EGZAMIN, 29.1.2020, grupa A Imię i nazwisko: ...
Nr indeksu: ...
1 2 3 4 5 6 7 8 SUMA
Zadania (8 · 4 = 32 punkty)
Za każde zadanie można otrzymać 3 punkty. Wszystkie odpowiedzi proszę starannie uzasadniać! Odpowiedzi liczbowe prosimy podawać w postaci ułamka nieskracalnego, na przykład 2/3, a nie 24/36 (nie dotyczy zadań oznaczonych symbolem ♣).
Powodzenia!!!
Zadanie 1. ♣ Wykonujemy rzut albo kostką z liczbami oczek (0, 1, 2, 4, 5, 6) na ściankach, albo rzut kostką, na któ- rej ściankach zaznaczono liczby oczek (1, 1, 1, 4, 4, 4). Którą kostką lepiej grać, aby prawdopodobieństwo zdobycia w sumie nie mniej niż 9 oczek w trzech rzutach było większe?
Zadanie 2. W urnie znajduje się 10 kul białych i 12 kul czarnych. Rzucamy raz monetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 13 i w zależności od uzyskanego wyniku:
• jeśli wypadła reszka, to wyciągamy z urny jednocześnie 5 kul;
• jeśli wypadł orzeł, to wyciągamy z urny jednocześnie 6 kul.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wypadła reszka, jeśli wiadomo, że wszystkie wyciągnięte kule są białe.
Zadanie 3. ♣ Adam i Bartek poszli postrzelać z łuku do tarczy. Mają do dyspozycji 6 różnych łuków i zostało oddanych łącznie 8 strzałów. Przed każdym strzałem rzucają symetryczną monetą i jeśli wypadnie orzeł, strzał będzie oddawał Adam, a jeśli reszka - Bartek. Dodatkowo Adam przed swoim strzałem rzuca kostką i przypadku wypadnięcia j oczek, do strzału wybiera j-ty łuk, dla którego prawdopodobieństwo trafienia wynosi j7, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bartek natomiast, zawsze wybiera najlepszy łuk nr 6. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony co najmniej 3 razy.
Zadanie 4. Z przedziału [0, 10], zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym, losujemy kolejno dwie liczby x i y.
Następnie tworzymy dwa okręgi o środkach w punktach (0, 0) i (5, 0) oraz promieniach x i y odpowiednio.
Wyznacz prawdopodobieństwo, że tak powstałe okręgi są rozłączne wewnętrznie.
1
Zadanie 5. ♣ Mamy dwa układy elektryczne, z których każdy składa się z 4 przełączników. Każdy przełącznik może być włączony lub wyłączony z prawdopodobieństwami p i 1 − p, odpowiednio. Stany przełączników są niezależne od siebie. Oblicz, dla którego z pokazanych układów, prawdopodobieństwo, że przełącznik nr 1 jest wyłączony, jeśli wiadomo, że nie ma przepływu prądu z punktu A do B.
Zadanie 6. Ile jest słów długości 6 złożonych z liter a, b, c, w których występuje (co najmniej raz) podsłowo ac? Na przykład, podsłowo ac występuje w słowie baacaa, ale nie występuje w abcbca.
Zadanie 7. Działka Jasia podzielona jest na 64 części (tak jak szachownica). Na początku wiosny, Jaś odwiedza każde pole, rzuca symetryczną kostką i sadzi tyle marchewek, ile wypadło oczek na kostce. Niestety, w nocy, na jego działkę wkrada się sąsiad, który również odwiedza każde pole, rzuca symetryczną kostką i zabiera tyle marchewek, ile wypadło oczek na kostce (jeśli wyrzucił więcej, niż w danym polu znalazło się zasadzonych marchewek, zabiera wszystkie). Jaka jest wartość oczekiwana liczby marchewek, które Jaś zbierze pod koniec wiosny?
Zadanie 8. Cztery maszyny rozlokowano w jednej linii prostej, przy czym odległość pomiędzy każdymi dwiema są- siednimi maszynami wynosi a. Maszyny obsługuje robotnik, który przechodzi od maszyny, przy której zakończył pracę, do dowolnej z czterech z takim samym prawdopodobieństwem. (Robotnik może pozostać przy maszynie z prawdopodobieństwem 1/4. ) Oblicz wartość oczekiwaną oraz wariancję długości drogi przebytej przez niego w jednym przejściu.
