżmy, że dokonujemy zamiany zmiennych
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
t
y
D
t
y
D
J
p
Jp
p
x
y
J
J
y
x
J
y
x
t
x
p
t
y
p
t
y
p
t
y
D
y
t
y
p
t
y
D
y
t
y
p
t
t
x
y
y
t
x
p
t
x
D
x
t
x
p
t
x
D
x
t
x
p
t
,
,
,
,
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2 1 2 2 2 1 2 2 2 1
=
=
=
=
+
−
=
=
+
−
=
Równanie Fokkera – Plancka w nowych
zmiennych będzie miało postać
gdzie (ze znanego wzoru na transformację
gęstości prawdopodobieństwa)
Niech
Poszukujemy współczynników
(♠)
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
( )
4
1
3
,
,
,
2
1
1
1
1
1
ln
ln
1
2 1x
J
J
x
y
y
x
y
y
x
y
y
y
x
y
x
y
t
y
t
t
y
f
t
y
t
f
t
t
t
x
y
f
t
t
y
f
t
y
y
t
y
x
y
x
x
y
t
y
x
t
J
J
t
J
J
J
t
J
J
t
J
J
x
y
y
x
y
x
y
x
x
J
J
x
J
x
J
x
J
J
x y x x y x x x x x x x x x
+
=
−
=
=
+
=
+
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
=
=
=
−
=
−
−Obliczamy po kolei następujące wyrażenia
Dla dowolnej funkcji f(y,t) zachodzi
Ponieważ y=y(x,t), to y może się zmieniać w czasie nawet przy ustalonym x
W następnym równaniu zmieniamy kolejność różniczkowania po x, t
Uogólnienie na przypadek wielowymiarowy
(
)
( )
x
t
Jp
( )
x
t
p
x
x
J
J
t
x
x
J
J
t
J
t
J
x
x
x
x
J
J
x
x
x
x
x
x
J
x
x
J
x
x
x
J
x
N
i
x
x
x
x
x
j i k x k k x x k i j k k r k j r i k r k j i k i k k i N i i,
,
,
1
1
1
1
1
,
,
2
,
1
,
,
,
,
2 , 2 2 2 1=
=
+
=
−
=
=
=
=
( )
( ) ( )
( ) ( )
+
−
=
j i ij j i i i it
x
p
t
x
D
x
x
t
x
p
t
x
D
x
t
x
p
t
, 2,
,
,
,
,
gdzie
Wstawiamy powyższe wzory do równania Fokkera - Plancka
−
+
+
−
=
+
j i k ij j i k k j i r k ij j r i k r k i k i i k k k x k k xp
D
x
x
x
x
J
p
D
x
x
x
x
x
x
J
p
D
x
x
x
J
p
t
x
x
J
t
p
J
, , 2 , , , 2 ,1
1
1
1
1
i otrzymujemy
Stąd równanie Fokkera – Plancka w nowych zmiennych
( )
( ) ( )
( ) ( )
+
−
=
r k kr r k k k kt
x
p
t
x
D
x
x
t
x
p
t
x
D
x
t
x
p
t
, 2,
,
,
,
,
=
+
+
=
j i ij j r i k kr j i ij j i k i i i k x k kD
x
x
x
x
D
D
x
x
x
D
x
x
t
x
D
, , 2Dla przypadku
1-wymiarowego
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1,
,
,
,
,
D
x
y
D
D
x
y
D
x
y
t
y
D
t
y
p
t
y
D
y
t
y
p
t
y
D
y
t
y
p
t
x
=
+
+
=
+
−
=
Grupujemy wyrazy, zawierające (i) pochodną po czasie, (ii) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu po x’, (iii) pochodne cząstkowe drugiego rzędu po x’.
Przykład: Dowolne jednowymiarowe równanie Fokkera - Plancka z niezależnymi od czasu
współczynnikami możemy sprowadzić do równania ze stałym współczynnikiem dyfuzji
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
(
( )
)
( )
(
( )
)
( )
(
( )
)
( )
(
( )
) ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
t
y
p
y
D
y
D
y
t
y
p
t
t
y
x
p
D
y
x
D
t
y
x
p
dx
dy
t
y
p
y
x
D
dx
d
y
x
D
y
x
D
D
D
dx
y
d
D
dx
dy
y
D
d
D
D
y
D
D
dx
dy
y
D
const
D
y
D
x
y
y
t
x
p
x
D
x
t
x
p
x
D
x
t
x
p
t
x,
,
,
,
,
2
1
,
,
,
2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1
+
−
=
=
=
−
=
+
=
=
=
=
=
=
=
+
−
=
−
Szukamy transformacji o następującej własności
Jest to szukana transformacja. Bez straty ogólności można więc przyjąć D(2) = D w dowolnym
jednowymiarowym równaniu Fokkera-Plancka z niezależnymi od czasu współczynnikami
Jest to bardzo ważny wynik, ponieważ pozwala sprowadzić dowolne jednowymiarowe równanie Fokkera-Plancka z niezależnymi od czasu współczynnikami do
„zwykłego” równania dyfuzji w obecności siły zewnętrznej.
