Systemy liczbowe. Wprowadzenie Przeczytaj Prezentacja mul medialna Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Systemy liczbowe

Wprowadzenie Przeczytaj

Prezentacja mul medialna Sprawdź się

Dla nauczyciela

(2)

Ludzie od tysięcy lat używają różnych sposobów zapisywania liczb. Na przestrzeni wieków powstawały kolejne systemy notacji. Każdy informatyk powinien poznać przynajmniej kilka z nich. Przykładowo, system binarny, będący niejako naturalnym sposobem przedstawiania wyników operacji logicznych, nie sprawdza się dobrze w sytuacji, w której chcemy podać adres komórki pamięci. O wiele wygodniejszy jest wówczas zapis szesnastkowy.

Twoje cele

Wyjaśnisz, czym różnią się systemy addytywne od pozycyjnych.

Poznasz kilka systemów liczbowych używanych obecnie i w przeszłości.

Obliczysz wartości dziesiętne liczb zapisanych w różnych systemach pozycyjnych.

Systemy liczbowe

Źródło: licencja: CC 0.

(3)

Przeczytaj

Systemy liczbowe są zbiorami reguł, według których zapisuje się liczby, a także je nazywa (odczytuje).

Wykorzystywane są przy tym zestawy symboli (cyfr, liter albo innych znaków) specyﬁczne dla każdego systemu liczbowego.

Podstawowymi systemami liczbowymi są:

system pozycyjny – w którym znaczenie ma pozycja zapisywanych cyfr. Każdej z nich odpowiada waga (zależna od miejsca zajmowanego przez cyfrę i od podstawy systemu). Najbardziej znanego systemu pozycyjnego uczymy się już w szkole podstawowej; mowa oczywiście o systemie dziesiętnym.

system addytywny – w którym wartość liczby jest sumą wartości jej wszystkich cyfr. Przykładem takiej metody zapisywania liczb jest system rzymski.

Krótka historia zapisu liczb

Za pierwsze próby zapisywania liczb uchodzą żłobienia i nacięcia wykonywane w drewnie, kamieniu albo kościach. Można podejrzewać, że suma takich symboli oznaczała liczbę. Był to najprostszy sposób zapisu, ponieważ wykorzystywano tylko jeden znak (cyfrę) – pojedyncze nacięcie.

System egipski był systemem addytywnym, w którym kolejne potęgi liczby 10 przedstawiano za pomocą hieroglifów. Przykładowo, używając pojedynczej kreski zapisywano liczbę 1, symbol podkowy oznaczał 10, zaś liczba 100 000 była przedstawiona za pomocą rysunku żaby. Aby odczytać zapisaną liczbę należało dodać do siebie wartości odpowiadające poszczególnym symbolom. Liczby będące wielokrotnościami hieroglifów zapisywano powtarzając odpowiednie symbole do momentu uzyskania wymaganej sumy.

Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

System Majów był pozycyjnym systemem o podstawie 20. Używano w nim trzech symboli: kropki, poziomej kreski oraz muszli. Majowie znali pojęcie zera i przedstawiali tę cyfrę za pomocą znaku muszli.

(4)

System sześćdziesiątkowy (babiloński) powstał w Mezopotamii ok. XVIII w. p.n.e. Jest on uznawany za pierwszy system pozycyjny. Nie wykorzystywano w nim symbolu zera, czego wynikiem były problemy z zapisywaniem niektórych liczb. W przypadku gdy na którejkolwiek pozycji nie był potrzebny znak sześćdziesiątkowy, pozostawiano odstęp między symbolami (we współczesnych systemach pozycyjnych znalazłaby się tam cyfra zero). Kłopot pojawiał się, gdy potrzebne były co najmniej dwa odstępy obok siebie, albo gdy puste miejsce miało się znaleźć na końcu. Prowadziło to do nieporozumień: przykładowo, liczbę 2 zapisywano tak samo jak 120 (2 razy 60). System babiloński stosujemy w ograniczonym zakresie do dzisiaj (godzina składa się z 60 minut, a minuta z 60 sekund; jedną z miar kąta płaskiego jest stopień, który dzieli się na 60 minut i 3600 sekund kątowych).

Stosowany także obecnie system rzymski jest systemem addytywnym. Poznajemy go już w szkole podstawowej, a wykorzystujemy choćby do zapisywania symboli miesięcy lub numerowania wydarzeń odbywających się cyklicznie. W notacji rzymskiej używa się siedmiu symboli:

Wartość Symbol

1 I

5 V

10 X

50 L

100 C

500 D

1000 M

Jeżeli cyfra o mniejszej wartości stoi przed znakiem o wartości większej, to od liczby większej odejmuje się mniejszą. Gdy z kolei wartość większa poprzedza mniejszą, albo gdy symbole są takie same, dodajemy je do siebie.