2
EGZAMIN, 29.1.2020, grupa B Imię i nazwisko: ...
Nr indeksu: ...
1 2 3 4 5 6 7 8 SUMA
Zadania (8 · 4 = 32 punkty)
Za każde zadanie można otrzymać 3 punkty. Wszystkie odpowiedzi proszę starannie uzasadniać! Odpowiedzi liczbowe prosimy podawać w postaci ułamka nieskracalnego, na przykład 2/3, a nie 24/36 (nie dotyczy zadań oznaczonych symbolem ♣).
Powodzenia!!!
Zadanie 1. ♣ Wykonujemy rzut albo kostką z liczbami oczek (1, 2, 3, 4, 5, 6) na ściankach, albo rzut kostką, na któ- rej ściankach zaznaczono liczby oczek (2, 2, 2, 5, 5, 5). Którą kostką lepiej grać, aby prawdopodobieństwo zdobycia w sumie nie mniej niż 12 oczek w trzech rzutach było większe?
Zadanie 2. W urnie znajduje się 10 kul białych i 12 kul czarnych. Rzucamy raz monetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 23 i w zależności od uzyskanego wyniku:
• jeśli wypadła reszka, to wyciągamy z urny jednocześnie 4 kule;
• jeśli wypadł orzeł, to wyciągamy z urny jednocześnie 6 kul.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wypadła reszka, jeśli wiadomo, że wszystkie wyciągnięte kule są białe.
Zadanie 3. ♣ Adam i Bartek poszli postrzelać z łuku do tarczy. Mają do dyspozycji 6 różnych łuków i zostało oddanych łącznie 9 strzałów. Przed każdym strzałem rzucają symetryczną monetą i jeśli wypadnie orzeł, strzał będzie oddawał Adam, a jeśli reszka - Bartek. Dodatkowo Adam przed swoim strzałem rzuca kostką i przypadku wypadnięcia j oczek, do strzału wybiera j-ty łuk, dla którego prawdopodobieństwo trafienia wynosi j7, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bartek natomiast, zawsze wybiera najlepszy łuk nr 6. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony co najwyżej 7 razy.
Zadanie 4. Z przedziału [0, 10], zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym, losujemy kolejno dwie liczby x i y.
Następnie tworzymy dwa okręgi o środkach w punktach (0, 0) i (5, 0) oraz promieniach x i y odpowiednio.
Wyznacz prawdopodobieństwo, że tak powstałe okręgi są rozłączne zewnętrznie.
3
Zadanie 5. ♣ Mamy dwa układy elektryczne, z których każdy składa się z 4 przełączników. Każdy przełącznik może być włączony lub wyłączony z prawdopodobieństwami p i 1 − p, odpowiednio. Stany przełączników są niezależne od siebie. Oblicz, dla którego z pokazanych układów, prawdopodobieństwo, że przełącznik nr 4 jest wyłączony, jeśli wiadomo, że nie ma przepływu prądu z punktu A do B.
Zadanie 6. Ile jest słów długości 7 złożonych z liter a, b, c, w których występuje (co najmniej raz) podsłowo aba? Na przykład, podsłowo aba występuje w słowie bcabaa, ale nie występuje w abcbcab.
Zadanie 7. Działka Jasia podzielona jest na 49 części (tak jak szachownica). Na początku wiosny, Jaś odwiedza każde pole, rzuca symetryczną kostką i sadzi tyle marchewek, ile wypadło oczek na kostce. Niestety, w nocy, na jego działkę wkrada się sąsiad, który również odwiedza każde pole, rzuca symetryczną kostką i zabiera tyle marchewek, ile wypadło oczek na kostce (jeśli wyrzucił więcej, niż w danym polu znalazło się zasadzonych marchewek, zabiera wszystkie). Jaka jest wartość oczekiwana liczby marchewek, które Jaś zbierze pod koniec wiosny?
Zadanie 8. Cztery maszyny rozlokowano w jednej linii prostej, przy czym odległość pomiędzy każdymi dwiema są- siednimi maszynami wynosi a. Maszyny obsługuje robotnik, który przechodzi od maszyny, przy której zakończył pracę, do dowolnej z trzech pozostałych z takim samym prawdopodobieństwem 1/3. Oblicz wartość oczekiwaną oraz wariancję długości drogi przebytej przez niego w jednym przejściu.
4
