EGZAMIN, 28.1.2019, grupa A Imię i nazwisko: ...
Nr indeksu: ...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 SUMA
Zadania (9 · 3 = 27 punkty)
Za każde zadanie można otrzymać 3 punkty. Wszystkie odpowiedzi proszę starannie uzasadniać! Odpowiedzi liczbowe prosimy podawać w postaci ułamka nieskracalnego, na przykład 2/3, a nie 24/36 (nie dotyczy zadań oznaczonych symbolem [S]).
Powodzenia!!!
Zadanie 1. Ze zbioru liczb {2, 4, 7, 8, 9, 10, 12} losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby a i b. Znaleźć prawdopodo- bieństwo, że ułamek a/b jest nieskracalny.
Zadanie 2. Czterech studentów niezależnie uczy się do egzaminu. Prawdopodobieństwa, że każdy z nich zda egzamin, wynoszą kolejno 0.3, 0.3, 0.5, 0.6. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że drugi z nich zdał, jeśli wiadomo, że zdało dokładnie dwóch?
Zadanie 3. Na ile sposobów można podzielić 9 osób na trzy grupy, każda po 3 osoby? Kolejność grup jest nieistotna, kolejność osób w grupie jest również nieistotna.
Zadanie 4. Monetę o średnicy 1/2 rzucamy w sposób losowy na nieskończoną szachownicę. Każde pole szachownicy jest kwadratem o boku 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta przetnie się z dokładnie jednym bokiem pola szachownicy.
Zadanie 5. [S] Rzucamy kostką sześcienną 10 razy. Niech m, M oznaczają najmniejszy i największy z uzyskanych wyników. Oblicz P (m 2, M ¬ 5) i P (m = 2, M = 5).
1
Zadanie 6. W ciągu 20 rzutów monetą liczymy serie 5 orłów. Każdy ciąg sąsiadujących ze sobą 5 orłów uznajemy za serię. Przyjmujemy, że serie mogą „zachodzić na siebie”, na przykład w ciągu
R O O O O O O O R O O O R O O O O O R R
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
mamy 4 serie, zaczynające się od miejsc 2, 3, 4 i 14. Oblicz wartość oczekiwaną liczby serii 5 orłów w 20 rzutach.
Zadanie 7. Jaś ma dwie monety asymetryczne. Na jednej wypada orzeł z prawdopodobieństwem 1/4, na drugiej — z prawdopodobieństwem 3/4. Losuje monetę z równym prawdopodobieństwem, a następnie rzuca wylosowa- ną monetą dwa razy. Niech X oznacza liczbę wylosowanych orłów. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
Zadanie 8. Pewna uczelnia dysponuje testem wykrywającym plagiaty. Test daje wynik pozytywny dla 90% plagia- tów, ale również daje wynik pozytywny dla x% nie-plagiatów. Zakładając, że około 5% prac bronionych na uczelni jest plagiatami, ile musi wynosić x, aby prawdopodobieństwo, że praca jest plagiatem przy pozytywnym wyniku testu wynosiło co najmniej 80%?
Zadanie 9. W pewnej grze rzucamy kostką tak długo, aż wyrzucimy szóstkę. Wygrywamy tyle złotych, ile wypadło liczb różnych niż 6. Jeśli wyrzucimy szóstkę w pierwszym rzucie, tracimy x złotych. Ile może co najwyżej wynosić x, żeby gra była dla nas opłacalna?
Uwaga. Wartość oczekiwana zmiennej o rozkładzie geometrycznym z parametrem p (prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie) wynosi 1/p.
2