System arabski tak naprawdę powstał w Indiach. Jest on najczęściej stosowanym systemem pozycyjnym.

Do zapisywania liczb wykorzystuje się w nim cyfry od 0 do 9. W Europie system dziesiętny upowszechnił włoski matematyk Leonardo Fibonacci.

(5)

Systemy pozycyjne – zasady zapisywania liczb

W systemie pozycyjnym liczbę zapisujemy jako ciąg cyfr. Każda z nich jest mnożnikiem odpowiadającej jej wagi. Należy pamiętać, że:

waga jest równa podstawie systemu podniesionej do odpowiedniej potęgi;

wykładnik potęgi, do której podnosi się podstawę, jest równy pozycji zajmowanej przez cyfrę w liczbie;

cyfry znajdujące się przed przecinkiem liczymy od strony prawej do lewej (zaczynając od wartości 0 i dla kolejnych cyfr zwiększając ją o 1);

cyfry znajdujące się po przecinku liczymy od strony lewej do prawej (zaczynając od wartości -1 i zmniejszając ją o 1 dla kolejnych cyfr);

podstawą systemu może być dowolna liczba (w stosowanym powszechnie systemie dziesiętnym jest nią 10);

w systemie binarnym podstawą jest liczba 2;

od podstawy systemu zależy liczba wykorzystywanych w nim symboli;

w systemie dziesiętnym używa się cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

w systemie binarnym wykorzystuje się cyfry 0 oraz 1;

w systemie szesnastkowym używane są symbole 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F;

za pomocą systemu pozycyjnego możemy zapisywać również ułamki (wykładniki potęg, do których podnosi się podstawę systemu, są wówczas ujemne);

liczby zapisane w systemie innym niż dziesiętny oznaczamy za pomocą dolnego indeksu, którego wartość odpowiada podstawie systemu, przykładowo, jako ciąg 1100101110 ;

wartością liczby o reprezentacji {x x ... x x , x x ...} jest:

x_iβⁱ + x_{i− 1}β^{i− 1} + … + x₁β¹ + x₀β⁰ + x_{− 1}β^{− 1} + x_{− 2}β^{− 2}… Przykład 1

Obliczmy wartość liczby 24,12

24, 12₍₁₀₎ = 2 ⋅ 10¹ + 4 ⋅ 10⁰ + 1 ⋅ 10^{− 1} + 2 ⋅ 10^{− 2} = = 20 + 4 + 0,1 + 0,02

Słownik

wartość liczby

suma iloczynów wartości cyfr na poszczególnych pozycjach i odpowiadających im wag w systemie pozycyjnym

(2) i i‑1 1 0 -1 -2 (β)

(10)

(6)

Prezentacja mul medialna

Polecenie 1

Zapoznaj się ze sposobem obliczania wartości dziesiętnych liczb zapisanych w systemach o różnych podstawach. Następnie wykonaj podobne operacje na kilku samodzielnie wybranych liczbach.

(7)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

System binarny jest:

systemem pozycyjnym systemem addytywnym Ćwiczenie 2

Które zdania opisujące system pozycyjny są prawdziwe?

Przykładem takiego systemu jest system babiloński.

Przykładem takiego systemu jest system egipski.

Wartość liczby w tym systemie jest sumą ważonych wartości cyfr.

Wartość liczby w tym systemie jest sumą wartości cyfr.

Ćwiczenie 3

Połącz w pary nazwy systemów liczbowych oraz ich opisy.

sześćdziesiątkowy system pozycyjny, system addytywny, w którym jako cyfra używana jest m.in. litera M, system uznający zero, którego symbolem jest muszla, system addytywny, w którym cyfry

przedstawiane są za pomocą hieroglifów system egipski

system Majów

system babiloński

system rzymski

Ćwiczenie 4

Zapisana w systemie rzymskim liczba MCMXLV odpowiada w systemie dziesiętnym wartości:

1945 1965 2155 1915 Ćwiczenie 5

Który system towarzyszy nam do dzisiaj jako system zapisu godziny?

system rzymski system babiloński system egipski system Majów

(8)

Ćwiczenie 6

Jaka jest wartość pozycji znaków A oraz B w liczbie 1B35,73AC ? -2 oraz 3

-3 oraz 2 1 oraz 3 -2 oraz 2 -3 oraz 3

Ćwiczenie 7

Jaka jest wartość dziesiętna liczby 314,11 ? 84,24

89,24 85,20 85,11 Ćwiczenie 8

Jaka jest wartość dziesiętna liczby 101101,1011 ? 58,875

45,6875 58,6875 45,875

(16)

(5)

(2)

(9)

Dla nauczyciela

Autor: Wojciech Malicki Przedmiot: Informatyka Temat: Systemy liczbowe Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum Podstawa programowa:

Zakres podstawowy i rozszerzony Cele kształcenia – wymagania ogólne

1) Rozumienie, analizowanie i rozwiązywanie problemów na bazie logicznego i abstrakcyjnego myślenia, myślenia algorytmicznego i sposobów reprezentowania informacji.