Przykład: Bezwymiarowa postać równania Kramersa (w 1 wymiarze)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
p
p
p
(
y
u
t
)
u
u
y
U
u
u
y
t
p
m
T
k
x
V
y
U
v
T
k
m
u
x
T
k
m
y
t
v
x
p
p
v
p
m
T
k
p
v
x
V
v
m
vp
x
t
p
B B B B,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
2 2 2 2 2
=
+
+
+
−
=
=
=
=
+
+
+
−
=
Transformacja liniowaprowadzi do równania Kramersa w postaci bezwymiarowej
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−
+
−
=
S i i i j ij j i i j i ij j i i i is
d
t
z
J
z
d
t
z
J
div
t
P
t
z
d
t
z
p
t
P
t
z
J
div
t
z
J
z
t
z
p
t
i
t
z
p
t
z
B
z
t
z
p
t
z
A
t
z
J
t
z
p
t
z
B
z
z
t
z
p
t
z
A
z
t
z
p
t
,
,
,
,
,
,
,
,
3
,
2
,
1
,
,
,
2
1
,
,
,
,
,
2
1
,
,
,
3 3 , 2Równanie Fokkera-Plancka można zapisać w formie równania ciągłości
Prąd prawdopodobieństwa
Równanie ciągłości
Warunki brzegowe dla równania Fokkera - Plancka
Bariera odbijająca
Cząstka nie może opuścić obszaru
, ograniczonego powierzchnią S, gdyż prąd prawdopodobieństwa przepływający przez S jest zerowy( )
z
t
n
d
s
d
s
J
n
S z
=
0
,
,
Bariera absorbującaPo osiągnięciu powierzchni S cząstka jest usuwana z obszaru
( )
z
,
t
zS=
0
p
Periodyczne warunki brzegowe (przypadek 1-wymiarowy)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
b
t
A
a
t
B
( ) ( )
b
t
B
a
t
A
t
x
J
t
x
J
t
x
p
t
x
p
a x b x a x b x,
,
,
,
,
,
lim
,
lim
,
lim
,
lim
=
=
=
=
+ − + − → → → →Naturalne warunki brzegowe (przypadek 1-wymiarowy)
( )
,
0
,
lim
( )
,
0
( )
,
0
lim
=
=
=
→ − →J
a
t
bJ
b
t
t
P
t
aWarunki brzegowe dla wstecznego równania Fokkera - Plancka Bariera odbijająca
( )
(
)
(
,
,
)
(
,
,
)
0
,
0
,
,
,=
=
=
=
t
b
t
x
p
y
t
a
t
x
p
y
s
d
s
d
n
t
y
t
x
p
y
y
B
n
S y j i j ij i
Dla przypadku 1-wymiarowego warunek ten sprowadza się do warunku
Bariera absorbująca
(
,
,
)
=
0
S yt
y
t
x
p
Potencjał dla równania Fokkera - Plancka
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
t
x
p
t
x
D
x
t
x
p
t
x
D
t
x
J
t
x
J
x
t
x
p
t
t
x
D
x
t
x
D
x
L
t
x
p
L
t
x
p
t
x
d
x
D
x
D
x
D
x
x
D
D
x
D
D
t
x
p
t
x
D
x
t
x
p
t
x
D
x
t
x
p
t
t
x
B
t
x
D
t
x
A
t
x
D
FP FP x,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
ln
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2 1 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1
−
−
=
+
−
=
−
=
=
+
−
=
=
=
Wprowadźmy oznaczeniaJeżeli współczynniki D nie zależą od czasu, można zdefiniować potencjał
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
p
D
x
p
D
x
p
D
p
D
p
dx
dD
x
p
D
p
D
D
dx
dD
D
D
x
p
D
p
dx
d
D
x
t
x
p
e
t
x
p
dx
x
d
e
e
x
D
t
x
J
t
x
p
e
x
e
x
D
t
x
J
x x x x x 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 21
,
,
,
,
,
−
=
−
+
−
=
=
−
−
−
=
−
−
=
=
+
−
=
−
=
− −Używając potencjału, prąd prawdopodobieństwa można zapisać w postaci
Dowód:
( )
=
( )
( )
( )
=
( )
( )
x
D
D
x
D
D
1 1,
2 2Rozwiązanie stacjonarne
( )
( ) ( )
a
t
J
b
t
J
( )
x
t
x
( )
a
b
J
const
t
x
J
,
,
0
,
0
,
,
,
=
=
=
=
W stanie stacjonarnymDla warunków brzegowych typu bariery odbijającej
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
( )
0
( )
1 2exp
,
exp
0
,
− −
−
=
−
=
=
=
−
=
x
dx
N
x
N
x
p
const
x
p
e
x
p
e
x
e
x
D
t
x
J
b a s s x s x xUzyskujemy tzw. rozwiązanie potencjalne
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
x sd
x
x
D
x
D
x
D
N
x
p
0 2 1 2 0exp
Ponieważ jest to rozwiązanie niezależne od czasu, jest to jednocześnie rozwiązanie stacjonarne przy zadanych warunkach brzegowych w postaci barier odbijających na krańcach przedziału
Przykład: Dyfuzja w polu grawitacyjnym
Przykład: Proces Ornsteina - Uhlenbecka