Treści nauczania – wymagania szczegółowe Zakres podstawowy

I. Rozumienie, analizowanie i rozwiązywanie problemów. Uczeń:

2. stosuje przy rozwiązywaniu problemów z różnych dziedzin algorytmy poznane w szkole podstawowej oraz algorytmy:

1) na liczbach: badania pierwszości liczby, zamiany reprezentacji liczb między pozycyjnymi systemami liczbowymi, działań na ułamkach z wykorzystaniem NWD i NWW,

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje obywatelskie;

kompetencje cyfrowe;

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii.

Cele operacyjne (językiem ucznia):

Wyjaśnisz, czym różnią się systemy addytywne od pozycyjnych.

Poznasz kilka systemów liczbowych używanych obecnie i w przeszłości.

Obliczysz wartości dziesiętne liczb zapisanych w różnych systemach pozycyjnych.

Strategie nauczania:

konstruktywizm;

konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

dyskusja;

rozmowa nauczająca z wykorzystaniem multimedium i ćwiczeń interaktywnych.

Formy pracy:

praca indywidualna;

praca w parach;

praca w grupach;

praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

(10)

komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji Przed lekcją:

1. Przygotowanie do zajęć. Nauczyciel loguje się na platformie i udostępnia e‑materiał: „Systemy liczbowe”. Nauczyciel prosi uczniów o zapoznanie się z treściami w sekcji „Przeczytaj”.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel wyświetla temat oraz cele zajęć, omawiając lub ustalając razem z uczniami kryteria sukcesu.

2. Rozpoznanie wiedzy uczniów. Nauczyciel zadaje uczniom pytania dotyczące ich aktualnego stanu wiedzy w obszarze poruszanego tematu, np.

– jakie znacie sposoby zapisywania liczb?

– które sposoby zapisu liczb są używane w informatyce?

– podaj przykład zapisu w systemie szesnastkowym.

Chętni lub wybrani uczniowie udzielają na nie odpowiedzi.

Faza realizacyjna:

1. Praca z tekstem. Jeżeli przygotowanie uczniów do lekcji jest niewystarczające, nauczyciel prosi o indywidualne zapoznanie się z treścią zawartą w sekcji „Przeczytaj”. Każdy uczestnik zajęć podczas cichego czytania wynotowuje najważniejsze kwestie poruszane w tekście.

2. Praca z multimedium. Nauczyciel czyta polecenie nr 1: „Zapoznaj się ze sposobem obliczania wartości dziesiętnych liczb zapisanych w systemach o różnych podstawach. Następnie wykonaj podobne operacje na kilku samodzielnie wybranych liczbach.” z sekcji „Prezentacja multimedialna”.

Prosi uczniów, aby wykonali je w parach. Następnie wybrana osoba prezentuje propozycję

odpowiedzi, a pozostali uczniowie ustosunkowują się do niej. Nauczyciel w razie potrzeby uzupełnia ją, udziela też uczniom informacji zwrotnej.

3. Ćwiczenie umiejętności. Nauczyciel przechodzi do sekcji „Sprawdź się”. Uczniowie indywidualnie rozwiązują ćwiczenia nr 1–8 na czas. Osoba, która poprawnie rozwiąże zadania jako pierwsza, wygrywa, a nauczyciel może nagrodzić ją oceną za aktywność.

4. Uczniowie dobierają się w pary i wykonują ćwiczenia nr . Następnie konsultują swoje rozwiązania z inną parą uczniów.

Faza podsumowująca:

1. Na koniec zajęć nauczyciel raz jeszcze wyświetla na tablicy temat lekcji i cele zawarte w sekcji

„Wprowadzenie”. W odniesieniu do ich realizacji dokonuje szczegółowej oceny rozwiązania zastosowanego przez wybranego ucznia.

Praca domowa:

1. Uczniowie proponują alternatywny sposób rozwiązania problemu postawionego w sekcji

„Prezentacja multimedialna”.

Wskazówki metodyczne:

Nauczyciel może wykorzystać multimedium w sekcji „Przeczytaj” do pracy przed lekcją. Uczniowie zapoznają się z jego treścią i przygotowują do pracy na zajęciach w ten sposób, żeby móc

samodzielnie rozwiązać zadania w temacie „Systemy liczbowe”.

Ładuję [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js